河南省开封市2021届新高考数学二模考试卷含解析

河南省开封市2021届新高考数学二模考试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若

(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ）

A ．(1,1)-

B ．(,1)-∞

C ．(1,)+∞

D ．(1,)-+∞

【答案】D 【解析】 【分析】

根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论. 【详解】

依题意有()()2x

x

f x

g x a a

-+=-+， ①

()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ， ②

①-②得(),()2-=-=x x f x a a g x ，又因为(2)g a =，

所以2,()22-==-x x

a f x ，()f x 在R 上单调递增，

所以函数(

)

2

2f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞. 故选:D. 【点睛】

本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.

2． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383 B ．57171

C ．59189

D ．61242

【答案】C 【解析】 【分析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果. 【详解】

被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23， 公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a 则()233513512n a n n =+-=- 令35122020n a n =-≤，解得25835

n ≤. 故该数列各项之和为5857

582335591892

⨯⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】

本题考查等差数列的应用，属基础题。

3．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）

A ．6

B ．7

C ．5

D ．8

【答案】B 【解析】 【分析】

列举出循环的每一步，可得出输出结果. 【详解】

4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；

22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=； 22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=； 22S a b >成立，输出i 的值为7.

故选：B. 【点睛】

本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 4．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为

1

4

，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）

A ．

35

B ．

45

C ．1

D ．

85

【答案】D 【解析】 【分析】

根据以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比求得1

2

AC AB =，即tan α的值，由此求得sin α和cos α的值，进而求得所求表达式的值. 【详解】

由于直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为

14，所以

1

2AC AB =，即1tan 2

α=，所以sin 55αα=

=2cos sin 2αα+=

48255

55+=. 故选：D

【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 5．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【详解】

解不等式327x <可得3x <，

解绝对值不等式||3x <可得33x -<<， 由于{|33}-<

据此可知“327x <”是“||3x <”的必要不充分条件．

【点睛】

本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题. 6．设全集()(){}

130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0-

C ．{}0,3

D ．{}1,0,3-

【答案】A 【解析】 【分析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集. 【详解】

由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A. 【点睛】

本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 7．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．[]2,2e e --

C ．[]2e,1-

D ．[]2ln 22,1-

【答案】D 【解析】 【分析】

由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，

x

x

f x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f x

g x 即可得a 的取值范围.

【详解】

由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，

令()()2g 2，

x

x

f x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=， ()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减， ()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，

又()g 2x

x x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==，

∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.

故选：D