2015-2016学年沪科版数学九年级上册第第二十一章第 五节反比例函数(教案+练习+答案)
沪科版数学九年级上册21.5.1反比例函数的概念课件(共16张PPT)
二、探究新知
问题1:某村有耕地200hm²,人口数量x逐年发生变化,该村人均耕地面积 yhm²与人口数量x之间有怎样的函数关系? 全村耕地面积应是人均耕地面积与人口数量的乘积,即yx=200, 所以变量yhm2与x之间的函数关系可表示为:
y 200 x
二、探究新知
问题2:某市距省城248km,汽车行驶全程所需的时间t h与平均速度v km/h
21.5反比例函数
第一课时 反比例函数的概念
一、复习引入
1.什么叫函数?
一般地,在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许取 值范围内的每一个值,y总有唯一确定的值与它对应.这样的两个变 量之间的关系我们把它叫做函数关系.
对于上述变量x、y,x叫自变量,y叫因变量,我们把y叫做x的函数.
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数(即x≠0); k叫做比例系数,k≠0;
函数y的值也不等于0.
2.反比例函数表达形式:
y是x的反比例函数
y k x
y=kx-1
xy=k
(k为常数,k≠0) 记住这三种形式!!!
理解应用
1.下列关系式中的y是x的反比例函数吗?如果是,比例系数k是多少?
(1) y x 否 2y 2 否 3y 3 是 4y 1 3 否
之间有怎样的函数关系?
由路程s=vt,变量t h与v km/h之间的函数关系可以表示为:
t 248 v
二、探究新知
问题3:在一个电路中,当电压U一定时,通过电路的电流 I 的大小与该 电路的电阻 R 的大小之间有怎样的函数关系? 由电学可知,变量I与R之间的函数关系可以表示为:
I U R
二、探究新知
答:当S=0.5时,物体承受的压强p的值为200.
沪科版九年级数学上册教学设计:21.5反比例函数反比例函数的概念
-对于图像的对称性和渐进线等抽象概念,学生可能难以直观理解,需要借助图形和动态演示来辅助教学。
-教师应设计具有层次性的练习题,帮助学生逐步攻克这一难点。
3.建立反比例函数模型解决实际问题,是应用上的难点。
-学生在从实际问题中抽象出反比例关系时,可能会感到困难,需要教师的引导和案例学习。
(三)学生小组讨论
在小组讨论环节,我会将学生分成小组,并分配不同的任务。每个小组需要完成以下任务:
-分析给定的实际情境,识别反比例关系。
-构建相应的反比例函数模型,并解释模型中各参数的意义。
-讨论反比例函数图像的特征,并尝试解释这些特征在实际情境中的含义。
我会巡回指导,观察学生的讨论情况,并提供必要的帮助。讨论结束后,每个小组将分享他们的发现和结论,我会对每个小组的表现进行点评和总结。
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数的理解,以及提高他们运用知识解决实际问题的能力,我将布置以下作业:
1.基础巩固题:
-完成课本第21.5节后的练习题1、2、3,重点在于反比例函数的定义和图像绘制。
-选择两个现实生活中的例子,分别建立反比例函数模型,并解释模型中各参数的物理意义。
2.实践应用题:
-根据课堂上分析的案例,自行设计一个反比例函数相关的实际问题,要求包含至少两个变量,并运用反比例函数知识解决。
在这个环节中,我会强调以下几点:
-引导学生发现并描述数量之间的变化规律。
-促使学生思考如何用数学语言来表述这种规律。
-为学生提供直观的体验,帮助他们理解反比例函数的直观意义。
(二)讲Байду номын сангаас新知
在讲授新知的环节,我会正式介绍反比例函数的定义和表达式。我会从之前的实例出发,解释反比例函数的一般形式y = k/x,并强调k ≠ 0的条件。我会用图示和动态演示来解释k的物理意义,以及它如何影响反比例函数的图像。
沪科版九年级数学上册 21.5 反比例函数 PPT教学课件
2、当k<0时,图象的两个 分支分别在第二、四象限 内,在每个象限内,y随x 的增大而增大。
反比例函数的性质2
k 1. y = x
k=xy
2.双曲线关于原点对称
3. S矩形ABOE K
S∆OAB =
k 2
2
对于函数 y = x , 当x>0时, y__0,这部分图象在第__ 象限;
对于 y 2 ,当x<0时,y__0,这部分图象在第__象限.
x
2.反比例函数 y mxm2 m1 的图象位于第二、四
象限,则m的值是 .
A.-2
B.-1
C.0或-1 D.-2或-1
练习
1.已知反比例函数的图象经过点(-3,6),求解析式.
反比例函数的定义
问题1:当矩形面积为6时,长a与宽b成的关系是
6 a=
b
问题2:当路程s一定时,时间t与速度v的关系是
s v=
t
函数 y = k (k是常数,k≠0)叫做反比例函数.
x
也可以写成 y=kx -1的形式.
反比例函数定义的应用 k为何值时,y=(k2+k)x k2-k-3是反比例函数?
I(A)
11
40
60
80
100
5.5
11
2.75
2.2
3
当R越来越大时,I怎样变化?当R越来越小呢?
当R越来越大时,I越来越小;反之I越来越大.
(3)变量I是R的函数吗?为什么?
由关系式可知二者是反比例函数关系.
舞台的灯光效果
舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密 布的阴天,或由黑夜变成白昼,这样的效果就是通过改变电阻 来控制电流的变化实现的.因为当电流 I 较小时,灯光较暗;反 之,当电流 I 较大时,灯光较亮.
沪科版初中数学九年级上册反比例函数精品课件PPT
课堂精讲
Listen attentively
用待定系数法确定反比例函数的解析式,通常把已知点 的坐标作为 x,y 的对应值代入解析式一般形式中求解.因反 比例函数的解析式中只有一个未知数 k,故只需找出一对 x、 y 的值即可.
课堂精讲
Listen attentively
反比例函数的图象及性质
1.(2016•铜仁)如图,在同一直角坐标系中,函
函数
反比例函数
目录 contents 考纲与命题解读 中考真题再现
考点梳理
课堂精讲
目录 contents
考纲解读 命题解读
考纲解读
Listen attentively
结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已 知条件确定反比例函数的表达式;掌握反比例函数 的图象和性质,根据图象和表达式y= (k≠0)探索并 理解k>0和k<0时图象的变化情况;能用反比例函数 解决简单实际问题.
沪科版(2012)初中数学九年级上册 21.5.3 反比例函数 课件
沪科版(2012)初中数学九年级上册 21.5.3 反比例函数 课件
课堂精讲
Listen attentively
【分析】(1)把A(2,5)分别代入 和y=x+b,即可求出k和b 的值; (2)联立一次函数和反比例函数的解析式,求出交点坐标,进而 结合图形求出y1>y2时x的取值范围. 【解答】解:(1)把A(2,5)分别代入 和y=x+b,
故答案为:D.
沪科版(2012)初中数学九年级上册 21.5.3 反比例函数 课件
沪科版(2012)初中数学九年级上册 21.5.3 反比例函数 课件
课堂精讲Listen at Nhomakorabeaentively
沪科版-数学-九年级上册-21.5 反比例函数 教学课件
8. 如图点P 是反比例函数y= 4/x 的图象上的任意
点,PA垂直于x轴,设三角形AOP的面积为S,则
S=_____
4
2
P
-5
O
A
5
-2
9.已知反比例函数y =k/x 和一次函数 y=kx+b 的图象都经过点(2,1) (1)分别求出这个函数的解析式 (2)试判断是A(-2, -1)在哪个函数的图象上 (3)求这两个函数的交点坐标
y1
k1 x
, y2
k2 x
, y3
k3 x
由此观察得到( B )
A k1>k2>k3 C k2>k1>k3
B k3>k2>k1 D k3>k1>k2
4.请找出下面的四个关系式对应的的图像
(1)y 1
(2)| y | 1
|x|
x
(3)y 1 |x|
(4)| y | 1 |x|
5、已知反比例函数 y =
经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A1, B1, C1三点, 边结OA, OB, OC, 记OAA1, OBB1, OCC1的
面积分别为S1, S2 , S3,则有 _A_ . y
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
增 减 y随x的增大而减小 性
ห้องสมุดไป่ตู้
一三象限
在每一象限内 y随x的增大而减小
沪科初中数学九上《21.5 反比例函数》word教案 (3)
23.6反比例函数-图象和性质(第1课时)一、创设情境 引入课题活动1问题:你们还记得一次函数图象与性质吗?设计意图通过创设问题情境,引导学生复习一次函数图象的知识,激发学生参与课堂学习的热情,为学习反比例函数的图象奠定基础。
师生形为:教师提出问题。
学生思考、交流,回答问题。
教师根据学生活动情况进行补充和完善。
二、类比联想 探究交流活动2问题:例2 画出反比例函数y=x 6与y=-x 6的图象。
(教师先引导学生思考,示范画出反比例函数y=x 6的图象,再让学生尝试画出反比例函数y=-x 6的图象。
)设计意图:通过画反比例函数的图象使学生进一步了解用描点的方法画函数图象的基本步骤,其他函数的图象奠定基础,同时也培养了学生动手操作能力。
师生形为:学生可以先自己动手画图,相互观摩。
在此活动中,教师应重点关注:○1学生能否顺利进行三种表示方法的相互转换:○2是否熟悉作出函数图象的主要步骤,会作反比例函数的图象;○3在动手作图的过程中,能否勤于动手,乐于探索。
比较y=x 6、y=-x 6的图象有什么共同特征?它们之间有什么关系?(由学生观察思考,回答问题,并使学生了解反比例函数的图象是一种双曲线。
)设计意图:学生通过观察比较,总结两个反比例函数图象的共同特征(都是双曲线),以及在平面直角坐标系中的位置。
在活动中,让学生自己去观察、类比发现,过程让学生自己去感受,结论让学生自己去总结,实现学生主动参与、探究新知的目的。
师生形为:学生分组针对问题结合画出的图象分类讨论,归纳总结反比例函数图象的共同点,为后面性质的探索打下基础。
教师参与到学生的讨论中去,积极引导。
(三)探索比较 发现规律活动3问题:观察反比例函数y=x 6与y=-x 6的图象。
你能发现它们的共同特征以及不同点吗?每个函数的图象分别位于哪几个象限?在每一个象限内,y 随x 的变化如何变化?由学生分小组讨论,观察思考后进行分析、归纳,得到反比例函数y=x k的性质:形状: 反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线;位置: 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内,在每个象限内y 随x 增大而减小;当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内,在每个象限内y 随x 增大而增大;任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k.(注意:双曲线的两个分支都不会与x 轴,y 轴相交。
新沪科版九年级上册初中数学 21-5反比例函数 教学课件
布置作业
请完成《 少年班》P2-P3对应习题
(1)写出y与x之间的函数表达式;
(2)求当x=9时,y的值.
导引:因为y是x的反比例函数,所以可设 y k ,
x
再把x=3,y=6代入上式求出常数k的值.
解:(1)设
y
k x
,∵当x=3时,y=6,
∴ 6 k ,解得k=18.
3
∴y与x之间的函数表达式为 y 18 .
x
(2)当x=9时,y 18 2.
(1)设:设出反比例函数表达式
y k x
;
(2)代:将所给的数据代入函数表达式;
(3)求:求出k的值;
(4)还原:写出反比例函数的表达式.
新课讲解
2.由于反比例函数的表达式中只有一个待定系数k,
因此求反比例函数的表达式只需一组对应值或一 个条件即可.
新课讲解
例2 已知y是x的反比例函数,当x=3时,y=6.
x
新课讲解
练一练
1. 下列函数中,y是x的反比例函数的是( B )
A.x(y-1)=1
1
C. y x2
B. y 1
x1
D.y 1
3x
新课讲解
知识点2 反比例函数表达式的确定
1.求反比例函数的表达式,就是确定反比例函数表达式
y k x
(k≠0)中常数k的值,它一般需经历“设→代→
求→还原”这四步.即:
如图,舞台灯光可以瞬间将黑夜变成如白昼般明亮, 这样的效果是如何实现的?
是通过改变电阻来控 制电流的变化实现的.
因为当电流 I 较小时,灯光较暗;反之, 当电流 I 较大时,灯光较亮.
新课导入
问题:电流 I,电阻 R,电压 U之间满足关系式 U = IR,当U = 220V时,你能用含有 R 的代数式表示 I 吗?那么 I 是 R 的函数吗?I 是R 的什么函数呢?
沪科版数学九年级上册21.5《反比例函数》教学设计
沪科版数学九年级上册21.5《反比例函数》教学设计一. 教材分析沪科版数学九年级上册第21.5节《反比例函数》是本册教材的重要内容之一,本节内容是在学生已经掌握了函数的概念、正比例函数的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生了解反比例函数的概念、性质及其图象,学会用反比例函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识,对正比例函数的概念、性质及其图象有一定的了解,但学生的数学基础参差不齐,部分学生对函数的概念理解不深刻,对函数的图象分析能力较弱。
此外,学生对于实际问题与函数关系的理解也有待提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标:让学生掌握反比例函数的概念,了解反比例函数的性质,学会绘制反比例函数的图象,并能够运用反比例函数解决实际问题。
2.过程与方法目标:通过观察、分析、归纳等方法,让学生自主探索反比例函数的性质,培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标:激发学生对数学学习的兴趣,培养学生积极思考、合作交流的学习态度,使学生感受数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点:反比例函数的概念、性质及其图象。
2.教学难点:反比例函数的性质的推导和理解,反比例函数图象的分析。
五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等,引导学生主动探究、归纳总结。
2.教学手段:利用多媒体课件、实物模型、反比例函数图象软件等,辅助教学,提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课:通过展示实际问题,引导学生思考问题与函数的关系,引出反比例函数的概念。
2.自主探究:让学生通过观察、分析、归纳等方法,自主探索反比例函数的性质,教师给予引导和指导。
3.合作交流:学生分组讨论,分享各自的探究成果,互相学习和借鉴。
4.性质总结:教师引导学生总结反比例函数的性质,加深学生对知识的理解。
5.绘制图象:让学生利用反比例函数软件或手绘图象,绘制反比例函数的图象,观察图象的性质。
沪科版九年级数学上册21.反比例函数的图象和性质课件
练一练
2.如图,A、B两点在双曲线 y= 上,
分别过A、B两点向坐标轴作垂线段,已
6
知 S阴影=1,则 S1+S2=_____.
3.如图,函数 y=-x与函数 y=-
的图象相交于A、B两点,过 A、B两点
分别作 y 轴的垂线,垂足分别为点C、
8
D,则四边形ACBD的面积为_____.
例题与练习
比例函数图象的另一个交点为P,连接OP、OQ,求
△OPQ的面积.
解:一次函数与x轴、y轴交点A、B坐标为A(5,0),
B(0,5).
y=-x+5,
由
求得点P坐标为(1,4),
y= ,
S△OPQ=S△AOB-S△BOP-S△AOQ
= ×5×5- ×1×5- ×1×5
=7.5.
课堂小结
(3)根据图象回答,一次函数大于反比例
函数值时 x 的取值范围.
例题与练习
解:(1)把点B(-2,-1)代入 y= ,得-1=
,
−
∴k2=2,∴y= .
把A(1,m)代入y= ,得m= ,
∴m=2,∴ A(1,2).
把 A(1,2),B(-2,-1)代入 y=k1x+b,
|k|
的关系是S△QAO=S△QBO=______.
k
反比例函数的
面积不变性
x
练一练
1.已知如图,A是反比例函数 y= 的图象上的一点,
6
AB⊥x轴于点B,且△ABC的面积是3,则k的值是___.
沪科版数学九年级上册21.5反比例函数课件
描 点
连 线
例 画出反比例函数 y 6 和 y 6 的函数图象。
x
x
描点法
列 表
描 点
连 线
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y=
6 x
y= 6 x
注意:一般情况取8个点。
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y
=
6 x
…
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
-5
-6
-6
反比例函数图象画法步骤:
列 表
注意:①列x 与y的对应值表时, x的值不能为零, 但仍可以零的基础, 左右均匀、对称地 取值。 至少左右各4个。
描
连
点
线
描点法
注意:③两个 分支合起来才是反 比例函数图象。两 个分支不能到达x轴、 y轴。
时曲忌数还自线用图应顺左折注象注从往次线意看意画。右连:,什反结用②描么比,光描点?例切滑点法函
-1
-1.2 -1.5 -2 -3
-6
63
2 1.5 1.2 1 …
y=
6 x
…
1
1.2 1.5
2
3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 -1 …
y
y
6
6
5
4
y
=
6 x
3
5
6
4
y= x
3
2
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
沪科九年级数学上册第21章5 第1课时 反比例函数 1
10 m/s
观察思考
工具
2速.5度mv/s 时间t 距离
2.5 m/s 5 m/s 5 m/s 1000 m
10 m/s
观察思考
工具
速度v 时间t
距离
2.5 m/s
110000 mm
v · t = 1000 m 反比例
5 m/s
10 m/s
110000 mm 110000 mm
观察思考
工具
速度v 时间t
4000
3000
2000
1000
y=
k x
(k≠0)
常见形式
xy = k (k≠0)
O 0.1 0.2 0.3 0.4 S/m2
y = k x﹣1 (k≠0)
典型例题
例2 在压力不变的情况下,某物体承受的压强 p Pa是它 的受力面S m2
的反比例函数,如下图所示.
p/Pa
(1)求p与S之间的函数表达式;
比Байду номын сангаас
表达式的形式:
例 函
y=
k x
(k≠0)
xy = k (k≠0) y = k x﹣1(k≠0)
数
求表达式:
先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,
从而得出函数解析式.
解:设这个反比例函数的解析式为 y =
k x
(k≠0).
∵当x=3时,y=2,
∴2=
k 3
,解得:k=6.
∴这个反比例函数的解析为 y =
6 x.
3.已知y与x+2成反比例,且当 x= –1时,y = 3.
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)当 x = 0 时,求y的值. 解:
沪科版九年级数学上册《反比例函数》课件
x x y
2 1
,
∴A为(2,1).
设A点关于x轴的对称点为C,则C点的坐标为(2,-1).
令直线BC的解析式为y=mx+n.
∵B为(1,2),∴
2 m n 1 2m
n
,∴mn 53,
∴BC的解析式为y=-3x+5.
当y=0时,x= 5 ,∴P点为( 5 ,0).
根据题意,得n-1<0,解得n<1; 因为n-1<0,所以在每个象限中,y随x的增大而增大, 又因为2<3,所以y1<y2. 答案:n<1 <
1. 已知点(1,1)在反比例函数 y k (k为常数,k≠0)的图象
x
上,则这个反比例函数的大致图象是( )
【解析】选C.反比例函数的图象是双曲线,又k=1>0,故图 象在一、三象限.
合),且B点的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小.
【解析】(1)设A点的坐标为(a,b),
则 b k .ab k.
a
∵ 1 ab 1, 1 k 1,k 2.
2
2
∴反比例函数的解析式为 y 2 .
(又2∵)由点A在yy 第12x2一x 象得限xy内 1,2 或
又∵点A在反比例函数
的图象上,
∴
4
m5 2
,即m-5=8.
y
m5 x
∴反比例函数的解析式为
y 8. x
4.如图,正比例函
数
y
1 2
x
的图象与反比例函数
y
k x
(k≠0)在第一象限的图象交于A点,
过A点作x轴的垂线,垂足为M,已知
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反比例函数一. 教学要求1、理解反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
2、会画反比例函数的图像,掌握反比例函数的性质3、会用反比例函数的图像、性质解决实际问题二. 重点及难点重点:1、示范反比例函数的概念,2、反比例函数的性质3、反比例函数的定义、图像的应用 难点:1、试用待定系数法求反比例函数的表达式。
2、反比例函数的性质应用。
三. 课堂教学 [知识要点]知识点1、反比例函数的概念定义:一般地,如果两个变量x ,y 之间的关系可以表示成x ky =(k 为常数,k ≠0)的形式,那么称y 是x 的反比例函数。
说明:(1)等号左边是函数y ,等号右边是一个分式,分子是不为零的常数k (也叫做比例系数k ),分母中含有自变量x ,且x 的指数是1,若写成1-=kx y ,则x 的指数是-1。
(2)比例系数k ≠0时反比例函数定义的一个重要组成部分。
(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。
(4)函数y的取值范围也是一切非零实数。
知识点2、用待定系数法求反比例函数的表达式 由于在反比例函数x ky =中,只有一个待定系数,因此只需要一组对应值,即可求出k的值,从而确定其表达式。
知识点3、反比例函数的图像和画法1、反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限,它们关于原点对称,由于反比例函数中自变量x≠0,函数y≠0,所以它们的图像与x轴,y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不能到达坐标轴。
2、反比例函数的图像的画法:(描点法) (1)列表: (2)描点: (3)连线:知识点4、反比例函数的性质1、关于反比例函数的性质主要研究它的图像的位置和函数值随x的变化而变化的情况: 反比例函数 0,≠=k x kyk的符号k>0k<0图像性质(1)x的取值范围是x≠0,y的取值范围是y≠0(2)当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小(1)x的取值范围是x≠0,y的取值范围是y≠0(2)当k<0时,函数图像的两个分支分别在第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大 探究交流:已知一次函数42+=x y 和反比例函数)0(≠=k x ky ,若这两个函数的图像在同一坐标系中有两个交点A ,B ,试求k 的取值范围,并判断∠AOB 与90°的大小关系。
由题意得:⎪⎩⎪⎨⎧=+=x ky x y 42,该方程可变形为0422=-+k x x ∵42+=x y 与x ky =的图像有两个交点A ,B ,∴△=16+8k>0,∴k>-2 当-2<k<0时,x k y =的图像在第二,四象限,此时∠AOB<90° 当k>0时,x k y =的图像在第一,三象限,此时∠AOB>90° 2、反比例函数的表达式中的k 的几何意义:反比例函数x k y =的本质特征是两个变量y 与x 的乘积是一个常数k ,由此可以推得反比例函数的一个重要性质。
若点A 是反比例函数x ky =图像上任意一点,且AB 垂直于x 轴,垂足为B ,AC 垂直于y 轴,垂足为C ,则k S ABOC =矩形,如图所示由反比例函数图像与矩形面积的关系可以得出反比例函数图像与三角形面积的关系:ABOC AOC AOB S S S 矩形21==∆∆知识点6、利用反比例函数解决实际问题反比例函数是反映现实世界中两个变量之间关系的一种重要数学模型,它在现实生活中有着广泛的应用,利用反比例函数的图像与性质,能比较清晰、直观、简捷地解决一些实际问题。
在生活中有许许多多成反比例关系的实例,如当路程s 一定时,时间t 与速度v 成反比例关系,写成v s t =,(s 是常数),当矩形面积S 一定时,长a 与宽b 成反比例关系,写成b Sa =,(S 是常数),当面积S 一定时,三角形的底y 与高x 成反比例关系,写成x Sy 2=(S 是常数),当功是常数W 时,力F 与物体在力的方向上通过的位移s 成反比例关系,写成S W F =(W 是常数),当压力F 一定时,压强p 与受力面积S 之间成反比例关系,写成S F p =(F 是常数),在某一电路中,保持电压U 不变,电流I 与电阻R 成反比例关系,写成R U I =(U 是常数)等等。
在利用反比例函数解决实际问题时,一定要注意x ky =(k 为常数,k ≠0)这一条件,结合图像说出性质,根据性质大致画出图像,求函数的表达式是必须掌握的,实际问题中的数量关系一般都具有实际意义,所以在建立数学模型解答问题时注意实际问题对数学答案的要求与限制,如一些数量非负(时间、速度、长度一定是正数,人数是正数等),在解答过程中要注意问题中的要求。
【典型例题】例1、已知121,y y y y +=与x 成正比例函数,2y 与x 成反比例函数,当x=1时,y=4,当x=2时,y=5,求当x=10时,y 的值。
分析:本题考查待定系数法、方程组的解法、一次函数、反比例函数等知识。
用待定系数法和正、反比例函数的表达式,求出y 的表达式。
解:设x k y x k y 2211,==,∴x x y 22+=当x=10时,y=20.2例2、已知k ≠0,在同一直角坐标系中,函数y=k (x+1)与x ky =的图像大致为如图的( )分析:本题考查一次函数,反比例函数的图像和性质,在同一直角坐标系中同时确定一次函数与反比例函数的图像,可分为k>0,k<0两种情况讨论。
答案:D例3、(2006,上海)如图所示,在直角坐标系中,O 为原点,点A 在第一象限,它的纵坐标是横坐标的3倍,反比例函数x y 12=的图像经过点A 。
(1)求点A 的坐标(2)如果经过点A 的一次函数图像与y 轴的正半轴交于点B ,且OB=AB ,求这个一次函数的表达式。
yAO x分析:本题综合考查反比例函数、一次函数、方程、勾股定理等知识,可先确定点A (在第一象限)的坐标,然后由OB=AB 求出点B 的坐标,从而确定一次函数的表达式。
解:(1)根据题意,设点A 坐标为(a ,3a ),a>0因为点A 在反比例函数x y 12=的图像上。
所以a a 123=,解得2,221-==a a经检验,2,221-==a a 都是原方程的根,但22-=a 不符合题意,故舍去。
所以点A 的坐标为(2,6)(2)根据题意,设点B 的坐标为(0,m )由m>0,过点A 作x 轴的垂线AH ,垂足为H ,过点B 作BG ⊥AH 于G. 则在Rt △ABG 中, AG=6-m ,BG=2因为OB=AB ,所以22AB OB =所以2222)6(+-=m m ,解得310=m所以点B 的坐标为(0,310) 设一次函数的表达式为y=kx+310因为一次函数的图像经过点A (2,6),所以6=2k+310,解得34=k 所以一次函数的表达式为31034+=x y例4、某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p (千帕)(千帕是一种压强单位)是气体体积V (3米)的反比例函数,其图像如图所示,(1)试写出这个函数的表达式(2)当气球的体积为0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕?(3)当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米?分析:本题考查反比例函数、不等式等知识,首先应根据图像信息结合题中条件确定反比例函数的表达式,然后再利用不等式的知识确定气球的体积。
解:(1)设所求的函数的表达式为V k p =把A (1.5,64)代入,得64=5.1k,解得k=96 所以所求的函数表达式为V 96p =(2)当V=0.8米3时,p=120千帕(3)解法1:由p=144千帕得,V=3214496=米3 因为气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸所以p ≤144,由图像知,p 随V 的增大而减小。
所以 V ≥32立方米解法2:因为当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸 所以p ≤144千帕,即14496≤V 千帕解得V ≥32立方米【模拟试题】(答题时间:60分钟)一、填空题1. 已知函数y =(k +1)x12-+k k (k 为整数),当k 为_________时,y 是x 的反比例函数。
2. 函数y =-x 65的图像位于_________象限,且在每个象限内y 随x 的增大而_________。
3. 已知y 与2x 成反比例,且当x =3时,y =61,那么当x =2时,y =_________,当y =2时,x =_________。
4. 如果函数y =(m +1)x 32-+m m 表示反比例函数,且这个函数的图像与直线y =-x 有两个交点,则m 的值为_________。
5. 如图1为反比例函数的图像,则它的解析式为_________。
图16. 已知双曲线经过直线y =3x -2与y =23x +1的交点,则它的解析式为_________。
7. 下列函数中_________是反比例函数。
①y =x +x 1②y =x x 132+ ③y =21x- ④y =x 238. 对于函数y =x 2,当x >0时,y _________0,这部分图像在第_________象限。
对于函数y =-x 2,当x <0时,y _________0,这部分图像在第_________象限。
9. 当m _________时,在函数y =x m 1-的图像所在的象限内,y 随x 的增大而增大。
10. 如图2,反比例函数图像上有一点A ,过A 作AB ⊥x 轴于B ,若S △AOB =3,则反比例函数的解析式为_________。
图2二、选择题11. 对于反比例函数y =x 5,下列结论中正确的是( )A. y 取正值B. y 随x 的增大而增大C. y 随x 的增大而减小D. y 取负值12. 若点(1,2)同时在函数y =ax +b 和y =a bx -的图像上,则点(a ,b )为( )A. (-3,-1)B. (-3,1)C. (1,3)D. (-1,3)13. 已知y 与x 成正比例,z 与y 成反比例,则z 与x 之间的关系为( ) A. 成正比例 B. 成反比例 C. 既成正比例又成反比例 D. 既不成正比例也不成反比例14. 矩形面积为3 cm 2,则它的宽y (cm )与x (cm )长之间的函数图像位于( ) A. 第一、三象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第一象限15. 已知函数y =k (x +1)和y =x k,那么它们在同一坐标系中的图像的大致位置是( )16. 函数y =mx 922--m m 的图像是双曲线,且在每个象限内函数值y 随x 的增大而减小,则m的值是( )A. -2B. 4C. 4或-2D. -117. 如图3,过反比例函数y =x 2(x >0)图像上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线,垂足分别为C 、D ,连结OA 、OB ,设AC 与OB 的交点为E ,△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1、S 2,比较它们的大小,可得( )图3A. S 1>S 2B. S 1<S 2C. S 1=S 2D. S 1、S 2的大小关系不能确定18. 已知一次函数y =kx +b 的图像经过第一、二、四象限,则函数y =x kb的图像在( )A. 第一、三象限B. 第一、二象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限19. 函数y =kx -k ,与函数y =x k在同一坐标系中的图像大致如图4,则有( )图4 A. k <0B. k >0C. -1<k <0D. k <-120. 若在同一坐标系中,直线y =k 1x 与双曲线y =x k 2无交点,则有( )A. k 1+k 2>0B. k 1+k 2<0C. k 1k 2>0D. k 1k 2<0三、解答题21. 已知函数y =-4x 2-2mx +m 2与反比例函数y =x m 42 的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是-2,求此两个函数的解析式。