期末试卷 (1)

下学期期末试卷 （答题时间：90分钟）一、单选题（每题5分，共30分）1. 设x ，y ∈R ，若（x ＋y ）＋（y －1）i ＝（2x ＋3y ）＋（2y ＋1）i ，则复数z ＝x ＋y i 在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知向量a ＝（－1，1），b ＝（3，m ），若a ∥（a ＋b ），则m ＝（ ） A. －2 B. 2 C. -3D. 33. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2（1－sin A ），则A ＝（ ）A.43π B. 3π C. 4π D. 6π4. 一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底都为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）A.B.C.D. 5. 已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=12，则球O 的半径是（ ）A.B. C.132D. 6. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（ ）A. 14 hB. 15 hC. 16 hD. 17 h二、填空题（每题5分，共20分）7. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10若以上两组数据的方差中较小的一个为s 2，则s 2＝____________。

8. 记复数z 的共轭复数为z ，若i i z 2)1(=-（i 虚数单位），则|z |= 。

9. 若非零向量,,a b c 满足||||||a b c ==，+a b c =，则a b 与的夹角为________。

10. 如图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径，AB∩CD=O ，且AB ⊥CD ，SO=OB=2，P 为SB 的中点，异面直线SA 与PD 所成角的正切值为__________。

三、解答题（共50分，解答应写出文字步骤过程） 11. （本题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，cos sin (cos cos )A A a C c A =+。

（1）求角A 的大小；（2）若32=a ，△ABC 的面积为435，求△ABC 的周长。

12. （本题满分12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160。

现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动。

（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作。

①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率。

13.（本小题满分13分）如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点。

将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM 。

（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥E-ADM的体积与四棱锥D－ABCM的体积之比为1∶3?14. （本小题满分13分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷。

现从使用A和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下。

（1）试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；（2）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由。

下学期期末试卷参考答案1. D 【解析】 由题意得23121x y x yy y +=+⎧⎨-=+⎩，所以x ＝4，y ＝－2，所以复数z ＝4－2i 位于复平面的第四象限，故选D 。

2. C 【解析】向量a ＝（－1，1），b ＝（3，m ），则a ＋b ＝（2，m ＋1），a ∥（a ＋b ），则－（m ＋1）＝2，解得m ＝－3，故选C 。

3. C 【解析】因为b ＝c ，a 2＝2bc （1－sin A ）， ∴A bc c b A b b a sin 2sin 2222222-+=-=,由余弦定理得，A bc a c b A bc cos 2sin 2222=-+=，得到A ＝4π。

4. A5. C 【解析】如图，BC 1是球的直径，根据数量关系和勾股定理计算得BC 1=13，则球的半径为132。

6. B 【解析】记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得OB 2＝6002＋400t 2－2×20t ×600×2，令OB 2≤4502，即4t 2－t ＋1 575≤0，解得15115122t ≤≤（）（），所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15t ==（h ）。

7. 25【解析】由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小，其平均值为7，方差s 2＝51（1＋0＋0＋1＋0）＝25。

8. 【解析】由i i z 2)1(=-，可得i i i i i z +-=+=-=12)1(212，所以i z --=1，则2||=z 。

9. 120° 【解析】设a b 与的夹角为θ，因为+a b c =，所以2222||=||2.c a b a a b b +=+⋅+又||||||a b c ==，所以22a b b ⋅=-，即22||||cos ||a b b θ⋅=-，所以1cos 2θ=-， 所以a b 与的夹角为120°。

10.【解析】连接OP ，则1//,2OP SA 故∠OPD 即为SA 与PD 的夹角。

∵SO=OB=2，∴SA=。

又在ΔPCD 中，PO ⊥CD ，∴在RtΔPOD 中，OD=2，，tan ODOPD OP∠== 11. 【解析】（1）∵)cos cos (sin cos 3A c C a A A b +=， ∴由正弦定理可得：B AC A A A C C A A A B sin sin )sin(sin )cos sin cos (sin sin cos sin 3=+=+=，B AC A A sin sin )sin(sin =+=，即B A A B sin sin cos sin 3=， ∵0sin ≠B ， ∴3tan =A ，∵),0(π∈A ， ∴3π=A 。

（2）∵3π=A ，32=a ，△ABC 的面积为435， ∴43543sin 21==bc A bc ， ∴5=bc ，∴由余弦定理可得：A bc c b a cos 2222-++，即15)(3)(122222-+=-+=-+=c b bc c b bc c b ，解得：33=+c b ，∴△ABC 的周长为353332=+=++c b a 。

12. 【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人。

（2）①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }共21种。

②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种。

所以，事件M 发生的概率P （M ）＝521。

13. 【解析】（1）证明：∵长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点，∴AM ＝BM ，∴AB 2＝AM 2＋BM 2， ∴BM ⊥AM 。

∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，BM ⊂平面ABCM ， ∴BM ⊥平面ADM 。

∵AD ⊂平面ADM ，∴AD ⊥BM 。

（2）解：当E 为DB 的中点时，V E -ADM ＝21V B -ADM ＝21V D -ABM ＝21×32V D -ABCM ＝31V D --ABCM ，∴E 为DB 的中点。

14. 【解析】（1）依题意可得，使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55分钟。

使用A 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为：15×0. 06＋25×0. 34＋35×0. 12＋45×0. 04＋55×0. 4＋65×0. 04＝40（分钟）。

（2）①使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0. 04＋0. 20＋0. 56＝0. 80＝80%>75%。

故可以认为使用B 款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%。

②使用B 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0. 04＋25×0. 2＋35×0. 56＋45×0. 14＋55×0. 04＋65×0. 02＝35<40，所以选B 款订餐软件。