第一讲 二次方程含参问题 (学生版)

九年级·十一短期课

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数学第1讲

二次方程含参问题

知识导读

带有参数的二次方程，要确定参数的值或取值范围，使它

的根满足某些条件，此类题型主要利用一元二次方程的定义、根的判别式和韦达定理求解，选择题、填空题和解答题中均有涉及，属于中档题．

多结论判断题是近年来中考数学中出现的新题型，含有多

个或真或假的命题，让考生判断正确或错误命题的序号或个数，主要考查同学们对二次函数相关概念的准确理解和分析、推理、计算的能力，一般位于选择题第10题，综合性很强，且考查频率较高，属于拔高题．

【例1】若关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一根为0，则m =（ ）．

A ．2-或2

B ．2-

C

D ．2

【巩固】若一元二次方程220170ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=__________．

【例2】如果关于x 的方程2(2)210m x x -++=有实数根，那么m 的取值范围是（ ）．

A ．3m ≤

B ．3m ≥

C ．3m ≤且2m ≠

D ．3m <

【巩固】若关于x 的一元二次方程22(1)(21)10m x m x --++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是__________．

【变式1】已知a 、b 、c 分别是直角三角形的三边长，则方程2()20a b x cx a b +++-=的根的情况是（ ）．

A ．没有实数根

B ．可能有且只有一个实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．有两个不相等的实数根

【变式2】若2b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况是（ ）．

A ．两个不相等的实数根

B ．没有实数根

C ．两个相等的实数根

D ．不能确定

【变式3】实数a 、b 、c 满足20a ab ac ++<，则一元二次方程20ax bx c ++=（ ）．

A ．有两个不相等的实数根

B ．没有实数根

C ．有两个相等的实数根

D ．不能确定根的情况

根与判别式

典型例题

【例3】已知关于x 的方程220x x m +-=． （1）若2x =是方程的根，求m 的值．

（2）若方程总有两个实数根，求m 的取值范围．

【巩固】已知关于x 的一元二次方程2(23)20mx m x m -+++=没有实数根，求证：关于x 的一元二次方程2210x x m ---=没有实数根．

【变式】已知关于x 的一元二次方程(3)(2)x x m --=． （1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根． （2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根．

【例4】若函数221y mx x =++的图像与x 轴只有1个交点，则常数m 的值是__________．

【巩固】二次函数263y kx k =-+图象与x 轴有两个不同的交点，

则k 的取值范围是（ ）． A ．3k < B ．3k <且0k ≠ C ．3k ≤ D ．3k ≤且0k ≠

【变式】当直线23y x t =+-与函数2221(1)

23(1)

x x x y x x x ⎧-+⎪=⎨+-<⎪⎩≥的图象有且只有两个公共点时，t

的取值范围是__________．

【例1】若方程2(1)30x k x +--=的一个根是1，则另一个根是__________．

【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1，则它的另一个根等于__________，p 的值为__________．

【变式】王刚解关于x 的方程230x x c -+=时，误将3x -看作3x +，解得11x =、24x =-，则原方程的解为（ ）．

A ．11x =-、24x =-

B ．11x =、24x =

C ．11x =-、24x =

D ．12x =、23x =

【例2】若1x 、2x 是方程2104x x m m ⎛⎫-+=< ⎪⎝

⎭的两根，则22

112

2x x x --=__________．

【巩固】已知1x 、2x 是一元二次方程222130x x m -+-=的两个实数根，且1x

、2x 满足不等

式12122()0x x x x ++>，则实数m 的取值范围是__________．

【变式1】抛物线2(21)6y x m x m =---交x 轴于1(,0)x 、2(,0)x ，已知121249x x x x =++，要使此抛物线经过原点，应将它向右平移__________个单位．

【变式2】已知抛物线22y x x a =-+的图象与x 轴的两个不同交点与原点的距离之和不超过

4，则a 的取值范围是__________．

根与系数的关系

典型例题

【例3】关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=有实数根． （1）求k 的取值范围．

（2）若此方程的两个实数根互为倒数，求出k 的值．

【巩固】已知关于x 的一元二次方程22(12)10k x k x +-+=． （1）若此方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．

（2）设方程的两根分别为1x 、2x 且121223x x x x +-=-，求k 的值．

【变式】已知关于x 的一元二次方程2

1(2)302

x m x m +-+-=有两个不相等的实数根．

（1）求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．

（2）设该方程的两个实数根分别为1x 、2x ，且1221x x m +=+，求m 的值．

【例4】菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于点O ，且AO 、BO 的长度分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 的值为（ ）．

A ．3-

B ．5

C ．5或3-

D ．5-或3

【巩固】已知ABC △的一条边BC 的长为5，另外两条边AB 、AC 的长恰好是关于x 的方程

22(23)320x k x k k +++++=的两个实数根．

（1）求证：AB AC ≠．

（2）如果ABC △是以BC 为斜边的直角三角形，求k 的值．

（3）填空：当k =__________时，ABC △是等腰三角形，其周长为__________．

【变式】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，则实数m 的取值范围是（ ）．

A ．01m ≤≤

B ．3

4

m ≥

C ．

3

14

m <≤ D ．3

14

m ≤≤