2020版导与练第一轮复习理科数学 (73)

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2020年高考数学一轮复习：函数与导数

a ⎝x ＋a ⎭当 a <0 时，∵f ′(x )＝ (x >0)，∴函数 f (x )在⎝0，－a ⎭上单调递增，在⎝－a ，＋∞⎭上单调递减，∴函数 f (x )max ＝f ⎝－a ⎭＝ln ⎝－a ⎭＋a ⎝－a ⎭＝ln ⎝－a ⎭－1，必有 f (x )max ＝ln ⎝－a ⎭－1>0，得 a >－，∴实数 a 的取值范围是⎝－e ，0⎭.(2)设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，⎝1＋2⎭· ⎝1＋22⎭· …· ⎝1＋2n ⎭<m ，求 m 的最小值．①若 a ≤0，因为 f ⎝2⎭＝－＋a ln 2<0，所以不满足题意；2020 年高考数学一轮复习——函数与导数1．(2019 届高三· 吴越联盟高三联考)已知函数 f (x )＝ln x ＋ax ，(1)若函数 f (x )在 x ＝1 处的切线方程为 y ＝2x ＋m ，求实数 a 和 m 的值；(2)若函数 f (x )在定义域内有两个不同的零点 x 1，x 2，求实数 a 的取值范围．1解：(1)∵f (x )＝ln x ＋ax ，∴f ′(x )＝x ＋a .∵函数 f (x )在 x ＝1 处的切线方程为 y ＝2x ＋m ，∴f ′(1)＝1＋a ＝2，得 a ＝1.又∵f (1)＝ln 1＋a ＝1，∴函数 f (x )在 x ＝1 处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即 y ＝2x －1，∴m ＝－1.11＋ax (2)由(1)知 f ′(x )＝x ＋a ＝ x (x >0)．当 a ≥0 时，∵f ′(x )＝ 1＋axx >0，∴函数 f (x )＝ln x ＋ax 在(0，＋∞)上单调递增，从而函数 f (x )至多有一个零点，不符合题意；⎛ 1⎫x⎛ 1⎫ ⎛ 1 ⎫⎛ 1⎫ ⎛ 1⎫ ⎛ 1⎫ ⎛ 1⎫ ∴要满足函数 f (x )在定义域内有两个不同的零点 x 1，x 2，⎛ 1⎫ 1 e⎛ 1 ⎫2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f (x )＝x －1－a ln x . (1)若 f (x )≥0，求 a 的值；⎛ 1⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．⎛1⎫1 2a x －a②若 a >0，由 f ′(x )＝1－x ＝ x 知，当 x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当 x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以 f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．1＋ n < n.令 x ＝1＋ n ，得 ln ⎝ 2 ⎭1＋＋ln 1＋ 2 ＋…＋ln 1＋ n < ＋ 2＋…＋ n ＝1－ n <1.从而 ln ⎝ 2⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1＋ n <e.1＋ 1＋ 2 ·故 …·⎝ 2⎭⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭1＋1＋ 2 1＋ 3 >2，而⎝ 2⎭⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭ ∴F ′(x )＝－ 2＝ 0∴k ＝ 2 ≤ 在 x 0∈(0,3]上恒成立，－ x 2∴a ≥⎝ 2 0＋x 0⎭max ，x 0∈(0,3]，x2xx∴k ＝F ′(x 0)＝x 0－a ，∴a ≥ ，即实数 a 的取值范围为⎣2，＋∞⎭.2则 g ′(x )＝ .y故 x ＝a 是 f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．由于 f (1)＝0，所以当且仅当 a ＝1 时，f (x )≥0.故 a ＝1.(2)由(1)知当 x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0.1 ⎛ 1 ⎫ 12 2⎛ 1⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 1 1 1 1 2 2 2 2⎛ 1⎫⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫⎛ 1⎫⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫所以 m 的最小值为 3.3．(2018·浙江新高考训练卷)设函数 f (x )＝ln x ＋x .a 1 (1)令 F (x )＝f (x )＋x －x (0<x ≤3)，若 F (x )的图象上任意一点 P (x 0， 0)处切线的斜率 k ≤2恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)若方程 2mf (x )＝x 2 有唯一实数解，求正数 m 的值．a解：(1)∵F (x )＝ln x ＋x ，x ∈(0,3]，1 a x －a，x 201∵F (x )的图象上任意一点 P (x 0，y 0)处切线的斜率 k ≤2恒成立，x －a 1 x 02⎛ 1 ⎫1 1 当 x 0＝1 时，－2x 20＋x 0 取得最大值2，1 ⎡1 ⎫(2)∵方程 2mf (x )＝x 2 有唯一实数解，∴x 2－2m ln x －2mx ＝0 有唯一实数解．设 g (x )＝x 2－2m ln x －2mx ，2x 2－2mx －2mx令 g ′(x )＝0，则 x 2－mx －m ＝0.∵m >0，<0(舍去)，x 2＝22则⎨即 x 22－2m ln x 2－2mx 2＝x 22－mx 2－m ， ⎪ ，解得 m ＝ .1－e所以 f (－1)＝(－1＋b )⎝e －a ⎭＝0，所以 a ＝或 b ＝1.所以 f ′(－1)＝－a ＝－1＋，若 a ＝，则 b ＝2－e<0，与 b >0 矛盾，故 a ＝1，b ＝1.则 h (x )＝⎝e －1⎭(x ＋1)，∴Δ＝m 2＋4m >0，∵x >0，∴x 1＝m － m 2＋4m m ＋ m 2＋4m ，当 x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)上单调递减，当 x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)单调递增，当 x ＝x 2 时，g ′(x 2)＝0，g (x )取最小值 g (x 2)． ∵g (x )＝0 有唯一解，∴g (x 2)＝0，⎧g ′(x 2)＝0， ⎪⎩g (x 2)＝0，∴2m ln x 2＋mx 2－m ＝0， ∵m >0，∴2ln x 2＋x 2－1＝0.(*) 设函数 h (x )＝2ln x ＋x －1，∵当 x >0 时，h (x )是增函数，∴h (x )＝0 至多有一解．∵h (1)＝0，∴方程(*)的解为 x 2＝1，即 1＝ m ＋ m 2＋4m 12 24．(2019 届高三· 浙江名校联考)已知函数 f (x )＝(x ＋b )(e x －a )(b >0)的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为(e －1)x ＋e y ＋e －1＝0.(1)求 a ，b ；(2)若方程 f (x )＝m 有两个实数根 x 1，x 2，且 x 1<x 2，证明：x 2－x 1≤1＋解：(1)由题意得 f (－1)＝0，⎛1 ⎫1e又 f ′(x )＝(x ＋b ＋1)e x －a ，b1e e1e(2)证明：由(1)可知 f (x )＝(x ＋1)(e x －1)，f (0)＝0，f (－1)＝0，设曲线 y ＝f (x )在点(－1,0)处的切线方程为 y ＝h (x )，⎛1 ⎫m (1－2e ).－1 (x ＋1)，F ′(x )＝(x ＋2)e x －，令 F (x )＝f (x )－h (x )，则 F (x )＝(x ＋1)(e x －1)－⎝e ⎭当 x ≤－2 时，F ′(x )＝(x ＋2)e x － ≤－ <0，当 x >－2 时，设 G (x )＝F ′(x )＝(x ＋2)e x －， 1－e所以 x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝m －－1＋1－e ⎝ ⎭1－e设 h (x )＝m 的根为 x 1′，则 x 1′＝－1＋ m e⎛1 ⎫ 1e 1 1 e e1 e则 G ′(x )＝(x ＋3)e x >0，故函数 F ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又 F ′(－1)＝0，所以当 x ∈(－∞，－1)时，F ′(x )<0，当 x ∈(－1，＋∞)时，F ′(x )>0，所以函数 F (x )在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增，故 F (x )≥F (－1)＝0，所以 f (x )≥h (x )，所以 f (x 1)≥h (x 1)．，又函数 h (x )单调递减，且 h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)，所以 x 1′≤x 1，设曲线 y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为 y ＝t (x )，易得 t (x )＝x ，令 T (x )＝f (x )－t (x )＝(x ＋1)(e x －1)－x ，则 T ′(x )＝(x ＋2)e x －2，当 x ≤－2 时，T ′(x )＝(x ＋2)e x －2≤－2<0，当 x >－2 时，设 H (x )＝T ′(x )＝(x ＋2)e x －2，则 H ′(x )＝(x ＋3)e x >0，故函数 T ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又 T ′(0)＝0，所以当 x ∈(－∞，0)时，T ′(x )<0，当 x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )>0，所以函数 T (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以 T (x )≥T (0)，所以 f (x )≥t (x )，所以 f (x 2)≥t (x 2)．设 t (x )＝m 的根为 x 2′，则 x 2′＝m ，又函数 t (x )单调递增，且 t (x 2′)＝f (x 2)≥t (x 2)，所以 x 2′≥x 2.又 x 1′≤x 1，⎛ m e ⎫m (1－2e )＝1＋ .5．已知 a >0，b ∈R ，函数 f (x )＝4ax 3－2bx －a ＋b . (1)证明：当 0≤x ≤1 时，解：(1)证明：①f′(x)＝12ax2－2b＝12a⎝x2－6a⎭，b⎫⎛x－，此时f(x)在⎝0，⎛，＋∞⎭上单调递增，所以当0≤x≤1时，f(x)max＝max{f(0)，f(1)}＝max{－a＋b,3a－b}＝⎨＝|2a－b|＋a.⎩3⎫⎛3⎫3⎭⎝3⎭⎛0，3⎫，1⎭所以g(x)min＝g⎝3⎭＝1－43>0，|2a－b|＋a≤1，恒成立的充要条件是⎨⎪⎩⎪⎩①函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a；②f(x)＋|2a－b|＋a≥0.(2)若－1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立，求a＋b的取值范围．⎛b⎫当b≤0时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0，＋∞)上单调递增，当b>0时，f′(x)＝12a⎝x＋6a⎭⎝b⎫⎛6a⎭b⎤6a⎦上单调递减，在⎡⎣b⎫6a⎧⎪3a－b，b≤2a，⎪－a＋b，b>2a②由于0≤x≤1，故当b≤2a时，f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)＋3a－b＝4ax3－2bx＋2a≥4ax3－4ax＋2a＝2a(2x3－2x＋1)，当b>2a时，f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)－a＋b＝4ax3＋2b(1－x)－2a>4ax3＋4a(1－x)－2a＝2a(2x3－2x＋1)．设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝6⎝x－x＋，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如表所示：x0⎛⎝3⎭33⎛3⎝3⎫1g′(x)－0＋g(x)1极小值1⎛3⎫9所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1>0，故f(x)＋|2a－b|＋a≥2a(2x3－2x＋1)≥0.(2)由①知，当0≤x≤1时，f(x)max＝|2a－b|＋a，所以|2a－b|＋a≤1，若|2a－b|＋a≤1，则由②知f(x)≥－(|2a－b|＋a)≥－1，所以－1≤f(x)≤1对任意0≤x≤1⎧⎪a>0，⎧2a－b≥0，即⎨3a－b≤1，⎪a>0，⎧⎪2a－b<0，或⎨b－a≤1，⎪⎩a>0.在直角坐标系aOb中，所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.作一组平行直线a＋b＝t(t∈R)，得－1<a＋b≤3，所以a＋b的取值范围是(－1,3]．。

2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：3.1 导数的概念及运算

cos�� 1 ��
解 (1)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x. (2)y'= ln�� + �� '=(ln x)'+
1
1 1 1 '= − . �� 2 cos�� (cos��)'e�� -cos��(e�� )' sin��+cos�� (3)y'= e�� '= =- e�� . 2 �� (e ) π π 1 1 (4)∵y=xsin 2�� + cos 2�� + = xsin(4x+π)=- xsin 2 2 2 2 1 1 1 ∴y'=-2sin 4x-2x· 4cos 4x=- sin 4x-2xcos 4x. 2
-13考点1
考点2
思考函数求导应遵循怎样的原则? 解题心得函数求导应遵循的原则: (1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.
-14考点1
考点2
对点训练 1 求下列函数的导数: (1)y=x2sin x; (2)y=ln x+ ; (3)y= e�� . π π (4)y=xsin 2�� + 2 cos 2�� + 2 .
随堂巩固
知识梳理
考点自诊
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2020版高考数学一轮复习第3章导数及其应用1第1讲变化率与导数、导数的计算教案理

第1讲变化率与导数、导数的计算知识点考纲下载导数概念及其几何意义、导数的运算了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).会利用导数解决某些实际问题.定积分与微积分基本定理了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.了解微积分基本定理的含义.1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x(a >0且a ≠1)f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x(x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x(x >0)f ′(x )＝1x(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×(教材习题改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B .y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . (2018·开封市第一次模拟)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1，3)，则n ＝( ) A ．－2 B ．1 C ．3D ．4解析：选C .对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，所以k ＝3＋m ，又k ＋1＝3，1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：因为f ′(x )＝a (l ＋ln x )，所以f ′(1)＝a ＝3. 答案：3(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为__________．解析：因为y ＝x 2＋1x ，所以y ′＝2x －1x2，所以y ′|x ＝1＝2－1＝1，所以所求切线方程为y－2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝0导数的计算[典例引领]求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝sin x2(1－2cos 2x4)；(3)y ＝3x e x－2x ＋e ； (4)y ＝ln x x 2＋1； (5)y ＝ln 2x －12x ＋1.【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)因为y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sinx ，所以y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2xln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x（x 2＋1）－2x ln x（x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2.(5)y ′＝(ln 2x －12x ＋1)′＝[ln(2x －1)－ln(2x ＋1)]′＝[ln(2x －1)]′－[ln(2x ＋1)]′＝12x －1·(2x －1)′－12x ＋1·(2x ＋1)′＝22x －1－22x ＋1＝44x 2－1.[通关练习]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝30－24＝6. 2．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2. 解：(1)y ′＝nxn －1e x＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x . (3)y ′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .(4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′＝2(1＋sin x )·cos x .导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小．高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．[典例引领]角度一求切线方程(1)(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．(2)曲线f (x )＝x 3－2x 2＋2(12≤x ≤52)，过点P (2，0)的切线方程为________．【解析】 (1)因为f ′(x )＝a －1x，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1，即直线l 在y 轴上的截距为1.(2)因为f (2)＝23－2×22＋2＝2≠0，所以点P (2，0)不在曲线f (x )＝x 3－2x 2＋2上．设切点坐标为(x 0，y 0)，则12≤x 0≤52.且⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30－2x 20＋2，0－y 02－x 0＝f ′（x 0），所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30－2x 20＋2，－y 02－x 0＝3x 20－4x 0，消去y ，整理得(x 0－1)(x 20－3x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝3＋52(舍去)或x 0＝3－52(舍去)，所以y 0＝1，f ′(x 0)＝－1，所以所求的切线方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.【答案】 (1)1 (2)y ＝－x ＋2角度二已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1，所以切线的斜率为k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)．【答案】 (e ，e)若本例变为：若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为________．解析：设切点为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1，由题意，得ln x 0＋1＝1，所以ln x 0＝0，x 0＝1，即点P (1，0)，所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0角度三已知切线方程求参数值(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线 y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．【解析】求得(ln x ＋2)′＝1x ， [ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)，则 k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. 【答案】 1－ln 2(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； ②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线f (x )，g (x )的公切线l 的方程的步骤①设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标(x 0，f (x 0))，(x 1，g (x 1))，并分别求出两曲线的切线方程；②建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y 轴上的截距都分别相等，得到关于参数x 0，x 1的方程组，解方程组，求出参数x 0，x 1的值； ③求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可． (3)求曲线的切线方程需注意三点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解；③应正确区分“求在曲线点P 处的切线方程”和“求过曲线点P 处的切线方程”．[通关练习]1．(2018·云南省第一次统一检测)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝a ln x ＋a ，所以f ′(1)＝a ，因为函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，所以a ＝2，又f (1)＝b ，则2×1－b ＝0，所以b ＝2，故a ＋b ＝4. 答案：42．(2018·沈阳市教学质量检测(一))设函数f (x )＝g (x2)＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．解析：由已知得 g ′(1)＝－9，g (1)＝－8，又f ′(x )＝12 g ′(x 2)＋2x ，所以f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－12，f (2)＝g (1)＋4＝－4，所以所求切线方程为y ＋4＝－12(x －2)，即x ＋2y ＋6＝0.答案：x ＋2y ＋6＝03．若直线l 与曲线y ＝e x及y ＝－14x 2都相切，则直线l 的方程为________．解析：设直线l 与曲线y ＝e x 的切点为(x 0，e x0)，直线l 与曲线y ＝－14x 2的切点为(x 1，－x 214)，因为y ＝e x在点(x 0，e x0)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝e x0，y ＝－x 24在点(x 1，－x 214)处的切线的斜率为y ′|x ＝x 1＝(－x 2)|x ＝x 1＝－x 12，则直线l 的方程可表示为y ＝e x 0x －x 0e x0＋e x 0或y＝－12x 1x ＋14x 21，所以⎩⎪⎨⎪⎧e x＝－x 12，－x 0e x 0＋e x＝x214，所以e x0＝1－x 0，解得x 0＝0，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 答案：y ＝x ＋1导数的几何意义与其他知识交汇[典例引领]抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．【解析】由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B (0，－1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值z ma x ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12(1)本题以y ＝x 2在x ＝1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得切线方程，构造出求x ＋2y 的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇． (2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用． (3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．[通关练习]1．曲线f (x )＝－x 3＋3x 2在点(1，f (1))处的切线截圆x 2＋(y ＋1)2＝4所得的弦长为( ) A ．4 B ．2 2 C ．2D. 2解析：选A.因为f ′(x )＝－3x 2＋6x ，则在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝6－3＝3，又f (1)＝2，故切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0.因为圆心C (0，－1)到直线3x －y －1＝0的距离d ＝0，所以直线3x －y －1＝0截圆x 2＋(y ＋1)2＝4所得的弦长就是该圆的直径4，故选A . 2．对正整数n ，设曲线y ＝(2－x )x n在x ＝3处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{a nn ＋2}的前n 项和等于________．解析：因为y ′＝2nx n －1－(n ＋1)x n.所以曲线y ＝(2－x )x n 在x ＝3处的切线的斜率为(－13n －1)3n.所以切线方程为y ＝(－13n －1)3n (x －3)－3n.令x ＝0，得a n ＝(n ＋2)·3n，所以a nn ＋2＝3n. 所以数列{a nn ＋2}的前n 项和为31＋32＋33＋ (3)＝3（1－3n）1－3＝3n ＋1－32.答案：3n ＋1－32导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．易误防范(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n)′＝nx n －1与指数函数的求导公式(a x)′＝a xln a 混淆．(2)求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．1．(2018·四川成都模拟)曲线y ＝x sin x 在点P (π，0)处的切线方程是( ) A ．y ＝－πx ＋π2B ．y ＝πx ＋π2C ．y ＝－πx －π2D ．y ＝πx －π2解析：选A.因为y ＝f (x )＝x sin x ，所以f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，在点P (π，0)处的切线斜率为k ＝sin π＋πcos π＝－π，所以曲线y ＝x sin x 在点P (π，0)处的切线方程是y ＝－π(x －π)＝－πx ＋π2.故选A.2．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B .f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3. 函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52C.32D.12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11，从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5，解之得b ＝52.故选B.4．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．3D ．4解析：选B.由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.5．(2018·广州市综合测试(一))设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(1，－1)C ．(－1，1)D ．(1，－1)或(－1，1)解析：选D.由题易知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率为f ′(x 0)＝3x 2＋2ax 0，又切线方程为x ＋y ＝0，所以x 0≠0，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＝－1x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得a ＝±2，x 0＝－a2.所以当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1a ＝－2时，点P的坐标为(1，－1)；当⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1a ＝2时，点P 的坐标为(－1，1)，故选D.6．若f (x )＝(x 2＋2x －1)e2－x，则f ′(x )＝________．解析：f ′(x )＝(x 2＋2x －1)′e 2－x＋(x 2＋2x －1)(e2－x)′＝(2x ＋2)e 2－x＋(x 2＋2x －1)·(－e 2－x)＝(3－x 2)e2－x.答案：(3－x 2)e2－x7．(2018·昆明市教学质量检测)若函数f (x )＝2cos(ωx ＋π4)的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－3x ＋1，则ω＝________.解析：由题意，得f ′(x )＝－2ωsin(ωx ＋π4)，所以f ′(0)＝－2ωsin π4＝－ω＝－3，所以ω＝3. 答案：38．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝0，即a＝－13x 3(x ＞0)，故a ∈(－∞，0)．答案：(－∞，0) 9．求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x ＋cos xx ＋sin x；(3)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln （2x ＋3）x 2＋1.解：(1)法一：因为y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ，所以y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.法二：y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2＝24x 3＋9x 2－16x －4.(2)y ′＝（x ＋cos x ）′（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（x ＋sin x ）′（x ＋sin x ）2＝（1－sin x ）（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（1＋cos x ）（x ＋sin x ）2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1（x ＋sin x ）2. (3)因为y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ，所以y ′＝－12sin 4x －12x ·4·cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .(4)y ′＝[ln （2x ＋3）]′（x 2＋1）－（x 2＋1）′ln （2x ＋3）（x 2＋1）2＝（2x ＋3）′2x ＋3·（x 2＋1）－2x ln （2x ＋3）（x 2＋1）2＝2（x 2＋1）－2x （2x ＋3）ln （2x ＋3）（2x ＋3）（x 2＋1）2. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.1．(2018·成都市第二次诊断性检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－12，＋∞)B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x ＞0)，根据题意有f ′(x )≥0(x ＞0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x ＞0)恒成立，即2a ≥－1x2(x ＞0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞）.2．过点A (2，1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条D ．0条解析：选 A.由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 20－3，利用点斜式方程可知切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2，1)代入可得关于x 0的一元三次方程2x 30－6x 20＋7＝0.令z ＝2x 30－6x 20＋7，则z ′＝6x 20－12x 0.由z ′＝0得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，z ＝7＞0；x 0＝2时，z ＝－1＜0.所以方程2x 30－6x 20＋7＝0有3个解．故过点A (2，1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条．3．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )．则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝04．(2018·山东青岛自主诊断)函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，规定K (A ，B )＝|k A －k B ||AB |(|AB |为线段AB 的长度)叫作曲线y ＝f (x )在点A 与点B 之间的“近似曲率”．设曲线y ＝1x上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，a (a ＞0且a ≠1)，若m ·K (A ，B )＞1恒成立，则实数m 的取值范围是______．解析：因为y ′＝－1x2，所以k A ＝－1a2，k B ＝－a 2.又|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a －a ，所以K (A ，B )＝|k A －k B ||AB |＝|a 2－1a 2|2|1a－a |＝1a ＋a 2，因为a ＞0且a ≠1，所以a ＋1a ＞2a ·1a ＝2，即1K （A ，B ）＜22.由m ·K (A ，B )＞1恒成立得，m ＞1K （A ，B ），即m ≥22.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ 5．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直，求a ＋b 的值．解：对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．所以(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，① 又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ， ⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.6．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②①代入②得，x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.因为P 为切点，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.因为P 在第一象限，所以所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。

2020年高考数学第一轮复习-听课答案-第二单元-函数、导数及其应用

2020年高考数学第一轮复习第二单元函数、导数及其应用1.编写意图函数是高考内容的重要组成部分,是一轮复习的重点和难点.编写中注意到以下几个问题: (1)该部分内容是第一轮复习初始阶段的知识,因此在选题时注重以基础题为主,尽量避免选用综合性强、思维难度大的题目;(2)函数与方程、分类讨论、数形结合以及化归与转化等数学思想与方法在本单元中均有涉及;(3)突出了函数性质的综合应用;(4)有意识地将函数中的单调性、极值、最值问题与解析几何中的切线、最值问题和不等式的证明等进行交汇,特别是精选一些以导数为解题工具的典型函数问题、切线问题,充分体现导数的工具性.2.教学建议教学时,注意到如下几个问题:(1)重视教材的基础作用和示范作用.函数客观题一般直接来源于教材,往往就是课本的原题或变式题,主观题的生长点也是教材,在函数的复习备考中,要重视教材中一些有典型意义又有创新意识的题目,将其作为函数复习过程中的范例与习题,贯彻“源于课本,高于课本”的原则.(2)阐明知识系统,掌握内在联系.知识的整体性是切实掌握函数知识的重要标志,函数的概念、图像和性质是环环相扣、紧密相连、互相制约的,并形成了一个有序的网络化的知识体系,这就要求在复习过程中应在这个网络化的体系中去讲函数的概念、性质、公式以及例题,只有这样,学生对概念、性质的理解才是深刻的、全面的,记忆才是鲜明的、牢固的、生动的,应用起来才是灵活的、广泛的.(3)关注几类特殊函数.学生对抽象函数的理解较为困难,但抽象函数对培养学生的观察能力有十分重要的作用,应结合高考情况,予以适当关注,但选题不宜过难.分段函数是近几年高考命题的热点,在客观题和主观题中都有涉及,应给予重点关注.(4)在复习中要让学生明确导数作为一种工具在研究函数的变化率、单调性和极值等方面的作用,使学生掌握这种科学的工具,从而加深对函数的理解和直观认识.(5)重视渗透数学思想方法.函数这一部分重要的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、等价转化思想和数形结合思想,数学方法有配方法、换元法、待定系数法、比较法以及构造法等.数学思想方法是以具体的知识为依托的,在复习教学中,要重视知识的形成过程,着重研究解题的思维过程,有意识地渗透思想方法,使学生从更高层次去领悟、把握、反思数学知识,增强数学意识,提高数学能力.3.课时安排本单元包括12讲、三个小题必刷卷、一个解答必刷卷.每讲建议1课时完成,其中第14讲4课时,三个小题必刷卷、一个解答必刷卷建议学生独立完成,本单元大约共需15课时.第4讲函数概念及其表示考试说明 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需求选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅱ]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=[解析] D y=10lg x=x,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D满足题意.2.[2015·全国卷Ⅱ]设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12[解析] C因为f(-2)=1+log24=3,f(log212)==6,所以f(-2)+f(log212)=9,故选C.3.[2017·全国卷Ⅲ]设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是.[答案][解析]f(x)=f(x)+f>1,即f>1-f(x),由图像变换可画出y=f与y=1-f(x)的大致图像如图所示:易得两图像的交点为,则由图可知,满足f>1-f的x的取值范围为.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=()A.2B.4C.6D.8[解析] C当0<a<1时,a+1>1,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1)=2a,解得a=,此时f=f(4)=2×(4-1)=6;当a≥1时,a+1≥2,由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),此时方程无解.综上可知,f=6,故选C.2.[2017·天津卷]已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥+a在R上恒成立,则a 的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2,2]C.[-2,2]D.[-2,2][解析] A方法一:由题意可知,函数y=f(x)的图像恒不在函数y=+a的图像下方,画出函数y=f(x)和函数y=的图像,如图所示.当a=0时,显然f(x)>+a;当a<0时,函数y=+a的图像由函数y=的图像向右平移|2a|个单位得到,由图可知,当函数y=+a在x<-2a部分的图像经过点(0,2)时,a取得最小值,此时a=-2;当a>0时,函数y=+a的图像由函数y=的图像向左平移2a个单位得到,由图可知,当函数y=+a在x>-2a部分的图像经过点(0,2)或与函数y=f(x)在x>1部分的图像相切时,a 取得最大值,而经过点(0,2)时,a=2,当函数y=+a在x>-2a部分的图像与函数y=f(x)在x>1部分的图像相切时,设切点为P(x0,y0)(x0>1),因为x>1时,f'(x)=1-,则1-=,解得x0=2,所以y0=3,又点P(2,3)在函数y=+a在x>-2a部分的图像上,所以+a=3,解得a=2,因此a的最大值为2.综上所述,a的取值范围是[-2,2].方法二:不等式f(x)≥+a转化为-f(x)≤+a≤f(x),当x<1时,有-|x|-2≤+a≤|x|+2,即-|x|-2-≤a≤|x|+2-.又∵当x<0时,-|x|-2-=-2<-2,|x|+2-=-+2>2,当0≤x<1时,-|x|-2-=--2≤-2,|x|+2-=+2≥2,∴-2≤a≤2;当x≥1时,有-x-≤+a≤x+,即-x-≤a≤x+,又∵-x-≤-2,x+≥2,∴-2≤a≤2.综上,-2≤a≤2.3.[2016·江苏卷]函数y=的定义域是.[答案][-3,1][解析]令3-2x-x2≥0可得x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,故所求函数的定义域为[-3,1].【课前双基巩固】知识聚焦1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定f:A→B f:A→B2.定义域值域定义域值域3.解析法图像法列表法4.对应关系对点演练1.④[解析]①②对于定义域内任给的一个数x,可能有两个不同的y值,不满足对应的唯一性,故①②错;③的定义域是空集,而函数的定义域是非空的数集,故③错;只有④表示函数.2.-1[解析]因为f(e)=ln e-2=-1,所以f[f(e)]=f(-1)=-1+a=2a,解得a=-1.3.(-∞,-3)∪(-3,8][解析]要使函数有意义,则8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,所以其定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].4.7[解析]值域C可能为:只含有一个元素时有{a},{b},{c};有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c};有三个元素时有{a,b,c}.所以共有7种.5.③[解析]对于③,因为当x=4时,y=×4=∉Q,所以③不是函数.6.(-∞,-2]∪[0,10][解析]∵f(x)是分段函数,∴f(x)≥1应分段求解.当x<1时,f(x)≥1⇒(x+1)2≥1⇒x≤-2或x≥0,∴x≤-2或0≤x<1.当x≥1时,f(x)≥1⇒4-≥1,即≤3,∴1≤x≤10.综上所述,x≤-2或0≤x≤10,即x∈(-∞,-2]∪[0,10].7.x2-1(x≥0)[解析]令t=,则t≥0,x=t2,所以f(t)=t2-1(t≥0),即f(x)=x2-1(x≥0).8.9[解析]设函数y=x2的定义域为D,其值域为{1,4},D的所有可能的个数,即是同族函数的个数,D的所有可能为{-1,2},{-1,-2},{1,2},{1,-2},{-1,1,2},{-1,1,-2},{-1,2,-2},{1,2,-2},{-1,1,2,-2},共9个,故答案为9.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)求出函数y=e ln x的定义域和值域,再求出选项中的函数的定义域和值域,比较可得结论;(2)根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可.(1)C(2)C[解析](1)函数y=e ln x的定义域和值域均为(0,+∞).函数y=x的定义域和值域都是R,不满足要求;函数y=ln x的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=10x的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.故选C.(2)由题意得解得-1≤x<2,故函数的定义域是[-1,2).例2[思路点拨](1)依题意得出-1≤x2-3<1,解之可得定义域;(2)由x∈[-1,2],求得2x的范围为,4,再由≤log2x≤4,即可求出函数的定义域.(1)(-2,-]∪[,2)(2)[,16][解析](1)由题意知解得所以函数的定义域为(-2,-]∪[,2).(2)由已知x∈[-1,2],得2x∈,4,故f(x)的定义域为,4,所以在函数y=f(log2x)中,有≤log2x ≤4,解得≤x≤16,故f(log2x)的定义域为[,16].例3[思路点拨](1)根据函数有定义列出不等式组,求得定义域,再对a分类讨论得a的范围;(2)分m等于0和不等于0两种情况分析.(1) B(2)[0,+∞)[解析](1)函数f(x-a)+f(x+a)的定义域为[a,1+a]∩[-a,1-a],当a≥0时,应有a≤1-a,即0≤a≤;当a<0时,应有-a≤1+a,即-≤a<0.所以a的取值范围是-,.故选B.(2)当m=0时,y=,其定义域为R;当m≠0时,由定义域为R可知,mx2-6mx+9m+8≥0对一切实数x 均成立,于是有解得m>0.综上可知,实数m的取值范围为[0,+∞).强化演练1.C[解析]因为函数y=f(x)的定义域是[-2,3],所以-2≤2x-1≤3,可得-≤x≤2,即y=f(2x-1)的定义域是-,2,故选C.2.A[解析]函数y=f(x)的定义域是[0,2],要使函数g(x)有意义,可得解得0≤x<1,故选A.3.(0,1][解析]函数的定义域满足解得∴0<x≤1,故填(0,1].4.∪[解析]易知a=0不合题意.当a>0时,必有ax2+x+a>0在R上恒成立,即1-4a2<0,所以a>;当a<0时,必有ax2+x+a<0在R上恒成立,即1-4a2<0,所以a<-.所以实数a的取值范围是-∞,-∪,+∞.5.(-∞,-2]∪[解析]由已知得A={x|x<-1或x≥1},B={x|(x-a-1)(x-2a)<0},由a<1得a+1>2a,∴B={x|2a<x<a+1}.∵B⊆A,∴a+1≤-1或2a≥1,∴a≤-2或≤a<1.∴a的取值范围为a ≤-2或≤a<1.例4[思路点拨](1)用换元法,令s=-1(s>-1),求出f(s)即可;(2)用待定系数法;(3)用构造法,根据已知方程构造含有f(x)和f的方程组.(1)ln (x>-1)(2)x2-x+5(3)--[解析](1)令s=-1(s>-1),则x=,所以f(s)=ln (s>-1),即f(x)=ln (x>-1).(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=5,得c=5,又f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+5-(ax2+bx+5)=x-1,则2ax+a+b=x-1,所以即所以f(x)=x2-x+5.(3)在f(x)=3·f+1中,将x换成,则换成x,得f=3·f(x)+1,将该方程代入已知方程消去f,得f(x)=--.变式题(1)x2-1(x≥1)(2)-x(x+1)(3)lg(x+1)+lg(1-x)(-1<x<1)[解析](1)令+1=t(t≥1),则x=(t-1)2,代入原式得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥1).(2)当-1≤x<0时,0≤x+1<1,由已知得f(x)=f(x+1)=-x(x+1).(3)当x∈(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1)①.将x换成-x,则-x换成x,得2f(-x)-f(x)=lg(-x+1)②.由①②消去f(-x)得,f(x)=lg(x+1)+lg(1-x)(-1<x<1).例5[思路点拨](1)先求f(-1),再求f[f(-1)]的值;(2)根据自变量的不同取值选择不同的分段解析式求解.(1)(2)4[解析](1)∵函数f(x)=∴f(-1)=1-2-1=,f[f(-1)]=f==.(2)∵f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,∴f(3)+f(4)=2+log636=4.例6[思路点拨]分别就自变量在不同区间上分类求解.B[解析]因为f(x)=所以若f(a)=2,则当a≥0时,2a-2=2,解得a=2;当a<0时,-a2+3=2,得a=-1.综上a的取值为-1或2.例7[思路点拨](1)分a≤0与a>0讨论求解不等式f(a)>,得a的范围;(2)利用分段函数化简,由里及外列出方程求解即可.(1)D(2)2[解析](1)当a≤0时,2a>,解得-1<a≤0;当a>0时,lo a>,解得0<a<.∴a∈(-1,0]∪0,,即a∈-1,.(2)易知f(4)=0,则f[f(4)]=f(0)=1+a3=,解得a=2.强化演练1.B[解析]∵2+log31<2+log32<2+log33,即2<2+log32<3,∴f(2+log32)=f(2+log32+1)=f(3+log32),又3<3+log32<4,∴f(3+log32)==×=×(3-1=×=×=×=,∴f(2+log32)=.2.B[解析]由f(0)=2,f(-1)=3可得1+b=2,a-1+b=3,可得a=,b=1,所以f(x)=那么f[f(-3)]=f+1=f(9)=lo9=-2.3.B[解析]当2-a≥2,即a≤0时,22-a-2-1=1,解得a=-1;当2-a<2,即a>0时,-log2[3-(2-a)]=1,解得a=-,不符合,舍去.所以a=-1.4.D[解析]∵函数f(x)=且f(a)≥2,∴或即a≤-1或a≥0.5.C[解析]由已知函数和f[f(a)]=2f(a),得f(a)≥1.若a<1,则3a-1≥1,解得a≥,此时≤a<1;若a≥1,则2a≥1,解得a≥0,此时a≥1.综上可知a≥,即a的取值范围是.【备选理由】例1考查抽象函数的定义域问题;例2利用值域求参数,考查分段函数的图像与性质以及数形结合思想;例3考查分段函数与不等式的问题,体会数形结合思想在解题中的应用.1[配合例2使用]已知函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],则函数f(x)的定义域为.[答案][-1,5][解析]因为函数f(3-2x)的定义域为[-1,2],所以-1≤x≤2,所以-4≤-2x≤2,所以-1≤3-2x≤5,所以f(x)的定义域为[-1,5].2[配合例3使用][2017·重庆二诊]设函数f(x)=若f(x)在区间[m,4]上的值域为[-1,2],则实数m的取值范围为.[答案][-8,-1][解析]由题意,可以考虑采用数形结合法,作出函数f(x)的图像(如图),当x≤-1时,函数f(x)=log2单调递减,且最小值为f(-1)=-1,则令log2=2,解得x=-8;当x>-1时,函数f(x)=-x2+x+在(-1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,则最大值为f(2)=2,且f(4)=<2,f(-1)=-1.综上得所求实数m的取值范围为[-8,-1].3[配合例7使用]设函数f(x)=若f[f(a)]≤2,则实数a的取值范围是.[答案](-∞,][解析]函数f(x)=的图像如图所示,由f[f(a)]≤2,可得f(a)≥-2.当a<0时,f(a)=a2+a=a+2-≥-2恒成立;当a≥0时,f(a)=-a2≥-2,即a2≤2,得0≤a≤.则实数a的取值范围是a≤.第5讲函数的单调性与最值考试说明 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数图像分析函数的性质.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题现1.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)[解析] D函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).2.[2017·全国卷Ⅰ]函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3][解析]D因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因为f(x)单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范围为[1,3].■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·天津卷]已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a[解析] C由函数f(x)为奇函数且在R上单调递增,可知当x>0时,f(x)>0,∴g(x)=xf(x)为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,∴c=g(3)>a=g(-log25.1)=g(log25.1)>g(2),b=g(20.8)<g(2),∴b<a<c.2.[2017·北京卷]已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数[解析] A因为f(-x)=3-x-=-3x=-3x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.又因为y=3x为增函数,y=为减函数,所以f(x)=3x-为增函数.故选A.3.[2017·山东卷]若函数e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是()A.f(x)=2-xB.f(x)=x2C.f(x)=3-xD.f(x)=cos x[解析]A令g(x)=e x f(x).对于A,f(x)的定义域为R,g(x)=e x2-x=在R上单调递增,所以f(x)具有M 性质;对于B,f(x)的定义域为R,g(x)=e x x2,g'(x)=e x x2+2e x x=e x(x2+2x)≥0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,所以f(x)不具有M性质;对于C,f(x)的定义域为R,g(x)=e x3-x=在R上单调递减,所以f(x)不具有M性质;对于D,f(x)的定义域为R,g(x)=e x cos x,g'(x)=e x cos x-e x sin x=e x(cos x-sin x)≥0在R上不恒成立,所以g(x)在R上不单调递增,所以f(x)不具有M性质.故选A.4.[2016·北京卷]已知x,y∈R,且x>y>0,则()A.->0B.sin x-sin y>0C.x-y<0D.ln x+ln y>0[解析] C选项A中,因为x>y>0,所以<,即-<0,故结论不成立;选项B中,当x=,y=时,sin x-siny<0,故结论不成立;选项C中,函数y=x是定义在R上的减函数,因为x>y>0,所以x<y,所以x-y<0;选项D中,当x=e-1,y=e-2时,结论不成立.5.[2017·江苏卷]已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.[答案][解析]因为f(-x)=-x3+2x+e-x-e x=-f(x),f(0)=0,所以f(x)是奇函数,则f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤f(1-a).又f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2=3x2≥0,所以f(x)在R上单调递增,则2a2≤1-a,即-1≤a≤.【课前双基巩固】知识聚焦1.f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的2.增函数或减函数区间D3.f(x)≥M f(x0)=M对点演练1.a<[解析]当2a-1<0,即a<时,f(x)是R上的减函数.2.(2,3][-3,2][解析]由函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的图像即可得到单调区间.3.[解析]函数f(x)=在[2,5]上是减函数,所以最大值为f(2)=1,最小值为f(5)=.所以最大值与最小值之和为1+=.4.a≤2[解析]因为函数f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是[a,+∞),当f(x)在[2,+∞)上单调递增时,满足[2,+∞)⊆[a,+∞),所以a≤2.5.[解析]函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-+,x∈(-1,4)的单调递减区间为,∴函数f(x)的单调递减区间为.6.[解析]由题知函数f(x)是R上的减函数,于是有由此解得a≤,即实数a的取值范围是.7.[-1,1)[解析]由条件知解得-1≤a<1.8.(1)a≤-3(2)-3[解析](1)函数图像的对称轴为直线x=1-a,由1-a≥4,得a≤-3. (2)函数图像的对称轴为直线x=1-a,由1-a=4,得a=-3.【课堂考点探究】例1[思路点拨]直接判断单调性即可,按照单调性的定义证明单调性.解:该函数在(-1,1)上单调递减.证明如下:设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-==.∵-1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(-1)(-1)>0.又a>0,∴f(x1)-f(x2)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减.变式题C[解析]对于A,在(0,+∞)上单调递减,故A错;对于B,在(0,+∞)上先减后增,故B错;对于C,在(0,+∞)上单调递增,故C对;对于D,在(0,+∞)上单调递减,故D错.选C.例2[思路点拨](1)先求出函数y=x2-2x-8在y>0时的单调递增区间,再根据复合函数的单调性的性质判断f(x)的单调性;(2)作出函数g(x)的图像,由图像可得单调区间.(1)D(2)[0,1)[解析](1)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).(2)由题意知g(x)=该函数图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).变式题(1)B(2)(-∞,2][解析](1)令t=2x2-3x+2,则y=,由复合函数的单调性易知在上单调递增,故选B.(2)因为f(x)在R上单调递增,所以a-1>0,即a>1,因此g(x)的单调递减区间就是y=|x-2|的单调递减区间(-∞,2].例3[思路点拨](1)转化为同底的指数函数、对数函数,依据它们的单调性比较大小;(2)由已知可知f(x)-ln x为定值,设为t,则f(x)=ln x+t,求出t,再结合函数的单调性分析可得答案.(1)C(2)c>a>b[解析](1)因为a=log52<log5=,b=>=1,c=log73∈(log7,log77)即c∈,1,故b>c>a.故选C.(2)根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-ln x]=e+1,又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,则f(x)-ln x为定值,设t=f(x)-ln x,则f(x)=ln x+t.又由f(t)=e+1,即ln t+t=e+1,解得t=e,则f(x)=ln x+e(x>0),则f(x)为增函数.又由==,==,log2π>1,则有<<log2π,则有c>a>b.例4[思路点拨](1)构造函数,利用单调性把求解的不等式中的函数符号去掉,得出一般的不等式,解该不等式;(2)可判断出f(x)为增函数,于是可将函数不等式转化为常规不等式. (1)D(2)(1,2)[解析](1)由已知条件知,f(x1)-x1<f(x2)-x2对任意x1<x2恒成立,故函数g(x)=f(x)-x为R上的增函数,且g(-3)=f(-3)-(-3)=-1.不等式f>lo|3x-1|-1,即f(lo|3x-1|)-lo|3x-1|>-1,即g(lo|3x-1|)>g(-3),所以lo|3x-1|>-3,得0<|3x-1|<8,解得x<2且x ≠0,故所求不等式的解集为(-∞,0)∪(0,2).(2)因为y=e x,y=x3在R上均为增函数,所以函数f(x)为增函数,所以不等式f(x2)<f(3x-2)等价于x2<3x-2,即x2-3x+2<0⇔1<x<2,故x∈(1,2).例5[思路点拨]变换函数解析式,利用常见函数的单调性确定f(x)的单调性,从而得到函数的最大值和最小值.4033[解析]f(x)=+2016sin x=+2016sin x=2017-+2016sin x.显然该函数在区间-,上单调递增,故最大值为f,最小值为f-,所以M+N=f+f-=2017-+2016+2017--2016=4034--=4034-1=4033.例6[思路点拨]根据一次函数以及指数函数的单调性得到不等式组,解出即可.D[解析]由题意得解得≤a<3,故选D.强化演练1.B[解析]根据题意可知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.而1<log47<log49=log23,0<0.20.6<0.20=1,所以log23>log47>0.20.6,所以b<a<c.2.(-,-2)∪(2,)[解析]因为函数f(x)=ln x+2x在定义域上单调递增,且f(1)=ln 1+2=2,所以由f(x2-4)<2得f(x2-4)<f(1),所以0<x2-4<1,解得-<x<-2或2<x<.3.1[解析]当x>1时,y=lo x是减函数,得y<0;当x≤1时,y=-x2+2x=-(x-1)2+1在(-∞,1]上单调递增,得y≤1.综上得f(x)的最大值是1.4.1[解析]∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的图像关于直线x=1对称,∵函数f(x)=2|x-a|(a∈R)的图像以直线x=a为对称轴,∴a=1,∴f(x)在[1,+∞)上单调递增.∵f(x)在[m,+∞)上单调递增,∴m≥1,则m的最小值为1.5.a≥-[解析]若函数f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)上单调递增,则函数g(x)=ax2+x在(0,1)上单调递增且g(x)>0恒成立.当a=0时,g(x)=x在(0,1)上单调递增且g(x)>0,符合题意;当a>0时,g(x)图像的对称轴为x=-<0,且有g(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,符合题意;当a<0时,需满足g(x)图像的对称轴x=-≥1,且有g(x)>0,解得a≥-,则-≤a<0.综上,a≥-.【备选理由】例1为抽象函数单调性的判断与证明问题,目的是让学生掌握抽象函数单调性的解决方法;例2为利用指数函数、对数函数的单调性比较大小问题;例3为利用分段函数的单调性解决不等式恒成立问题,需要对所给函数的单调性进行判断,进而将所要求解的不等式转化为常规不等式.1[配合例1使用][2018·南阳一中月考]已知x≠0时,函数f(x)>0,对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1).(1)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;(2)若a≥0且f(a+1)≤,求a的取值范围.解:(1)f(x)在[0,+∞)上单调递增.证明如下:设0≤x1<x2,∴0≤<1,f(x1)=f=f·f(x2).∵当0≤x<1时,f(x)∈[0,1),∴f<1,∴f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)∵f(27)=9,又f(3×9)=f(3)·f(9)=f(3)·f(3)·f(3)=[f(3)]3,∴9=[f(3)]3,即f(3)=.∵f(a+1)≤,∴f(a+1)≤f(3).∵a≥0,∴a+1∈[1,+∞),∴a+1≤3,即a≤2,又a≥0,故0≤a≤2.2[配合例3使用][2017·重庆第二外国语学校月考]设a=,b=,c=ln ,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b[解析] B∵0<a=<b==,c=ln <ln 1=0,∴b>a>c.3[配合例4使用][2017·长安一中质检]已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2)B.(-∞,0)C.(0,2)D.(-2,0)[解析] A二次函数y=x2-4x+3图像的对称轴是直线x=2,∴该函数在(-∞,0]上单调递减,∴x2-4x+3≥3,同样可知函数y=-x2-2x+3在(0,+∞)上单调递减,∴-x2-2x+3<3,∴f(x)在R上单调递减.∴由f(x+a)>f(2a-x)得到x+a<2a-x,即2x<a,∴2x<a在[a,a+1]上恒成立,∴2(a+1)<a,∴a<-2,∴实数a的取值范围是(-∞,-2).故选A.第6讲函数的奇偶性与周期性考试说明 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ]函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3][解析]D因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=1,不等式-1≤f(x-2)≤1,即f(1)≤f(x-2)≤f(-1),因为f(x)单调递减,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故x的取值范围为[1,3].2.[2014·全国卷Ⅰ]设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数[解析] C由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.3.[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.[答案] 12[解析]因为函数f(x)为奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.4.[2015·全国卷Ⅰ]若函数f(x)=x ln(x+)为偶函数,则a=.[答案] 1[解析]由f(-x)=f(x)得-x ln(-x+)=x ln(x+),即x[ln(x+)+ln(-x+)]=x ln a=0对定义域内的任意x 恒成立,因为x不恒为0,所以ln a=0,所以a=1.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数[解析] A因为f(-x)=3-x-=-3x=-3x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.又因为y=3x为增函数,y=为减函数,所以f(x)=3x-为增函数.故选A.2.[2016·山东卷]已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f x+=f x-.则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2[解析] D∵当x>时,f x+=f x-,∴f(x)的周期为1,则f(6)=f(1).又∵当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),∴f(1)=-f(-1).又∵当x<0时,f(x)=x3-1,∴f(-1)=(-1)3-1=-2,∴f(6)=-f(-1)=2.3.[2017·山东卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.[答案] 6[解析]由f(x+4)=f(x-2)可知周期T=6,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1),又因为f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.4.[2016·江苏卷]设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=其中a∈R.若f-=f,则f(5a)的值是.[答案]-[解析]因为f(x)的周期为2,所以f-=f-=-+a,f=f=,即-+a=,所以a=,故f(5a)=f(3)=f(-1)=-.5.[2016·四川卷]已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-+f(1)=.[答案]-2[解析]因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)=f(x+2).因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以f(1)=f(-1),f(1)=-f(-1),即f(1)=0.又f=f=-f,f==2,所以f=-2,从而f+f(1)=-2.【课前双基巩固】知识聚焦1.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y轴原点2.f(x+T)=f(x)最小的正数最小正数对点演练1.2[解析]f(x)=x2-1和f(x)=x2+cos x为偶函数.2.减减[解析]根据奇偶函数图像的对称性可得.3.1-[解析]f(-2)=-f(2)=-(-1)=1-.4.1[解析]因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2017)=f(672×3+1)=f(1)=log4(12+3)=1.5.奇[解析]由得-1<x<1且x≠0,∴函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).∴f(x)==,∴f(-x)==-f(x),∴f(x)是奇函数.6.①③[解析]对于①,f=-x=-f(x),满足题意;对于②,f=+=f(x)≠-f(x),不满足题意;对于③,f=即f=故f=-f(x),满足题意.7.2[解析]∵f(x)=-f,∴f(x+3)=f=-f=f(x),∴f(2017)=f(3×672+1)=f(1)=2.8.[解析]设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+4(-x)-3]=-x2+4x+3,由奇函数的定义可知f(0)=0,所以f(x)=【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)利用函数奇偶性的性质直接判断;(2)对于①②两个函数,先求定义域,再等价化简函数解析式,然后用奇偶性的性质判断,对于③可用图像法判断.(1)C(2)C[解析](1)因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),于是f(-x)·g(-x)=-f(x)g(x),即f(x)g(x)为奇函数,A错误;|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)为偶函数,B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即f(x)|g(x)|为奇函数,C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,即|f(x)g(x)|为偶函数,所以D错误.故选C.(2)①中,易知函数的定义域为{-,},所以f(x)=0,所以f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),所以①既是奇函数又是偶函数;②中,由得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,所以x-3<0,所以f(x)=,验证知f(-x)=-f(x)成立,所以②是奇函数;作出图像(图略),知③是奇函数.故选C.变式题(1)A(2)D[解析](1)易知h(x)=f(x)+g(x)的定义域为{x|x≠0}.因为f(-x)+g(-x)=+=--=-=+=f(x)+g(x),所以h(x)=f(x)+g(x)是偶函数.故选A.(2)对于选项A,函数的定义域为R,f(-x)=-x+sin 2(-x)=-(x+sin 2x)=-f(x),所以f(x)=x+sin 2x 为奇函数;对于选项B,函数的定义域为R,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos x=f(x),所以f(x)=x2-cos x 为偶函数;对于选项C,函数的定义域为R,f(-x)=3-x-=-3x-=-f(x),所以f(x)=3x-为奇函数;只有f(x)=x2+tan x既不是奇函数也不是偶函数.故选D.例2[思路点拨](1)先确定函数f(x)在0,上的零点情况,再据周期性确定在区间(0,6]上的零点个数;(2)由条件f(x+2)=可得出函数的周期为4,再求f(2018).(1)B(2)A[解析](1)由f x-=f x+得f x+=f(x),即函数是周期为的周期函数.∵当x ∈0,时,f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,得x2-x+1=1,解得x=1(x=0舍去),又∵函数f(x)的周期为,∴方程f(x)=0在区间(0,6]上的解有1,,4,,共4个.(2)由f(x+2)=,得f(x+4)==f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2018)=f(2).因为f(2+2)=,所以f(2)=-=-=-2-.故f(2018)=-2-.变式题803[解析]依题意,f(1)=f(1+3)=f(4)=3×4-1=11,f(2)=3×2-1=5,f(3)=3×3-1=8,所以f(1)+f(2)+f(3)=24,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=33[f(1)+f(2)+f(3)]+f(100)=33×24+f(1)=792+11=803.例3[思路点拨](1)利用偶函数将求f(-)转化为求f();(2)观察函数的结构可整理成含有一个奇函数与一个常函数的和的形式,根据奇函数的最大值与最小值和为零求值.(1)B(2)C[解析](1)∵f(x)为偶函数,∴f(-)=f(),又当x>0时,f(x)=log2x,∴f()=log2=,即f(-)=.(2)f(x)==2+,设g(x)=,∵g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数,∴g(x)max+g(x)min=0.∵M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,∴M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4.例4[思路点拨](1)函数只有一个零点,所以f(2x2+1)+f(λ-x)=0有唯一解,即f(2x2+1)=f(x-λ)有唯一解,再求解;(2)函数为偶函数,所以不等式f(a-2)>0等价为f(|a-2|)>f(2),再据单调性求解.(1)C(2)D[解析](1)令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,因为f(x)是奇函数,所以f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ).又因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ只有一个根,即2x2-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.(2)∵偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),∴函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(2)=0,∴不等式f(a-2)>0等价为f(|a-2|)>f(2),即|a-2|>2,即a-2>2或a-2<-2,解得a>4或a<0.例5[思路点拨](1)由f(x)是奇函数且f(x+1)为偶函数,可得出函数是周期为4的周期函数;(2)由题意可得偶函数y=f(x)是周期为4的函数,f(x)=sin |x|是偶函数,作出函数的图像,两函数图像交点的个数即为所求根的个数.(1)B(2)10[解析](1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,且有f(x)=-f(-x),即有f(x+1)=-f(-x-1),又∵f(x+1)为偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),∴f(-x+1)=-f(-x-1),即f(x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为4的周期函数,∴f(2016)+f(2017)=f(504×4)+f(1+504×4)=f(0)+f(1)=0+1=1.(2)∵函数y=f(x)为偶函数,且满足f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),∴偶函数y=f(x)是周期为4的函数.由x∈[0,2]时,f(x)=2-x2可作出函数f(x)在[-10,10]上的图像,同时作出函数y=sin |x|在[-10,10]上的图像,交点个数即为所求根的个数.数形结合可得交点个数为10.例6[思路点拨](1)由函数f(x)是偶函数和周期函数,得出函数在[3,6]上的单调性,再进行判断;(2)由已知得出函数在x∈0,时单调递增,且f(x)>0,进而根据奇函数得出x∈-,0时的单调情况,再据周期性得出在区间1,上的情况.(1)B(2)D[解析](1)依题意知,f(x)是偶函数,且是以6为周期的周期函数.因为当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,所以f(x)在[-3,0]上单调递减.根据函数周期性知,函数f(x)在[3,6]上单调递减.又因为[4,5]⊆[3,6],所以函数f(x)在[4,5]上单调递减.(2)当x∈0,时,由f(x)=lo(1-x)可知f(x)单调递增且f(x)>0,又函数为奇函数,所以在区间-,0上函数也单调递增,且f(x)<0.由f x+=f(x)知,函数的周期为,所以在区间1,上,函数单调递增且f(x)<0.故选D.强化演练1.B[解析]由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数知f(-x)=f(x),f(x+2)=f(-x+2)=f(x-2),故f(x)=f(x+4),则F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=,故选B.2.D[解析]根据题意,f(x)为偶函数且在[0,+∞)上单调递增,则f(ln x)<f(2)⇔|ln x|<2,即-2<ln x<2,解得e-2<x<e2,即x的取值范围是(e-2,e2).3.D[解析]因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).4.-[解析]由题意可知,f=f=-f=-2××=-.5.[解析]依题意知,函数f(x)为奇函数且周期为2,所以f+f(1)+f+f(2)+f=f+f(1)+f+f(0)+f=f+f(1)-f+f(0)+f=f+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.【备选理由】例1增加了函数的奇偶性与函数的对称性结合的问题,有利于从不同角度认识图形与性质;例2考查奇偶性的应用,即利用奇偶性求函数值,注意两个函数之间的关系与联系;例3为奇偶性与单调性结合的题目,要在利用奇函数性质求出函数中的参数后,再结合单调性求解不等式;例4为函数的奇偶性、单调性、周期性及函数的零点等综合的问题,性质涉及多,难度大,需要利用各函数性质及数形结合思想求解.1[配合例3使用]设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,设h(x)=|f(x-1)|+g(x-1),则下列结论中正确的是()A.h(x)的图像关于点(1,0)对称B.h(x)的图像关于点(-1,0)对称C.h(x)的图像关于直线x=1对称D.h(x)的图像关于直线x=-1对称[解析] C因为f(x)是奇函数,所以|f(x)|是偶函数,于是|f(x)|和g(x)都是偶函数,它们的图像都关于y轴对称,所以|f(x-1)|和g(x-1)的图像都关于直线x=1对称,即h(x)=|f(x-1)|+g(x-1)的图像关于直线x=1对称.故选C.2[配合例3使用][2017·怀化四模]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,且当x≥0时,g(x)=log2(x+1),则g(-1)=.[答案]-3[解析]根据题意,f(x)=g(x)+x2,且当x≥0时,g(x)=log2(x+1),则f(1)=g(1)+1=log2(1+1)+1=2,又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-1)=-f(1)=g(-1)+(-1)2=-2,则g(-1)=-3.3[配合例4使用]若函数f(x)=1-是奇函数,则使f(x)≥成立的x的取值范围是.[答案][1,+∞)[解析]由题意得f(x)+f(-x)=0⇒1-+1-=0⇒a=1,所以 1-≥⇒2x≥2⇒x≥1.4[配合例6使用][2018·河南林州一中调研]已知函数y=f(x)是R上的偶函数,满足f(x+2)=f(x-2)+f(2),且当x∈[0,2]时,f(x)=2x-4,令函数g(x)=f(x)-m,若g(x)在区间[-10,2]上有6个零点,分别记为x1,x2,x3,x4,x5,x6,则x1+x2+x3+x4+x5+x6=.。

2020届高考理科数学一轮复习要点+题型解析----导数及其应用

2020届高考理科数学一轮复习要点+题型解析导数及其应用一、导数的运算问题【要点解析】1.基本初等函数的导数公式表2.导数的四则运算法则设f(x)，g(x)是可导的，则(1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)'⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(xgxf＝g(x)f′(x)－f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)．(g(x)≠0)．3.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y 对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【题型解析】【例1】．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.【例2】．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2【解析】：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.【例3】．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 【解析】：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 【答案】：－2二、导数的几何意义【要点解析】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．（1）斜率：αtan )(0='=x f k（2）切点：())(00x f x '，在切线上，也在曲线上。

2020届高考一轮复习数学(理科) 第二章函数、导数及其应用第十节变化率与导数、导数的计算

f(x)＝ax(a＞0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_l_n_a
f(x)＝ln x
f(x)＝logax (a＞0，且 a≠1)
1 f′(x)＝__x___
1 f′(x)＝_x_ln__a_
4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_f_′(_x_)±___g_′(_x_) ___； (2)[f(x)·g(x)]′＝_f_′(_x_)_g_(x_)_＋__f_(x_)_g_′_(x_)____； (3)gf（（xx））′＝f′（x）g（x[g）（－x）f（]2x）g′（x）(g(x)≠0)．
角度求切点坐标【例 2】 (2019·郑州月考)已知曲线 y＝x42－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) 解A．析3：设切点B．的2横坐标为C．x0(1x0>0)，D.12 因为曲线 y＝x42－3ln x 的一条切线的斜率为12，所以 y′＝x2－3x，即x20－x30＝12，解得 x0＝3. 答案：A
[变式训练]
1．若 y＝x－cos
x 2sin
x2，则 y′＝________．
解析：因为 y＝x－12sin x，
所以 y′＝x－12 sin x′＝x′－12sin x′＝1－12cos x. 答案：1－12cos x
2．已知 f(x)＝x2＋2xf′(1)，则 f′(0)＝________．
解析：(1)f′(x0)表示 y＝f(x)在 x＝x0 处的切线斜率， (1)错．
(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则 f′(x)＝－cos x，(2)错． (3)求 f′(x0)时，应先求 f′(x)，再代入求值，(3)错．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√

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人教A版数学（理科）一轮
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第1章集合与常用逻辑用语第一节集合第二节命题及其关系、充分条件与必要条件第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章函数、导数及其应用第一节函数及其表示第二节函数的单调性与最值第三节函数的奇偶性与周期性第四节二次函数与幂函数第五节指数与指数函数第六节对数与对数函数第七节函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教材改编 ) 若集合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第二节两条直线的位置关系第三节圆的方程第四节直线与圆、圆与圆的位置关系第五节椭圆
第1课时椭圆的定义、标准方程及其性质第2课时直线与椭圆的位置关系
第六节双曲线第七节抛物线第八节曲线与方程第九节圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章算法初步、统计与统计案例第一节算法与程序框图第二节随机抽样第三节用样本估计总体第四节变量间的相关关系与统计案例

【导与练】2020版高考理科数学一轮复习：名校题库精品全集(含答案)

第1节集合【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B等于( A )(A){0,2} (B){1,2}(C){0} (D){-2,-1,0,1,2}解析:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.2.已知集合A={x|lg x>0},B={x|x≤1},则( B )(A)A∩B≠∅(B)A∪B=R(C)B⊆A (D)A⊆B解析:由B={x|x≤1},且A={x|lg x>0}=(1,+∞),所以A∪B=R.3.(2018·西安一模改编)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是( B )(A)M=N (B)N M(C)M⊆N (D)M∩N=∅解析:因为M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},所以N={-1,0},于是N M.4.若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=｛-1,0,,2,3｝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( B )(A)1 (B)3 (C)7 (D)31解析:具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},｛,2｝,｛-1,,2｝.5.(2018·石家庄模拟)设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B= {3,5},则∁U(A∪B)等于( D )(A){1,4} (B){1,5}(C){2,5} (D){2,4}解析:由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},所以∁U(A∪B)={2,4}.6.试分别用描述法、列举法两种方法表示“所有不小于3,且不大于200的奇数”所构成的集合.(1)描述法 ;(2)列举法 . 答案:(1){x|x=2n+1,n∈N,1≤n<100}(2){3,5,7,9, (199)7.(2017·江苏卷)已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},则实数a的值为.解析:因为A∩B={1},A={1,2},所以1∈B且2∉B.若a=1,则a2+3=4,符合题意.又a2+3≥3≠1,故a=1.答案:18.(2018·成都检测)已知集合A={x|x2-2 018x-2 019≤0},B={x|x< m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是.解析:由x2-2 018x-2 019≤0,得A=[-1,2 019],又B={x|x<m+1},且A⊆B.所以m+1>2 019,则m>2 018.答案:(2 018,+∞)9.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B= .解析:由x(x+1)>0,得x<-1或x>0.所以B=(-∞,-1)∪(0,+∞),所以A-B=[-1,0).答案:[-1,0)能力提升(时间:15分钟)10.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则(∁R S)∩T等于( C )(A)[2,3](B)(-∞,-2)∪[3,+∞)(C)(2,3)(D)(0,+∞)解析:易知S=(-∞,2]∪[3,+∞),所以∁R S=(2,3),因此(∁R S)∩T= (2,3).11.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由得所以A∩B={(2,-1)}.由M⊆(A∩B),知M= 或M={(2,-1)}.12.(2018·江西省红色七校联考)如图,设全集U=R,集合A,B分别用椭圆内图形表示,若集合A={x|x2<2x},B={x|y=ln(1-x)},则阴影部分图形表示的集合为( D )(A){x|x≤1} (B){x|x≥1}(C){x|0<x≤1} (D){x|1≤x<2}解析:因为A={x|x2<2x}={x|0<x<2},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}={x|x<1},所以∁U B={x|x≥1},则阴影部分为A∩(∁U B)={x|0<x<2}∩{x|x≥1}={x|1≤x<2}.故选D.13.若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为( D )(A)1 (B)-1(C)1或-1 (D)1或-1或0解析:由A∪B=A,可知B A,故B={1}或{-1}或 ,此时m=1或-1或0.故选D.14.(2017·山东卷改编)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,全集U=R,则∁U(A∩B)= .解析:因为4-x2≥0,所以-2≤x≤2,所以A=[-2,2].因为1-x>0,所以x<1,所以B=(-∞,1),因此A∩B=[-2,1),于是∁U(A∩B)=(-∞,-2)∪[1,+∞).答案:(-∞,-2)∪[1,+∞)第2节命题及其关系、充分条件与必要条件【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( D )(A)若方程x2+x-m=0有实根,则m>0(B)若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0(C)若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0(D)若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0解析:根据逆否命题的定义,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( A )(A)若a≤b,则a+c≤b+c(B)若a+c≤b+c,则a≤b(C)若a+c>b+c,则a>b(D)若a>b,则a+c≤b+c解析:将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.3.(2018·山东省日照市模拟)命题p:sin 2x=1,命题q:tan x=1,则p 是q的( C )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由sin 2x=1,得2x=+2kπ,k∈Z,则x=+kπ,k∈Z,由tan x=1,得x=+kπ,k∈Z,所以p是q的充要条件.故选C.4.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由题意知a⊂α,b⊂β,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.5.(2018·云南玉溪模拟)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若函数f(x)=a x在R上是减函数,则a∈(0,1),若函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数,则a∈(0,2).则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件.6.(2018·江西九江十校联考)已知函数f(x)=则“x=0”是“f(x)=1”的( B )(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:若x=0,则f(0)=e0=1;若f(x)=1,则e x=1或ln(-x)=1,解得x=0或x=-e.故“x=0”是“f(x)=1”的充分不必要条件.故选B.7.(2018·北京卷)能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为.解析:只要保证a为正b为负即可满足要求.当a>0>b时,>0>.答案:1,-1(答案不唯一)8.有下列几个命题:①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是.解析:①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,错误.②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,正确.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,正确.答案:②③9.直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点的充要条件是.解析:直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于<,解之得-1<k<3.答案:-1<k<3能力提升(时间:15分钟)10.(2018·天津卷)设x∈R,则“|x-|<”是“x3<1”的( A )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由“|x-|<”等价于0<x<1,而x3<1,即x<1,所以“|x-|<”是“x3<1”的充分而不必要条件.故选A.11.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,则a的取值范围是( A )(A)[1,+∞) (B)(-∞,1](C)[-1,+∞) (D)(-∞,-3]解析:由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,可知﹁p是﹁q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,故a≥1.12.函数f(x)=log a x-x+2(a>0且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是 .解析:若函数f(x)=log a x-x+2(a>0,且a≠1)有两个零点,即函数y=log a x的图象与直线y=x-2有两个交点,结合图象易知,此时a>1.可以检验,当a>1时,函数f(x)=log a x-x+2(a>0,且a≠1)有两个零点, 所以函数f(x)=log a x-x+2(a>0,且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是a>1.答案:a>113.(2018·湖南十校联考)已知数列{a n}的前n项和S n=Aq n+B(q≠0),则“A=-B”是“数列{a n}为等比数列”的条件.解析:若A=B=0,则S n=0,数列{a n}不是等比数列.如果{a n}是等比数列,由a1=S1=Aq+B得a2=S2-a1=Aq2-Aq,a3=S3-S2=Aq3-Aq2,由a1a3=,从而可得A=-B,故“A=-B”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件.答案:必要不充分14.(2018·山西五校联考)已知p:(x-m)2>3(x-m)是q:x2+3x-4<0的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.解析:p对应的集合A={x|x<m或x>m+3},q对应的集合B={x|-4<x<1}.由p是q的必要不充分条件可知B A,所以m≥1或m+3≤-4,即m≥1或m≤-7.答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·咸阳模拟)命题p:∀x<0,x2≥2x,则命题﹁p为( C )(A)∃x0<0,≥(B)∃x0≥0,<(C)∃x0<0,< (D)∃x0≥0,≥解析:全称命题的否定,应先改写量词,再否定结论,所以﹁p:∃x0<0,<.2.(2018·郑州调研)命题p:函数y=log2(x-2)的单调增区间是[1,+∞),命题q:函数y=的值域为(0,1).下列命题是真命题的为( B )(A)p∧q (B)p∨q(C)p∧(﹁q) (D)﹁q解析:由于y=log2(x-2)在(2,+∞)上是增函数,所以命题p是假命题.由3x>0,得3x+1>1,所以0<<1,所以函数y=的值域为(0,1),故命题q为真命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(﹁q)为假命题,﹁q为假命题.3.(2018·贵阳调研)下列命题中的假命题是( C )(A)∃x0∈R,lg x0=1 (B)∃x0∈R,sin x0=0(C)∀x∈R,x3>0 (D)∀x∈R,2x>0解析:当x=10时,lg 10=1,则A为真命题;当x=0时,sin 0=0,则B为真命题;当x<0时,x3<0,则C为假命题;由指数函数的性质知,∀x∈R,2x>0,则D为真命题.4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕,在体操预赛中,有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”,q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( A ) (A)(﹁p)∨(﹁q) (B)p∨(﹁q)(C)(﹁p)∧(﹁q) (D)p∨q解析:命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况:“甲、乙落地均没有站稳”“甲落地没站稳,乙落地站稳”“乙落地没有站稳,甲落地站稳”,故可表示为(﹁p)∨(﹁q).或者,命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定,即“p∧q”的否定.选A.5.(2018·河北省石家庄二中模拟)已知命题p:∃x0∈(0,+∞), ln x0=1-x0,则命题p的真假及﹁p依次为( B )(A)真;∃x0∈(0,+∞),ln x0≠1-x0(B)真;∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x(C)假;∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x(D)假;∃x0∈(0,+∞),ln x0≠1-x0解析:当x0=1时,ln x0=1-x0=0,故命题p为真命题;因为p:∃x0∈(0,+∞),ln x0=1-x0,所以﹁p:∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x.6.命题p“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( D )(A)∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2(B)∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2(C)∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2(D)∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<解析:改变量词,否定结论.所以﹁p应为∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<.7.(2018·河北“五个一”名校联考)命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定是.答案:∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>28.若命题“∃x0∈R,使得+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是.解析:因为“∃x0∈R,使得+(a-1)x0+1<0”是真命题,所以Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,所以a-1>2或a-1<-2,所以a>3或a<-1.答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)9.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:>1,若“(﹁q)∧p”为真,则x的取值范围是.解析:因为“(﹁q)∧p”为真,即q假p真,又q为真命题时,<0,即2<x<3,所以q为假命题时,有x≥3或x≤2.p为真命题时,由x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3.由得x≥3或1<x≤2或x<-3,所以x的取值范围是{x|x≥3或1<x≤2或x<-3}.答案:(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)能力提升(时间:15分钟)10.下列命题中,真命题是( D )(A)∃x0∈R,使得≤0(B)sin2x+≥3(x≠kπ,k∈Z)(C)∀x∈R,2x>x2(D)a>1,b>1是ab>1的充分不必要条件解析:对∀x∈R都有e x>0,所以A错误;当x=-时,sin2x+=-1<3,所以B错误;当x=2时,2x=x2,所以C错误;a>1,b>1⇒ab>1,而当a=b=-2时,ab>1成立,a>1,b>1不成立,所以D 正确.11.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是( D ) (A)(,1) (B)(1,+∞)(C)(,+∞) (D)(,1)∪(1,+∞)解析:因为函数f(x)=a2x-2a+1,命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,所以原命题的否定“∃x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,所以f(1)f(0)<0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<0,所以(a-1)2(2a-1)>0,解得a>,且a≠1.所以实数a的取值范围是(,1)∪(1,+∞).12.(2018·江西红色七校联考)已知函数f(x)=给出下列两个命题:命题p:∃m∈(-∞,0),方程f(x)=0有解,命题q:若m=,则f(f(-1))=0.那么,下列命题为真命题的是( B )(A)p∧q (B)(﹁p)∧q(C)p∧(﹁q) (D)(﹁p)∧(﹁q)解析:因为3x>0,当m<0时,m-x2<0,所以命题p为假命题;当m=时,因为f(-1)=3-1=,所以f(f(-1))=f()=-()2=0,所以命题q为真命题,逐项检验可知,只有(﹁p)∧q为真命题.13.(2018·广东汕头一模)已知命题p:关于x的方程x2+ax+1=0没有实根;命题q:∀x>0,2x-a>0.若“﹁p”和“p∧q”都是假命题,则实数a的取值范围是( C )(A)(-∞,-2)∪(1,+∞) (B)(-2,1](C)(1,2) (D)(1,+∞)解析:因为“﹁p”和“p∧q”都是假命题,所以p真,q假.由p真,得Δ=a2-4<0,解之得-2<a<2.∀x>0,2x-a>0等价于a<2x恒成立,则a≤1.所以q假时,a>1.由得1<a<2,则a的取值范围是(1,2).14.(2018·郑州质量预测)已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈[,1],∃x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是.解析:依题意知f(x)max≤g(x)max.因为f(x)=x+在[,1]上是减函数,所以f(x)max=f()=.又g(x)=2x+a在[2,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)=8+a,因此≤8+a,则a≥.答案:[,+∞)第1节函数及其表示【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.函数g(x)=+log2(6-x)的定义域是( D )(A){x|x>6} (B){x|-3<x<6}(C){x|x>-3} (D){x|-3≤x<6}解析:由解得-3≤x<6,故函数的定义域为{x|-3≤x<6}.故选D.2.设f(x)=则f(f(-2))等于( C )(A)-1 (B) (C) (D)解析:因为-2<0,所以f(-2)=2-2=>0,所以f(f(-2))=f()=1-=1-=.故选C.3.如果f()=,则当x≠0且x≠1时,f(x)等于( B )(A)(x≠0且x≠1) (B)(x≠0且x≠1)(C)(x≠0且x≠1) (D)-1(x≠0且x≠1)解析:令t=,t≠0,则x=,则f()=可化为f(t)==(t≠1),所以f(x)=(x≠0,x≠1).故选B.4.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( D )(A)y=x (B)y=lg x(C)y=2x(D)y=解析:由y=10lg x定义域值域均为(0,+∞),与D符合.故选D.5.下列函数中,与y=x相同的函数是( B )(A)y=(B)y=lg 10x(C)y=(D)y=()2+1解析:对于A,与函数y=x的对应关系不同;对于B,与函数y=x的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;对于C,与函数y=x的定义域不同;对于D,与函数y=x的定义域不同.故选B.6.(2018·西安联考)已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,2](C)[-1,2] (D)[2,5]解析:因为f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,所以当x=2时,f(2)=4,由f(x)=-x2+4x=-5,解得x=5或x=-1,所以要使函数在[m,5]的值域是[-5,4],则-1≤m≤2,故选C.7.(2018·石家庄质检)设函数f(x)=若f(f())=2,则实数a为( D )(A)- (B)- (C)(D)解析:易得f（）=2×+a=+a.当+a<1时,f（f()）=f(+a)=3+3a,所以3+3a=2,a=-,不满足+a<1,舍去.当+a≥1,即a≥-时,f（f()）=log2(+a)=2,解得a=.故选D.8.(2018·西安铁中检测)已知函数f(2x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(log2x)的定义域为.解析:由-1≤x≤1,知≤2x≤2,所以在函数y=f(log2x)中,有≤log2x≤2,因此≤x≤4,即y=f(log2x)的定义域为[,4].答案:[,4]能力提升(时间:15分钟)9.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)等于( A )(A)- (B)- (C)- (D)-解析:当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,不成立,舍去;当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即log2(a+1)=3,解得a=7,此时f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-.故选A.10.已知函数f(x)=则f(x)的值域是( B )(A)[1,+∞) (B)[0,+∞)(C)(1,+∞) (D)[0,1)∪(1,+∞)解析:由f(x)=知当x≤1时,x2≥0;当x>1时,x+-3≥2-3=4-3=1,当且仅当x=,即x=2时取“=”,取并集得f(x)的值域是[0,+∞).故选B.11.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=x+2,则 f(x)等于( A )(A)x+1 (B)2x-1(C)-x+1 (D)x+1或-x-1解析:设f(x)=kx+b(k≠0),又f[f(x)]=x+2,得k(kx+b)+b=x+2,即k2x+kb+b=x+2.所以k2=1,且kb+b=2,解得k=b=1,则f(x)=x+1.故选A.12.(2018·河南八市联合检测)设函数f(x)=若对任意的a∈R都有f(f(a))=2f(a)成立,则λ的取值范围是( C )(A)(0,2] (B)[0,2](C)[2,+∞) (D)(-∞,2)解析:当a≥1时,2a≥2,所以f(f(a))=f(2a)==2f(a)恒成立,当a<1时,f(f(a))=f(-a+λ)=2f(a)=2λ-a,所以λ-a≥1,即λ≥a+1恒成立,由题意,λ≥(a+1)max,λ≥2,综上,λ的取值范围是[2,+∞).故选C.13.(2018·江西上饶质检)已知函数f(x)=若a[f(a)- f(-a)]>0,则实数a的取值范围为( D )(A)(1,+∞)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-1)∪(1,+∞)(D)(-∞,-2)∪(2,+∞)解析:当a>0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+a-3a>0,解得a>2,当a<0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为-a2-2a<0,解得a<-2,综上所述,a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选D.14.设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.解析:当x<1时,e x-1≤2,解得x≤1+ln 2,所以x<1.当x≥1时,≤2,解得x≤8,所以1≤x≤8.综上可知x的取值范围是(-∞,8].答案:(-∞,8]第2节函数的单调性与最值【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·湖北省高三调研)函数f(x)=log a(x2-4x-5)(a>1)的单调递增区间是( D )(A)(-∞,-2) (B)(-∞,-1)(C)(2,+∞) (D)(5,+∞)解析:由t=x2-4x-5>0,得x<-1或x>5,且函数t=x2-4x-5(x<-1或x>5)在区间(5,+∞)上单调递增,又函数y=log a t(a>1)为单调递增函数,故函数f(x)的单调递增区间是(5,+∞).故选D.2.(2018·郑州质检)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( D )(A)y= (B)y=cos x(C)y=ln(x+1) (D)y=2-x解析:因为y=与y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,且y=cos x在(-1,1)上不具备单调性,所以A,B,C不满足题意;只有y=2-x=（）x在(-1,1)上是减函数.故选D.3.(2018·湖师附中)如果f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间（-∞,]上为减函数,则a的取值范围是( C )(A)(0,1] (B)[0,1) (C)[0,1] (D)(0,1)解析:a=0时,f(x)=-2x+1在区间(-∞,]上为减函数,符合题意;当a≠0时,如果f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间(-∞,]上为减函数,必有解得0<a≤1.综上所述,a的取值范围是[0,1],故选C.4.(2018·唐山二模)函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( D )(A)(1,2) (B)(-1,2) (C)[1,2) (D)[-1,2)解析:函数y===-1在区间(-1,+∞)上是减函数,且f(2)=0,所以n=2,根据题意,x ∈(m,n]时,y min =0, 所以m 的取值范围是[-1,2).故选D. 5.设函数f(x)=若f(a+1)≥f(2a-1),则实数a 的取值范围是( B )(A)(-∞,1] (B)(-∞,2] (C)[2,6] (D)[2,+∞)解析:易知函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上是增函数, 因为f(a+1)≥f(2a-1), 所以a+1≥2a-1,解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(-∞,2].故选B. 6.已知f(x)=2x ,a=(),b=(),c=log 2,则 f(a),f(b),f(c)的大小顺序为( B )(A)f(b)<f(a)<f(c) (B)f(c)<f(b)<f(a) (C)f(c)<f(a)<f(b) (D)f(b)<f(c)<f(a) 解析:易知f(x)=2x 在(-∞,+∞)上是增函数, 又a=()=()>()=b>0,c=log 2<0,所以f(a)>f(b)>f(c).故选B.7.(2018·石家庄调研)函数f(x)=()x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为.解析:由于y=()x在R上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.答案:38.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是.解析:由题意知g(x)=函数的图象为如图所示的实线部分,根据图象,g(x)的减区间是[0,1).答案:[0,1)9.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是.解析:法一在同一坐标系中,作函数f(x),g(x)图象,依题意,h(x)的图象如图所示.易知点A(2,1)为图象的最高点,因此h(x)的最大值为h(2)=1.法二依题意,h(x)=当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数,当x>2时,h(x)=3-x是减函数.所以当x=2时,h(x)取最大值h(2)=1.答案:1能力提升(时间:15分钟)10.(2017·全国Ⅰ卷)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( D ) (A)[-2,2] (B)[-1,1] (C)[0,4] (D)[1,3]解析:因为f(x)是奇函数,且f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1.所以f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以-1≤x-2≤1.所以1≤x≤3.故选D.11.(2018·北京海淀期中)若函数f(x)=的值域为[-1,1],则实数a的取值范围是( A )(A)[1,+∞) (B)(-∞,-1](C)(0,1] (D)(-1,0)解析:当x≤a时,f(x)=cos x∈[-1,1],则当x>a时,-1≤≤1,即x≤-1或x≥1,所以a≥1.故选A.12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.解析:因为f(x)在R上是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.则f(2|a-1|)>f(-)=f(),因此2|a-1|<=,又y=2x是增函数,所以|a-1|<,解得<a<.答案:(,)13.(2018·大理月考)已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且f(1)=1,当x1,x2∈[-1,1],且x1+x2≠0时,有>0,若f(x)≤m2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,则实数m的取值范围是.解析:用-x2替换x2,得>0,由于f(x)是奇函数,所以>0,等价于函数f(x)是定义域上的增函数,所以f(x)max=f(1)=1.不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈[-1,1]恒成立,即m2-2am+1≥1对任意a∈[-1,1]恒成立,即2ma-m2≤0对任意a∈[-1,1]恒成立,令g(a)=2ma-m2,则只要即可,解得m≤-2或者m≥2或者m=0.故所求的m的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).答案:(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)14.(2018·成都七中调研)已知函数f(x)=a-.(1)求f(0);(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;(3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解:(1)f(0)=a-=a-1.(2)f(x)在R上单调递增.理由如下:因为f(x)的定义域为R,所以任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a--a+=, 因为y=2x在R上单调递增且x1<x2,所以0<<,所以-<0,+1>0,+1>0.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在R上单调递增.(3)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),则a-=-a+,解得a=1(或用f(0)=0去解).所以f(ax)<f(2)即 f(x)<f(2),又因为f(x)在R上单调递增,所以x<2.所以不等式的解集为(-∞,2).第3节函数的奇偶性与周期性【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·云南玉溪模拟)下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( C )(A)y=|log3x| (B)y=x3(C)y=e|x| (D)y=cos |x|解析:对于A选项,函数定义域是(0,+∞),故是非奇非偶函数;对于B 选项,函数y=x3是一个奇函数,不正确;对于C选项,函数的定义域是R,是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数是增函数,故在(0,1)上单调递增,选项C正确;对于D选项,函数y=cos |x|是偶函数,在(0,1)上单调递减,不正确.故选C.2.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2 019)等于( B )(A)-2 (B)2 (C)-98 (D)98解析:由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1).由-1∈(-2,0)得f(-1)=2,所以f(2 019)=2.故选B.3.(2018·石家庄一模)已知f(x)为偶函数,且当x∈[0,2)时,f(x)=2sin x,当x∈[2,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-)+f(4)等于( D )(A)-+2 (B)1(C)3 (D)+2解析:因为f(-)=f()=2sin =,f(4)=log24=2,所以f(-)+f(4)=+2.4.设函数f(x)=,则下列结论错误的是( D )(A)|f(x)|是偶函数(B)-f(x)是奇函数(C)f(x)·|f(x)|是奇函数(D)f(|x|)·f(x)是偶函数解析:f(-x)==-f(x),所以函数f(x)是奇函数,|f(-x)|=|f(x)|,函数|f(x)|是偶函数,-f(x)是奇函数,f(x)·|f(x)|为奇函数,f(|x|)是偶函数,所以f(|x|)·f(x)是奇函数,所以错的是D.故选D.5.(2018·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g(-8)等于( A )(A)-2 (B)-3 (C)2 (D)3解析:法一当x<0时,-x>0,且f(x)为奇函数,则f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x).因此g(x)=-log3(1-x),x<0,故g(-8)=-log39=-2.法二由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.故选A.6.(2018·南昌模拟)若定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数,则( D )(A)f(2)>f(3) (B)f(2)>f(5)(C)f(3)>f(5) (D)f(3)>f(6)解析:因为y=f(x+4)为偶函数,所以f(-x+4)=f(x+4),因此y=f(x)的图象关于直线x=4对称,所以f(2)=f(6),f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数,所以f(5)>f(6),所以f(3)>f(6).故选D.7.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .解析:由于f(-x)=f(x),所以ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,化简得2ax+3x=0(x∈R),则2a+3=0.所以a=-.答案:-8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)= .解析:f(x+4)=f[(x+2)+2]=-=f(x).故函数的周期为4,所以f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5),因为2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5,所以f(105.5)=2.5.答案:2.59.设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是.解析:由f(x)=ln(1+|x|)-,知f(x)为R上的偶函数,于是f(x)> f(2x-1),即为f(|x|)>f(|2x-1|).当x≥0时,f(x)=ln(1+x)-,所以f(x)为[0,+∞)上的增函数,则由f(|x|)>f(|2x-1|)得|x|>|2x-1|,两边平方,整理得3x2-4x+1<0,解得<x<1.答案:(,1)能力提升(时间:15分钟)10.(2018·吉林省实验中学模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x),当x∈[-2,0]时,f(x)=-2x,则f(1)+f(4)等于( D ) (A)(B)1 (C)-1 (D)-解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,又因为x∈[-2,0]时,f(x)=-2x,所以f(1)+f(4)=f(-1)+f(0)=-2-1-20=--1=-.故选D.11.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是( A )(A)[-3,1](B)[-4,2](C)(-∞,-3]∪[1,+∞)(D)(-∞,-4]∪[2,+∞)解析:f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称,由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.故选A.12.(2017·安徽马鞍山三模)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则f(5)等于( B )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)5解析:因为函数f(x+1),f(x-1)都是奇函数,所以f(1)=f(-1)=0,函数f(x)既关于(1,0)对称,又关于(-1,0)对称, 即f(2-x)=-f(x),f(-2-x)=-f(x),那么f(2-x)=f(-2-x),即f(2+x)=f(-2+x),所以f(x)=f(x+4),因此函数的周期是4,f(5)=f(1)=0.故选B.13.已知奇函数f(x)=则f(-2)的值等于.解析:因为函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0,则30-a=0,所以a=1,所以当x≥0时,f(x)=3x-1,则f(2)=32-1=8,因此f(-2)=-f(2)=-8.答案:-814.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为.解析:因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x,又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,则f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0,所以f(3)=f(5)=f(1)=0,故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.答案:715.(2018·湖北荆州中学质检)若函数f(x)=为奇函数,g(x)=则不等式g(x)>1的解集为.解析:因为f(x)=为奇函数且定义域为R,所以f(0)=0,即=0,解得a=-1,所以g(x)=所以当x>0时,由-ln x>1,解得x∈(0,);当x≤0时,由e-x>1,解得x∈(-∞,0),所以不等式g(x)>1的解集为(-∞,0)∪(0,).答案:(-∞,0)∪(0,)第4节幂函数与二次函数【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.幂函数f(x)=(m2-4m+4)·在(0,+∞)上为增函数,则m的值为( B )(A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2解析:由题意知解得m=1.2.(2018·山东济宁一中检测)下列命题正确的是( D )(A)y=x0的图象是一条直线(B)幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)(C)若幂函数y=x n是奇函数,则y=x n是增函数(D)幂函数的图象不可能出现在第四象限解析:A中,当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图象为一条直线上挖去一点,A错;B中,y=x n,当n<0时,图象不过原点,B不正确.C中,当n<0,y=x n在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数,C错误.幂函数图象一定过第一象限,一定不过第四象限,D正确.3.(2018·郑州检测)若函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)( A )(A)在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增(B)在(-∞,3)上递增(C)在[1,3]上递增(D)单调性不能确定解析:由已知可得该函数图象的对称轴为x=2,又二次项系数为1>0,所以f(x)在(-∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.4.设a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系是( B )(A)a<c<b (B)b<c<a(C)b<a<c (D)c<b<a解析:令函数f(x)=,易知函数f(x)=在(0,+∞)上为增函数,又>,所以a=()>()=c,令函数g(x)=()x,易知函数g(x)=()x在(0,+∞)上为减函数,又>,所以b=()<()=c.综上可知,b<c<a,故选B.5.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是( B )(A)②④(B)①④(C)②③(D)①③解析:因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确;对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y=a-b+c>0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.故选B.6.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,-2) (B)(-2,+∞)(C)(-6,+∞) (D)(-∞,-6)解析:不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max, 令f(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),f(x)<f(4)=-2,所以a<-2.7.二次函数f(x)=2x2+bx+c满足{x|f(x)=x}={1},则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为( C )(A)4 (B)8 (C)16 (D)20解析:由题方程2x2+bx+c=x仅有一个根1,即2x2+(b-1)x+c=0仅有一个根.得b=-3,c=2.f(x)=2x2-3x+2,对称轴为x=,f(x)max=f(-2)=16.故选C.8.(2018·武汉模拟)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .解析:由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称,所以b=-2,所以f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],所以2a2=4,故f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+49.(2018·泉州质检)若二次函数f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值为0,则a+4b的取值范围是.解析:依题意,知a>0,且Δ=1-4ab=0,所以4ab=1,且b>0.故a+4b≥2=2.当且仅当a=4b,即a=1,b=时等号成立.所以a+4b的取值范围是[2,+∞).答案:[2,+∞)能力提升(时间:15分钟)10.在同一坐标系内,函数y=x a(a≠0)和y=ax+的图象可能是( B )解析:若a<0,由y=x a的图象知排除C,D选项,由y=ax+的图象知选项B有可能;若a>0,由y=x a的图象知排除A,B选项,但y=ax+的图象均不适合.综上选B.11.(2018·秦皇岛模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且2是f(x)的一个零点,-1是f(x)的一个极小值点,那么不等式f(x)>0的解集是( C )(A)(-4,2)(B)(-2,4)(C)(-∞,-4)∪(2,+∞)(D)(-∞,-2)∪(4,+∞)解析:依题意,f(x)是二次函数,其图象是抛物线,开口向上,对称轴为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4.因此f(x)= a(x+4)(x-2)(a>0),于是f(x)>0,解得x>2或x<-4.12.(2018·浙江“超级全能生”模拟)已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是( B )(A)[-,] (B)[1,](C)[2,3] (D)[1,2]解析:由于f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为x=t.又y=f(x)在(-∞,1]上是减函数,所以t≥1.则在区间[0,t+1]上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,只需1-(-t2+1)≤2,解得-≤t≤.又t≥1,所以1≤t≤.13.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是.解析:由题意可知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=2(如图),若f(a)≥f(0),从图象观察可知0≤a≤4.答案:[0,4]14.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是.解析:当a=0时,f(x)=2x-3在(-∞,4)上单调递增.当a≠0时,若f(x)在(-∞,4)上单调递增.则解之得-≤a<0.综上可知,实数a的取值范围是[-,0].答案:[-,0]15.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)=所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)由a=1,c=0,得f(x)=x2+bx,从而|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于-1≤x2+bx≤1在区间(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又-x的最小值为0,--x的最大值为-2.所以-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].第5节指数与指数函数【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象可能是( D )解析:若a>1时,y=a x-是增函数;当x=0时,y=1-∈(0,1),A,B不满足;若0<a<1时,y=a x-在R上是减函数;当x=0时,y=1-<0,C错,D项满足.故选D.2.(2018·湖南永州第三次模拟)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( B )(A)y=sin x (B)y=x3(C)y=()x (D)y=log2x解析:y=2x-2-x在(-∞,+∞)上是增函数且是奇函数,y=sin x不单调,y=log2x定义域为(0,+∞),y=()x是减函数,三者不满足,只有y=x3的定义域、单调性、奇偶性与之一致.3.函数f(x)=a x-1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是( A )(A)y= (B)y=|x-2|(C)y=2x-1 (D)y=log2(2x)解析:由题意,得点A(1,1),将点A(1,1)代入四个选项,y=的图象不过点A(1,1).4.设x>0,且1<b x<a x,则( C )(A)0<b<a<1 (B)0<a<b<1(C)1<b<a (D)1<a<b解析:因为x>0时,1<b x,所以b>1.因为x>0时,b x<a x,所以x>0时,()x>1.所以>1,所以a>b.所以1<b<a.5.函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( D )(A)a>1,b<0(B)a>1,b>0(C)0<a<1,b>0(D)0<a<1,b<0解析:由f(x)=a x-b的图象可以观察出,函数f(x)=a x-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=a x-b的图象是在f(x)=a x的基础上向左平移得到的,所以b<0.6.已知f(x)=2x+2-x,f(m)=3,且m>0,若a=f(2m),b=2f(m),c=f(m+2),则a,b,c的大小关系为( D )(A)c<b<a (B)a<c<b(C)a<b<c (D)b<a<c解析:因为f(m)=2m+2-m=3,m>0,所以2m=3-2-m>2,b=2f(m)=2×3=6,a=f(2m)=22m+2-2m=(2m+2-m)2-2=7,c=f(m+2)=2m+2+2-m-2=4·2m+·2-m>8,所以b<a<c.故选D.7.下列说法正确的序号是.①函数y=的值域是[0,4);②(a>0,b>0)化简结果是-24;③+的值是2π-9;④若x<0,则=-x.解析:由于y=≥0(当x=2时取等号),又因为4x>0,所以16-4x<16得y<,即y<4,所以①正确;②中原式====-24,正确;由于+=|π-4|+π-5=4-π+π-5=-1,所以③不正确.由于x<0,所以④正确.答案:①②④8.不等式<4的解集为.解析:因为<4,所以<22,所以x2-x<2,即x2-x-2<0,解得-1<x<2.答案:{x|-1<x<2}9.(2018·鸡西模拟)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .解析:若a>1,则f(x)=a x+b在[-1,0]上是增函数,所以则a-1=0,无解.当0<a<1时,则f(x)=a x+b在[-1,0]上是减函数,所以解得因此a+b=-.答案:-能力提升(时间:15分钟)10.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( B )(A)(-∞,2] (B)[2,+∞)(C)[-2,+∞) (D)(-∞,-2]解析:由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=()|2x-4|.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.11.(2018·湖南郴州第二次教学质量检测)已知函数f(x)=e x-,其中e是自然对数的底数,则关于x的不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为( B )(A)(-∞,-)∪(2,+∞) (B)(2,+∞)(C)(-∞,)∪(2,+∞) (D)(-∞,2)解析:易知f(x)=e x-在R上是增函数,且f(-x)=e-x-=-(e x-)=-f(x),所以f(x)是奇函数.由f(2x-1)+f(-x-1)>0,得f(2x-1)>f(x+1),因此2x-1>x+1,所以x>2.12.(2018·衡阳三中模拟)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是( D )。

高考数学2020届一轮复习专题速递《变化率与导数、导数的计算》

答案 B
5.(2018 天·津卷 )已知函数 f(x)＝ exln x，f′x（)为 f(x)的导函数，则 f ′ (的1)值为 ________.
解析由题意得 f′x（)＝exln x＋ex·1x，则 f′ ()1＝ e.
答案 e
6.(2017 全·国 Ⅰ卷 )曲线
y＝
x2＋
1 x在点
(1，
2)处的切线方程为
4.(2019 榆·林质检 )已知函数 f(x)＝x(2 018＋ln x)，若 f′x（0)＝2 019，则 x0 等于 ( )
A.e2
B.1
C.ln 2
D.e
解析
f′x（)＝2
018＋
ln
x＋x×
1 x＝
2
019＋ln
x.
由 f′x（0)＝2 019，得 2 019＋ ln x0＝2 019，则 ln x0＝0，解得 x0＝1.
基础自测
1.判断下列结论正误 (在括号内打“√”或“×” ) (1)f′x（0)是函数 y＝f(x)在 x＝ x0 附近的平均变化率 .( ) (2)函数 f(x)＝ sin(－x)的导数 f′x（)＝ cos x.( )
(3)求 f ′x（0)时，可先求 f(x0)，再求 f ′x（0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点 .( ) 解析 (1)f′x（0)表示 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率， (1)错 . (2)f(x)＝ sin(－x)＝－ sin x，则 f′x（)＝－ cos x， (2)错 . (3)求 f ′x（0)时，应先求 f′x（)，再代入求值， (3)错 . 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
f′x（)＝ex f′x（)＝ axln__a

高考数学-2020一轮-导数

总结：
等级（SR）
【例 2.2】若函数 f ( x) = x − 13 sin 2x + a sin x 在 (−∞, +∞) 单调递增，则 a
发现点：
等级（SR）
【例
5.2.4】已知函数
f
(x)
=
x
−
1 x
−
a
ln
x
，讨论
f
(x)
的单调性
等级（SR）
【例
5.3.1】已知
f
(x)
=a(x
−
ln
x)
+
2x −1 x2
，
a
∈
R
讨论
f
(x)
的单调性；
总结：
2020高考数学一轮
69
2020 高考数学一轮
数学一轮复习讲义（上）
发现点：
等级 (R)
【例 5.4.1】已知函数 f ( x)= ae2x + (a − 2) ex − x ，讨论 f ( x) 的单调性
y = xex
y = x ln x
y=
x ex
y
=
lnx x
y
=
ex x
y
=
x lnx
新浪微博 @ 凉学长高考数学老师 QQ：406454352
发现点：
四、无参证明题
等级（R）
【例 4.1】 x > 0 时， g ( x) =
ex
−
1 2
x2
−
x
−1 恒大于
0
总结：
2020高考数学一轮
(ln
x) '
=
1 x

2020版导与练一轮复习理科数学习题：第三篇第3节三角恒等变换

第3节三角恒等变换【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·贵阳模拟)设tan(α-)=,则tan(α+)等于( C )(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4解析:因为tan(α-)==,所以tan α=,故tan(α+)==-4.故选C.2.的值为( D )(A)1 (B)-1 (C) (D)-解析:原式====-.故选D.3.(2018·衡水中学模拟)若=-,则cos α+sin α的值为( C )(A)-(B)- (C)(D)解析:因为==-(sin α+cos α)=-,所以cos α+sin α=.4.(2018·佛山模拟)已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,若α,β∈(-,),则α+β等于( D )(A) (B)或-π(C)-或π(D)-π解析:由题意得tan α+tan β=-3,tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β<0,又α,β∈(-,),故α,β∈(-,0),所以-π<α+β<0.又tan(α+β)===,所以α+β=-.5.(2018·牛栏山中学模拟)已知cos2α-cos2β=a,那么sin(α+β)sin(α-β)等于( C )(A)- (B) (C)-a (D)a解析:sin(α+β)sin(α-β)=(sin αcos β+cos α·sin β) ·(sin αcos β-cos αsin β)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-a.故选C.6.(2018·四川遂宁一诊)已知α满足cos 2α=,则cos(+α)cos(-α)等于( A )(A) (B) (C)-(D)-解析:原式=(cos α-sin α)·(cos α+sin α)=(cos2α-sin2α)=cos 2α=.7.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|等于( B )(A)(B) (C)(D)1解析:由cos 2α=,得cos2α-sin2α=,所以=,即=,所以tan α=±,即=±,所以|a-b|=.故选B.8.化简:tan(18°-x)tan(12°+x)+[tan(18°-x)+tan(12°+x)]= .解析:因为tan[(18°-x)+(12°+x)]==tan 30°=,所以tan(18°-x)+tan(12°+x)=[1-tan(18°-x)tan(12°+x)],于是原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+×[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]=1.答案:1能力提升(时间:15分钟)9.(2018·保定一模)2002年国际数学家大会在北京召开,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,则sin(θ+)-cos(θ+)等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:设直角三角形中较小的直角边长为a,则a2+(a+2)2=102,所以a=6,所以sin θ==,cos θ==,sin(θ+)-cos(θ+)=cos θ-cos θ+sin θ=cos θ+sin θ=×+×=.故选A.10.在斜三角形ABC中,sin A=-cos Bcos C,且tan B·tan C=1-,则角A的大小为( A )(A)(B)(C)(D)解析:由题意知,sin A=-cos Bcos C=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,等式两边同除以cos Bcos C得-=tan B+tan C.所以tan(B+C)===-1.即tan A=1.所以A=.故选A.11.(2017·湖北武汉模拟)《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为4∶9,则cos(α-β)的值为( A )(A)(B)(C)(D)0解析:由题可设大、小正方形边长分别为3,2,可得cos α-sin α=,①sin β-cos β=,②由图可得cos α=sin β,sin α=cos β,①×②可得=cos αsin β+sin αcos β-cos αcos β-sin αsin β=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),解得cos(α-β)=.故选A.12.(2018·兰州模拟)计算的值为( D )(A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1解析:=====1.13.(2018·金华模拟)△ABC的三个内角为A,B,C,若= tan(-),则tan A= .解析:===-tan(A+)=tan(-A-)=tan(-),所以-A-=-,所以A=,所以tan A=tan =1.答案:1。

2020年浙江高考数学一轮复习：变化率与导数、导数的运算

••>必过数材美1. 导数的概念⑴函数y= f(x)在x = x o处的导数：函数y= f(x)在x= x o处的瞬时变化率li附0牛li碍0W fxo为函数y= f(x)在x= x0处的导数，记作f' (x o)或y' |x = x o，即f' (x o) = li 知0 严=ligO fxo+A x~ fxo .(2) 导数的几何意义：函数f(x)在点X o处的导数f' (X o)的几何意义是在曲线y= f(x)上点P(x o，y>)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为y—y o= f' (x o)(x —x o)_(3) 函数f(x)的导函数：称函数f' (x)= li A xrto ~x+ A xx^f-为f(x)的导函数.2. 基本初等函数的导数公式原函数导函数n *f' (x)= n x n 1 2f(x)= x (n € Q)f(x)= sin x f' (x) = cos xf(x)= cosx f' (x)=—sin xx ln axf(x)= a (a>o)f' (x)= af(x) = e x f' (x) = £f(x)= log a x(a>o,且a* 1) f (x)= xln af(x) = In x1f' (x)=- ' 'x3.1 [f(x) dg(x)] '= f'(X) ±'(X)；2 [f(x) g(x)]'= f' (x)g(x)+ f(x)g' (x);［小题体验］1.下列求导运算正确的是(, 1B . (log2x)=而22+ x (cos x)' = 2xcosx — x sin x . 2.曲线y = x 3 — x + 3在点(1,3)处的切线方程为答案：2x — y + 1 = 0必过易措关1.利用公式求导时要特别注意不要将幕函数的求导公式导公式(a%)' = ^In a 混淆.2.求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.［小题纠偏］1.函数y =呼的导函数为答案：y '= —e 戶xe12. (2018杭州模拟)函数f(x) = x 2 + 一的图象在点(1, f(1))处的切线方程为( )f 'xgx — fxg x(g(Z0). ［gx ］4.复合函数的导数复合函数y = f(g(x))的导数和函数 y = f(u), u = g(x)的导数间的关系为 y x '= y u ' u x ',即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与 u 对x的导数C . (3x )'= 3xlog 3e 2D . (xcosx)'=— 2sin x解析：选B1 x y2 =1 — ~2； (3 )' = 3 In 3; x cosxx, )'=(x 2)zcos x 故选B.(x a )' = ax a "与指数函数的求A . x — y + 1 = 0B .3x — y — 1 = 0C . x — y — 1 = 0 3x —y +1 = 0切点为(1,2),可得图象在点 (1, f(1))处的切线方程为y — 2= x — 1,解析：选A1函数f(x) = x 2+1的导数为f '(x)=2x -x 2，可得图象在点 (1, f(1))处的切线斜率为k = 2— 1= 1,即为x — y + 1 = 0.故选A.』=鶴當°會闻奧館圍詢^舎悔啄酪圃區金伺爾匪愿考点一导数的运算基础送分型考点一一自主练透［题组练透］求下列函数的导数. (1) y = x 2sin x ; 1(2) y = In x + X ；(3)y =讐； (4)(易错题)y = xsin 2x + 2 cos 2 (5)y = ln(2x — 5).解：(1)y ‘ = (x )' sin x + x (sin x)2=2xsin x + x cosx.1 1=_—飞 x xsin x + cosxxe(4) ■/ y = xsin 1 1=^xsin(4x + n= — ^xsin 4x , . / …y 1 1 =—^sin 4x — ^x 4cos 1=—2sin 4x — 2xcos 4c.(5)令 u = 2x — 5, y = In u ,［谨记通法］求函数导数的3种原则2x +n ； (2)y 'ln x +=(In x)(3)y '=讐'cosx 'e x — cosx e x (e )则 y ' = (In u)' u1 2 2x — 5 2= 2x — 5,即y '2 2x — 5.2x + n bosg +［提醒］复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.考点二导数的几何意义题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第 ⑴问中，难度偏小，属中低档题.常见的命题角度有： (1) 求切线方程; (2) 求切点坐标; (3)求参数的值(范围).［题点全练］角度一：求切线方程x 一 11.曲线y =——在点(0 , - 1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )X + 1程为y + 1= 2x ，即y = 2x — 1,与两坐标轴的交点坐标分别为 (0,— 1), ；，0 ,所以与两1 1 1坐标轴围成的三角形的面积S = 2X |— 1|X 1 = 4.角度二：求切点坐标2. (2018湖州模拟)曲线f(x) = X 3 + X — 2在P o 处的切线平行于直线 y = 4x — 1，贝V P 。

2020版一轮复习理数通用版：第四单元导数及其应用

第四单元导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过1．基本初等函数的导数公式2．(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[小题速通]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B.2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ，所以f ′(－1)＝3a －6＝4，所以a ＝103.4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3 5．函数y ＝ln (2x ＋1)x的导数为________．解析：y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2 ＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.答案：y ′＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2[清易错]1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n－1中n ≠0且n∈Q *，(cos x )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.1．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2解析：选B ∵f ′(x )＝(sin x －cos x )′＝cos x ＋sin x ，又f ′(x )＝12f (x )，∴cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3.2．若函数f (x )＝2x ＋ln x 且f ′(a )＝0，则2a ln 2a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选A f ′(x )＝2x ln 2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln 2＋1a ＝0，得2a ln 2＝－1a ，则a ·2a ·ln 2＝－1，即2a ln 2a ＝－1.导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．解析：因为y ′＝4x ，设切点为(m ，n )，则4m ＝2，所以m ＝12，则n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＝12，则切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12.答案：⎝⎛⎭⎫12，124．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：因为函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，所以f ′(1)＝3，且f (1)＝3×1－2＝1，所以f (1)＋f ′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( ) A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：31．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间． [小题速通]1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)解析：选A 解f ′(x )＝6x 2－18x ＋12<0可得1<x <2，所以单调减区间是(1,2)． 2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－24>0，－a4≤1，g (1)＝5＋a ≥0⇔－26≤a ≤26或a >26⇔a ≥－26，故选C.[清易错]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题速通]1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点． 2．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.3．(2017·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x(x >0)，因为函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，令g (x )＝x 2－ax ＋1，且g (0)＝1>0，所以⎩⎨⎧a2>0，g ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24＋1<0，解得a >2.答案：(2，＋∞)5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x ＝a3或a .又∵x 1<2<x 2，∴x 1＝a3，x 2＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a 3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)[清易错]1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D 因为A 、B 为单调函数，所以不存在极值，C 不是奇函数，故选D. 2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )>0可得x >1或x <－1，由f ′(x )<0可得－1<x <1，所以函数f (x )的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]．又因为f (－2)＝－1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (2)＝3，所以M ＝3，m ＝－1，所以M ＋m ＝2. 答案：2定积分[过双基]1．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3) ⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x ) ⎪⎪ba ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) ⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．[小题速通]1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a3t 2d t ＝t 3⎪⎪a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.2.⎠⎛01(e x ＋x)d x ＝________.解析：⎠⎛01(e x ＋x )dx ＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12x 2⎪⎪10＝⎝⎛⎭⎫e 1＋12－(e 0＋0)＝e －12. 答案：e －123．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16. 答案：16[清易错]定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(如图所示)的面积为( )A .23 B.13 C .12D.14解析：选D 由题意及图形可得阴影部分的面积S ＝⎰201⎝⎛⎭⎫14－x 2dx ＋⎰211⎝⎛⎭⎫x 2－14dx＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3⎪⎪⎪⎪120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x ⎪⎪⎪⎪112＝14.一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1e C.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e .2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( )C ．2D ．－2解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋1＝3，k ＝2＋a ，1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝0，b ＝2，所以2a ＋b ＝2.3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：选C y ′＝6x 2－6x ，由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0，即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)．由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋mx ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，所以m ≤1.5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( )C ．2D ．3解析：选B f(x)＝x(x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f ′(x)＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m)(3x －m)．由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x)＝3(x －1)(x －3)，当1<x<3时，f ′(x)<0，当x<1或x>3时，f ′(x)>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x)＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x)<0，当x<13或x>1时，f ′(x)>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B .7．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( ) A .⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎠⎛02|x 2－1|d x C .⎠⎛02(x 2－1)d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：选B 作出封闭图形的示意图如图所示，易得所围成的封闭图形的面积是S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x <1；当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m－1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1， ∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x －1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1.答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋ax＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x ＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当a >0时，f (x )在(－∞，－a )，(a ，＋∞)上是增函数，在(－a ，0)，(0，a )上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫14≤10，f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a 对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2成立，从而得b ≤74，所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74. 14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值．高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x(3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e[解析] (1)∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. (2)∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ，故选D.(3)由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. [答案] (1)C (2)D (3)B [方法技巧]1．可导函数的求导步骤(1)分析函数y ＝f (x )的结构特点，进行化简； (2)选择恰当的求导法则与导数公式求导； (3)化简整理答案． 2．求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．[即时演练]1．(2018·江西九校联考)已知y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，则y ′＝( )A ．3x 2－12x ＋6B ．x 2＋12x －11C ．x 2＋12x ＋6D ．3x 2＋12x ＋11解析：选D 法一：y ′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11. 法二：∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.2．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 答案：e第(1)问中，难度较低，属中、低档题.常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)确定切点坐标；(3)已知切线求参数值或范围； (4)切线的综合应用. 角度一：求切线方程1．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：∵f ′(x )＝11＋x －1＋2x ，∴f ′(1)＝32，f (1)＝ln 2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.答案：3x －2y ＋2ln 2－3＝0角度二：确定切点坐标2．已知函数f (x )＝e xx (x >0)，直线l ：x －ty －2＝0.若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，则切点横坐标的值为________．解析：由f (x )＝e xx (x >0)，得f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2(x >0)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．根据直线l 的方程x ＝ty ＋2，可得l 恒过点(2,0)．①当t ＝0时，直线l ：x ＝2垂直于x 轴，不与曲线y ＝f (x )相切，舍去；②当t ≠0时，设切点A (x 0，y 0)，直线l 可化为y ＝1t x －2t ，斜率k ＝1t ＝f ′(x 0)＝e x 0(x 0－1)x 20，又直线l 和曲线y ＝f (x )均过点A (x 0，y 0)，则满足y 0＝1t x 0－2t ＝e x 0x 0，所以e x 0(x 0－1)x 20＝e x 0(x 0－1)x 0·x 0＝⎝⎛⎭⎫1t x 0－2t ·x 0－1x 0＝x 0－2t ·x 0－1x 0＝1t ，两边约去t 后，可得(x 0－2)·x 0－1x 0＝1，化简得x 20－4x 0＋2＝0，解得x 0＝2±2.综上所述，切点的横坐标为2±2. 答案：2±2角度三：已知切线求参数值或范围3．(2017·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.答案：⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范围是________．解析：设y ＝a ln x －1的切点为(x 0，y 0)，求导y ′＝ax ，则切线的斜率为ax 0，所以公切线方程为y －(a ln x 0－1)＝ax 0(x －x 0)，联立方程y ＝x 2－1可得x 2－ax 0x ＋a －a ln x 0＝0，由题意，可得Δ＝⎝⎛⎭⎫－ax 02－4(a －a ln x 0)＝0，则a ＝4x 20(1－ln x 0)．令f (x )＝4x 2(1－ln x )(x >0)，则f ′(x )＝4x (1－2ln x )，易知，函数f (x )＝4x 2(1－ln x )在(0，e)上是增函数，在(e ，＋∞)上是减函数，所以函数f (x )＝4x 2(1－ln x )的最大值是f (e)＝2e ，则正实数a 的取值范围是(0,2e]．答案：(0,2e]角度四：切线的综合应用5．已知函数f (x )＝m ln(x ＋1)，g (x )＝xx ＋1(x >－1)． (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )在(－1，＋∞)上的单调性；(2)若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值．解：(1)F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝m x ＋1－1(x ＋1)2＝m (x ＋1)－1(x ＋1)2(x >－1)，当m ≤0时，F ′(x )<0，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当m >0时，由F ′(x )<0，得－1<x <－1＋1m ，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－1＋1m 上单调递减；由F ′(x )>0，得x >－1＋1m ，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎫－1＋1m ，＋∞上单调递增．综上所述，当m ≤0时，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减，当m >0时，函数F (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1＋1m ，＋∞上单调递增． (2)函数f (x )＝m ln(x ＋1)在点(a ，m ln(a ＋1))处的切线方程为y －m ln(a ＋1)＝ma ＋1(x －a )，即y ＝m a ＋1x ＋m ln(a ＋1)－maa ＋1.函数g (x )＝xx ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，b b ＋1处的切线方程为y －b b ＋1＝1(b ＋1)2(x －b )，即y ＝1(b ＋1)2x ＋b 2(b ＋1)2.因为y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，即⎩⎪⎨⎪⎧ma ＋1＝1(b ＋1)2， ①m ln (a ＋1)－ma a ＋1＝b 2(b ＋1)2， ②所以有唯一数对(a ，b )，满足这个方程组，由①得a ＋1＝m (b ＋1)2，代入②消去a 整理得：2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0，关于b (b >－1)的方程有唯一的解，令h (b )＝2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1，则h ′(b )＝2mb ＋1－2(b ＋1)2＝2[m (b ＋1)－1](b ＋1)2，方程组有解时，m >0，所以h (b )在⎝⎛⎭⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1＋1m ，＋∞上单调递增，所以h (b )min ＝h ⎝⎛⎭⎫－1＋1m ＝m －m ln m －1，因为b →＋∞，h (b )→＋∞，b →－1，h (b )→＋∞，所以只需m －m ln m －1＝0.令p (m )＝m －m ln m －1，则p ′(m )＝－ln m 在m >0时为单调递减函数，且m ＝1时，p ′(m )＝0.所以p (m )max ＝p (1)＝0，所以m ＝1时，关于b (b >－1)的方程2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0有唯一解，此时a ＝b ＝0，公切线为y ＝x .[方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)．(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．定积分及应用[典例] (1)(2018·东营模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在(2)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛-12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 (3)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] (1)如图，⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56.(2) ⎠⎛-12f (x )dx ＝⎠⎛-111－x 2dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ，因为⎠⎛1－11－x 2d x 表示圆心在原点，半径为1的上半圆的面积，则⎠⎛-111－x 2dx ＝π2；⎠⎛12 (x 2－1)dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 21＝43，所以⎠⎛-12f (x )dx ＝π2＋43.(3)封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax dx ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.[答案] (1)C (2)A (3)49[方法技巧]求定积分的2种方法及注意事项(1)定理法运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． (2)面积法根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． [即时演练]1．(2018·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e .故选C .2．直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成封闭图形的面积为________．解析：如图，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2，可得x 1＝－1，x 2＝3，故所求图形面积为S ＝⎠⎛-13 [(2x＋3)－x 2]dx ＝⎠⎛-13－1(2x ＋3)dx －⎠⎛-13x 2dx ＝(x 2＋3x ) ⎪⎪⎪3-1－13x 3⎪⎪⎪3-1＝323.答案：3233．如图，在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率为________．解析：由图知长方形OABC 的面积为e ；函数y ＝a x 过点(1，e )，则a ＝e ，所以曲线的方程为y ＝e x ，A ，D 在直线y ＝1－x 上，所以阴影部分的面积S ＝⎠⎛01(e x ＋x －1)dx ＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12x 2－x 10＝e －32，所以在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率P ＝e －32e ＝1－32e .答案：1－32e1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.2．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：y ＝ln x ＋2的切线方程为： y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)， y ＝ln(x ＋1)的切线方程为： y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点的横坐标为x 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 24．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案：8一、选择题1．若a ＝⎠⎛02x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x －a ＋1x 6展开式中的常数项是( )A ．20B ．－20C ．－540D ．540解析：选C a ＝⎠⎛02xdx ＝12x ⎪⎪⎪2＝2，则⎝⎛⎭⎫x －3x 6展开式的通项T r ＋1＝(－3)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0可得r ＝3，则常数项是T 4＝(－3)3C 36＝－540.2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2， ∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.3．(2018·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C .1eD ．－1e 解析：选C 法一：∵f (x )＝ln x ，x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1x.设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y ＝ln x 及曲线y ＝ln x 经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C .4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，又因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)，解得m ＝－2，故选D.5．(2018·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 6．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x＋1e x ≥2e x ×1ex ＝2(当且仅当e x＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A . 二、填空题7．若a 和b 是计算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数f(x)＝lg (ax 2＋4x ＋4b)的值域为R 的概率为________．解析：由题意知⎩⎨⎧0<a <2，0<b <2所表示的平面区域是正方形，其面积为4.因为函数f (x )＝lg(ax 2＋4x ＋4b )的值域为R ，所以ax 2＋4x ＋4b 取遍所有的正数，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－16ab ≥0，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ab ≤1，如图所示，不等式⎩⎨⎧a >0，b >0，ab ≤1所表示的图形的面积S ＝2×12＋⎠⎛2121a d a ＝1＋ln a 212＝1＋2ln 2，所以所求事件的概率为1＋2ln 24.答案：1＋2ln 248．已知函数f (x )＝e ax ＋bx (a <0)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝5x ＋1，且f (1)＋f ′(1)＝12.则a ，b 的值分别为________．解析：f (x )＝e ax ＋bx ，那么f ′(x )＝a e ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝5，f (1)＋f ′(1)＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，a e a ＋b ＋b ＋e a＝12，化简得(e a －2)(a ＋1)＝0，由a <0，得a ＝－1，b ＝6. 答案：－1,69．(2017·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1⇔ln x 0＋1＝1⇔ln x 0＝0⇔x 0＝1， ∴f (x 0)＝1·ln 1＝0， ∴P(1,0)．答案：(1,0)10．设过曲线f (x )＝－e x －x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范围是________．解析：设曲线f (x )上任意一点A(x 1，y 1)，曲线g(x )上存在一点B(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x－1，g ′(x )＝m －3cos x .由题意可得f ′(x 1)g ′(x 2)＝－1，且f ′(x 1)＝－ex 1－1∈(－∞，－1)，g ′(x 2)＝m －3cos x 2∈[m －3，m ＋3]．因为过曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，所以(0,1)⊆[m －3，m ＋3]，所以m －3≤0，且m ＋3≥1，解得－2≤m ≤3. 答案：[－2,3] 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(3－a )ln x ，a ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)>－5. 解：(1)∵f ′(x )＝x －a ＋3－a x ＝x 2－ax ＋3－ax ， ∴f ′(1)＝4－2a ，由题意知4－2a ＝－12，解得a ＝94.(2)证明：由题意知，x 1，x 2为f ′(x )＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(3－a )>0，a >0，3－a >0，∴2<a <3.又x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝3－a ，∴f (x 1)＋f (x 2)＝12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＋(3－a )ln x 1x 2 ＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )．设h (a )＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )，a ∈(2,3)，则h ′(a )＝－a －ln(3－a )， h ″(a )＝－1＋13－a ＝a －23－a>0，故h ′(a )在(2,3)上递增．又h ′(2)＝－2<0，a →3时，h ′(a )→＋∞，∴∃a 0∈(2,3)，当a ∈(2，a 0)时，h (a )递减，当a ∈(a 0,3)时，h (a )递增，∴h (a )min ＝h (a 0)＝－12a 20＋a 0－3＋(3－a 0)·(－a 0)＝12a 20－2a 0－3＝12(a 0－2)2－5>－5， ∴∀a ∈(2,3)，h (a )>－5，综上，f (x 1)＋f (x 2)>－5.1．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3解析：选D y ＝ln x ，x ∈(0,1)的导数y ′＝1x >1，设切点为(t ，ln t )，则切线l 的方程为y ＝1tx ＋ln t －1，因为函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线l 的斜率为2x 0，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1t ，x 20＝1－ln t ，则1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，则排除A 、B ；又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x>0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增．又g (1)＝－ln 2<0，g (2)＝1－ln 22<0，g (3)＝2－ln 23>0，从而2<x 0< 3.2．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2，设x 1＋x 2＝t (|t |>2)，则φ(M ，N )＝|3x 21－3x 22|(x 1－x 2)2＋(x 31＋2－x 32－2)2＝|3x 21－3x 22|(x 1－x 2)2[1＋(x 21＋x 1x 2＋x 22)2]＝3|x 1－x 2|·|x 1＋x 2||x 1－x 2|1＋[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]2＝3|x 1＋x 2|1＋[(x 1＋x 2)2－1]2＝3|t |1＋(t 2－1)2＝3t 2＋2t2－2.设g (x )＝x ＋2x ，x >4，则g ′(x )＝1－2x 2>0，所以g (x )在(4，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (4)＝92. 所以t 2＋2t 2－2>52，所以0<φ(M ，N )<3105.答案：⎝⎛⎭⎫0，3105高考研究课(二) 函数单调性必考，导数工具离不了 [全国卷5年命题分析][典例] (2016·山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ，讨论f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0，x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x － 2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则 2a ＞1，当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． ②若a ＝2，则2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③若a ＞2，则0＜2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0， 2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫ 2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0， 2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．[方法技巧]导数法判断函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时演练]1．(2017·芜湖一模)函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0，＋∞ B.()－∞，0 C.()－∞，1D.()1，＋∞解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D.2．(2016·全国卷Ⅱ节选)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0.解：f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x －(x －2)e x (x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0，。

2020高考全国卷一轮复习理科数学(所有内容)

集合的并集!$# 集合的交集!## 集合的补集0*!
图形表示
知识梳理
一集合与元素 !$集合中元素的三个特性&! ! ! !'! ! ! !' !!!!$
意义 !""")!或")#" !""")!且")#" !""")* 且"*!"
四常见结论与等价关系 !##$!1!!!!(!$#$!1!!!!( $0*!%$!$!!!!(0* $0*!%$!!!!$
$#%#(!0佛山调研若集合!$!!##"##$!$"#+%"")
!#+)!"#则集合# 中元素的个数为
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等价转换常使较复杂的集合运算变的简单$
4
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222222222222222222222 第一章!集合与常用逻辑用语
#!!! 命题及充要条件
激活思维
!" 选修! !"'练习#改编下列命题中#真命题是 $!!% )* 命题)若(0&10#则(&1* +* 命题)若"$&#则"#$3*的逆命题 ,* 命题)若"&##则"#%&"2#&(*的否命题 -* 命题)相似三角形的对应角相等*的逆否命题

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B1(0,4 3 ,a),C1(0,0,a),M(4,0, a ),P(2,2 3 , a ),Q(1,0, a ).
2
4
4
所以 QP =(1,2 3 ,0), CA =(4,0,0).
设异面直线 QP 与 CA 所成的角为θ,
QP CA 1 4 2 3 0 0 0
所以|cos θ|=
=
=
13 .
QP CA
13 4
13
所以 sin θ=± 2 39 , 13
因为异面直线所成角的正弦值为正,所以 sin θ= 2 39 即为所求. 13
答案: 2 39 13
考点二向量法求直线与平面所成的角【例2】 (2018·吉林百校联盟九月联考)如图所示,在已知三棱柱ABF-DCE中, ∠ADE=90°,∠ABC=60°,AB=AD=2AF,平面ABCD⊥平面ADEF,点M在线段BE上,点 G是线段AD的中点.
的正弦值为
.
解析:由题意,以 C 为原点,以 AC 边所在直线为 x 轴,以 BC 边所在直线为 y
轴,以 CC1 边所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.设棱柱的高为
a,由∠BAC= π ,AC=4,得 BC=4 3 , 3
所以 A(4,0,0),B(0,4 3 ,0),C(0,0,0),A1(4,0,a),
(1)证明:因为 AB⊥平面 BB1C1C,所以 AB⊥BC1, 在△CBC1 中,由余弦定理得 BC1= 3 ,故 BC1⊥BC. 又 BC∩AB=B,所以 C1B⊥平面 ABC.
(2)E 是棱 CC1所在直线上的一点,若二面角 A-B1E-B 的正弦值为 1 ,求 CE 的长. 2
(2)解:由(1)可知 AB,BC,BC1 两两垂直, 建立如图空间直角坐标系, 则 B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),C1(0,0, 3 ),B1(-1,0, 3 ),
设
m
是平面
PBQ
的法向量,则
m

BP

0,
m PQ 0.
同理可取 m=(1,1,1).
所以 cos<m,n>=- 15 . 5
故二面角 Q-BP-C 的余弦值为- 15 . 5
考查角度2:已知二面角大小求参数【例4】 (2018·辽宁省辽南协作校一模)如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,已知 AB⊥侧面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1=60°. (1)求证:C1B⊥平面ABC;
所以 CC1 =(-1,0, 3 ).
设 CE =λ CC1 =λ(-1,0, 3 ),所以 E(1-λ,0, 3 λ).
AE =(1-λ,-1, 3 λ), AB1 =(-1,-1, 3 ).设平面 AB1E 的一个法向量为 n1=(x,y,z),
则
1

x

y

3z 0, 令 z=
【跟踪训练 3】 (2018·河南省中原名校质检二)如图,四边形 ABCD 为正方形,
PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= 1 PD. 2
(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ; 解:如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长度,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 Dxyz. (1)依题意有 Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0). 则 DQ =(1,1,0), DC =(0,0,1), PQ =(1,-1,0). 所以 PQ · DQ =0, PQ · DC =0. 即 PQ⊥DQ,PQ⊥DC,故 PQ⊥平面 DCQ, 又 PQ 平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 DCQ.
n BG
为 sin θ=
=
14 .
n BG 7
反思归纳
直线和平面所成的角的求法如图所示,设直线 l 的方向向量为 e,平面α的法向量为 n,直线 l 与平面α 所成的角为 ,两向量 e 与 n 的夹角为θ,则有 sin =|cos θ|= n e .
ne
【跟踪训练2】 (2018·东北三校二模)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形, ∠BAD=120°,AB=2,E,F为CD,AA1中点.
设平面 GCE 的一个法向量为 n=(x,y,z),
则由
n·
GE
=0,n·
GC
=0
可得

y

z

0,
令
y=1,
3x 0,
则 n=(0,1,-1),
因为 CD =(- 3 ,1,0)= BA ,且 A(0,-1,0), 故 B( 3 ,-2,0),故 BG =(- 3 ,2,0), 设直线 BG 与平面 GCE 所成角为θ,故直线 BG 与平面 GCE 所成角的正弦值
(2)求二面角D-PA-B的余弦值.
(2)解:连接 OB,因为四边形 ABCD 为菱形, 所以 AD=AB,因为∠DAB=60°,所以△DAB 为等边三角形,因为 O 为 AD 的中点,所以 BO⊥AD, 因为 PO⊥平面 ABCD,所以 PO⊥OA,所以 OP,OA,OB 两两垂直. 以 OA,OB,OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,则 A(3,0,0),B(0,3 3 ,0),P(0,0,4), OB =(0,3 3 ,0)为平面 PAD 的法向量,
n AD1 2 t2 4 4
解得 t=2,故线段 AA1 的长为 2.
考点三向量法求二面角的大小(多维探究) 考查角度1:计算二面角的大小【例3】 (2018·湖南省两市九月调研)如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形,平面 PAD⊥平面ABCD,PA=PD=5,AD=6,∠DAB=60°,E为AB的中点.
(1)证明:AC⊥PE;
(1)证明:取AD的中点O,连接OP,OE,BD, 因为四边形ABCD为菱形, 所以BD⊥AC, 因为O,E分别为AD,AB的中点, 所以OE∥BD,所以AC⊥OE. 因为PA=PD,O为AD的中点,所以PO⊥AD, 又因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD, 所以PO⊥AC,因为OE∩OP=O, 所以AC⊥平面POE,所以AC⊥PE.
所以 BM = BC =2, ME PE
故点 M 为线段 BE 上靠近点 E 的三等分点.
(2)求直线BG与平面GCE所成角的正弦值.
解:(2)不妨设 AD=2,由(1)知 PG⊥AD, 又平面 ADEF⊥平面 ABCD,平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, PG 平面 ADEF,所以 PG⊥平面 ABCD. 故 PG⊥GD,PG⊥GC,以 G 为坐标原点,GC,GD,GP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 Gxyz, 因为∠ABC=60°,AB=AD=2AF, 所以△ADC 为正三角形,GC= 3 , 所以 G(0,0,0),C( 3 ,0,0),D(0,1,0),E(0,1,1), 所以 GE =(0,1,1), GC =( 3 ,0,0),
(2)若 AA1⊥底面 ABCD,且直线 AD1 与平面 B1AE 所成角的正弦值为 3 ,求 AA1 的长. 4
(2)解:连接 AC,因为四边形 ABCD 是菱形,且∠ABD=60°, 所以△ABC 是等边三角形, 取 BC 的中点 H,则 AH⊥AD, 因为 AA1⊥平面 ABCD,所以 AA1⊥AH,AA1⊥AD, 建立如图的空间直角坐标系,令 AA1=t(t>0),

3, 4
3 , 3 ),cos< OB ,n>= OB n =
34
OB n 3
3
3
= 4 91 .
1 1 9 91
3 16
结合图形可知二面角 D-PA-B 的余弦值为 4 91 . 91
反思归纳
(1)利用向量法计算二面角大小的常用方法 ①找法向量法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小. ②找与棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. (2)利用法向量求二面角时的两个注意点 ①对于某些平面的法向量要注意题中条件隐含着,不用单独求. ②注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角,可结合图形进行,以防结论失误.
(2)求二面角Q-BP-C的余弦值.
解:(2)依题意有 B(1,0,1), CB =(1,0,0), BP =(-1,2,-1).
设
n=(x,y,z)是平面
PBC
的法向量,则
n

CB

0,
n BP 0.
即
x 0, x 2
y

z

0,
因此可取
n=(0,-1,-2).
(1)求证:DF∥平面B1AE;
(1)证明:设 G 为 AB1 的中点,连接 EG,GF, 因为 FG 1 A1B1,
2
又 DE
1 A1B1, 2
所以 FG DE,
所以四边形 DEGF 是平行四边形, 所以 DF∥EG, 又 DF 平面 B1AE,EG 平面 B1AE, 所以 DF∥平面 B1AE.
则 A(0,0,0),E( 3 , 3 ,0),B1( 3 ,-1,t),D1(0,2,t), 22
AE =(
3 2
,
3 2
,0),
AB1
=(
3 ,-1,t), AD1 =(0,2,t),
设平面 B1AE 的一个法向量为 n=(x,y,z), 则 n· AE = 3 (x+ 3 y)=0,
2 且 n· AB1 = 3 x-y+tz=0, 取 n=(- 3 t,t,4),设直线 AD1 与平面 B1AE 所成角为θ,则 sin θ = n AD1 = 6t = 3 ,