第五章部分答案

解：Aª ：f1={<1,1>,<1,2>}; f2={<2,1>,<2,2>}; f3={<1,1>,<2,2>}; f4={<1,2>,<2,1>}
运算表：° f1 f2 f3 f4
f1 {<1,1>,<1,2>} {<2,1>,<2,2>} {<1,1>,<1,2>} {<2,1>,<2,2>}
答：由运算表知运算是可以交换的
因为a*a=a , b*b=b, c*c=c因此是幂等的
因为a*c=c*a=c , a*b=b*a=b, a*a= a因此含有幺元a
因为a*a=a因此a有逆元a,其余元素都没有逆元.
5.10设V1=<{0,1,2},。>,V2=<{0,1},*>,其中。表示模3加法，*表示模二乘法，试构造积代数V1V2的运算表，并指出积代数的幺元。
f5(<x,y>)=min{x,y},：是二元运算，可交换，可结合，没有幺元，没有零元.
f6(<x,y>)=|x-y|.：是二元运算，可交换，不可结合，有幺元0，没有零元.
5.5设V={R+,•},其中•为普通乘法。对任意xR+令1(x)=x.2(x)=2x.3(x)=x•x.4(x)=1/x.5(x)=-xi.其中有④个是V的自同态，它们是⑨，有①个是单自同态，而不是满自同态，①个是满自同态，而不是单自同态，④个是自同构。
f1x1/x1-x1/(1-x)(x-1)/xx/(x-1)
f21/xx1/(1-x)1-xx/(x-1)(x-1)/x
f31-x(x-1)/xxx/(x-1)1/x1/(1-x)
f41/(1-x)x/(x-1)1/x(x-1)/xx1-x
f5(x-1)/x1-xx/(x-1)x1/(1-x)1/x
解：f1(<x,y>)=x+y,：是二元运算，可交换，可结合，有幺元0，没有零元.
f2(<x,y>)=x-y,：是二元运算，不可交换，不可结合，有右幺元0，没有零元.
f3(<x,y>)=xy：是二元运算，可交换，可结合，有幺元1，有零元0.
f4(<x,y>)=max{x,y},：是二元运算，可交换，可结合，没有幺元，没有零元.
解：
·
1
2
5
10
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
5
1
1
5
5
10
1
2
5
10
*
1
2
5
10
1
1
2
5
10
2
2
2
10
10
5
5
10
5
10
10
10
10
10
10
Δ
Δ(a)
1
10
2
5
5
2
10
1
5.12设v =<R*,。>是代数系统，其中R*为非零实数的集合，分别对下述小题讨论。运算是否可交换、可结合，并求幺元和所有可逆元素的逆元。
幺元：f3逆元：f3f3
由于 的元素定义错了（这些f不全是函数）所以整个题都做错了。正确答案如下：
设f1={<1,1>,<2,1>}; f2={<1,1>,<2,2>}; f3={<1,2>,<2,1>}; f4={<1,2>,<2,2>}
运算表：° f1 f2 f3 f4
f1 {<1,1>,<2,1>} {<1,1>,<2,1>} {<1,1>,<2,1>} {<1,1>,<2,1>}
供选择的答案
A、C、D、E：①0；②1；③2；④3；⑤4；⑥5。
B：⑦1，2，3；⑧1，3；⑨1，3，4；⑩1，2，3，4
5.6设V=<Z,+>,其中+为普通加法。 x Z令 （x）=x， （x）=0， （x）=x+5,
(x)=2x, (x)=x (x)=-x,则 ,……， 中1，2，4，6是V的自同态，其中4，2不是V的字同构，4只是单字同态，不是满自同态，没有函数是满自同态，不是单自同态。零同态的同态像是<{0},+>.
对A中的元素2,6,有2+6=8,但8不属于A,所以不封闭
（4）{x|x是30的倍数}
答：封闭
设此集合为B.对B中的任意元素x,y,因为是30的倍数,不妨设x=30a,y=30b(a,b为整数),
有x+y=30(a+b),显然也是30的倍数,所以封闭.
5.9设V=<S,＊>,其中S=｛a, b, c｝,＊的运算表分别给定如下：
a ab c
b a b c
c a b c
解：由题意得，
*在S上不具有交换性，具有幂等性，不含有幺元(a,b,c是左么元)，不含有逆元。
5.9(3)设V=<S,*>,其中S={a,b,c}，*的运算表分别给定如下： 分别对一下每中情况讨论*运算的可交换性、幂等性，是否含有幺元以及S中的元素是否含有逆元。
f2 {<1,1>,<2,1>} {<1,1>,<2,2>} {<1,2>,<2,1>} {<1,2>,<2,2>}
f3 {<1,2>,<2,2>} {<1,2>,<2,1>} {<1,1>,<2,2>} {<1,1>,<2,1>}
f4 {<1,2>,<2,2>} {<1,2>,<2,2>} {<1,2>,<2,2>} {<1,2>,<2,2>}
即：° f1 f2 f3 f4
f1 f1 f1 f1 f1
f2 f1 f2 f3 f4
f3 f4 f3 f2 f1
f4 f4 f4 f4 f4
由表可知：对任意的i(i=1,2,3,4),都有f2ofi=fiof2=fi，所以f2是么元。
由表可知f2的逆元是f2,f3的逆元是f3。
5.15设A={x|x€R∧≠0，1}。在Ａ上定义６个函数如下：
C:④ 可交换的；⑤可结合的；⑥不是可交换的，也不是可结合的.
D:⑦ <1,0>；⑧ <0,1>.
E:⑨ 只有唯一的逆元；⑩ a≠0时，元素<a,b>有逆元。
答案：A=①;B=③;C=⑤;D=⑦;E=⑩
5.3 R为实数集，定义以下6个函数f1, f2,……，f6,x,yR有
f1(<x,y>)=x+y,
V1V2
<0,0>
<0,1>
<1,0>
<1,1>
<2,0>
<2,1>
<0,0>
<0,0>
<0,0>
<1,0>
<1, 0>
<2,0>
<2, 0>
<0,1>
<0,0>
<0,1>
<1,0>
<1, 1>
<2,0>
<,0>
<1,0>
<2,0>
<2,0>
<0,0>
<0, 0>
<1,1>
<1,0>
f2(<x,y>)=x-y,
f3(<x,y>)=xy,
f4(<x,y>)=max{x,y},
f5(<x,y>)=min{x,y},
f6(<x,y>)=|x-y|.
那么，其中有A个是R上的二元运算，有B个是可交换的，C个是可结合的，D个是有幺元的，E个是有零元的。
供选择的答案
A、B、C、D、E：①0；②1；③2；④3；⑤4；⑥5；⑦6.
<1,1>
<2,0>
<2, 1>
<0,0>
<0, 1>
<2,0>
<2,0>
<2,0>
<0,0>
<0, 0>
<1,0>
<1, 0>
<2,1>
<2,0>
<2,1>
<0,0>
<0, 1>
<1,0>
<1, 1>
幺元是〈0，1〉。
5.11设代数系统V=<A，·，*，Δ>,其中A={1,2,5,10},x,yA有x·y=x与y的最大公约数，x*y=x与y的最小公倍数，Δx=10/x.给出关于·、*和Δ运算的运算表.
f3的逆元f3
f4的逆元f5
f5的逆元f4
f6的逆元f6
尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。智慧果实似乎是否定性：理论上——“我知道我一无所知”；实践上——“我需要我一无所需”。然而，达到了这个境界，在谦虚和淡泊哲人胸中，智慧痛苦和快乐业已消融为了一种和谐宁静了