清华大学《信号与系统》真题2010年

清华大学《信号与系统》真题2010年

(总分：99.99，做题时间：90分钟)

一、{{B}}{{/B}}(总题数：2，分数：40.00)

(1). 4.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解：根据傅里叶变换与逆变换的定义，得到： [*]) 解析：

(2).2

(πt)·cos(πt)dt 。（分数：4.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解：根据常用傅里叶变换，可知F[Sa(πt)]=u(t+π)-u(t-π)，再由卷积定理，可得： F[Sa 2

(πt)]=[*][u(ω+π)-u(ω-π)]*[u(ω+π)-u(ω-π)] [*]

又因为F[cos(πt)]=π[δ(ω+π)+δ(ω-π)]，则由上题的结论，得到： [*]) 解析：

(3).已知X(k)=DFT[x(n)]，0≤n≤N -1，0≤k≤N -1，请用X(k)表示X(z)，其中X(z)是x(n)的z 变换。（分数：4.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解：对于长度为N 的有限长序列，利用其DFT 的N 个样值，可以恢复其z 变换函数： [*] 其中，[*]，是内插函数。) 解析：

(4).已知F(e

-πt2

)=e

-πf2

其中σ＞0。（分数：4.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解：根据傅里叶变换尺度变换可知：[*] 所以：F[e -(t/σ)2

]=[*]

再由傅里叶变换微分性质可知，[*]，所以：

[*]) 解析：

(5).一个系统的输出y(t)与输入x(t)的零状态条件下的关系为τ)x(τ)d τ，式中k(t,τ)

是t 和τ的连续函数，请回答，该系统为线性系统吗?为什么?（分数：4.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解：是。若x 1(t)→y 1(t)，x 2(t)→y 2(t)，则根据积分的基本性质可知： ax 1(t)+bx 2(t)→ay 1(t)+by 2(t) 所以该系统是线性的。) 解析：

已知周期为T 的信号f(t)的傅里叶级数为f(t)=f 1(t)+f 2(t)，其中f 1(t)=F n e -jn ωt ，f 2(t)=

F m e -jm ωt ，其中t∈(-。请证明：（分数：20.00）

(1).f 1(t)与f 2(t)正交；（分数：4.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(根据定义，f 1(t)与f 2(t)的内积为：

[*]

即f1(t)与f2(t)是正交的。)

解析：

4.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因为f1(t)与f2(t)是正交的，所以：

[*])

解析：

(3).该系统的稳态输出为y(t)=[1+cos(t)]u(t)，请指明上述条件下的输入信号集合的特征。（分数：4.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解：由系统函数可知：H(0)=1，即对直流分量的增益为1；[*]，即对基波的增益为[*]，也就是幅度变为相反数，相位改变[*]。

所以，输入信号为x(t)=[1-sint]u(t)+x0(t)，其中x0(t)表示一个高频分量。)

解析：

(4).对数字信号x(n)每隔M(M为正整数)点抽取一点，称为降率采样，对数字信号降采样可能遇到的主要问题是什么?怎样解决呢?（分数：4.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解：主要问题有信噪比降低以及难以恢复信号。虽然降率采样有简化运算、提高处理速度的优点，但降率采样的采样速率也应满足采样定理。)

解析：

(5).一个信号的单边拉氏变换存在的充分条件是什么?为什么?（分数：4.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解：信号f(t)是指数阶信号，也就是不能比指数函数增长得快，即f(t)=O(eσ0t)。这是因为拉氏变换中引入了衰减因子e-σs，使得指数阶信号都能满足收敛条件。)

解析：

二、{{B}}{{/B}}(总题数：1，分数：20.00)

)=1，已知一个系统的输出y(t)与输入x(t)，y(0

-

x(t)=sint，求解：（分数：20.00）

(1).系统的冲激响应h(t)；（分数：5.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解：对[*]两边取拉氏变换得：

sY(s)+Y(s)=s2X(s)+sX(s)+X(s)

所以：[*]

取拉氏逆变换，得到系统的冲激响应：h(t)=δ'(t)+e-t u(t)。)

解析：

(2).系统的零输入响应y zi(t)；（分数：5.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解：令x(t)=0，则：sY(s)+Y(s)-y(0-)=0[*]。

所以系统的零输入响应为：y zi(t)=e-t u(t))

解析：

(3).系统的稳态响应y ss(t)；（分数：5.00）

__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解：因为x(t)=sint的拉氏变换为[*]，所以：

[*]