期末试卷 (1)

下学期期末试卷 （答题时间：90分钟）

一、单选题（每题5分，共30分）

1. 设x ，y ∈R ，若（x ＋y ）＋（y －1）i ＝（2x ＋3y ）＋（2y ＋1）i ，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上对应的点位于（ ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2. 已知向量a ＝（－1，1），b ＝（3，m ），若a ∥（a ＋b ），则m ＝（ ） A. －2 B. 2 C. -3

D. 3

3. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2（1－sin A ），则A ＝（ ）

A.

43π B. 3π C. 4π D. 6

π

4. 一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底都为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）

A.

B.

C.

D. 5. 已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的半径是（ ）

A.

B. C.

13

2

D. 6. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（ ）

A. 14 h

B. 15 h

C. 16 h

D. 17 h

二、填空题（每题5分，共20分）

7. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10

若以上两组数据的方差中较小的一个为s 2，则s 2＝____________。

8. 记复数z 的共轭复数为z ，若i i z 2)1(=-（i 虚数单位），则|z |= 。 9. 若非零向量,,a b c 满足||||||a b c ==，+a b c =，则a b 与的夹角为________。 10. 如图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径，AB∩CD=O ，且AB ⊥CD ，SO=OB=2，P 为SB 的中点，异面直线SA 与PD 所成角的正切值为__________。

三、解答题（共50分，解答应写出文字步骤过程） 11. （本题满分12分）

在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，cos sin (cos cos )A A a C c A =+。 （1）求角A 的大小；

（2）若32=a ，△ABC 的面积为4

3

5，求△ABC 的周长。 12. （本题满分12分）

已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160。现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动。

（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（2）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作。

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率。 13.（本小题满分13分）

如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点。将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM 。

（1）求证：AD⊥BM；

（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥E-ADM的体积与四棱锥D－ABCM的体积之比为1∶3?

14. （本小题满分13分）

随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷。现从使用A和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下。

（1）试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；

（2）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：

①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?

②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由。

下学期期末试卷参考答案

1. D 【解析】 由题意得23121

x y x y

y y +=+⎧⎨

-=+⎩，所以x ＝4，y ＝－2，

所以复数z ＝4－2i 位于复平面的第四象限，故选D 。

2. C 【解析】向量a ＝（－1，1），b ＝（3，m ），则a ＋b ＝（2，m ＋1），a ∥（a ＋b ），则－（m ＋1）＝2，解得m ＝－3，故选C 。

3. C 【解析】因为b ＝c ，a 2＝2bc （1－sin A ）， ∴A bc c b A b b a sin 2sin 2222222-+=-=,

由余弦定理得，A bc a c b A bc cos 2sin 2222=-+=，得到A ＝4

π

。 4. A

5. C 【解析】如图，BC 1是球的直径，根据数量关系和勾股定理计算得BC 1=13，则球的半径为

132

。

6. B 【解析】记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得OB 2＝6002＋400t 2－

2×20t ×600×

2

，令OB 2≤4502，即4t 2－t ＋1 575≤0，解得

15115122

t ≤≤（）（）

，

所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15t ==（h ）。

7. 2

5

【解析】由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波

动性较小，其方差较小，其平均值为7，方差s 2＝51

（1＋0＋0＋1＋0）＝25。

8. 【解析】由i i z 2)1(=-，可得i i i i i z +-=+=-=12

)

1(212，所以i z --=1，

则2||=z 。

9. 120° 【解析】设a b 与的夹角为θ，因为+a b c =，所以2

2

2

2

||=||2.c a b a a b b +=+⋅+