圆锥曲线的焦半径公式定理及其应用

圆锥曲线的焦半径公式及其应用
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。

利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。

1.椭圆的焦半径公式
(1)若P(x
0,y
)为椭圆2
2
x
a
+2
2
y
b
=1(a>b>0)上任意一点，F
1
、
F
2分别为椭圆的左、右焦点，则
1
PF=a+e x0,2PF=a-e x0.
(2) 若P(x
,y
)为椭圆2
2
y
a
+2
2
x
b
=1(a>b>0)上任意一点，F
2
、
F
1分别为椭圆的上、下焦点，则
1
PF=a+e y0,2PF=a-e y0. 2.双曲线的焦半径公式
(1)若P(x
,y
)为双曲线2
2
x
a
-2
2
y
b
=1(a>0，b>0)上任意一点，
F
1、F
2
分别为双曲线的左、右焦点，则
①当点P在双曲线的左支上时，
1
PF=-e x0-a,2PF= -e
x
+a.
②当点P在双曲线的右支上时，
1
PF=e x0+a,2PF= e x0-a.
(2)若P(x
0,y
)为双曲线2
2
y
a
-2
2
x
b
=1(a>0，b>0)上任意一点，
F
2、F
1
分别为双曲线的上、下焦点，则
①当点P在双曲线的下支上时，
1
PF=-e y0-a,2PF=
-ey 0+a.
②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a. 3.抛物线的焦半径公式
(1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则
PF
= x 0+2
p
(2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则
PF
= -x 0+2
p
(3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则
PF
= y 0+2
p
(4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则
PF
= -y 0+2
p
下面举例说明上述各公式的应用 例
1．求椭圆2
16x +225
y =1
上一点M(2.4,4)与焦点F 1、F 2的
距离.
解：易知a=5,e=35
且椭圆的焦点在轴上，∴1MF = a+ey 0=5+35
×4=
37
5
,2MF = a-e y 0=5-35×4=
13
5。

例
2.试在椭圆2
25
x +
29y =1上求一点P ，使它到左焦点的距离
是它到右焦点的距离的两倍．
解：由
1212210
{
PF PF PF PF =+=，得
1220
3103{
PF PF =
=。

设P(x 0, y 0),则1PF =a+ex 0,即5+45
x 0=
203，解之得x 0=2512
，
所以P(2512
,
1194
±).
例3.在双曲线216x -2
9
y =1上求一点M ，使它到左、右两焦点
的距离 的比为3：2，并求M 点到两准线的距离。

解：设点M 的坐标为（x 0，y 0）, 左、右两焦点分别为F 1、F 2，则由1MF ：2MF =3：2，知1MF >2MF ,所以点M 在双曲线
216x -2
9
y =1的右支上，∴1MF =ex 0+a,2MF = ex 0-a ，即
(ex 0+a):( ex 0-a)=3:2，∴ 2(ex 0+a)=3(ex 0-a),把a=4, e=54
代入，得x 0=16, ∴y 0=315±,即
M （16，315±）。

故双曲线的
准线方程为
x=±
2
a c
=±
16
5
,∴M 点到两准线的距离分别为
965
和645。

例4． (1994年全国高考题) 设F 1、F 2是双曲线
24
x -y 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点，点P 在双曲线上，且满
足∠F 1PF 2=90︒，则⊿F 1PF 2的面积是 （ ）
A ．1
B ．
52
C ．2
D ．5
解：根据对称性，可设点P(x 0,y 0)在双曲线的右支上，则
1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a.由∠F 1PF 2=90︒，得
2
1
PF +22PF =212F F ，即(e x 0+a)2+(e x 0-a)2=4c 2,∴
e 2x 02+a 2=2 c 2,即e 2x 02=2 c 2-a 2= a 2+2b 2,∴
S=12
1PF 2PF =12
( e 2x 02- a 2)= b 2=1,故选(A).
练习： (2001
年全国高考题)双曲线
2
9x -216
y =1的左、右两
个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为______.
提示：仿照例2可求出x P
2
=419
25⨯，代入双曲线
29x -2
16
y =1，
得y P
2
=21625
,∴点P 到x 轴的距离d=
165
. 例5.(2000
年全国高考题)椭圆
2
9
x +
24
y =1的焦点为F 1、F 2，
点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是______.
解：易知e=53
.设点P 的横坐标为x 0,则1PF =a+e
x 0=3+5
3
x 0,2PF =a-e x 0=3-53
x 0.由余弦定理，得cos ∠
F 1PF 2=
2
2
2
1212
12
2PF PF F F PF PF +-=2
251
952(9)
9
x x --=22
592(815)x x --,∵∠F 1PF 2是钝角，∴-1< cos ∠F 1PF 2<0,即-1<22592(815)x x --<0,解之得-35
5
<
x 0<
35
5
.
例6．若抛物线y 2=2px(p>0)上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦半径的关系是 （ ）
A ．成等差数列
B ．常数数列
C ．成等比数列
D ．非等差、等比数列 解：设抛物线y 2=2px(p>0)上纵坐标的平方成等差数列的三点依次为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3),则y 12=2px 1，y 22=2px 2，y 32=2px 3.
由y 12+y 32=2y 22,得x 1+x 3=2x 2.∴
AF
+CF =(x 1+2
p )+(x 3+2p )=x 1+
x 3+p=2x 2+p=2(x 2+2
p )=2BF ，∴AF ，BF ，CF 成等差数列,故选A.
例7．在抛物线x 2=2py(p>0)上有一点A(m,4)，它到该抛物线的焦点的距离为5，求此抛物线的方程和点A 的坐标.
解：根据抛物线的焦半径公式，有4++2
p
=5，∴p=2,故抛物线的方程为x 2=4y 。

将x=m,y=4代入x 2=4y,得m= 4, ∴点A 的坐标为（-4，4）或（4，4）.
例
8．在双曲线213x -2
12
y =-1的一支上有不同的三点A(x 1,y 1)、
B(x 2,6)、C(x 3,y 3)与焦点F(0,5)的距离成等差数列。

(1)求y 1+ y 3;(2)求证线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出该定点的坐标。

解(1)：由题设知，A 、B 、C 在双曲线的上支上，故有AF =e y 1-12，BF
=6e -12，CF =e y 3-12.
∵AF ，BF ，CF 成等差数列,∴2×6e= (e y 1-12)+( e
y 3-12),即
y 1+ y 3=12.
证(2)：∵A 、C
在双曲线213x -2
12
y =-1
上，∴
2
113x -2112
y =-1，
2313
x -
2312
y =-1，两式相减，得 1313
y y x x --=
13
13
1213x x y y +⋅
+=
1313
x x +，即k AC =1313
x x +,于是线段AC 的垂直平分线方程为y-6=-1313
x x +(x-13
2
x x +),即
13
13x x +x+y-252=0,又∵
13
13x x +是实数，∴x=0且 y=252
，故直线经过定点(0,
252
). 例9．设F 1、F 2是椭圆2
2
x a
+22
y b
=1(a>b>0)的左、右两个焦
点，P 是椭圆上的任意一点，且∠F 1PF 2=2θ，求证：⊿F 1PF 2的面积S=b 2tan θ.
证明：设点P 的坐标为（x 0,y 0），则1PF =a+e x 0,2PF =a-e x 0.由余弦定理，得（a+e x 0）2+（a-e x 0）2-2（a+e x 0）（a-e x 0）cos2θ=(2c)2,即a 2+ e 2x 02-( a 2- e 2x 02) cos2θ=2c 2,∴a 2(1- cos2θ)+ e 2x 02(1+ cos2θ)=2c 2,∴a 2sin 2θ+ e 2
x 02
cos 2
θ=c 2
,∴e 2
x 0
2
=
2222sin cos c a θ
θ
-, ∴S=
1
2
1PF 2PF
sin2θ=1
2
（a+e x 0）（a-e x 0）sin2θ=12
( a 2- e 2x 02)
sin2θ=12
( a 2-2222sin cos c a θθ-)sin2θ=12
⋅
222222cos sin cos a c a θθ
θ-+⋅2sin θcos θ= b 2tan θ.
说明：1.题设中的⊿F 1PF 2通常称为椭圆的焦点三角形，且此结论对于焦点在y 轴上的椭圆也适用。

2.用同样的方法可得双曲线的焦点三角形的面积公式S=b 2cot θ,其中∠F 1PF 2=2θ（P 为双曲线上的任意一点）.
3.利用本例结论很容易求解下面的习题： 设
F 1、F 2为椭圆
2
4
x +2y =1的左、右两个焦点，点P 在椭
圆上且满足∠F 1PF 2=90︒，则⊿F 1PF 2的面积是 （ ）
A ．1 B.
52
C.2
D.5
请读者不妨一试，答案：选A.
例10.过抛物线的焦点F 作不垂直于对称轴的直线交抛物线与A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交对称轴于N ，求证：
2AB NF
=.
证明：设抛物线的方程为x 2=2py(p>0)，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0),则y 12=2px 1，y 22=2px 2，两式相减，得1212
y y x x --=
12
2p y y +=
p y ，即k AB =
p y .∵MN
⊥AB ，∴k MN =-0y p
，∴直线MN 的方程为y-y 0=-0y p
(x-x 0),令
y=0, 得x
N
= x 0+p ，∴NF = x N
-
2
p = x 0+
2
p ,又∵
AB
=
AF
+
BF
=(x
1
+
2
p )+(x 2
+2
p )=
x 1+x 2+P=2x 0+P=2(x 0+2
p ),从而
2AB NF
=.
例
11.已知双曲线225x -2
144
y =1
的左右焦点分别为F 1、F 2，左
准线为L ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使1PF 是P 到L 的距离d 与2PF 的等比中项？若能，试求出点P 的坐标，：若不能，请说明理由.
解：假设在双曲线的左支上找到一点P(x 0,y 0)( x 0≤-5), 使
1
PF 2
=d 2PF ，由双曲线的第二定义，得1
PF d
=e=135
,即d=
1
PF d
=
5
13
1PF ,
∴1PF
=
5
13
2PF ,又∵1PF =-ex 0-a=-(
13
5
x 0+5)， 2PF =-ex 0+a=-135x 0+5, ∴-(135x 0+5)=513(-13
5
x 0+5), ∴
x 0=-225
52
>-5, ∴不存在这样的点P . 练习：.已知椭圆
2
4
x +
23
y =1，能否在此椭圆位于y 轴左侧的
部分上找到一点P ，使它到左准线的距离为它到两个焦点F 1、F 2的距离的等比中项？若能，试求出点P 的坐标，：若不能，请说明理由.(答案：点P 不存在)。