岭回归操作步骤
岭回归教程
Ridge Estimators —for standardized regression model
For Ordinary least squares, the normal equations are given by:
(X′X)b = X′Y
(1)
When all variables are transformed by the correlation transformation (3), the transformed regression model is given by (4):
bR = (rXX + kI)−1rYX
(10)
The constant k reflects the amount of bias in the estimator. When k =0, bkR
formula (10) reduces to the ordinary least squares regression coefficients
(rXX + kI)bR = rYX (8)
Where bR is the vector of the standardized ridge regression coefficients bkR ,
and I is the (p-1)×(p-1) identity matrix.
(
bR
p −1)×1
SPSS数据统计分析与实践
主讲：周涛 副教授 北京师范大学资源学院
2007-12-11
教学网站：/Courses/SPSS
第十六章：岭回归（Ridge Regression） Multicollinearity Remedial Measures
贝叶斯岭回归算法
贝叶斯岭回归算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：贝叶斯岭回归（Bayesian Ridge Regression）是一种用于进行回归分析的统计模型。
它是在贝叶斯框架下推导出来的一种回归算法，结合了岭回归和贝叶斯回归的优点，能够克服传统线性回归模型中存在的过拟合等问题。
贝叶斯岭回归的本质是在回归过程中引入了一个正则化项，通过对模型参数的先验分布进行建模，可以有效控制模型的复杂度，从而提高模型的泛化能力。
贝叶斯岭回归的核心思想是基于贝叶斯定理，通过期望最大化的方法来估计模型参数。
具体来说，贝叶斯岭回归假设模型参数服从某种概率分布，一般是高斯分布，然后通过最大化后验概率来估计参数。
在构建模型之前，需要设定一些先验分布的超参数，通常选择一个较为宽泛的先验分布，使得模型更具有鲁棒性。
与传统的岭回归相比，贝叶斯岭回归的一个重要优势是能够提供参数的置信区间。
传统的岭回归只能得到点估计的参数值，而贝叶斯岭回归可以得到参数的后验分布，从而可以计算得到参数的置信区间。
这对于统计推断和模型评估非常有帮助，可以帮助我们更好地了解参数的不确定性。
贝叶斯岭回归算法在实际应用中有着广泛的应用。
比如在金融领域，可以通过贝叶斯岭回归来建立股票价格预测模型，从而帮助投资者做出更明智的投资决策；在医学领域，可以利用贝叶斯岭回归来分析疾病的风险因素；在工程领域，可以利用贝叶斯岭回归来建立可靠的预测模型等等。
值得注意的是，贝叶斯岭回归在计算上相对复杂，需要进行概率推断，因此对于大规模数据集和高维特征空间来说，计算成本可能会较高。
模型的性能也会受到先验分布的选择和超参数的设定的影响，在实际应用中需要仔细调参和评估模型。
贝叶斯岭回归算法是一种强大的回归分析方法，可以有效地提高模型的泛化能力，并且能够提供参数的置信区间，对于一些需要进行统计推断的应用场景具有较高的价值。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点选择合适的先验分布和超参数，从而得到更好的模型表现。
spssau共线性处理方法之岭回归(ridge-regression)
岭回归分析在进行线性回归分析时，很容易出现自变量共线性问题，通常情况下VIF值大于10说明严重共线，VIF大于5则说明有共线性问题。
当出现共线性问题时，可能导致回归系数的符号与实际情况完全相反，本应该显著的自变量不显著，本不显著的自变量却呈现出显著性；共线性问题会导致数据研究出来严重偏差甚至完全相反的结论，因而需要解决此问题。
针对共线性问题的解决方案上，可以考虑使用逐步回归进行分析，直接移除出共线性的自变量X，但此类做法导致自己希望研究的变量无法得到研究。
此时，可以考虑使用更科学的研究方法即岭回归（Ridge regression）。
岭回归是一种改良的最小二乘法，其通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息为代价来寻找效果稍差但回归系数更符合实际情况的模型方程。
针对共线性的病态数据，岭回归的耐受性远强于普通线性最小二乘法回归。
岭回归分析（Ridge Regression）用于解决线性回归分析中自变量共线性的研究算法。
岭回归通过引入k个单位阵，使得回归系数可估计；单位阵引入会导致信息丢失，但同时可换来回归模型的合理估计。
针对岭回归：其研究步骤共为2步,分别是结合岭迹图寻找最佳K值；输入K值进行回归建模。
第一步：岭回归分析前需要结合岭迹图确认K值；K值的选择原则是各个自变量的标准化回归系数趋于稳定时的最小K值。
K值越小则偏差越小，K值为0时则为普通线性OLS回归；SPSSAU提供K值智能建议，也可通过主观识别判断选择K值第二步：对于K值，其越小越好，通常建议小于1；确定好K值后，即可主动输入K 值，得出岭回归模型估计。
SPSSAU操作截图如下：如果输入框中不输入值，此时SPSSAU默认是生成岭迹图，即识别最佳K值（当然SPSSAU 会智能化建议最佳K值）；如果输入K值，此时SPSSAU则输出岭回归模型结果。
岭回归分析案例Contents1背景 (3)2理论 (3)3操作 (4)4 SPSSAU输出结果 (5)5文字分析 (6)6剖析 (6)1 背景现测得胎儿身高、头围、体重和胎儿受精周龄数据，希望建立胎儿身高、头围、体重去和胎儿受精周龄间的回归模型。
回归（三）：岭回归
回归（三）：岭回归概念在中提到⽤最⼩⼆乘法求解回归系数的过程中需要考虑特征矩阵是否可逆的问题，事实上当特征数量⽐样本数量多的时候（样本数m⼤于特征数n，X不是满秩矩阵）就会遇到这个问题，这个时候标准线性回归显然就⽆从下⼿了引⼊岭回归就是为了解决这个问题，它是最先⽤来处理特征数多余样本数的算法。
该算法的基本思想是在X T X上加上⼀个λI使得矩阵⾮奇异，从⽽能够对X T X+λI求逆，其中I是⼀个n*n的单位矩阵，λ是⼀个超参数，需要⽤户⾃⼰调试。
I 作为⼀个对⾓的单位阵，由1组成的对⾓线就像⼀条在0矩阵中的岭，这就是岭回归的由来。
那么根据中的思路，回归系数的求解公式变成如下所⽰：事实上这是⼀种缩减（shrinkage）的算法，这种⽅法能够通过系数反映出参数的重要程度，也就是说能够把⼀些系数缩减成很⼩的值甚⾄零。
这有点类似于降维，保留更少的特征能够减少模型的复杂程度，便于理解。
⽽且研究表明与简单的线性回归相⽐，缩减法能够取得更好的预测效果。
代码实现需要指出的是，使⽤岭回归和缩减技术，⾸先需要对特征作标准化处理，使得每个特征具有相同的重要性，这样才能从得到的系数中反应各个参数的重要程度。
演⽰所⽤的数据集是《机器学习实战》第⼋张提供的abalone.txt数据，数据有⼋个特征，最后⼀列为⽬标值，概览如下：代码如下：1def ridgeRegres(xMat,yMat,lam=0.2):2'''3岭回归，lam是需要调试的超参数4'''5 xTx = xMat.T*xMat6 denom = xTx + eye(shape(xMat)[1])*lam7if linalg.det(denom) == 0.0:8print"This matrix is singular, cannot do inverse"9return10 ws = denom.I * (xMat.T*yMat)11return ws1213def ridgeTest(xArr,yArr):14 xMat = mat(xArr); yMat=mat(yArr).T15 yMean = mean(yMat,0)16 yMat = yMat - yMean #to eliminate X0 take mean off of Y17#岭回归和缩减技术需要对特征作标准化处理，使每维特征具有相同的重要性18 xMeans = mean(xMat,0)19 xVar = var(xMat,0)20 xMat = (xMat - xMeans)/xVar21 numTestPts = 3022 wMat = zeros((numTestPts,shape(xMat)[1]))23#在30个不同的lambda下计算，为了找出最优参数24for i in range(numTestPts):25 ws = ridgeRegres(xMat,yMat,exp(i-10))26 wMat[i,:]=ws.T27return wMat可以看到，为了找出最优的λ，ridgeTest()函数在30个不同的λ下调⽤岭回归。
第7章岭回归分析
〔3〕如果依照上述去掉变量的原则,有若干个回归系 数不稳定,究竟去掉几个,去掉哪几个,这并无一般原则可循, 这需根据去掉某个变量后重新进行岭回归分析的效果来确 定.
§7.5 用岭回归选择变量
例7.2 空气污染问题.Mcdonald和Schwing在参考文献［18］ 中曾研究死亡率与空气污染、气候以及社会经济状况等因素 的关系.考虑了15个解释变量,收集了60组样本数据.
§7.1 岭回归估计的定义
现在我们假设回归系数与误差项是未知的，用普通最小二乘法 求回归系数的估计值得：
ˆ 0 =11.292，ˆ 1 =11.307，ˆ 2 =-6.591
β0=10,β1=2,β2=3 看来相差太大。计算 x1，x2的样本相关系数得 r12=0.986，表明 x1与 x2之间高度相关。
§7.5 用岭回归选择变量
x7—Percent of housing units which are sound & with all facilities 住房符合标准的家庭比例数 x8—Population per sq. mile in urbanized areas, 1960 每平方公里人口数 x9—Percent non-white population in urbanized areas, 1960 非白种人占总人口的比例 x10—Percent employed in white collar occupations 白领阶层人口比例 x11—Percent of families with income < $3000 收入在3000美元以下的家庭比例 x12—Relative hydrocarbon pollution potential 碳氢化合物的相对污染势 x13— Same for nitric oxides 氮氧化合物的相对污染势 x14—Same for sulphur dioxide 二氧化硫的相对污染势 x15—Annual average % relative humidity at 1pm 年平均相对湿度 y—Total age-adjusted mortality rate per 100,000 每十万人中的死亡人数
岭回归基本步骤
岭回归基本步骤第一步：目标确定岭是指两个山脉之间的山脉脊，回归是指回归到原本的位置。
以岭回归即是指将两个山脉之间的岭回归到原本的位置。
在进行以岭回归之前，首先要确定回归的目标，即希望将岭回归到哪个位置。
这个位置可以是两个山脉之间的最高点，也可以是两个山脉之间的中间位置，具体取决于实际需求。
第二步：数据收集进行以岭回归需要大量的数据支持。
在这一步，需要收集与岭相关的各种数据，包括岭的高度、形状、材质等。
这些数据可以通过现场勘测、遥感技术、地图等方式获取。
同时，还需要收集两个山脉之间的地形地貌数据，以及相关的气候、地质等数据。
第三步：模型建立在进行以岭回归之前，需要建立相应的数学模型。
这个模型可以是基于统计学原理的回归模型，也可以是基于物理学原理的模拟模型。
通过对数据的分析和处理，可以建立一个能够描述岭与两个山脉之间关系的模型。
第四步：参数调整在建立模型之后，需要对模型进行参数调整。
这个过程通常需要通过实验和观测来获取调整参数的准确值。
通过不断地调整模型的参数，可以使模型更好地拟合实际情况，提高回归结果的准确性。
第五步：回归实施在完成前面的准备工作之后，即可进行以岭回归的实施。
根据模型和参数的设定，通过一系列的操作和措施，将岭逐步回归到目标位置。
这个过程可能涉及到土地平整、植被恢复、水土保持等方面的工作。
第六步：效果评估完成以岭回归之后，需要对回归效果进行评估。
这个评估可以从多个角度进行，包括岭的形态、生态环境的变化、生物多样性的恢复等方面。
通过评估效果，可以判断回归是否达到预期目标，并对后续的工作进行调整和改进。
总结：以岭回归是一项复杂而艰巨的任务，需要经过目标确定、数据收集、模型建立、参数调整、回归实施和效果评估等多个步骤。
在整个过程中，需要充分考虑人类的角度和情感，注重保护自然环境和生态系统，以实现岭的回归和生态恢复的目标。
只有通过科学的方法和细致的工作，才能实现以岭回归的愿望，并为人类和自然环境创造更美好的未来。
回归分析中的岭回归模型应用技巧(九)
回归分析是一种常用的统计分析方法，用于探究变量之间的关系，并预测一个或多个因变量的数值。
在回归分析中，岭回归模型是一种常见的技术，它在面对自变量之间存在共线性或者自变量数量远大于样本量的情况下，能够有效地改善模型的表现。
本文将探讨回归分析中的岭回归模型的应用技巧。
岭回归模型最初是由Hoerl和Kennard在1970年提出的。
它的基本原理是通过对自变量的系数进行惩罚，减小系数的估计值，从而解决多重共线性的问题。
在实际应用中，岭回归模型的效果取决于多个因素，包括惩罚项的选择、惩罚项参数的设定、数据的预处理等。
下面将从数据的准备、模型的选择、参数的设定等方面介绍岭回归模型的应用技巧。
首先，数据的准备是岭回归模型应用的第一步。
在进行岭回归之前，需要对数据进行预处理，包括去除异常值、缺失值的处理、标准化等。
由于岭回归对自变量的尺度敏感，因此在进行岭回归之前需要对自变量进行标准化，以保证模型的稳定性和可解释性。
其次，模型的选择是岭回归应用的关键。
在选择模型时，需要考虑到岭回归模型的特点，比如对共线性的鲁棒性、抗过拟合能力等。
当自变量之间存在共线性时，岭回归模型通常比普通最小二乘回归更为稳健。
此外，岭回归还可以用于特征选择，通过调节惩罚项的参数来控制模型的复杂度，进而实现特征的筛选和模型的简化。
最后，参数的设定也是岭回归应用中需要注意的地方。
在进行岭回归时，需要选择合适的惩罚项参数，通常使用交叉验证的方法来选择最优的参数。
通过交叉验证，可以评估不同参数对模型的影响，找到最优的惩罚项参数，从而得到更稳健的岭回归模型。
总之，岭回归模型在回归分析中具有重要的应用价值，能够有效解决自变量之间存在共线性或者自变量数量远大于样本量的问题。
在应用岭回归模型时，需要注意数据的准备、模型的选择、参数的设定等关键步骤，以确保模型的稳健性和预测性能。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用岭回归模型，在实际问题中取得更好的分析效果。
回归分析中的岭回归模型应用技巧
回归分析是统计学中一种常用的方法，用来研究一个或多个自变量与一个因变量之间的关系。
在回归分析中，岭回归模型是一种经典的技术，它可以帮助我们处理多重共线性和过拟合等问题。
本文将介绍岭回归模型的应用技巧，帮助读者更好地理解和使用这一技术。
1. 岭回归模型的原理岭回归模型是一种正则化方法，它通过引入一个正则化参数来限制模型的复杂度，从而避免过拟合的问题。
在岭回归模型中，我们的目标是最小化残差平方和加上正则化参数与模型系数的乘积。
这样一来，即使在存在多重共线性的情况下，岭回归模型也能够给出稳定可靠的估计结果。
2. 如何选择正则化参数选择正则化参数是岭回归模型中的关键问题。
一般来说，我们可以使用交叉验证的方法来选择最优的正则化参数。
具体而言，我们可以将数据集分为训练集和验证集，然后对不同的正则化参数进行测试，选择在验证集上表现最好的参数作为最终的选择。
另外，我们还可以使用留一法交叉验证或者k折交叉验证来进行参数选择，以确保结果的稳健性。
3. 岭回归模型与普通最小二乘法的比较岭回归模型和普通最小二乘法在处理多重共线性问题上有很大的不同。
普通最小二乘法在存在多重共线性时会导致估计系数的方差非常大，从而使得模型的预测能力变差。
而岭回归模型通过引入正则化参数，可以有效地缓解多重共线性的影响，提高了模型的稳定性和鲁棒性。
4. 岭回归模型的应用实例在实际应用中，岭回归模型有着广泛的应用。
例如在金融领域，我们可以使用岭回归模型来预测股票价格或者汇率变动；在医学领域，我们可以使用岭回归模型来研究疾病与基因之间的关联等。
岭回归模型的灵活性和鲁棒性使得它成为了统计学中一个不可或缺的工具。
5. 岭回归模型的局限性尽管岭回归模型有着诸多优点，但是它也存在一些局限性。
例如在处理大规模数据集时，岭回归模型的计算成本会非常高；另外，岭回归模型还要求自变量之间不存在严格的共线性，否则会导致参数估计的不准确性。
因此在具体应用时，我们需要根据实际情况选择合适的模型和方法。
岭回归
岭回归一、普通最小二乘估计带来的问题当设计矩阵X 呈病态时,X 的列向量之间有较强的线性相关性，即解释变量间出现严重的多重共线性,在这种情况下,用普通最小二乘法估计模型参数，往往参数估计的方差太大,即jj jj j L C 2)ˆvar(σβ=很大，jβˆ就很不稳定,在具体取值上与真值有较大的偏差,有时会出现与实际经济意义不符的正负号。
下面看一个例子,可以说明这一点。
假设已知1x ,2x 与y 的关系服从线性回归模型:ε+++=213210x x y ,给定1x ,2x 的10个值,如下表1，2行所示：表7.1然后用模拟的方法产生10个正态随机数,作为误差项ε,见表第3行。
然后再由回归模型i i i i x x y ε+++=213210计算出10个i y 值,见表第4行。
现在假设回归系数与误差项是未知的,用普通最小二乘法求回归系数的估计得：0ˆβ=11.292,1ˆβ=11.307,2ˆβ=-6.591,而原模型的参数0β=10,1β=2,2β=3看来相差太大。
计算1x ，2x 的样本相关系数得12r =0.986,表明1x 与2x 之间高度相关。
通过这个例子可以看到解释变量之间高度相关时，普通最小二乘估计明显变坏。
二、岭回归的定义当自变量间存在多重共线性,|X X '|≈0时，设想给X X '加上一个正常数矩阵kI (k>0)那么X X '+kI 接近奇异的程度就会比X X '接近奇异的程度小得多。
考虑到变量的量纲问题，先要对数据标准化，标准化后的设计矩阵仍用X 表示，定义y X kI X X k '+'=-1)()(ˆβ称为β的岭回归估计，其中，k 称为岭参数。
由于假设X 已经标准化，所以X X '就是自变量样本相关阵。
y 可以标准化也可以未标准化，如果y 也经过标准化，那么计算的实际是标准化岭回归估计。
)(ˆk β作为β的估计应比最小二乘估计βˆ稳定，当k=0时的岭回归估计)0(ˆβ就是普通的最小二乘估计。
【学习笔记】回归算法-岭回归
【学习笔记】回归算法-岭回归
具有L2正则化的线性最⼩⼆乘法。
岭回归是⼀种专⽤于线性数据分析的有偏估计回归⽅法，实质上是⼀种改良的最⼩⼆乘估计法，通过放弃最⼩⼆乘法的⽆偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归⽅法，对病态数据的拟合要强于最⼩⼆乘法。
当数据集中存在共线性的时候，岭回归就会有⽤。
正则化程度的变化，对结果的影响：
sklearn.linear_model.Ridge(alpha=1.0)
具有l2正则化的线性最⼩⼆乘法
alpha:正则化⼒度
coef_:回归系数
使⽤岭回归预测中的波斯顿房价的例⼦：
from sklearn.linear_model import Ridge
...
# 岭回归预测房价
rd = Ridge(alpha=1.0)
rd.fit(x_train, y_train)
print(rd.coef_)
y_rd_predict = std_y.inverse_transform(rd.predict(x_test))
print("岭回归预测的房⼦价格：", y_rd_predict)
print("岭回归的均⽅误差:", mean_squared_error(std_y.inverse_transform(y_test), y_rd_predict))
线性回归 LinearRegression与Ridge对⽐:岭回归：回归得到的回归系数更符合实际，更可靠。
另外，能让估计参数的波动范围变⼩，变的更稳定。
在存在病态数据偏多的研究中有较⼤的实⽤价值。
岭回归分析
§7.2 岭回归估计的性质
性质 3 对任意 k＞0，‖βˆ ‖≠0 ‖βˆ(k)‖＜‖βˆ ‖
这里‖ ‖是向量的模，等于向量各分量的平方和。 这个性质表明βˆ(k)可看成由βˆ 进行某种向原点的压缩，
从βˆ(k)的表达式可以看到，当 k→∞时，βˆ(k)→0， 即βˆ(k)化为零向量。
§7.2 岭回归估计的性质
因此，岭估计βˆ(k)是最小二乘估计βˆ 的一个线性变换， 根据定义式βˆ(k)(XX kI)-1 Xy 知βˆ(k)也是 y
这里需要注意的是，在实际应用中，由于岭参数 k 总是要通过数据来 确定，因而 k 也依赖于y，因此从本质上说βˆ(k)并非βˆ 的线性变换，也不是 y 的线性函数。
§7.2 岭回归估计的性质
性质 2 在认为岭参数 k 是与 y 无关的常数时，βˆ(k)(XX kI)-1 Xy 是最小二乘估计βˆ 的一个线性变换，也是y
因为 βˆ(k)(XX kI)-1 Xy =(XX kI)-1 XX(XX)-1 Xy =(X X kI)-1 XXβˆ
§7.5 用岭回归选择变量
计算X′X的15个特征为： 4.5272，2.7547，2.0545，1.3487，1.2227 0.9605，0.6124, 0.4729，0.3708，0.2163 0.1665，0.1275，0.1142，0.0460，0.0049
注：以上特征根是按照原文献的计算方式，自变量观测阵未包 含代表常数项的第一列1，与用SPSS计算结果有所不同
§7.4 岭参数k的选择
§7.4 岭参数k的选择
二、方差扩大因子法
方差扩大因子 cjj度量了多重共线性的严重程度，计算岭估计 βˆ(k)的协方差阵，得
D（βˆ(k)）=cov（βˆ(k)，βˆ(k)） =cov（(X′X+kI)-1X′y，(X′X+kI)-1X′y） =(X′X+kI)-1X′cov（y，y）X(X′X+kI)-1 =σ 2(X′X+kI)-1X′X(X′X+kI)-1 =σ 2(cij（k）)
岭回归基本步骤
岭回归基本步骤第一步：政治协商在以岭问题处理过程中，政治协商是基本步骤之一。
各方通过对话、协商，就以岭问题进行讨论和解决。
这一步骤的目的是为了寻求共识、协商解决方案，并达成一致意见。
第二步：法律依据在以岭回归的过程中，法律依据是必不可少的。
各方需要依据国际法、相关条约和协议等法律文件，明确以岭地区的归属问题。
这一步骤的目的是确保依法办理以岭回归手续，确保回归的合法性和合规性。
第三步：民意调查以岭回归涉及的地区居民的意愿也是重要的考量因素。
各方可以通过民意调查、听取居民的意见和建议，了解当地居民对于回归问题的看法。
这一步骤的目的是尊重居民的意愿，确保回归决策符合当地居民的利益和意愿。
第四步：公告宣布在以岭回归的过程中，公告宣布是必要的程序。
相关政府部门需要通过公告的形式，宣布以岭地区的归属问题已经解决，宣布以岭回归的决定。
这一步骤的目的是向公众传达回归的信息，确保回归决策得到广泛知晓。
第五步：执行回归一旦以岭回归的决定宣布，就需要开始执行回归手续。
相关政府部门需要组织人员，进行具体的回归操作，包括边界划定、行政管理等工作。
这一步骤的目的是将回归决策转化为具体行动，确保回归的实施顺利进行。
第六步：国际认可以岭回归的最后一步是国际认可。
各方需要通过外交渠道，向国际社会宣布以岭地区的回归决定，并争取国际社会的认可和支持。
这一步骤的目的是确保以岭回归得到国际社会的广泛认可，为回归后的发展提供国际合作和支持。
以上就是以岭回归的基本步骤。
通过政治协商、法律依据、民意调查、公告宣布、执行回归和国际认可等步骤，以岭问题可以得到妥善处理和解决。
这个过程需要各方的共同努力和合作，以实现以岭回归的目标，为地区的和平稳定和发展繁荣做出贡献。
岭回归
开始—程序 –Spss facility –add按钮看到几个小程序 ridge regression 岭回归计算程序’Ridge regression.sps’是spss软件的附加功能：具体程序如下： INCLUDE '[installdir]/Ridge regression.sps'. RIDGEREG DEP=varname /ENTER = varlist [/START={0**}] [/STOP={1**}] [/INC={0.05**}] {value} {value} {value } [ /K=value] . [installdir] is the installation directory.
性质3 以MSE表示估计向量的均方误差，则存在k>0，使得 性质 ˆ MSE[β (k)]<MSE( ˆ ) β p p ˆ ˆ 即 Σ E[β j(k) – βj]2< Σ D(β j )
j=1 j=1
三、岭迹分析
ˆ 当岭参数k在(0, ∞)内变化时， β j(k)是k的函数，在平面坐标 ˆ 系上把函数 β j (k)描画出来，画出的曲线称为岭迹。在实际应用中， 可以根据岭迹曲线的变化形状来确定适当的k值和进行自变量的 选择。
ˆ β (k)
5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5
ˆ β1(k)
123来自ˆ β 2(k)k
三、岭迹分析(续) 岭迹分析 续
岭迹法的直观考虑是，如果最小二乘估计看来有不合理之处， 如估计值以及正负号不符合经济意义，则希望能通过采用适当的 β 岭估计 ˆ (k)来加以一定程度的改善，岭参数k值的选择就显得尤为 重要。选择k值的一般原则是： 1. 各回归系数的岭估计基本稳定； 2. 用最小二乘估计时符号不合理的回归系数，其岭估计的符 号变得合理； 3. 回归系数没有不合乎经济意义的绝对值； 4. 残差平方和增大不太多。
第七章 岭回归分析
MSE[
(k
)]
MSE
(
ˆ
)
即
p
E[ j (k) j ]2
p
D(ˆ j )
j 1
j 1
§3 岭迹分析
当岭参数 k 在 (0, ) 内变化时，ˆ j (k)是k 的函数， 在平面坐标系上把函数 ˆ j (k) 描画出来，画出的曲线称
为岭迹。由于尚未找到一种公认的最优选择 k 的方法， 所以在实际应用中，可以根据岭迹曲线的变化形状来确 定适当的 k 值和进行自变量的选择。
用最小二乘法求出回归参数的估计值为
ˆ0 11.292, ˆ1 11.307, ˆ2 6.591,
而原模型的参数为
0 10, 1 2, 3 3,显然相差很大；
计算 X1, X 2 的样本相关系数为 r12 0.986, 表明X1, X 2 之间高度相关.
岭回归的定义
当自变量间存在多重共线性， X X 0 时，设想给 X X 加上一个 正常数矩阵 kI (其中k 0) ，则 X X kI 接近奇异的程度就会比 X X
中 k=0.5 时，岭迹已算平稳，这时 ˆ1(0.5) 2.06已相当接近真值2 ， 但此时 ˆ2 (0.5)=1.49与真值3还相差很大 。
岭迹法的缺点是：缺少严格的理论依据； 岭迹法的优点是：发挥了定性分析和定量
分析的有机结合.
方差扩大因子法
记 R 2 j 为自变量 x j 对其余 p 1 个自变量作回 归拟合的复决定系数。这里 R2 j 度量了 x j 与其余 p 1 个变量的线性相关程度。可以证明：
岭迹法
选择k值的一般原则是： 各回归系数的岭估计基本稳定； 用最小二乘估计时符号不合理的回归系数，
其岭估计的符号变得合理； 回归系数没有不合乎经济意义的绝对值； 残差平方和增大不太多.
岭回归1
1、做多自变量的线性回归，在统计量面板内选：共线性诊断（L）；2、如结果中的方差膨胀系数（VIF）>5，则可做岭回归分析；3、新建语法编辑器，输入如下命令：INCLUDE '安装目录\ regression.sps'. RIDGEREG DEP=因变量名/ENTER = 自变量名（用空格分开）/START=0 /STOP=1[或其它数值] /INC=0.05[或其它搜索步长]/K=999 .4、选择运行全部，得到各自变量岭迹图和决定系数R2与K值的关系图，在图上作参考线，取一岭迹平稳并且R2值较大的平衡点的K值；5、将语法编辑器中的K值改为所选K值，再运行全部，得到详细的最终模型参数。
岭回归分析实际上是一种改良的最小二乘法，是一种专门用于共线性数据分析的有偏估计回归方法。
岭回归分析的基本思想是当自变量间存在共线性时，解释变量的相关矩阵行列式近似为零，X'X是奇异的，也就是说它的行列式的值也接近于零，此时OLS估计将失效。
此时可采用岭回归估计。
岭回归就是用X'X+KI代替正规方程中的X'X，人为地把最小特征根由minλi提高到min（λi+k），希望这样有助于降低均方误差。
SAS可以用来做岭回归分析岭回归分析1 岭回归估计量岭回归分析是一种修正的最小二乘估计法，当自变量系统中存在多重相关性时，它可以提供一个比最小二乘法更为稳定的估计，并且回归系数的标准差也比最小二乘估计的要小。
根据高斯——马尔科夫定理，多重相关性并不影响最小二乘估计量的无偏性和最小方差性。
但是，虽然最小二乘估计量在所有线性无偏估计量中是方差最小的，但是这个方差却不一定小。
于是可以找一个有偏估计量，这个估计量虽然有微小的偏差，但它的精度却能够大大高于无偏的估计量。
在应用岭回归分析时，它的计算大多从标准化数据出发。
对于标准化变量，最小二乘的正规方程为rXXb=ryX式中，rXX是X的相关系数矩阵，ryX是y与所有自变量的相关系数向量。
岭回归用法
岭回归用法岭回归（Ridge Regression）是一种线性回归模型的改进方法，用于解决多重共线性问题。
在线性回归中，当自变量之间存在高度相关性时，估计的系数可能不稳定或过拟合。
岭回归通过增加一个正则化项，限制模型的复杂度，从而降低估计的方差,改善模型的稳定性。
岭回归的基本步骤如下：1. 准备数据集：将数据集划分为自变量矩阵X和因变量向量y。
2. 特征标准化：对自变量矩阵X进行标准化处理，将每个特征的均值调整为0，标准差调整为1。
3. 建立模型：建立岭回归模型，选择合适的正则化参数λ。
4. 训练模型：使用标准化后的数据集训练岭回归模型，得到模型的系数。
5. 模型评估：使用测试集评估模型的性能，可以使用均方误差（Mean Squared Error）等指标进行评估。
岭回归的优点是可以减小模型的方差，稳定性更好，适用于处理多重共线性问题。
但也存在一些缺点，如无法自动选择变量，需要事先确定正则化参数λ。
在Python中，可以使用sklearn库中的Ridge类进行岭回归建模。
具体使用方法如下：```pythonfrom sklearn.linear_model import Ridgefrom sklearn.model_selection import train_test_splitfrom sklearn.metrics import mean_squared_error# 准备数据集X = ...y = ...# 划分训练集和测试集X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y,test_size=0.2, random_state=0)# 特征标准化# 建立岭回归模型ridge = Ridge(alpha=1.0) # alpha为正则化参数lambda，可以根据需要调整# 训练模型ridge.fit(X_train, y_train)# 预测y_pred = ridge.predict(X_test)# 模型评估mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)```以上是岭回归的基本用法，你也可以根据具体需求调整正则化参数λ以及其他参数。
python实现线性回归之岭回归
python实现线性回归之岭回归岭回归与多项式回归的最⼤区别就是损失函数上的区别。
岭回归的代价函数如下：为了⽅便计算导数，通常也会写成以下形式：上述式⼦中w为长度为n的向量，不包括偏置项的系数θ0，θ是长度为n+1的向量，包括偏置项系数θ0；m为样本数，n为特征数。
岭回归的代价函数仍然是凸函数，因此可以利⽤梯度等于0的⽅式求得全局最优解：上述⽅程与⼀般线性回归⽅程相⽐多了⼀项λI，其中I表⽰单位矩阵，加⼊XTX是⼀个奇异矩阵（不满秩），添加这⼀项之后可以保证该项可逆，由于单位矩阵上的对⾓元素均为1，其余元素都为0，看起来像是⼀条⼭岭，因此⽽得名。
还可以使⽤随机梯度下降算法来求解：参数更新就可以如下表⽰：上述解释摘⾃：接下来是实现代码，代码来源：⾸先还是定义⼀个基类，各种线性回归都需要继承该基类：class Regression(object):""" Base regression model. Models the relationship between a scalar dependent variable y and the independentvariables X.Parameters:-----------n_iterations: floatThe number of training iterations the algorithm will tune the weights for.learning_rate: floatThe step length that will be used when updating the weights."""def__init__(self, n_iterations, learning_rate):self.n_iterations = n_iterationsself.learning_rate = learning_ratedef initialize_weights(self, n_features):""" Initialize weights randomly [-1/N, 1/N] """limit = 1 / math.sqrt(n_features)self.w = np.random.uniform(-limit, limit, (n_features, ))def fit(self, X, y):# Insert constant ones for bias weightsX = np.insert(X, 0, 1, axis=1)self.training_errors = []self.initialize_weights(n_features=X.shape[1])# Do gradient descent for n_iterationsfor i in range(self.n_iterations):y_pred = X.dot(self.w)# Calculate l2 lossmse = np.mean(0.5 * (y - y_pred)**2 + self.regularization(self.w))self.training_errors.append(mse)# Gradient of l2 loss w.r.t wgrad_w = -(y - y_pred).dot(X) + self.regularization.grad(self.w)# Update the weightsself.w -= self.learning_rate * grad_wdef predict(self, X):# Insert constant ones for bias weightsX = np.insert(X, 0, 1, axis=1)y_pred = X.dot(self.w)return y_pred岭回归的核⼼就是l2正则化项：class l2_regularization():""" Regularization for Ridge Regression """def__init__(self, alpha):self.alpha = alphadef__call__(self, w):return self.alpha * 0.5 * w.T.dot(w)def grad(self, w):return self.alpha * w然后是岭回归的核⼼代码：class PolynomialRidgeRegression(Regression):"""Similar to regular ridge regression except that the data is transformed to allowfor polynomial regression.Parameters:-----------degree: intThe degree of the polynomial that the independent variable X will be transformed to.reg_factor: floatThe factor that will determine the amount of regularization and featureshrinkage.n_iterations: floatThe number of training iterations the algorithm will tune the weights for.learning_rate: floatThe step length that will be used when updating the weights."""def__init__(self, degree, reg_factor, n_iterations=3000, learning_rate=0.01, gradient_descent=True): self.degree = degreeself.regularization = l2_regularization(alpha=reg_factor)super(PolynomialRidgeRegression, self).__init__(n_iterations,learning_rate)def fit(self, X, y):X = normalize(polynomial_features(X, degree=self.degree))super(PolynomialRidgeRegression, self).fit(X, y)def predict(self, X):X = normalize(polynomial_features(X, degree=self.degree))return super(PolynomialRidgeRegression, self).predict(X)其中的⼀些具体函数的⽤法可参考：最后是主函数：from__future__import print_functionimport matplotlib.pyplot as pltimport syssys.path.append("/content/drive/My Drive/learn/ML-From-Scratch/")import numpy as npimport pandas as pd# Import helper functionsfrom mlfromscratch.supervised_learning import PolynomialRidgeRegressionfrom mlfromscratch.utils import k_fold_cross_validation_sets, normalize, Plotfrom mlfromscratch.utils import train_test_split, polynomial_features, mean_squared_errordef main():# Load temperature datadata = pd.read_csv('mlfromscratch/data/TempLinkoping2016.txt', sep="\t")time = np.atleast_2d(data["time"].values).Ttemp = data["temp"].valuesX = time # fraction of the year [0, 1]y = tempX_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.4)poly_degree = 15# Finding regularization constant using cross validationlowest_error = float("inf")best_reg_factor = Noneprint ("Finding regularization constant using cross validation:")k = 10for reg_factor in np.arange(0, 0.1, 0.01):cross_validation_sets = k_fold_cross_validation_sets(X_train, y_train, k=k)mse = 0for _X_train, _X_test, _y_train, _y_test in cross_validation_sets:model = PolynomialRidgeRegression(degree=poly_degree,reg_factor=reg_factor,learning_rate=0.001,n_iterations=10000)model.fit(_X_train, _y_train)y_pred = model.predict(_X_test)_mse = mean_squared_error(_y_test, y_pred)mse += _msemse /= k# Print the mean squared errorprint ("\tMean Squared Error: %s (regularization: %s)" % (mse, reg_factor)) # Save reg. constant that gave lowest errorif mse < lowest_error:best_reg_factor = reg_factorlowest_error = mse# Make final predictionmodel = PolynomialRidgeRegression(degree=poly_degree,reg_factor=reg_factor,learning_rate=0.001,n_iterations=10000)model.fit(X_train, y_train)y_pred = model.predict(X_test)mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)print ("Mean squared error: %s (given by reg. factor: %s)" % (mse, reg_factor)) y_pred_line = model.predict(X)# Color mapcmap = plt.get_cmap('viridis')# Plot the resultsm1 = plt.scatter(366 * X_train, y_train, color=cmap(0.9), s=10)m2 = plt.scatter(366 * X_test, y_test, color=cmap(0.5), s=10)plt.plot(366 * X, y_pred_line, color='black', linewidth=2, label="Prediction")plt.suptitle("Polynomial Ridge Regression")plt.title("MSE: %.2f" % mse, fontsize=10)plt.xlabel('Day')plt.ylabel('Temperature in Celcius')plt.legend((m1, m2), ("Training data", "Test data"), loc='lower right')plt.savefig("test1.png")plt.show()if__name__ == "__main__":main()结果：Finding regularization constant using cross validation:Mean Squared Error: 13.812293192023807 (regularization: 0.0)Mean Squared Error: 13.743127176668661 (regularization: 0.01)Mean Squared Error: 13.897319799448272 (regularization: 0.02)Mean Squared Error: 13.755294291853932 (regularization: 0.03)Mean Squared Error: 13.864603077117456 (regularization: 0.04)Mean Squared Error: 14.13017742349847 (regularization: 0.05)Mean Squared Error: 14.031692893193021 (regularization: 0.06)Mean Squared Error: 14.12160512870597 (regularization: 0.07)Mean Squared Error: 14.462275871359097 (regularization: 0.08)Mean Squared Error: 14.155492625301093 (regularization: 0.09)Mean squared error: 9.743831581107068 (given by reg. factor: 0.09)。
岭回归拟合曲线
岭回归（Ridge Regression）是一种用于解决线性回归问题的正则化方法，它可以在拟合曲线时减小过拟合的问题。
岭回归的基本思想是在原始的损失函数中添加一个L2正则化项，使得模型更加平滑。
岭回归的损失函数可以表示为：
其中，是模型参数向量，是样本数量，和分别是第i个样本的特征矩阵和标签向
量。
是正则化参数，用于控制正则化的强度。
在岭回归中，我们可以通过调整的值来控制正则化的强度。
当较小时，模型会更倾向
于拟合训练数据，而当较大时，模型会更加平滑，减小过拟合的问题。
岭回归的求解过程与普通的线性回归类似，可以使用梯度下降等方法进行求解。
在实际应用中，我们可以使用Hutool等工具库中提供的岭回归相关函数来实现岭回归回归拟合曲线。