镜像法-高中物理竞赛讲义

与
是相似三角形，即
，于是球外任意一点的电位为
(4.4.3.6)
采用球坐标，取原点为球心 O 点，z 轴与 轴重合，则球外任一点
处
有
(4.4.3.7)
这样可求得电场 的分量为
(4.4.3.8)
r=a 时球面上的感应电荷密度1)
（1）点电荷对不接地、净电荷为零的导体球的镜像。 （2）点电荷对不接地、净电荷不为零的导体球的镜像。 （3）接地球形空腔内电荷的镜像
《镜像法》4，15
平行导线间单位长度电容： (4.4.2.10)
其中
小天线的镜像
与地面的小天线，长度为 l ，离地高度为 h 。 用位于地面下方 h 处的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条件 维持不变。 与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行， 辐射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强。若天线与平面倾斜放置，则 辐射功率的变化与倾斜角度有关。具体辐射功率的计算请参看天线辐射（超链）， 此处仅给出思路和结论。
点电荷对相交接地平面的镜像
条件：两相交接地平面夹角为 镜像电荷：2n-1 个。
，n=1,2,3…
若两相交接地平面夹角不满足上述条件，则镜像电荷为无
穷多个。
点电荷对介质平面的镜像
图 4.4.5 点电荷对相交接地地面 的镜像
1 区和 2 区为不同介质，求解时要分区域考虑。
求解区 1 的场：在区 2 置镜像电荷 。求解区 2 的场：在区 1 置镜
像
与地面平行的均匀双线传输线， 半径为 a，离地高度为 h，导线间距离为 d，导线一带正电荷+ ，导线二带负电荷-
。
用位于地面下方 h 处的镜像双 导线代替地面上的感应电荷，边界条件维
图 4.4.4 无限长均匀传输线对地
持不变。
面的镜像
将地面取消而代之以镜像双导 线。
求解电位：
(4.4.2.8)
(4.4.2.9)
掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容。
球面镜像 1
点电荷对接地导体球的镜像
题目：半径为 a 的接地导
体球，在与球心相据 的 一点电荷
。
在导体球内，距离球心处
的 点处置一镜像电荷 来代替 导体球上的感应电荷，边界条件维持 不变，即导体球面为零电位面。
去掉导体球，用原电荷和 镜像电荷求解导体球外区域场，注意 不能用原电荷和镜像电荷求解导体 球内区域场。 求解镜像电荷的大小和位置：将原导
单位长度单导线的对地电容 可表示为
（式 1）。 式中 为单导线的电位， 为地电位 （ ＝0）， 为导线的线电荷密度。现在需要 求出 ，用镜像法求解。
例题图 4.9
单位长度单导线的对地电容 可表示为
（式 1）。
式中 为单导线的电位， 为地电位（ ＝0）， 为导线的线电
荷密度。现在需要求出 。
令
（近似认为 均匀分布于导线表面），利用镜像法，将地面取
无限长单导线对平面的镜像
与地面平行的极长的单导线，半径为 a，离地高度为 h。
《镜像法》3，15
用位于地面下方 h 处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边 界条件维持不变。
将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为 ）
电位：
(4.4.2.5)
对
地
电
容
：
(4.4.2.6
平面镜像 2
无限长均匀双线传输线对平面的镜
平面镜像 1
点电荷对平面的镜像
(a) 无限大接地导体平面上方有点 电荷 q 图 4.4.1 点电荷的平面镜像
（b） 用镜像电荷-q 代替导体平面 上方的感应电荷
在无限大接地导体平面（YOZ 平面）上方有一点电荷 q，距离 导体平面的高度为 h。
用位于导体平面下方 h 处的镜像电荷-q 代替导体平面上的感应 电荷，边界条件维持不变，即 YOZ 平面为零电位面。
消而代之以镜像单导线（带 ）。则原地面上方任意点 P 的电位为
（式 2）。 式中 、 分别代表镜像单导线及原单导线到 P 点的垂直距离。由 2 式
可知 为
。
把此式代入 1 式则得单导线对地电容为 （式 3）。
《镜像法》7，15
有了上式，就可以方便地写出平行双导线间的单位长度的电容 为
（式 4）。 式中，D 为平行双导线间的距离（相当于本题中的 2h），a 为导线半径。 若 D>>a， 就可以简化为式 4 的近似式。
球面镜像 2
无穷镜像问题
《镜像法》9，15
（a） 图 4.4.8 无穷镜像问题
（b）
半径为 a 的金属球，带电荷 ，球心离地高度 h。
为满足金属球为等位面，但电位不等于零及地面为零等位面的边界条 件，我们需要用一系列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。
若仅是孤立球体，则将电荷 集中于球心来代替导体球的分部电荷， 这样就满足了金属球面为等位面的边界条件。但是有了地面影响，还应满足地面 为零等位面的边界条件。为满足这个条件，就要找出置于球心的 镜像电荷，这
《镜像法》1，15
镜像法
思路
用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。
使用范围
界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。
步骤
确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。 求解边界上的感应电荷。 求解电场力。
去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注 意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。
《镜像法》2，15
电位：
(4.4.2.1)
电
场
强
度
：
(4.4.2.2) 其中，
感应电荷：
=>
(4.4.2.3) 电场力：
(4.4.2.4)
图 4.4.2 点电荷的平面镜像
图 4.4.3 单导线的平面镜像
体球移去， 及像电荷 在原球面 上任一点 P 处产生的电位应为零，即
图 4.4.7 点电荷对接地导体球的镜像
(4.4.3.1) 我们在球面上取通过 的直径的两端点，对于这两点的电位式为
(4.4.3.2)
(4.4.3.3)
《镜像法》8，15
以上两方程解得
(4.4.3.4)
(4.4.3.5)
求解电位、电场强度、感应电荷： 的表达式表示对于球面上任一点 P，
像电荷 。
《镜像法》5，15
图 4.4.6 点电荷对介质平面的镜像
求解 和 ：
z>0 时，
(4.4.2.11)
z<0 时，
(4.4.2.12)
根据边界条件
、
可以解得
(4.4.2.13)
(4.4.2.14) 分区域考虑镜像电荷。 求单导线的对地电容
《镜像法》6，15
求单导线的对地电容。一根极长的单导线与地 面平行。导线半径为 a，离地高度为 h，求单位长 度单导线地对地电容。