无理数指数幂及指数幂的运算性质

解析： 3的不足近似值为 1.7,1.73,1.732,1.732 0,1.732 05，…； 3 的过剩近似值为 1.8,1.74,1.733,1.732 1,1.732 06，….故由(1)(2)两串有 理指数幂逼近得到的数为 2 3.
3.计算：3π×13π＋(22 2) 2＋1 5的值为( B ) A．17 B．18 C．6 D．5
＝
1 3
＝1x
3 4
4 ＝
1x3(x>0)；
x4
D
错，x－
1 3
＝
1
(x≠0) ； E
正确，[ 3 －x2]
3 4
＝ x2×
1 3
×
3 4
＝x
1 2
3
x
(x>0)．故选 CE.
二、解答题
3．(15 分)根据已知条件求值．
(1)已知 x＝21，y＝23，求
x＋ x－
y－ y
x－ x＋
y的值； y
(2)已知 a，b 是方程 x2－6x＋4＝0 的两根，且 a>b>0，求
(4)分数指数幂的一般运算步骤是：有括号的先算括号里的，无括 号的先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除，最后加减．负指数 幂化为正指数幂的倒数；底数是负数的，先确定符号；底数是小数的， 先要化为分数；底数是带分数的，先要化为假分数；若是根式，应化 为分数指数幂，然后尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算 性质．
谢谢！
解析：3π×13π＋(22 2) 2＋1 5＝3×13π＋22 2× 2＋1＝1π＋24＋1 ＝18.
4．已知 a－a1＝3(a>0)，则 a2＋a＋a－2＋a－1 的值等于( D ) A．13－ 11 B．11－ 13 C．13＋ 11 D．11＋ 13
解析：由 a－1a＝3，得a－1a2＝9，因此 a2＋a12－2＝9，故 a2＋a－ 2＝11.又(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝11＋2＝13，且 a>0，所以 a＋a－1＝ 13. 于是 a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋ 13.
a－ a＋
b的 b
值．
解：(1)
x＋ x－
y－ y
x－ x＋
y＝ y
x＋ x－y
y2－
x－ x－y
y2＝4x－xyy.
将 x＝12，y＝32代入，得原式＝4 21－12×23 23＝4－1613＝－24
13＝
－8 3.
(2)∵a，b 是方程 x2－6x＋4＝0 的两根，
∴aa＋b＝b＝4. 6，
∴x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝130×±83＝±890.
－ (2)4
1 2
－(π＋1)0＋6247
2 3
＝12－1＋433×
2 3
＝12－1＋196＝2138.
三、解答题(共 20 分) 12．(10 分)计算下列各式的值：
－
(1)0.064
1 3
－16
3 4
＋190－4
81；
(2)
11．(1)已知 x＋x－1＝130，x2－x－2＝±890.
－ (2)4
1 2
－(π＋1)0＋(6247)
2 3
＝2138.
解析：(1)∵x＋x－1＝130，∴(x＋x－1)2＝1302， 即 x2＋2＋x－2＝1900，x2＋x－2＝1900－2，
∴(x－x－1)2＝x2－2＋x－2＝1900－4＝694，即 x－x－1＝±83，
295－287
1 3
－(π＋e)0＋14－
1 2
.
解：(1)原式＝(0.43)
－
1 3
－(24)
3 4
＋1－4
34
＝0.4－1－23＋1－3＝25－8＋1－3＝－721.
(2)原式＝
532－233×
1 3
－1＋122×(－21)
＝53－23－1＋2＝2.
13.(10
分)已知
a
1 2
＋a－
1 2
＝4，求下列各式的值：
)
A．0
m B. 2
C．－m2
3m D. 2
解析：a3＋b3＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝m
1 3
m
2 3
－12m
2 3
＝m2 .
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
7
9．计算：(0.027)
1 3
－614
1 2
＋256
3 4
＋(2
2)
2 3
－3－1＋π0＝ 6415
.
解析：原式＝(0.33)
(5)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，应熟记根式与分数指
数幂的互化公式：a
m n
＝n
am，a－
m n
＝ a
1 m n
＝ 1 ，其中字母 a 要使 n am
式子有意义．
指数幂的综合应用问题的处理方法 (1)对于指数幂等式的证明问题，常常是将指数幂化为相同底数， 利用指数幂相等的规律进行证明．解决此类问题的关键是通过指数运 算进行等价代换以及利用参数找到已知与结论的联系，这样才能使问 题迅速得到解决． (2)解决有关指数幂的综合应用问题时，首先，要善于观察、分析， 并对条件与结论进行适当的化简变形，以创造运用公式和幂的有关性 质的条件；其次，进行化简、求值；最后，要注意方程思想、整体思 想、转化与化归思想、换元思想等数学思想的运用．
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
解：(1)∵a
1 2
＋a－
1 2
＝4，
∴(a
1 2
＋a－
1 2
)2＝a＋a－1＋2＝16，
∴a＋a－1＝14.
(2)∵(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝196，
∴a2＋a－2＝194.
——能力提升—— 一、多项选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1．下列各式中一定成立的有( BD )
A.mn 7＝n7m
1 7
12 B.
－34＝3
3
4 C.
x3＋y4＝(x＋y)
3 4
D. 3 9＝3 3
解析：A 中应为mn 7＝n7m－7，A 不正确；B 中12 －34＝12 34＝ 3 3，B 正确；C 中当 x＝y＝1 时，等式不成立，C 不正确；D 正确．故 选 BD.
2．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( CE )
2020-2021学年高一上数学必修一
第四章 指数函数与对数函数
4．1 指数 第29课时 无理数指数幂及指数幂的运算性质
——基础巩固——
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1．化简[3
－52]
3 4
的结果为(
B
)
A．5 B. 5 C．－ 5 D．－5
解析：
2．由下面的两串有理指数幂逐渐逼近，可以得到的数为( C ) (1)21.7,21.73,21.732,21.732 0,21.732 05，… (2)21.8,21.74,21.733,21.732 1,21.732 06，… A．21.7 B．21.8 C．2 3 D．4
5．化简： 的结果是( A )
解析：
3 6．化简
－827ab－334(其中 a>0，b>0)的结果是( C
)
2a A.3b
B．－23ab
16 C.81a4b4
D．－81a14b4
3 解析：
－287ab－334＝2333ab－33
4 3
＝23ab－14＝811a64b4.
7．计算：(2a－3b－
∵a>b>0，∴ a> b，
∴
a－ a＋
bb2＝aa＋ ＋bb－ ＋22
aabb＝66－ ＋22
44＝120＝15，
∴
a－ a＋
b＝ b
15＝
5 5.
分数指数幂运算的常用方法技巧 (1)进行指数幂运算的一般方法为化负数为正数，化根式为分数指 数幂，化小数为分数． (2)一般情况下，指数的底数是大于 0 的，但具体题目要具体对待， 一定要注意底数的正负． (3)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外 用分数指数幂依次写出．
1 3
－252
1 2
＋(44)
3 4
＋(2
3 2
)
2 3
－13＋1＝0.3－
52＋43＋2－13＋1＝64175.
39 10．化简 a 2 · a－3÷
3 a－7·3 a13(a>0)的结果是 1
.
39 解析： a 2 · a－3÷
3 3 a－7·3 a13＝
a
9 2
－ ·a
3 2
÷
＝3 a3÷ a2＝a÷a＝1.
1
A．－ x＝(－x) 2
6 B.
y2＝y
1 3
(y<0)
C．x－
3 4
＝
4
1x3(x>0)
D．x－
1 3
＝－3
x(x≠0)
E.
3
来自百度文库
－x2
3
1
4 ＝x 2
(x>0)
1
1
解析：A 错，－ x＝－x 2 (x≥0)，而(－x) 2 ＝ －x(x≤0)；B
错，6
y2＝－y
1 3
(y<0)；C
正确，x－
3 4
2 3
)(－3a－1b)÷(4a－4b－
5 3
)＝(
A
)
A．－32b2
B.32b2
C．－23b
7 3
37 D.2b 3
解析：原式＝[2× (－3)÷ 4]×a－3－1＋4·b－
2 3
＋1＋
5 3
＝－32a0b2＝
－32b2.
8．若
a＋b＝m
1 3
，ab＝61m
2 3
(m>0)，则 a3＋b3 的值为( B