高中数学必修5第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）

一．数列的概念与简单表示法

知识能否忆起

1．数列的定义、分类与通项公式

(1)数列的定义：

①数列：按照一定顺序排列的一列数．

②数列的项：数列中的每一个数．

(2)数列的分类：

(3)数列的通项公式：

如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

2．数列的递推公式

如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．

1.对数列概念的理解

(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．

(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．

2．数列的函数特征

数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝a n(n∈N*)．

3.考点

（一）由数列的前几项求数列的通项公式

[例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )

A ．a n ＝1

B ．a n ＝(－1)n ＋1

2

C ．a n ＝2－⎪⎪⎪

⎪sin n π

2

D ．a n ＝(－1)n －

1＋3

2

[自主解答] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π

2可得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝1，a 4＝2，…. [答案] C 由题悟法

1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n

＋1

来调整．

2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想

以题试法

写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；

(2)12，34，78，1516，31

32，…； (3)3,33,333,3 333，…；

(4)－1，32，－13，34，－15，3

6

，….

解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1. (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列

21,22,23,24，…，所以

a n ＝2n －1

2

n .

(3)将数列各项改写为93，993，9993，9999

3，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－

1,103－1,104－1，….

所以a n ＝1

3

(10n －1)．

(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，

所以a n ＝(－1)n

·2＋(－1)n

n

，也可写为

a n

＝⎩⎨⎧

－1

n

，n 为正奇数，3

n ，n 为正偶数.

（二）由a n 与S n 的关系求通项a n

已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；

(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；

(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．

[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.

[自主解答] (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1. 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －

1＋1)＝2×3n －

1. 当n ＝1时，2×31－

1＝2≠a 1，

故a n ＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

4， n ＝1，2×3n －1

， n ≥2. 以题试法

(2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n n ＋1，则1

a 5＝( )

A.5

6 B.65 C.1

30

D ．30

解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，则a 5＝15×6＝1

30.

（三）数列的性质

[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20.

(1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？

[自主解答] (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212

＝10.5.