数学建模组合优化模型

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给定有向网络G (N, A,C) ，cij 表示弧(i, j) A 的容量G， 有一个 发点s 和一个收点 t (s,t N) 。
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33 71
2
1 4
34
6 6
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令 xij ＝通过弧(i, j) 的流量，则流x (xij ) 要遵守
0 xij cij
71
2,2 5
2,2 6
6,2
2,2 6
6,2
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结果
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最小费用流问题
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给定有向网络 G (N , A,C,W ) ，其中 cij 表示
弧 (i, j) A 的 容 量 ，wij 表 示 单 位 流 通 过 弧
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网络连接方式
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联通不含回路
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树：一个连通且无回路的图 k －树（森林）：有 k 个连通分支且无回路的图
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最小支撑树
支撑树T 的权（或长）：W (T ) W (e)
eE
最小支撑树：G 中权最小的支撑树 定理 6.4.1 设 T 是 G 的支撑树，则T 是 G 的最小树当且仅当对任意边eT* 有
(i,t )A
s.t. xsj xit 0; i s, t
(i, j)A
( i ,i ) A
0 xij cij ; (i, j) A
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算法步骤
第 1 步 (开始)令x (xij ) 是任意可行流，可能是零流，给 s 一个永久标号 (,) 。
第 2 步 (找增广路) (2.1) 如果所有标号都已经被检查，转到第 4 步。 (2.2) 找一个标号但未检查的点i ，并做如下检查，对每
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3
1
4
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5
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迭代过程
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5
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1
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流量安排问题
❖ 最大流问题 ❖ 最小费用流问题 ❖ 运输问题
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最大流问题
第 3 步 若G[S {a j }] 不构成回路，则置 ei1 a j ，S S {ei1} ， i i 1 ， j j 1 ，转向第 2 步；否则，置 j j 1 ，转向第 2 步。
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算例
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用 Kruskal 算法求解下图所示网络的最小 树，其中每条边上的数表示该边的权值。
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算例
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求解下图所示有向网络中自点 1 到点 6 的最大流。其中每条弧上的数表示其容量。
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2
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迭代过程
5,2 2 2
1 4
3,2 4
+1,3 32
2 -∞ 1
4 14
+1,1
3,2 3 71
2,2 5
1
+2,1 3
W (e) max W (e) eC (e)
其中 C(e) T e 为一个唯一的回路。
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算法步骤
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第 1 步 开始把边按权的大小由小到大排列起来，即
a1 , a2 ,..., am 置 S ，i 0 ， j 1 。
第 2 步 若| S | i n 1 ，则停。这时G[S] T 即为所求；否则， 转向第 3 步。
v,
xij
x ji
0,
j
j
v,
is i s,t it
可行流：满足守恒方程的流，简称为(s,t) 流
问
题
：
求
一
个
可
行
流
x*
(
x* ij
)
，使得
v
x* sj
x* jt
达到最大值。
j
j
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数学规划模型
max xsj
(s, j )A
xsj xit 0
(s, j)A
一个弧(i, j) ，如果xij cij 且j 未 标号，则给j 一个标号(i, ( j)) ，其中 ( j) min{cij xij , (i)} ；对 每 一 个 弧 ( j,i) ， 如 果 xij 0 且j 未 标 号 ， 则 给j 一 个 标 号 (i, ( j)) ，其中 ( j) min{ x ji , (i)} 。
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❖ 优化问题概述 ❖ 数学规划模型 ❖ 组合优化模型 ❖ 优化算法介绍 ❖ 评价方法
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❖ 组合优化问题概述 ❖ 网络优化设计 ❖ 流量安排问题 ❖ 路线选择问题
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组合优化问题概述
❖ 组合优化问题 ❖ 常见的组合优化问题 ❖ 组合优化问题建模步骤
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网络设计
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❖ 常见网络设计 管线网络、交通网络、通信网络、关系网络
等 ❖ 设计内容
设置多少点？设在什么地方？--选址问题 点之间如何链接？--网路优化 ❖ 设计要求 实现基本功能 成本最小
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网络连接方式
最少用多少边可把下列点连起来？
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(i,
j)
A
的费用。则流
x
(xij )
的费用为 i, j
wij xij
4,2 2,3 a
c 1,3
s 2,1 1,2
3,1
t
1,2 b 5,2
3,2 d
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问题：
求一个可行流 x*
(
x* ij
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组合优化问题
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❖ 有限个可行方案中选择最优方案 ❖ 最优解一定存在 ❖ 可行方案的个数非常多，枚举法不可行，往往是
NP-hard问题
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组合优化问题
❖ 组合计数问题 ❖ 最小费用最大流问题 ❖ 最短路问题 ❖ 网络设计问题 ❖ 最优匹配问题 ❖ 装箱问题 ❖ 旅游售货员问题 ❖ 车辆路径问题
(2.3) 如果t 已被标号，转到第 3 步；否则，转到(2.1)。
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第 3 步 (增广)由t点 开始，试用指示标号构造一个增 广路，指示标号的正负则表示通过增加还是减少弧流量 来增大流值。抹去 s 点以外的所有标号，转到第 2 步。
第 4 步 (构造最小割)这时现行流是最大的，若把所 有标号点的集合记为 S ，所有未标号点的集合记为T ， 便得到最小容量割(S,T ) ，计算完成。