导数、数列、不等式知识点

合集下载

利用导数证明数列不等式(含解析)

利用导数证明数列不等式利用导数证明数列不等式，在高考题中能较好的考查学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起，也是近年来高考的热门题型. 1、常见类型：（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题（2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题 2、恒成立不等式的来源：（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式.（2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向.其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式. 3、常见恒成立不等式：（1）对数→多项式（2）指数→多项式4、关于前项和的放缩问题：求数列前项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种：（1）倒序相加：通项公式具备第项与第项的和为常数的特点.（2）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式（例如，求和可用错位相减）.（3）等比数列求和公式（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消. 注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑.5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式.6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向.7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）.ln 1x x <-1x e x >+n n k 1n k -+⨯2nn a n =⋅n a8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系）.【经典例题】1．（2020·江苏省如皋中学高三三模）已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ．（1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；（3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+． 2．（2020·四川省内江市第六中学高三三模）已知函数2()ln(1)(0,0),()2x f x ax x a g x x -=+≥>=+. （1）讨论函数()()y f x g x =-的单调性；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1a =时，证明：1111+35721n +++<+…*1()(N )2f n n ∈. 3．（2020·安徽合肥·三模）已知函数()x xf x e e ax -=--（e 为自然对数的底数），其中a ∈R.（1）试讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 4．（2020·安徽相山·淮北一中高三三模）已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （∈）讨论()f x 的单调性；（∈）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.5．（2020·云南高三三模）已知函数()1ln f x x a x =-- （１）讨论()f x 的单调性；（2）证明：()*333ln 2ln3ln 1,222332n n N n n n +++<∈≥---．【精选精练】1．（2020·榆林市第二中学高三三模）已知(),()1(xf x eg x x e ==+为自然对数的底数).(1)求证()()f x g x ≥恒成立；(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，2111(1)(1)(1)333n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值. 2．（2020·广东广州高三三模·）已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间；（2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-． 3．（2020·安徽蚌埠·高三三模）已知函数()()ln 1x f x x+=.（1）分析函数()f x 的单调性；（2）证明：2111ln 3ln 212n n n ⎛⎫+⎛⎫+++≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2n ≥. 4．（2020·全国高三三模）已知函数2()2ln 1()f x ax x x a =--∈R . (1) 若1x e=时,函数()f x 取得极值,求函数()f x 的单调区间； (2) 证明：()*11111ln(21)3521221nn n n n +++⋯+>++∈-+N . 5．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中高三三模）已知函数()()2ln 11f x p x p x =+-+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1p =时，()f x kx ≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：()()*111ln 1123n n N n+<+++⋯+∈．6．（2020·浙江省宁波市鄞州中学高三三模）已知函数()()2f x ax a a R =+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0f x ≤对任意的1x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（32600⋅⋅⋅+<.7．（2020·广东广州·高三三模）已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明:()21f x x x ≤+-；（3）试比较22222222ln2ln3ln4ln 234n n++++与()()()12121n n n -++ ()*2n N n ∈≥且的大小，并证明你的结论． 8．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中三模）已知函数()()2ln 1f x ax bx x =+-+．（∈）当0a =时，函数()f x 存在极值，求实数b 的取值范围；（∈）当1b =时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（∈）求证：()()1*113ln 2122N 14nk n n k =-+<∈-∑． 9．（2020·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数()()()()ln 111f x x k x k R =---+∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：()()*1ln 2ln 3ln ,13414n n n n n n -++⋅⋅⋅+<∈>+N . 10．（2020·浙江三模）已知数列{}n a ，112a =，1ln 1n n a a +=-. （1）求证：11n n a a +<<；（2）求证：123201912020a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅<.【经典例题】1．（2020·江苏省如皋中学高三三模）已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ．（1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；（3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+．【答案】（1）单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞；（2）[1,)+∞；（3）证明见解析.【解析】（1）当2k =时，()2ln f x x x x =-，'()1ln f x x =-，由'()0f x >，解得0x e <<；由'()0f x <，解得x e >，因此函数()f x 单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．（2）()ln f x kx x x =-，故'()1ln f x k x --＝．当1k时，因为01x <≤，所以10ln k x -≥≥，因此'()0f x ≥恒成立，即()f x 在(]0,1上单调递增，所以()(1)f x f k ≤=恒成立．当1k <时，令'()0f x =，解得1(0,1)k x e -=∈．当1(0,)k x e -∈，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,1)k x e -∈，'()0f x <，()f x 单调递减；于是1(1))(k f ef k -=＞，与()f x k ≤恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1,)+∞．（3）由（2）知，当01x <≤时，ln 1x x x -≤．令x =21n *()n N ∈，则21n +22nln 1n ≤，即22ln 1n n -≤，因此ln 1n n +≤12n -．所以ln1ln 2ln 011(1) (2312224)n n n n n --+++≤+++=+. 2．（2020·四川省内江市第六中学高三三模）已知函数2()ln(1)(0,0),()2x f x ax x a g x x -=+≥>=+. （1）讨论函数()()y f x g x =-的单调性；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1a =时，证明：1111+35721n +++<+…*1()(N )2f n n ∈.【答案】（1）见解析；（2）[1，＋∞)；（3）证明见解析. 【解析】（1）求导数可得2224441(2)(1)(2)a ax a y ax x ax x +-'=-=++++，当1a 时，0y '，∴函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时，由0y '>可得x > ∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在0⎡⎢⎣上单调递减；（2）由（1）知当1a 时，函数()()y f x g x =-在[)0+∞，上单调递增， ()()(0)(0)1f x g x f g ∴--=，即不等式()()1f x g x +在[)0x ∈+∞，时恒成立，当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得00()()(0)(0)1f x g x f g -<-=，即不等式00()()1f x g x +不成立，综上可知实数a 的取值范围为[1，)+∞；（3）由（2）得当1a 时，不等式()()1f x g x >+在(0,)x ∈+∞时恒成立，即2(1)2x ln x x +>+，12(1)12ln k k∴+>+，*()k N ∈．即11[(1)]122ln k lnk k <+-+， ∴11(21)32ln ln <-，11(32)52ln ln <-，11(43)72ln ln <-，11[(1)]212ln n lnn n ⋯<+-+，将上述式子相加可得11111111(1)(1)()357212222lnn ln lnn ln n f n n +++⋯+<-=<+=+ 原不等式得证．3．（2020·安徽合肥·三模）已知函数()x xf x e e ax -=--（e 为自然对数的底数），其中a ∈R.（1）试讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析.【解析】（1）因为()x xf x e ea -'=+-，且2x x e e -+≥，所以当2a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在R 上为增函数，当2a >时，由()0f x '>，得0x x e e a -+->，所以2()10x xe ae -+>，所以22()124x a a e ->-，所以2x ae ->或2xa e -<，所以2xa e +>2xa e -<，所以24ln2aa x 或24ln2aa x ，由()0f x '<，得0x x e e a -+-<，解得2244ln22aa aax ，所以()f x 在ln 22a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在,ln2a ⎛--∞ ⎪⎝⎭和ln 2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增.（2）由（1）知，当2a =时，()2xxf x e e x -=--在R 上为增函数，所以1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数，所以当*n N ∈且2n ≥时，13()(2)22ln 2ln 422g n g ≥=--=-=32ln 04e >，即12ln 0n n n-->，所以212211ln 1(1)(1)11n n n n n n n >==---+-+，所以211111ln 2ln 23ln 34ln 4ln ni i i n n==++++∑ 1111111121213131414111n n >-+-+-++--+-+-+-+ 111121n n =+--+2322(1)n n n n --=+，所以22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑.4．（2020·安徽相山·淮北一中高三三模）已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （∈）讨论()f x 的单调性；（∈）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.【答案】（I ）见解析；（II ）见解析【解析】（∈）函数()f x 可化为ln ,()ln ,0x x a x af x a x x x a --≥⎧=⎨--<<⎩，当0x a <<时，1()10f x x '=--<，从而()f x 在(0,)a 上总是递减的，当x a ≥时，11()1x f x x x'-=-=，此时要考虑a 与1的大小.若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[,)a +∞上递增，若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，故()f x 在[,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增，而()f x 在x a =处连续，所以当1a ≥时，()f x 在(0,)a 上递减，在[,)a +∞上递增；当01a <<时，()f x 在(0,1)上递减，在[1,)+∞上递增.（∈）由（∈）可知当1a =，1x >时，1ln 0x x -->，即ln 1x x >-，所以ln 11x x x <-.所以 222222ln 2ln 3ln 23n n+++22211111123n <-+-+-222111123n n ⎛⎫=--+++⎪⎝⎭11112334(1)n n n ⎛⎫<--+++⎪⨯⨯+⎝⎭11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭1(1)2(1)n n n -=--+ 2221(1)(21)2(1)2(1)n n n n n n --+-+==++.5．（2020·云南高三三模）已知函数()1ln f x x a x =-- （１）讨论()f x 的单调性；（2）证明：()*333ln 2ln3ln 1,222332n n N n n n +++<∈≥---．【答案】（1）当0a 时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增．（2）证明见解析【解析】（1）解：()1ln (0)f x x a x x =-->，()1af x x'∴=-．∈若0a ，则()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞内单调递增；∈若0a >，则()f x '在(0,)+∞内单调递增，且()0f a '=，∴当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增．综上所述，当0a 时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增．（2）证明：当1a =时，()1ln =--f x x x ．由（1）知()(1)0f x f =，ln 1x x ∴-，当且仅当1x =时，等号成立，令()*,2x n n N n =∈，ln 1n n ∴<-，33ln 1111(1)1n n n n n n n n n n -∴<==---++．从而3ln 2112223<--， 3ln 3113334<-- …3ln 111n n n n n <--+，累加可得333ln 2ln3ln 11223321n n n n ++⋯+<----+， 111212n -<+， 333ln 2ln3ln 122332n n n ∴++⋯+<---，证毕．【精选精练】1．（2020·榆林市第二中学高三三模）已知(),()1(x f x e g x x e ==+为自然对数的底数).(1)求证()()f x g x ≥恒成立；(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，2111(1)(1)(1)333n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 2.【解析】（1）令()()()1xF x f x g x e x =-=--，则()1xF x e '=-∴当(),0x ∈-∞时，()0F x '<；当()0,x ∈+∞时，()0F x '>()F x ∴在(),0-∞上单调递减；在()0,∞+上单调递增()()0min 0010F x F e ∴==--=，即()()()0F x f x g x =-≥恒成立 ()()f x g x ∴≥恒成立（2）由（1）知：13113n n e +≤221111113333332111111333n n n e e e e++⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+≤⋅⋅⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又211111111133********13nn n⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭++⋅⋅⋅+==⨯-<⎪⎝⎭- 11112322111111333n n e e ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+≤< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又2111111333n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立 12m e ∴≥ m 为正整数 m ∴的最小值为：22．（2020·广东广州高三三模·）已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间；（2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-．【答案】（1）()f x 单调递增区间为()3+∞，;() f x 单调递减区间为()03，；（2）43a ≥；（3）详见解析．【解析】（1）因为()()3246x f x x ex x -=-+-，所以()()()()3332632x x f x x ex x e --=-+-='-+，令()0f x '=得3x =，当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在()0+∞，上的单调递增区间为()3+∞，，单调递减区间为()03，；（2）由（1）知()()()332x f x x e-'=-+，当3x ≥时，()0f x '≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；当3x <时，()0f x '<，又因为()()(){}0h x max f x g x '=≥，恒成立，所以()0g x ≥在()03，上恒成立，所以11ln 03a x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立，令()()1ln 03x F x x x +=<<，则()13max a F x -≥，由()()221ln 1ln x xF x x x-+-'==，令()0F x '=得1x =，易得()F x 在()01，上单调递增，在[)13，上单调递减，所以()()11max F x F ==，所以113a -≥，即43a ≥，综上可得43a ≥.（3）证明：设()()10xm x e x x =-->，则()10xm x e '=->，所以()m x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00m x m >=，即1x e x >+，所以1111111111312312333112313n n n nn n n nn n n n n ee eeen n n n n++++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++- 123331231n n n nn n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++-，所以11111ln 312313n n n n n+++++>++-. 3．（2020·安徽蚌埠·高三三模）已知函数()()ln 1x f x x+=.（1）分析函数()f x 的单调性；（2）证明：2111ln 3ln 212n n n ⎛⎫+⎛⎫+++≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2n ≥. 【答案】（1）()f x 在区间()–1,0和()0,∞+上单调递减；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题意得：()f x 的定义域为()()–1,00,+∞，且()()2ln 11xx x f x x -++'=，令()()ln 11x g x x x=-++则()()21x g x x -'=+，()–1,0x ∈时，()0g x '>； ()0,x ∈+∞时，()0g x '<.即()g x 在()–1,0上单调递增，在()0,∞+上单调递减.因为()00g =，则在()–1,0和()0,∞+上()0g x <. 因为20x >，所以在()–1,0和()0,∞+上()0f x '<，即函数()f x 在区间()–1,0和()0,∞+上单调递减. （2）由（1）可知，当02x <≤时，()()ln 322x f f =≥，即()ln 3ln 12x x +≥，当2n ≥时，2021n <≤-，则2ln 3ln 111n n ⎛⎫+≥⎪--⎝⎭，即()()2ln 3ln 1ln 1ln 111n n n n ⎛⎫+=+--≥ ⎪--⎝⎭，所以()()()ln 1ln 1ln ln 2ln 4ln 2ln3ln1n n n n +--+--++-+-111ln 31122n n ⎛⎫≥++++ ⎪--⎝⎭整理得：()111ln 1ln ln 2ln1ln 31122n n n n ⎛⎫++--≥++++⎪--⎝⎭，即2111ln 3ln 212n n n ⎛⎫+⎛⎫+++≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2n ≥，不等式得证.4．（2020·全国高三三模）已知函数2()2ln 1()f x ax x x a =--∈R . (1) 若1x e=时,函数()f x 取得极值,求函数()f x 的单调区间； (2) 证明：()*11111ln(21)3521221nn n n n +++⋯+>++∈-+N . 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由题意可得，()'222(0,)f x ax lnx x a R =-->∈，由1x e =时，函数()f x 取得极值知12'220af e e ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以0a =．所以()()21,'22(0)f x xlnx f x lnx x =--=-->，所以10x e <<时，()'0f x >；1x e>时，()'0f x <；所以()f x 的单调增区间10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. （2）当1a =时，()221f x x xlnx =--，所以()()'22221f x x lnx x lnx =--=--，令()ln 1g x x x =--，则()11'1x g x x x-=-=，当01x <<时，()'0g x <；当1x >时，()'0g x >，()g x 的单调减区间为()01，，单调增区间为()1+∞，，所以()()10g x g ≥=，所以()'0f x ≥，()f x 是增函数，所以1x >时，()()22ln 110f x x x x f =-->=，所以1x >时，12ln x x x->，令*211,21n x n N n +=>∈-，得2121212ln 212121n n n n n n +-+->-+- 即2221112ln 212121n n n n +⎛⎫+--> ⎪-+-⎝⎭ 所以1121111ln 2122122121n n n n n +⎛⎫>+- ⎪---+⎝⎭上式中123n =，，，…，n ，然后n 个不等式相加，得到()11111...ln 213521221nn n n ++++>++-+ 5．（2020·辽宁沙河口·辽师大附中高三三模）已知函数()()2ln 11f x p x p x =+-+．（2）当1p =时，()f x kx ≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：()()*111ln 1123n n N n+<+++⋯+∈．【答案】(1) 见详解；(2)1k；(3)证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为()0 +∞，，()()()221'21p x p p f x p x x x-+=+-=，当1p >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+单调递增；当0p ≤时，()'0f x <，故()f x 在()0,∞+单调递减；当10p -<<时，令()'0f x =，解得x =则当x ⎛∈ ⎝时，()'0f x >； x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，时，()'0f x <．故()f x 在⎛ ⎝单调递增，在 ⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减．（2）因为0x >，所以：当1p =时，()f x kx ≤恒成立11ln ln kx xx k x+⇔+≤⇔≥，令()1ln xh x x +=，则()max k x h ≥，因为()2ln 'xh x x-=，由()'0h x =得x =1，且当()0,1x ∈时，()'0h x >；当()1,x ∈+∞时，()'0h x <．所以()h x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()()max 11h x h ==，故1k ．(3)取,则代入由题设可得,取,并将上述各不等式两边加起来可得()()*111ln 1123n n N n+<+++⋯+∈．6．（2020·浙江省宁波市鄞州中学高三三模）已知函数()()2f x ax a a R =+∈.（2）若()0f x ≤对任意的1x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（32600⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）()f x 在211,14a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单增；在211,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单减；（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（3）证明见解析. 【解析】()'f x a =+.（1）当0a ≥时，()'0f x ≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增；当0a <时，由()'0f x >解得21114x a -<<-，所以()f x 在211,14a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增；在211,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a ≥时，()()2000f x a x =+≥+=，故不合题意；当0a <时，由（∈）知()max 21104x f f a ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭，211(21)(21)20141244a a f a a a a a a +-⎛⎫=-+- ⎪⎝-+=≤⎭102a a <∴≤-，综上，a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.（3）由（2）知，取12a =-112x ≤+成立.当()1,2,3,,20482020kx k ==时，1111220204040k k =≤⨯+=⨯+，⋅⋅⋅+()11234204820484040++++++<20491024204826004040⨯=+<.7．（2020·广东广州·高三三模）已知函数()2ln f x a x x =+，其中a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，证明:()21f x x x ≤+-；（3）试比较22222222ln2ln3ln4ln 234n n++++与()()()12121n n n -++ ()*2n N n ∈≥且的大小，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）函数()f x 的定义域为：()0,∞+，()'f x = 222a a x x x x++=∈当0a ≥时，()'0f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增∈当0a <时，令()'0f x =，解得x =当0x <<时，220a x +<，所以()'0f x <，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >220a x +>，所以()'0f x >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．综上，当0a ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，函数()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. （2）当a 1=时，()2ln f x x x =+，要证明()21f x x x ≤+-，即证ln 1x x ≤-，即证：ln 10x x -+≤. 设()g ln 1x x x =-+，则()g'x =1xx-，令()0g x '=得，1x =. 当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∈+∞时，()0g x '<. 所以1x =为极大值点，且()g x 在1x =处取得最大值．所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤．故()21f x x x ≤+-.（3）证明：ln 1x x ≤-（当且仅当1x =时等号成立），即11lnx x x≤-, 则有2222ln +22222222223111111111n 132323ln lnn n n n ⎛⎫+⋯+<-+-+⋯+-=--++⋯+ ⎪⎝⎭()111n 123341n n ⎛⎫<--++⋯+ ⎪ ⎪⨯⨯+⎝⎭ ()()()12111111111n 1n 1233412121n n n n n n -+⎛⎫⎛⎫=---+-+⋯+-=---=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭, 故：2222ln +()()()22221213321n n ln lnn n n -++⋯+<+ 8．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中三模）已知函数()()2ln 1f x ax bx x =+-+．（∈）当0a =时，函数()f x 存在极值，求实数b 的取值范围；（∈）当1b =时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（∈）求证：()()1*113ln 2122N 14nk n n k =-+<∈-∑．【答案】（∈）0b >；（∈）12a ≤-；（∈）证明见解析．【解析】（∈）当0a =时，()()()ln 11f x bx x x =-+>-，()()1111bx b f x b x x --'=-=++， ∈当0b ≤时，()0f x '<，则()f x 在()1,-+∞递减，无极值； ∈当0b >时，令()1'0,11f x x b==->-， 1()0,(1,1),()f x x f x b '<∈--单调递减，1()0,(1,),()f x x f x b '>∈-+∞单调递增，所以11,()x f x b=-取得极小值.综上可知：0b >．（∈）当1b =时，()()()2ln 10f x ax x x x =+-+>，()1212011x f x ax ax x x '=+-=+≤++恒成立 121a x ⇔-≥+对一切()0,x ∈+∞恒成立， ∈11x +>，∈1011x <<+，∈21a -≥，∈12a ≤-．（∈）由（∈）知：当12a =-时，()()21ln 12f x x x x =-+-+在()0,∞+递减，∈()()00f x f ≤=，即：()2ln 12x x x -+<，令221x n =-，则()22212ln 212121n n n n +-<---，当2n ≥时，()2222122ln 212144121n n n n n n +-<=---+- ()21114121n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭，∈23ln 2ln 311-=- 2511ln 13322⎛⎫-<- ⎪⎝⎭ 27111ln 55223⎛⎫-<- ⎪⎝⎭……221111ln 212121n n n n n +⎛⎫-<- ⎪---⎝⎭累加得，()11112ln 212ln 31212nk n k n =⎛⎫⋅-+<-+- ⎪-⎝⎭∑ 5153ln3ln32222n =--<-<，当1n =时，131ln 324-<，即：1ln 32>，综上，()1113ln 212124nk n k =-+<-∑． 9．（2020·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数()()()()ln 111f x x k x k R =---+∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：()()*1ln 2ln 3ln ,13414n n n n n n -++⋅⋅⋅+<∈>+N . 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）[)1,+∞；（3）证明见解析. 【解析】（1）函数()()()ln 111f x x k x =---+的定义域为()1,+∞，且()11f x k x '=--. ∈当0k ≤时，()0f x '>恒成立，故函数()y f x =在()1,+∞上为增函数； ∈当0k >时，令()0f x '<，得1k x k +>时，即函数()y f x =在1,k k +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，令()0f x '>，得11k x k +<<时，即函数()y f x =在11,k k +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上：当0k ≤时，函数()y f x =在()1,+∞上为增函数；当0k >时，函数()y f x =在11,k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,k k +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为减函数；（2）当0k ≤时，()211f k =-+≥，显然()0f x ≤不恒成立；当0k >时，()max 11ln 0k f x f k k +⎛⎫==≤⎪⎝⎭，即1k .综上：实数k 的取值范围是[)1,+∞；（3）由（2）可知，当1k =时()0f x ≤恒成立，即()ln 12x x -<-，()ln 121x x x-∴<-， ()()22ln ln 11121212n n n n n n n --=<=+++，可得出ln 2132<，ln 3242<，，ln 112n n n -<+， ()()*1ln 2ln 3ln 121,23412224n n n n n N n n --∴+++<+++=∈≥+. 10．（2020·浙江三模）已知数列{}n a ，112a =，1ln 1n n a a +=-. （1）求证：11n n a a +<<；（2）求证：123201912020a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅<. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）∈先利用数学归纳法证明1n a <. （∈）当1n =时，1112a =<成立；（∈）假设n k =时1k a <成立，则1ln 10k k a a +=-<，11k a +∴<. 综上所述，对任意的n *∈N ，1n a <； ∈利用导数证明1x e x -≥，设()1x f x ex -=-，则()1e 1x f x -'=-，当1x <时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()0110f x f e ≥=-=，即1x e x -≥，当且仅当1x =时，等号成立.1n a <，()()10n f a f ∴>=，即1n a n e a ->，1ln 1n n a a +=-，11n a n n a e a -+∴=>，综合∈∈可知11n n a a +<<；（2）利用数学归纳法证明1n n a n ≤+. ∈当1n =时，112a =满足1n n a n ≤+；∈假设n k =时成立，即1k ka k ≤+，则由1ln 1n n a a +=-，得111111k k a k k k a eee---+++==≤，要证1112k k ek -++<+，令11,012t k ⎛⎫-=∈- ⎪+⎝⎭，则要证11012t e t t ⎛⎫<-<< ⎪-⎝⎭，21 / 21 构造()11x f x e x =+-，1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()()()22211111x x e x f x e x x --'=-=--，令()()211x h x e x =--，1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()()()()2212110x x x h x e x e x e x '=-+⋅-=-<，所以，函数()y f x '=在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()()00f x f ''∴>=，所以，函数()y f x =在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()()00f x f ∴<=，即11x e x <-成立，即1112k k e k -++<+，112k k a k ++∴<+，综上1n na n ≤+，当且仅当1n =时等号成立，由于1ln 1n n a a +=-，可知0n a >，所以，1102a <≤，2203a <<，，2019201902020a <<，1220191232019123420202020a a a ⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⋅⋅⨯=.。

高中数学知识点总结及公式大全PDF

高中数学知识点总结及公式大全PDF一、代数1. 集合与函数- 集合的基本概念、运算及其性质- 函数的定义、性质和常见类型（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）- 函数的图像和变换（平移、伸缩、对称等）2. 等式与不等式- 一元一次方程、一元二次方程的解法- 不等式的性质和解集表示- 解线性不等式和二次不等式3. 序列与数列- 等差数列和等比数列的通项公式和求和公式- 数列的极限概念及计算4. 多项式- 多项式的基本概念、运算性质- 多项式的因式分解- 二次方程的根与系数的关系5. 指数与对数- 指数运算法则、指数函数的图像和性质- 对数运算法则、对数函数的图像和性质- 换底公式及其应用二、几何1. 平面几何- 点、线、面的基本性质- 三角形、四边形的性质和计算- 圆的性质、圆的方程2. 立体几何- 空间几何体的性质和计算（如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等） - 空间向量及其在立体几何中的应用3. 解析几何- 直线和圆的解析方程- 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程和性质三、概率与统计1. 概率- 随机事件的概率定义和计算- 条件概率、独立事件- 随机变量及其分布（如二项分布、正态分布等）2. 统计- 数据的收集、整理和描述- 统计量（如平均数、中位数、众数、方差、标准差等）的计算和意义- 线性回归和相关性的基本概念四、微积分1. 导数- 导数的定义、几何意义和物理意义- 常见函数的导数公式- 导数的运算法则和应用（如极值问题、相关变化率问题等）2. 积分- 不定积分的概念、性质和基本积分表- 定积分的定义、性质和计算- 微积分基本定理及其应用公式大全1. 代数公式- 等差数列通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$- 等比数列通项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$- 等差数列求和公式：$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$ - 等比数列求和公式：$S_n = \frac{a_1 - a_1q^n}{1 - q}$（$q \neq 1$）- 二次方程求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$2. 几何公式- 直角三角形面积：$S = \frac{1}{2}ab$- 三角形面积（海伦公式）：$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（$p$为半周长）- 圆的周长：$C = 2\pi r$- 圆的面积：$S = \pi r^2$3. 概率统计公式- 二项分布概率公式：$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$- 正态分布概率密度函数：$f(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$4. 微积分公式- 导数公式：- 常数：$\frac{d}{dx}c = 0$- 幂函数：$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ - 指数函数：\(\frac。

导数数列型不等式证明问题

导数数列型不等式的证明涉及到导数的概念、性质和运算，通常需要运用放缩、构造辅助函数、微分中值定理等方法。

以下是一些常见的导数数列型不等式的证明方法：
放缩法：通过放缩不等式，使得不等式的证明变得更加容易。

例如，可以利用导数的性质，将原不等式转化为容易证明的等式或不等式。

构造辅助函数法：根据导数的性质，构造出一个辅助函数，通过研究该函数的性质，证明不等式。

例如，可以构造一个函数，使其在指定区间上单调递增或递减，从而证明不等式。

微分中值定理法：利用微分中值定理，将不等式转化为一个容易证明的等式或不等式。

例如，可以根据微分中值定理，将原不等式转化为一个关于某个变量的函数，然后对该函数求导，证明其单调性，从而证明不等式。

需要注意的是，在证明导数数列型不等式时，需要充分理解导数的性质和运算规则，并能够灵活运用。

同时，还需要注重证明过程中的严谨性和准确性，避免出现错误。

高中数学基本知识点汇总(最新)

高中数学基本知识点汇总(最新)一、集合与函数概念1. 集合的基本概念集合的定义：集合是某些确定的、互不相同的对象的全体。

集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。

常见数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R。

2. 集合间的关系与运算子集、真子集、相等关系。

并集、交集、补集的定义及运算。

集合运算的性质：交换律、结合律、分配律、摩根律。

3. 函数的概念函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

函数的表示方法：列表法、图象法、解析法。

4. 函数的性质单调性：增函数、减函数的定义及判定。

奇偶性：奇函数、偶函数的定义及判定。

周期性：周期函数的定义及常见周期函数。

最值：函数的最大值和最小值及其求法。

二、基本初等函数1. 一次函数与二次函数一次函数的形式：y = kx + b（k≠0）。

一次函数的图象与性质：直线、斜率、截距。

二次函数的形式：y = ax^2 + bx + c（a≠0）。

二次函数的图象与性质：抛物线、顶点、对称轴、开口方向。

2. 指数函数与对数函数指数函数的形式：y = a^x（a>0且a≠1）。

指数函数的图象与性质：单调性、过定点（0,1）。

对数函数的形式：y = log_a(x)（a>0且a≠1）。

对数函数的图象与性质：单调性、过定点（1,0）。

3. 幂函数幂函数的形式：y = x^α。

常见幂函数的图象与性质：α为正整数、负整数、分数时的图象特点。

4. 三角函数正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及图象。

三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性。

三角函数的诱导公式及恒等变换。

三、立体几何1. 空间几何体的结构特征多面体：棱柱、棱锥、棱台的定义及性质。

旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体的定义及性质。

2. 空间几何体的三视图主视图、俯视图、左视图的定义及绘制方法。

高考数学知识点归纳人教版

高考数学知识点归纳人教版高考数学是高中阶段数学学习的总结和升华，其知识点广泛而深入，涵盖了代数、几何、概率统计等多个领域。

以下是根据人教版高中数学教材的知识点归纳：一、代数部分1. 集合与函数：包括集合的概念、运算，函数的定义、性质、单调性、奇偶性、周期性等。

2. 不等式：包括不等式的性质、解法，特别是一元二次不等式和绝对值不等式的解法。

3. 数列：数列的概念、等差数列、等比数列、数列的通项公式和求和公式。

4. 复数：复数的概念、运算、共轭复数、复数的模和辐角等。

5. 导数与微分：导数的定义、几何意义、基本导数公式、复合函数的求导法则、高阶导数。

6. 积分：定积分的概念、性质、基本定理、计算方法，包括牛顿-莱布尼茨公式。

二、几何部分1. 平面解析几何：包括直线与圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质。

2. 空间解析几何：空间直线与平面的方程、空间几何体的体积和表面积计算。

3. 立体几何：立体图形的性质、体积和表面积的计算，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

三、概率与统计1. 概率论基础：随机事件的概率、条件概率、独立事件、贝努利试验、二项分布等。

2. 统计基础：数据的收集、整理、描述，包括均值、中位数、众数、方差、标准差等。

四、其他知识点1. 三角函数：包括正弦、余弦、正切等三角函数的定义、图像、性质、和差化积、积化和差公式。

2. 反三角函数：反正弦、反余弦、反正切等函数的定义和性质。

3. 线性代数：矩阵的概念、运算、行列式、线性方程组的解法。

4. 逻辑推理：命题逻辑、演绎推理、归纳推理等。

结束语高考数学的知识点繁多，但只要系统地学习和复习，掌握每个知识点的内在联系和应用，就能够在高考中取得优异的成绩。

希望以上的归纳能够帮助同学们更好地准备高考，实现自己的目标。

高中数学基本知识点汇总(二)

高中数学基本知识点汇总(二)高中数学基本知识点汇总（二）将涵盖以下几个方面：函数与极限、导数与微分、积分学、空间解析几何与向量代数、数列、不等式及数学归纳法、复数等。

一、函数与极限1. 函数的基本概念（1）函数的定义：设A、B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数。

（2）函数的表示方法：解析法、表格法、图象法。

（3）函数的要素：定义域、值域、对应法则。

2. 函数的性质（1）单调性：函数f(x)在区间D上单调递增/递减，当且仅当对于区间D上的任意两个实数x1、x2（x1 < x2），都有f(x1) ≤ f(x2) / f(x1) ≥ f(x2)。

（2）奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x) = f(x)，则称函数f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数。

（3）周期性：如果存在一个正数T，使得对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)为周期函数。

3. 函数的极限（1）函数极限的定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总存在正数δ，使得当0 < |x x0| < δ时，都有|f(x) A| < ε，那么常数A称为函数f(x)当x趋向于x0时的极限。

（2）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、四则运算定理、夹逼定理等。

二、导数与微分1. 导数的概念（1）导数的定义：设函数f(x)在点x0处有定义，如果存在常数A，使得当x趋向于x0时，都有[f(x) f(x0)] / (x x0) = A，那么常数A称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。

不等式知识点大全

不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。

2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。

3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。

二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。

2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。

三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。

2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。

2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。

2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。

七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。

2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。

八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。

2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。

3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。

4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。

5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。

6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。

导数与数列不等式结合解题技巧

导数与数列不等式结合是数学中一个重要的解题技巧，它涉及到函数的单调性、极值、最值等概念，以及数列的单调性、不等式性质等知识。

下面是一些导数与数列不等式结合解题的技巧：
1. 构造函数：根据题目条件，通过构造适当的函数，将问题转化为求函数的极值或最值问题。

2. 求导数：对构造的函数求导数，利用导数的性质判断函数的单调性。

3. 利用单调性：根据函数的单调性，结合数列不等式的性质，推导出不等式的结论。

4. 寻找临界点：在求解过程中，寻找函数的临界点，这些点可能是极值点或拐点，对于解决问题至关重要。

5. 转化问题：在解决问题时，有时需要将问题转化为其他形式，例如将不等式问题转化为函数问题，以便更好地利用已知条件和解题技巧。

6. 综合分析：在解题过程中，需要综合运用数学知识，如函数、导数、数列、不等式等，进行全面的分析和推理。

7. 检验结论：在得出结论后，需要进行检验，以确保结论的正确性和合理性。

总之，导数与数列不等式结合解题需要灵活运用各种数学知识和技巧，通过构造函数、求导数、利用单调性等方法，逐步推导出问题的结论。

同时需要注意检验结论的正确性和合理性。

数学必修一必考知识点归纳

数学必修一必考知识点归纳数学必修一通常涵盖了高中数学的基础知识点，以下是一些必考的知识点归纳：1. 集合与函数：- 集合的概念、运算（交集、并集、补集、差集）。

- 函数的定义、性质（单调性、奇偶性、周期性）。

- 函数的图像与变换（平移、伸缩、对称）。

2. 不等式：- 不等式的基本性质和解法（一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式）。

- 绝对值不等式的解法。

3. 数列：- 数列的概念、分类（等差数列、等比数列）。

- 数列的通项公式和求和公式。

- 数列的极限和无穷等比数列的求和。

4. 三角函数：- 三角函数的定义、图像和性质。

- 三角恒等变换（和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式）。

- 反三角函数及其应用。

5. 解析几何：- 直线的方程（点斜式、斜截式、两点式、一般式）。

- 圆的方程（标准式、一般式）。

- 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质。

6. 立体几何：- 空间直线与平面的位置关系。

- 空间几何体的表面积和体积计算（正方体、长方体、圆柱、圆锥、球）。

7. 概率与统计：- 随机事件的概率计算。

- 条件概率和独立事件。

- 统计数据的收集、整理和描述（频率分布表、直方图）。

8. 复数：- 复数的概念、代数形式和几何意义。

- 复数的四则运算。

- 复数的共轭、模和辐角。

9. 导数与微分：- 导数的定义和几何意义。

- 基本初等函数的导数公式。

- 复合函数、反函数、隐函数的导数。

10. 积分：- 不定积分和定积分的概念。

- 积分的基本公式和计算方法。

- 定积分在几何和物理中的应用。

这些知识点是高中数学必修一课程的基础，掌握这些知识点对于进一步学习数学至关重要。

在复习时，建议结合课本、习题和历年真题进行系统性的学习和练习，以加深理解和应用能力。

选修1-1,1-2知识点(逻辑,导数,统计,推理,不等式)

选修1-1知识点总结逻辑用语部分一、四种命题及形式关系p ）q （q ）p （则若逆命题则若原命题互逆−−→←p ）q （q ）p （⌝⌝−−→←⌝⌝则若逆命题则若否命题互逆注意区分：否命题与命题的否定形式（只否结论，用于反证法）二、充分条件与必要条件q p → ，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件；q 是p 的必要不充分条件；q 的充分不必要条件是p（三个说法，一个意思）集A 集合B 从集合角度上看：（A 不定时需讨论是否是φ）三、且，或、非真假性q p ∧ 一假则假 q p ∨ 一真则真 p ⌝与p 真假性相反四、全称与特称全称命题：)(,x p M x ∈∀ 命题的否定形式：)(,00x p M x ⌝∈∃ 特称命题：)(,00x p M x ∈∃ 命题的否定形式：)(,0x p M x ⌝∈∀导数部分1、平均变化率与瞬时变化率平均变化率1212)()(x x x f x f x y --=∆∆ 意义：表曲线上两点连线的斜率瞬时变化率121200)()(limlimx x x f x f x yx x --=∆∆→∆→∆ 意义：表曲线在某点处切线的斜率导数：xx f x x f y x f x x x ∆-∆+==→∆=)()(lim|)(000//0表曲线在0x x =处切线的斜率。

注意分子分母对应）二、导数公式及法则0)(,)(/==x f c x f )0(ln )(,)(/>-==a a a x f a x f x x 1/)(,)(-==n n nx x f x x f x x e x f e x f ==)(,)(/)1,0(ln 1)(,log )(/≠>==a a a x x f x x f ax x f x x f 1)(,ln )(/== x x f x x f cos )(,sin )(/== x x f x x f sin )(,cos )(/-==)()()]()([///x g x f x g x f +=± )()()()()]()([///x g x f x g x f x g x f ⋅+⋅=⋅)0)(()]([)()()()(])()([2///≠⋅-⋅=x g x g x g x f x g x f x g x f复合函数求导))((x g f y =，令)(),(x g u u f y ==，分别求导)(),(////x g u u f y ==最后最积)()()(///x g u f x f =。

数学中的重要知识点详解

数学中的重要知识点详解数学作为一门学科，是人类思维的重要工具之一，也是自然界和社会现象的描述和解释的重要语言。

在学习数学的过程中，我们会接触到许多重要的知识点，这些知识点不仅对于数学本身的理解至关重要，也对于我们在其他学科中的应用有着重要的作用。

本文将详细介绍一些数学中的重要知识点，帮助读者更好地理解和应用数学。

一、代数学中的重要知识点1. 代数方程与不等式：代数方程和不等式是代数学中最基本的概念之一。

代数方程是由字母和常数通过运算符号组成的等式，而不等式则是由字母和常数通过不等号组成的不等式关系。

通过解代数方程和不等式，我们可以求得未知数的值，从而解决实际问题。

2. 函数与图像：函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的关系。

函数可以用数学表达式表示，也可以用图像表示。

函数的图像是在坐标系中表示的，通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质和特点，进而进行问题的分析和解决。

3. 数列与级数：数列是按照一定规律排列的一组数，级数是数列的和。

数列和级数在数学中有着广泛的应用，如计算机科学、物理学、经济学等领域。

掌握数列和级数的性质和求解方法，对于解决实际问题具有重要意义。

二、几何学中的重要知识点1. 平面几何与立体几何：几何学是研究空间和图形的形状、结构、性质和变换的学科。

平面几何研究二维平面上的图形，立体几何研究三维空间中的图形。

几何学在建筑、工程、地理等领域有着广泛的应用。

2. 三角学：三角学是研究三角形及其相关概念和定理的学科。

通过研究三角形的性质和定理，我们可以计算三角形的边长、角度和面积，解决与三角形相关的实际问题。

3. 向量与坐标系：向量是几何学中的重要概念，它表示有大小和方向的量。

向量可以用箭头表示，也可以用坐标表示。

坐标系是用于描述点的位置的一种工具，常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

向量和坐标系在物理学、工程学等领域有着重要的应用。

三、微积分中的重要知识点1. 导数与微分：导数是函数在某一点的变化率，微分是函数的微小变化。

第7讲构造函数解不等式(学生版)2023年高考数学重难突破之导数、数列(全国通用)

第七讲构造函数法解决导数不等式思维导图——知识梳理脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶考法一加减法模型构造函数思维导图-----方法梳理1.对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()bkx x f x g +-=2.形如(x)g(x)f >或(x)g(x)f <的函数不等式，（1）.可以构造函数)(-)(x g x f x F =）（，然后求）（x F 的最大值和最小值；（2）.如果(x)0g >，我们也可以构造函数()(x)(x)f G xg =，求()G x 的最值.，且为且当A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b>>围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2021·四川广元市·高三三模）已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（）A．(,3)(0,3)-∞- B．()3,3-C．(3,0)(0,3)-⋃D．(,3)(3,)-∞-⋃+∞例2．（2022·广东·华南师大附中高三阶段练习）设函数()f x '是奇函数()(R)f x x ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 取值范围是（）A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．(1,0)(0,1)-⋃C ．(,1)(0,1)-∞-⋃D ．(1,0)(1,+)-⋃∞例3．（2022·西藏昌都市第四高级中学一模（理））已知函数()f x 是定义在−∞，∪，+∞的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为（）A ．()()33-∞-⋃+∞，，B ．()()3003-⋃，，C ．()()3007-⋃，，D ．−∞，−∪，套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2021·安徽高二月考（理））设函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()2'f x xf x >，则不等式()()()24202120212f x x f ->-的解集为（）A ．()2021,2023B ．()0,2022C ．()0,2020D ．()2022,+∞2．（2020·广州市育才中学高二月考）函数()f x 的导数为()'f x ，对任意的正数x 都有()()2'f x xf x >成立，则（）A ．()()9243f f >B ．()()9243f f <C ．()()9243f f =D ．()92f 与()43f 的大小不确定3.（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=当0x >时，'()()xf x f x -0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞- B ．()()1,01,-+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞ 题型二：构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型思维导图-----方法梳理类型一：构造可导积函数1])([)]()(['=+'x f e x nf x f e nx nx 高频考点1：])([)]()(['=+'x f e x f x f e x x 类型二：构造可商函数①])([)()('=-'nxnx ex f e x nf x f 高频考点1：])([)()('=-'xx ex f e x f x f 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.（2021·内蒙古锡林郭勒盟）设函数()'f x 是函数()f x 的导函数，x R ∀∈，()()0f x f x '+>，且(1)2f =，则不等式12()x f x e ->的解集为（）A．(1,)+∞B．(2,)+∞C．(,1)-∞D．(,2)-∞例2.（2022·陕西榆林·三模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（）A ．12(2)f +<e eB ．1(2)f +<e eC ．12(2)f +>e eD ．1(2)f +>e e例3．（2021·赤峰二中高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x >-'，()06f =，则不等式()51x f x e>+(e 为自然对数的底数)的解集为（）A．()0,∞+B．()5,+∞C．()(),05,-∞⋃+∞D．(),0-∞套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2020·贵州贵阳·高三月考（理））已知()f x '是函数()f x 的导数，且满足()()0f x f x '+>对[]0,1x ∈恒成立，A ，B 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（）A ．()()sin sin sin sin e eB A f A f B <B ．()()sin sin sin sin e e B A f A f B >C ．()()sin cos cos sin e e B Af A f B <D ．()()sin cos cos sin e e B Af A f B >2．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，()02018f =，则不等式()e e 2017x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．(),0∞-B ．()(),02017,-∞⋃+∞C ．()2017,+∞D ．()0,∞+3．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意R x ∈满足()()0f x f x '+<，则下列结论一定正确的是（）A ．()()23e 2e 3f f >B ．()()23e 2e 3f f <C ．()()32e 2e 3f f >D ．()()32e 2e 3f f <围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2021·全国高三）定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2022f x +为奇函数，则不等式()20220xf x e +<的解集是（）A．(),0-∞B．−∞,l BC．()0,∞+D．()2022,+∞例2．（2020·吉林高三月考（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4,e-∞D ．()4,e +∞例3．（河南省多校联盟2022）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞例4．（2021·全国高三）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()0f x f x '->，2021(2021)f e =，则不等式31(ln )3f x x <的解集为（）A．6063(,)e +∞B．2021(0,)e C．2021(,)e +∞D．6063(0,)e 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）设()f x '是定义在R 上的连续的函数()f x 的导函数，()()2e 0xf x f x '-+<（e 为自然对数的底数），且()224e f =，则不等式()2e x f x x >的解集为（）A ．()()2,02,-+∞B ．()e,+∞C ．()2,+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()()f x f x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．e (1)(2)f f >B ．()()e 10f f -<C ．()()e 21f f ->-D ．()()2e 11f f ->3．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '为，且满足()()f x f x '>，则(2017)f 与e (2016)f ⋅的大小关系为（）A ．(2017)f ＜e (2016)f ⋅B ．(2017)f =e (2016)f ⋅C ．(2017)f ＞e (2016)f ⋅D ．不能确定4．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，已知()()f x f x '>，且(1)e f =，则不等式()2525e 0x f x --->的解集为（）A ．(),3-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,+∞D ．()3,+∞5．（2021·江苏高二月考）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()0f x f x '->，若()()2211x ax e f ax ef x +>-恒成立，则实数a 的取值范围为___________.2．（2022·吉林·长岭县第三中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其导函数是'()f x ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()sin ()cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()2sin 6f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,0,266πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,,2662ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,66ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．,0,662πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()f x '.当0πx <<时，有()()sin cos 0f x x f x x '-<，则关于x 的不等式()2sin 4f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．（4π，π）B ．,,44ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． ,0,44πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．（2021·甘肃省武威第二中学高二期中（理））对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜恒成立，则下列不等式错误的是（）A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞B ．()2cos113f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＞C ．()2cos114f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＜D ．6426f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜op上的奇函数，且套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫。

大招4导数与数列不等式

大招4导数与数列不等式大招总结导数与数列型不等式的交汇问题, 主要用到两个方面的知识点: 第一, 学生要学会找到不等式右边和的通项; 第二, 要学会运用放缩比较不等式左边的通项与右边的通项的大小. 我们通过几道例题来给大家讲解.数列不等式常用通项求法有如下两种:(1n n n n a S S a -=- 为通项, n S 为前 n 项和 )(1nn n n T a a T -=为通项, n T 为前 n 项积 ) 导数常见放缩技巧:11e 11ln 1$,$e e $,$ln ex x x x x x x x x x +>>--典型例题例1. 设函数()ln(1),()(),0f x x g x xf x x =+=', 其中()f x '是()f x 的导函数. (1) ()*11()(),()(),n n g x g x g x g g x n +==∈N , 求()n g x 的表达式;（2）若()()f x ag x 恒成立,求实数a 的取值范围; （3）设*n ∈N , 比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小, 并加以证明.解：11(1)()ln(1),()(),0,(),(),()()11xf x xg x xf x x f x g x g x g x x x=+='∴'===++ , ()1121()(),(),(), 1 ,()11211n n k xx xx g x g g x g x g x n k g x x x x x ++=∴=====++++假设当时111, (), 1 , () 11(1)1(1)11k k xx x x kx g x n k g x x kx k x k x kx+++==∴=+=+++++++则当时也成立.综上, *(),1n xg x n nx=∈+N . (2) ∵()(),(),ln(1)0,011x ax f x ag x g x x x x x=∴+-++ .令()ln(1),1axh x x x x=+-+ 0 , 易知(0)0h = , 则221(1)1(),01(1)(1)a x x x a h x x x x x +-+-'=-=+++ . 当1a 时, ()0h x '在x 0上恒成立, ∴()h x 在[0,)+∞上单调递增, ()(0)0h x h =, 满足条件; 当1a >时, 令()h x '0> , 解得1x a >- , 令()0h x '< , 解得01x a <- . 于是()h x 在[0,1]a -上单调递减, 在(a - 1,)+∞上单调递增,∴(1)(0)0h a h -<=, 与题设矛盾, 综上可知1a . (3)(1)(2)()()g g g n n f n +++>-,证明:要证12(1)(2)()23g g g n +++=+++111ln(1)1231n n n x n n ⎛⎫=-+++>-+ ⎪++⎝⎭, 只需证111ln(1)231n n ⎛⎫+++<+⎪+⎝⎭ . 在(2)中取1a = ,可得ln(1),01x x x x+>>+ , 令*1,x n n=∈N,则11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭, 故有ln2-111ln1,ln3ln 2,,ln(1)ln 231n n n >->+->+ ,上述各式相加可得 11ln(1)23n ⎛+>++⎝ 11n ⎫+⎪+⎭. 例2.已知函数()ln f x tx t x =--.(1)若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数,求实数t 的取值范围; (2) 当2n 且*n ∈N 时, 证明:111ln ln 2ln3ln n n+++>. 解：(1) 实数t 的取值范围为[1,)+∞.(2) 证明: 由 (1) 知, 令1t = , 则()1ln f x x x =--在[1,)+∞上为增函数,()(1)0f x f =,即x 1ln x -, 当且仅当1x =时取等号. 要证明11123ln ln ln ln ln 2ln 3ln 121n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>=+++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 只需证1ln ln 1n n n ⎛⎫> ⎪-⎝⎭. 在1ln x x -中取(2)x n n =, 有1ln n n ->, 则11ln 1n n >-; 在1ln x x -中取(2)1n x n n =-, 易知1x >, 则1ln 11n n n ⎛⎫> ⎪--⎝⎭.综上可知1ln ln 1n n n ⎛⎫> ⎪-⎝⎭成立, 则原命题成立. 例3. 已知函数()ln 3(,0)f x a x ax a a =--∈≠R . (1) 求函数()f x 的单调区间;(2) 求证:()*ln 2ln3ln 4ln 12,234n n n n n⨯⨯⨯⨯<∈N . 解(1) 由于(1)()(0)a x f x x x-'=>, ①当0a >时, 易知, 当01x <<时, ()0f x '>, 当1x >时, ()0f x '<; 所以()f x 的单调递增区间为(0,1), 递减区间为(1,)+∞;②当0a <时,同理可知 ()f x 的单调递减区间为 (0,1), 递增区间为 (1,)+∞;(2) 证明: 要证()*ln 2ln3ln 4ln 12,234n n n n n⨯⨯⨯⨯<∈N 成立; 只须证()*ln 12,n n n n n n-<∈N 即证()*ln 12,n n n n <-∈N 下面证明此式.令1a =此时()ln 3f x x x =--, 所以(1)4f =-, 由(1)知()ln 3f x x x =--在(1,)+∞上单调递减, ∴当[1,)x ∈+∞时()(1)f x f <, 即ln 10x x -+<, ∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立, ∵*2,,0ln 1n n n n ∈∴<<-N .故结论成立.自我检测1. 已知()ln(1)f x x =+.(1) 若21()()4g x x x f x =-+, 求()g x 在[0,2]上的最大值与最小值; (2) 当0x >时, 求证：1111f x x x⎛⎫<< ⎪+⎝⎭; (3) 当n +∈N 且2n 时, 求证:1111111()1234123f n n n++++<<+++++. 解：2111(1) (1) ()ln(1),()1, 4212(1)x x g x x x x g x x x x '-=-++=-+=++ ∴()g x 在[0,1]上单调递减, 在[1,2]上单调递增. ∵3(0)0,(1)ln 2,(2)1ln34g g g ==-+=-+, ∴()g x 在[0,2]上的最大值为1ln3-+,最小值为3ln 24=-+.（2）证明:函数的定义域为(1,)-+∞, 构造函数1()(),()111xh x f x x h x x x -=-∴'=-=++, ∴ 函数在(1,0)-上单调递增, 在(0,)+∞上单调递减, ∴在0x =处,函数取得极大值,也就是最大值, ∴()(0)0,()(0)0,()h x h f x x h f x x =∴-=∴- .. ∵110,x f x x⎛⎫>∴< ⎪⎝⎭构造函数2()(),()1(1)x x x f x x x x ϕϕ=-∴'=++, ∴ 函数在(1,0)-上单调递减, 在(0,)+∞上单调递增, ∴ 在0x =处,函数取得极小, 也就是最小值, ∴()(0)0,()01xx f x xϕϕ=∴-+,∵111110,,11x f f x x x x x⎛⎫⎛⎫>∴<∴<< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. (3) 证明: ∵1()ln(1),()(1)f x x f n f n f n ⎛⎫=+∴--=⎪⎝⎭, 由 (2) 知: 11111,()(1)11f f n f n n n n nn ⎛⎫<<∴<--< ⎪++⎝⎭, ∴111111(1)(0)1,(2)(1),(3)(31),,()(111221331f f f f f f f n f n n<-<<-<<--<<-++++ 11)n -<. 叠加可得 1111111()1234123f n n n++++<<+++++. 2. 已知函数ln (),()xf x kxg x x==. (1)求函数ln ()xg x x=的单调区间; (2)若不等式()()f x g x 在区间 (0,)+∞上恒成立,求实数k 的取值范围;(3)求证：444ln 2ln 3ln 1232en n +++<.解： (1) ∵ln (),0xg x x x=>, 故其定义域为(0,)+∞, ∴21ln ()xg x x-'=, 令()0g x '>, 解得0e x <<, 令()0g x '<, 解得e x >. 故函数的单调递增区间为(0,e), 单调递减区间为(e,)+∞. （2）∵2ln ln 0,,x x x kxk x x >∴, 令23ln 12ln (),()x xh x h x x x-=∴'=,令()0h x '=, 解得x =当x 在(., )+∞内变化时, (),()h x h x '的变化如下表：由表知, 当x =时函数()h x 有最大值, 且最大值为12e, 所以实数k 的取值范围是1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. (3)证明:由(2)知242444222ln 1ln 11ln 2ln 3ln 1111,(2),2e 2e 232e 23x x nx x x x n n ⎛⎫∴⋅++++++< ⎪⎝⎭111111111111111.2e 1223(1)2e 22312e 2en n n n n ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 3. 已知函数2()ln(1)f x ax x =++. (1)当14a =-时,求函数()f x 的单调区间; (2)当[0,)x ∈+∞时,函数()y f x =图象上的点都在0x y x ⎧⎨-⎩所表示的平面区域内,求实数a 的取值范围;(3)求证: ()()124821111e 2335592121n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎢⎥ ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦(其中*n ∈N ,是自然数的底数) 解：(1)当14a =-时,21()ln(1),(1)4f x x x x =-++>- ,有(2)(1)(),(1)2(1)x x f x x x +-'=->-+,由()0f x '>解得 11x -<< , 由()0f x '<解得: 1,x >∴ 函数()f x 的单调递增区间是(1,1)-, 单调递减区间是(1,)+∞;(2) 当[0,)x ∈+∞时, 函数()y f x =的图象上的点都在00x y x ⎧⎨-⎩所表示的平面区域内,即当[0x ∈ , )+∞ 时, 不等式()f x x 恒成立, 即2ln(1)ax x x ++恒成立, 设2()ln(1),(0)g x ax x x x =++-, 只需max ()0g x 即可, [2(21)]()1x ax a g x x +-'=+.①当0a =时, ()1xg x x '=-+, 当0x >时, ()0g x '<, 函数()g x 在(0,)+∞上单调递减, ∴()(0)0g x g =成立.②当 0a > 时, 由 [2(21)]()01x ax a g x x +-'==+, 因 1[0,),12x x a∈+∞∴=-.若1102a -< , 即 12a > 时, 在区间(0,)+∞上, ()0g x '> , 函数 ()g x 在 (0,)+∞ 上单调递增, 函数()g x 在[0,)+∞ 上无最大值, 此时不满足;若1102a - , 即102a <时, 函数()g x 在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减, 在区间11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 同样函数()g x 在[0,)+∞上无最大值, 此时也不满足; ③当0a <时, 有[2(21)](),[0,),2(21)0,()01x ax a g x x ax a g x x +-'=∈+∞∴+-<∴'<+,故函数()g x 在[0,)+∞上单调递减, ∴()(0)0g x g =恒成立, 综上, 实数a 的取值范围是(,0]-∞.(3) 证明: 当0a =时, ln(1)x x +在[0,)+∞上恒成立.()()11211221212121n n n n n--⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭, ∵()()12482ln 11112335592121n n n -⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎢⎥⎨⎬ ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭()()12482ln 1ln 1ln 1ln 12335592121nn n-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()124822335592121nn n-<++++⨯⨯⨯++ 11111111122123352121221n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, ∴()()124821111e 2335592121nn n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎢⎥ ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.。

数学选修三必考知识点归纳

数学选修三必考知识点归纳数学选修三是高中数学的一门选修课程，它是进一步拓宽和深化学生数学知识的重要环节。

在这门课程中，学生们将接触到一些较为抽象和复杂的数学概念和方法，这对于他们的数学素养的提高至关重要。

下面，我们将对数学选修三的必考知识点进行一一归纳，希望能够对同学们的学习有所帮助。

1.数列和数列的运算数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列的重要性在于它能够帮助我们研究数的规律和性质。

在数学选修三中，我们将学习数列的概念、通项公式、前n项和等重要知识。

同时，我们还需要掌握数列之间的运算方法，包括数列的加减乘除以及数列的平移和伸缩等。

2.函数及其性质函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了自变量与因变量之间的关系。

在数学选修三中，我们将深入学习函数的定义、性质以及函数的图像和变化规律等。

同时，我们还需要掌握函数之间的运算方法，包括函数的加减乘除以及函数的平移和伸缩等。

3.三角函数三角函数是一类以圆周运动为基础的函数，它在物理、工程和科学等领域中具有广泛的应用。

在数学选修三中，我们将学习正弦函数、余弦函数、正切函数等常用的三角函数及其性质。

同时，我们还需要掌握三角函数之间的关系，包括诱导公式、和差化积公式和积化和差公式等。

4.极限与导数极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点或者某一区间的变化趋势。

在数学选修三中，我们将学习极限的定义、性质以及常见的计算方法。

同时，我们还需要掌握导数的概念和性质，包括导数的定义、基本性质和常见的导数计算方法等。

5.不等式与方程不等式和方程是数学中常见的问题解决方法，它们在实际生活和科学研究中具有广泛的应用。

在数学选修三中，我们将学习一元一次方程、一元一次不等式、二次方程和二次不等式等重要的方程和不等式。

同时，我们还需要掌握方程和不等式的解法和解的性质，包括方程的根、不等式的解集和方程与不等式的关系等。

总结起来，数学选修三的必考知识点主要包括数列和数列的运算、函数及其性质、三角函数、极限与导数以及不等式与方程等内容。

人教版高中数学知识点

人教版高中数学知识点人教版高中数学知识点是高中学生必须掌握的一项重要内容，对于学生在考试中取得好成绩和顺利升学非常有帮助。

下面就让我们来详细了解一下人教版高中数学知识点。

一、高一数学1.函数函数是高中数学的一大重点，是高一数学中最开始的知识点。

在函数的学习中，需要掌握基本的函数概念、函数图像和函数性质等内容。

2.数列与数列的通项式数列与数列的通项式也是高一数学中的重要内容之一，需要掌握数列的概念、等差数列与等比数列的性质、通项公式以及数列求和的方法等内容。

3.三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等，需要掌握这些函数的定义、性质以及它们之间的关系等内容。

二、高二数学1.向量向量是高二数学中的重点内容，需要掌握向量的定义、加法、减法、数量积、向量积等操作方法以及向量的平面几何应用等内容。

2.平面解析几何平面解析几何是高二数学中比较重要的内容，需要掌握点、直线、圆的方程的推导方法、距离公式以及平面直角坐标系等内容。

3.二次函数二次函数是高二数学中比较重要的内容之一，需要掌握二次函数的定义、图像、性质及其相关变换等内容。

三、高三数学1.导数导数是高三数学中最为重要的知识点，需要掌握导数的定义、基本性质、求导法则、高阶导数以及导数在几何中的应用等内容。

2.不等式不等式也是高三数学中比较重要的内容之一，需要掌握一元一次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式等等内容。

3.三角恒等式与三角方程三角恒等式与三角方程也是高三数学中比较重要的内容之一，需要掌握三角函数基本的恒等式、三角方程的一些基本解法、解三角方程的一般步骤等内容。

总结，人教版高中数学知识点涵盖了高中三年的数学知识，其中每个阶段的知识点都非常重要。

学生要仔细学习每个知识点，并且要在学习过程中做好笔记，联系能力和考试技巧，以便在考试中取得好的成绩，能够实现自己的人生理想。

高考数学知识点归纳

高考数学知识点归纳高考数学知识点归纳整理高考数学多个常考知识点，包括函数、数列、不等式、三角函数、立体几何等重点内容，以下是小编整理的高考数学知识点归纳，希望可以提供给大家进行参考和借鉴。

高考数学知识点归纳第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。

主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。

第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考数学冲刺注意事项重视新增内容考查，新课标高考对新增内容的考查比例远远超出它们在教材中占有的比例。

例如：三视图、茎叶图、定积分、正态分布、统计案例等。

立足基础，强调通性通法，增大覆盖面。

从历年高考试题看，高考数学命题都把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，即关注学生在学习数学和应用数学解决问题的过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能，紧紧地围绕“双基”对数学的核心内容与基本能力进行重点考查。

突出新课程理念，关注应用，倡导“学以致用”。

新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识。

加强应用意识的培养与考查是教育改革的需要，也是作为工具学科的数学学科特点的体现。

有意训练每年高考试题中都出现的高频考点。

高考数学必背公式一、正余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc__cosA二、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 三、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a四、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cos A)/((1-cosA))五、和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB数学解题方法1、剔除法利用题目给出的已知条件和选项提供的信息，从四个选项中挑选出三个错误答案，从而达到正确答案的目的。

导数之数列型不等式证明

导数之数列型不等式证明首先，我们需要明确什么是数列的导数。

在数学中，数列的导数是描述数列变化趋势的一个概念。

对于数列${a_n}$，它的导数数列${b_n}$定义为$b_n=a_{n+1}-a_n$。

导数数列可以用来描述原数列的变化速度。

接下来，我们将通过数学推导来证明一个关于数列导数的不等式。

我们假设${a_n}$是一个递增数列，并要证明它的导数数列${b_n}$也是递增数列。

即$b_n<b_{n+1}$。

证明过程如下：假设数列${a_n}$是一个递增数列，则对于任意的$n$，都有$a_n<a_{n+1}$成立。

我们来观察导数数列${b_n}$，根据导数数列的定义，我们可以得到$b_n=a_{n+1}-a_n$。

要证明导数数列也是递增数列，即证明$b_n<b_{n+1}$成立。

首先，我们将$b_n$表示成数列${a_n}$的形式，即$b_n=a_{n+1}-a_n$。

然后将$b_{n+1}$表示成数列${a_n}$的形式，即$b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}$。

然后，我们可以得到$b_{n+1}-b_n=(a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+1}-a_n)=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n$。

根据数列${a_n}$是递增数列的假设，我们可以得到$a_{n+2}>a_{n+1}$且$a_{n+1}>a_n$。

将这两个不等式代入上面的等式中，我们可以得到$b_{n+1}-b_n=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n>0$。

由此可得，$b_{n+1}>b_n$，即导数数列${b_n}$是递增数列。

综上所述，我们通过数学推导证明了当数列${a_n}$是一个递增数列时，它的导数数列${b_n}$也是一个递增数列。

总结起来，数列导数之不等式证明是通过对数列的导数进行数学推导与证明，验证数列导数的性质。

通过上述证明过程，我们得出了当数列是递增数列时，其导数数列也是递增数列的结论。

高考数学知识点归纳(完整版)

高考数学知识点归纳（完整版）高考数学知识点归纳第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。

主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。

第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考数学知识点高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解) 高考数学必考知识点归纳必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。

这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。

这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程高考数学必考知识点归纳必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。

高考数学必考知识点归纳必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。

2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。

09年理科占到5分，文科占到13分。

高考数学必考知识点归纳必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。

高三数学必背必考知识点

高三数学必背必考知识点高三数学必背必考知识点1第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二、平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三、数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四、空间向量和立体几何，在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五、概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六、解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括：第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法;第二类我们所讲的动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点;第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七、押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。

这是高考所考的七大板块核心的考点。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

导数及其应用一．导数的概念：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0'.二．导数的几何意义： (1) 导数的几何意义: 函数在y=f(x)在x 0处的导数，就是曲线y=f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f(x)在点P(x 0, f(x 0))处的切线斜率是)('0x f 。

相应地，切线方程为：))(('000x x x f y y -=-。

注：在导数几何意义的应用过程中，应注意几种关系：① 切点),(00y x P 在曲线上，即)(00x f y =；②切点),(00y x P 也在切线上； ③在切点处的切线斜率为)('0x f k = （2）求曲线过点),(00y x P 的切线方法：①设切点为),(11y x M ；②求导得)('1x f ；③列方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)()(')(1011011x x x f y y x f y ，解出x 1 ④点斜式写出切线方程：))(('000x x x f y y -=-注：曲线在P 点处的切线与曲线过点P 的切线不是同一个概念：前者P 点为切点；后者P 点可能是切点也可能不。

一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的切点。

三、导数的计算（1）常见函数的导数： 1．0='C 2．1)(-='n n nx x 3．xx e e =')( 4．a a a x x ln )(=' 5．1(ln )x x'= 6．a x e x x a a ln 1log 1)(log =='7．x x cos )(sin =' 8．x x sin )(cos -='（2）导数的四则运算1．和差：()u v u v '''±=± 2．积：v u v u uv '+'=')( 3．商：2)(v v u v u v u '-'=' 四、判断函数的单调性：设函数y=f(x)在区间（a ,b ）内可导（1）如果恒有0)('>x f ，则函数f(x)在区间（a ,b ）内为增函数；（2）如果恒有0)('<x f ，则函数f(x)在区间（a ,b ）内为减函数；（3）如果f(x)在区间（a ,b ）上递增（或递减），则在该区间内0)('≥x f （或0)('≤x f ）。

五、求可导函数单调性的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求)('x f ；（3）求出0)('=x f 的根；（4）列表看)('x f 的符号；（5）确定单调区间。

六、函数的极值：设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对于x 0附近的所有点，都有)(0)(x f x f <，就说)(0x f 是函数f(x)的一个极大值；如果对于x 0附近的所有点，都有)(0)(x f x f >，就说)(0x f 是函数f(x)的一个极小值。

极大值与极小值统称极值。

七、判断函数极值的方法：设函数f(x)在点x 0及其附近可导，且0)('=x f1. 如果)('x f 的符号在x 0的左侧为正，右侧为负，则)(0x f 为函数f(x)的极大值。

2. 如果)('x f 的符号在x 0的左侧为负，右侧为正，则)(0x f 为函数f(x)的极小值。

3. 如果)('x f 的符号在x 0的左右两侧保持不变，则)(0x f 不是函数f(x)的极值。

八、函数的最大值与最小值：可导函数f(x)在闭区间[a ,b ]上所有点处的函数值中的最大值（最小值），叫做函数f(x)的最大值（最小值）。

九、函数()y f x =在R 上可导，若'(,),()0(0)x a b f x ∈><恒成立，则()y f x =在(,)a b 上递增（递减）；反之不成立。

函数()y f x =在R 上可导，若在0x x =处取得极值，则'0()0f x =。

反之不成立。

反例：x y 3=在点（0,0）处。

不等式一、不等式的概念：不等式的意义：a>b ⇔a-b>0；a=b ⇔a-b=0；a<b ⇔a-b<0. 二、不等式的性质：(1)反对称性：若a>b,则b<a ；若b<a,则a>b. (2) 传递性：若a>b,b>c,则a>c. (3)同加原理：若a>b,则a+c>b+c.(4)同向相加原理：若a>b,c>d,则a+c>b+d.(5）同乘原理：若a>b,c>0,则ac>bc ；若a>b,c<0,则ac<bc. (6)同向相乘原理：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd. (7)乘方原理：若a>b>0,则a n >b n. (8)开方原理：若a>b>0,则n n b a >.(9)倒数原理：若a>b>0，则b a 11<；若b<a<0,则ba 11<.三、一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，2四、高次不等式、分式不等式与绝对值不等式1.高次不等式的解法：高次不等式()f x ><00（或）若()f x 可以分解成几个含x 的一次因式，可用列表法或数轴标根法来解。

序轴标根法：化正、求根、标根、穿根（注意奇穿偶回）、写集（注意端点值能否取到）。

2．分式不等式（1）分式不等式()()()()0000f x f x g x g x ><（或≥）或（或≤）要正确运用以下同解原理。

()()()()()0000f x f x g x g x ><><①（或）与·或同解()()()()()()()()()000000f x g x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫⎧⎧⎪⎪ ⎪⎨⎨ ⎪≠≠⎪⎪⎩⎩⎝⎭·≥·≤②≥或≤与不等式组或同解(2) 的一般解题思路是：移项、通分、穿根。

3.含有绝对值的不等式：当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.五、二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方．②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．六、线性规划线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式．线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．七、基本不等式1、设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b a 、b 的几何平均数．2、均值不等式定理：若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b+≥．3、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭． 4、最值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),但特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.数列一、数列的相关概念 1、数列的定义：按一定次序排成的一列数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

2、用函数的观点看数列：数列是定义域为N *（或其子集）的函数。

3、通项公式：如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。

4、递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1-（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。

5、数列的分类： ①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。

③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。

6、数列的前n 项和： a a a a s n n ++++=...321.7、已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n =⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。

8、已知递推关系求通项常用方法：(1)化归法：已知a a =1，递推关系为)(*1N n b q a a n n ∈+=+，求a n ：可将)(*1N n b q a a n n ∈+=+转化为)(1λλ+=++a a n n q 的形式，而λ可由待定系数法确定。

(2)迭加法：已知a 1和)(1n f a a n n =--，求a n ：可用迭加法，即a a a a a a a a n n n n n 112211)(...)()(+-++-+-=---=)()1(...)2()1(1n f n f f f a +-++++(3)迭乘法：已知a 1和)(1n f a a n n =-，求a n .可用迭乘法)()1(...)3()2(1n f n f f f a a n ⋅-⋅⋅⋅⋅=。

9数列求和的常用方法：公式法、倒序相加法、错位相加法、裂项相消法注：几个重要公式：①()11232n n n +++++=②()()222211231216n n n n ++++=++③()233332112314n n n ++++=+ ④111)1(1+-=+n n n n ⑤)11(1)(1k n n k k n n +-=+； ⑥)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ；二、等差数列与等比数列。