能量谱与功率谱.
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6.7
§6.6 能量谱与功率谱
能量谱与功率谱
1.能量谱
由相关定理知
FR( ) F( ) 2
所以
R( ) 1 F ( ) 2e j d
2
R(0) 1 F( ) 2 d
2
又能量有限信号的自相关函数是
R( ) f (t) f *(t )d t
有下列关系
R(0) f (t) 2 d t
R(0) f (t) 2 d t 1
F ( ) 2 d
2
F( f ) d f
2
R(0) f (t) 2 d t 1
F ( ) 2 d
2
F( f ) d f
2
若 f (t)为实数,上式可写成
R(0) f 2(t)d t 1 F ( ) 2 d
2
2
F( f ) d f ……帕塞瓦尔方程
S() FR( )
R( )e j d
E 2
2
(
1 ) (
1 )
例6-6-2
白噪声，其功率谱密度为 SN N,
求自相关函数
利用维纳-欣钦关系式，得自相关函数
RN N
由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪声的自相 关函数为冲激函数，表明白噪声在各时刻的取值杂乱 无章，没有任何相关性。
P lim 1 T T
T
2 T
2
f 2(t)d t
1
2
lim FT ( )2 d
T T
定义 S( ) lim FT ( ) 2 f(t)的功率密度函数(功率谱）
T T
利用相关定理有：R( ) 1
2
F ( ) e j d
2
R( ) 1
2
F ( ) e j d
2
两端乘以
1 T
定义
( ) F ( ) 2 ……能量谱密度（能谱）
所以有
() FR( )
R( ) F 1 ( )
所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。
2．功率谱
f (t)是功率有限信号
令
fT (t)
f
0
(t)
t t
T 2
T 2
则 f (t) 的平均功率为：
F fT (t) FT ()
R(
)
lim
T
1 T
T
2 T
2
f (t)f (t )dt
E2
lim T T
T
2 T
cos(1t) cos
1(t
)
d
t
2
E2
lim T T
T
2 T
cos(
1t
)
cos(
1t
)
cos
(1
)
2
sin(1t) sin(1 ) d t
E2 2
cos(1 )
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求功率谱
因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对 傅里叶变换,所以功率谱为:
并取 T
可以得到：
R( ) 1 S( )e j d
2
S( ) R( )e j d
即
S( ) FR( )
R( ) F 1p( )
功率有限信号的功率谱函数与自相关函数 是一对傅里叶变换．
例6-6-1
求余弦信号 f (t) E cos(1t) 的自相关函数和功率谱.
f (t)为功率信号, 所以自相关函数为:
对于 0的所有时刻，RN 都取零值，仅在 0时为强度
等于N的冲激。
§6.6 能量谱与功率谱
能量谱与功率谱
1.能量谱
由相关定理知
FR( ) F( ) 2
所以
R( ) 1 F ( ) 2e j d
2
R(0) 1 F( ) 2 d
2
又能量有限信号的自相关函数是
R( ) f (t) f *(t )d t
有下列关系
R(0) f (t) 2 d t
R(0) f (t) 2 d t 1
F ( ) 2 d
2
F( f ) d f
2
R(0) f (t) 2 d t 1
F ( ) 2 d
2
F( f ) d f
2
若 f (t)为实数,上式可写成
R(0) f 2(t)d t 1 F ( ) 2 d
2
2
F( f ) d f ……帕塞瓦尔方程
S() FR( )
R( )e j d
E 2
2
(
1 ) (
1 )
例6-6-2
白噪声，其功率谱密度为 SN N,
求自相关函数
利用维纳-欣钦关系式，得自相关函数
RN N
由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪声的自相 关函数为冲激函数，表明白噪声在各时刻的取值杂乱 无章，没有任何相关性。
P lim 1 T T
T
2 T
2
f 2(t)d t
1
2
lim FT ( )2 d
T T
定义 S( ) lim FT ( ) 2 f(t)的功率密度函数(功率谱）
T T
利用相关定理有：R( ) 1
2
F ( ) e j d
2
R( ) 1
2
F ( ) e j d
2
两端乘以
1 T
定义
( ) F ( ) 2 ……能量谱密度（能谱）
所以有
() FR( )
R( ) F 1 ( )
所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。
2．功率谱
f (t)是功率有限信号
令
fT (t)
f
0
(t)
t t
T 2
T 2
则 f (t) 的平均功率为：
F fT (t) FT ()
R(
)
lim
T
1 T
T
2 T
2
f (t)f (t )dt
E2
lim T T
T
2 T
cos(1t) cos
1(t
)
d
t
2
E2
lim T T
T
2 T
cos(
1t
)
cos(
1t
)
cos
(1
)
2
sin(1t) sin(1 ) d t
E2 2
cos(1 )
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求功率谱
因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对 傅里叶变换,所以功率谱为:
并取 T
可以得到：
R( ) 1 S( )e j d
2
S( ) R( )e j d
即
S( ) FR( )
R( ) F 1p( )
功率有限信号的功率谱函数与自相关函数 是一对傅里叶变换．
例6-6-1
求余弦信号 f (t) E cos(1t) 的自相关函数和功率谱.
f (t)为功率信号, 所以自相关函数为:
对于 0的所有时刻，RN 都取零值，仅在 0时为强度
等于N的冲激。