多边形讲义

知识点一：多边形及其有关概念
(1)
多边形定义： 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、 六边形、……由n 条线段
组成的多边形就叫做
n 边形•如图，是一个五边形，可表示为五边形
ABCDE
三角形是最简单，边数最少的多边形 ⑵多边形的边：
组成多边形的线段叫做多边形的边. (3) 多边形的内角、外角:
是五边形的外角.
(4) 多边形的对角线:
①
「定义：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线•如图， AC AD
就是五边形 ABCD 囲的两条对角线.
② 拓展理解：
一个n 边形从一个顶点可以引(n — 3)条对角线，把n 边形分成(n — 2)个三角形•一个n
多边形
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角， 边的延长线组成的角叫做多边形的外角•如图，/
也称为多边形的角；多边形的边与它的邻 B,Z C,Z D,…是五边形的内角，/ 1
边形一共有n(n~3)条对角线.
(5) 凸多边形和凹多边形：
①在图(1)中，画出四边形ABCD勺任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同
一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；
②在图(2)中，画出DC或BC所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称
这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形.
【例1】填空：
(1) 十边形有_______ 个顶点，_________ 个内角，__________ 个外角，从一个顶点出发可
画_______ 条对角线，它共有__________ 条对角线.
(2) 从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________ 边形.
变式1:过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形
的边数是()•
A. 8 B • 9 C • 10 D • 11
变式3: 一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和.
知识点二：正多边形
(1) 定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.如等边三角形、正方形等.
(2) 特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形.如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形.
注：正多边形外角的特征因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与
外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等.
【例2】下列说法正确的个数有().
(1) 由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；
(2) 各边都相等的多边形是正多边形；
(3) 各角都相等的多边形一定是正多边形；
(4) 正多边形的各个外角都相等.
知识点三：多边形的内角和
(1) 公式：n 边形内角和等于(n — 2) x 180°.
形的内角和等于 180°x 3= 540°
形的内角和等于 180°x 4= 720°
形，n 边形的内角和等于 180°x ( n — 2).
所以多边形内角和等于(n — 2) x 180°. ⑶应用:
①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和; 边数相同的多边形内角和也相等， 因此已知多边形内角和
也能求出边数.
【例3】选择:
150°,则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是
A. 7 B . 8 C . 9 D . 10
变式1 :若一个四边形的四个内角度数的比为 3 : 4 : 5 : 6,则这个四边形的四个内角的
度数分别为 ___________ .
变式2: 一个多边形的内角和等于
1 440 °，则它的边数为 ___________ .
变式3: 一个多边形的内角和不可能是 (
).
A. 1 800 ° B . 540° C. 720° D . 810
①从五边形的一个顶点出发,
2条对角线，它们将五边形分成 3个三角形，五边
②从六边形的一个顶点出发， 可以画 3条对角线，它们将六边形分成 4个三角形，六边
③从n 边形的一个顶点出发,
可以画 (n — 3)条对角线，它们将n 边形分成(n — 2)个三角
②由多边形内角和公式可知,
(1) 十边形的内角和为( A. 1 260 ° B . 1 440 ° C. 1 620 ° D . 1 8 00°
一个多边形的内角和为 720°,那么这个多边形的对角线共有
( ).
A. 6条B . 7条C. 8条
(3)多边形的每一个内角都是 (2)探究过程：如图,
可以画
知识点四：多边形的外角和
(1) 公式：多边形的外角和等于360°
(2) 探究过程：如图，以六边形为例.
①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即/ 1,/ 2,/ 3,/ 4,/ 5,/ 6,它们的和
为外角和.
②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°X6 =1 080。

，所以/ 1 + / 2+/ 3+/ 4+/ 5+/ 6= 1 080 ° - 180°X (6 —2) = 360°.
③n 边形外角和=n x 180°—( n-2) x 180°= 360°.
(3) 拓展理解：
①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°,与边数无关.
②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取
一个外角的和.
【例4】填空：
(1) 一个多边形每个外角都是60°,这个多边形是_____________ 边形，它的内角和是
__________ 度，外角和是___________ 度；
(2) 多边形边数每增加一条，它的内角和会增加______________ ，外角和增加___________ .
变式
1：如图所
示，已知/
ABE=
138°,/
BCF=
98°,/ CD=
69°，则/
DAB=
如图，在四边形ABCD中,/ 1,/2分别是/ BCD和/ BAD的邻补角，且/ B+
变式2: A. 140° B . 40 C. 260° D .不能确定
变式3:在多边形的内角中，锐角的个数不能多于(
)
A . 2个
B . 3个
C . 4个
D . 5个
知识点五：正多边形知识的应用
正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、
外角、每一条边都相等，所以在正多
边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数.知道一 边的长度，就能知道每一边的长度.因此它的应用主要包括两个方面：
(1) 已知内角(或外角)能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角
(或内角)的度数及
内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量.
(2) 因为正多边形每一条边都相等， 所以知道周长能求边长， 知道边长能求周长(因较简 单所以考查较少).
【例5】 若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是 _______________ .
变式1 : 一个多边形的每一个外角都等于 30°,这个多边形的边数是 _________________，它 的内角和是 ___________ .
变式2: 一个多边形的每一个内角都等于
144°,求这个多边形的边数.
知识点六：将多边形截去一个角问题的探讨
在多边形问题中，有一类问题是将多边形截去一个角后，
探讨多边形边数变化和内角和
变化的问题.在这类问题中，因截法不同，会出现不同的变化，现以四边形为例加以说明.如 图所示，将正方形的桌面截去一个角，
那么余下的多边形的内角和度数将怎样变化？因截法
有三种情况，所以内角和也就有三种情况：
E n \
E D A
f j 1
卜'
\ \
\
\
\\
CB X
CB
__ U
图① 图② 图③
(1) 当是图①所示情况时，不过任何一个顶点，四边形变为五边形，边数增加 1,所以
内角和为540°.
/ ADC= 140°,则/ 1 + /2 等于（
）
(2) 当是图②所示情况时，过一个顶点，四边形边数不变，所以内角和也不变，为360°.
(3) 当是图③所示情况时，过两个顶点，四边形变为三角形，边数减少1，所以内角和
也变为180°.
【例6】一个多边形截去一个角后，变为十六边形，则原来的多边形的边数为().
A. 15 或17 B . 16 或17
C. 16 或18 D . 15 或16 或17
变式1: 一个多边形截去一个角（截线不过顶点）之后，所形成的一个多边形的内角和是 2 520 °，那么原多边形的边数是（）.
A. 13 B . 15 C . 17 D . 19
变式2:如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是 2 880 °，那么原来的多边形的边数是（）.
A. 10 B . 9 C . 8 D . 7
知识点七：多边形内角和少算或多算一个角类型题目探索
因为多边形的边数只能是整数，由多边形内角和公式（n —2）x 180°可知，n—2是正整
数，所以多边形的内角和必定是180。

的整数倍，因此：
①当所给内角和是多计算一个角的情况时，用所给内角和除以180°,因为多加的角大
于0°小于180°,所以得到的余数部分就是多加角的度数，得到的整数部分加2就是边数；
②当所给内角和是少计算一个角的情况时，因为少加了角，所以得到的整数部分加2比实际的角个数少1,所以用所给内角和除以180°,整数部分加3才是边数，180°减余数部分就是少加的角的度数.
破疑点多边形内角和与边数的关系内角和除以180°所得到的整数并不是边数（或角
的个数）n，而是n —2的值，所以得到的整数加2才是边数，这是易错点，要注意.
【例7】一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为 2 670°,求这个多边形的边
数和少加的内角的大小.
变式：若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°,求这个多边形的边数及内角和.
知识点八：平面镶嵌
1•用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行________ ，彼「此之间不留空隙、不
______ 地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌
2. 取一些形状、大小相同的多边形也可以作平面镶嵌，此时要求以其中一个顶点处的各个
内角之和为___________ .
例8：（2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）
（A ）正十边形（B）正八边形（C）正六边形（D）正五边形
注：只用同一种正多边形能够进行密铺的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正
六边形.
变式1:如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是____________ 度.
变式2: （1）如果用三种正多边形地砖镶嵌地面，一个顶点处已有一个正方形和一个正六边
形地砖，则还需一个正___________ 边形地砖.
（2）用正三角形与正方形两种图案作平面镶嵌，设在一个顶点周围有a个正三角形和b 个正方形，则a = ___________ , b= ____________ .
【随堂检测】
1. 若多边形的边数由3增加到n（n是正整数，且大于3），则其外角和的度数（）（A）增加（B）减少（C）不变（D）不确定
2. 一个多边形共有5条对角线，这个多边形内角和等于（）（A）360 °（B）540 °（C）720 °（D）900 °
3•已知一个多边形的内角和与外角和的比为9:2，则它的边数是________ .
4.一个凸n边形除了一个内角外，其余各内角之和是2570°,则这个内角等于（）
A. 90°
B. 15°
C. 120° D . 130°5•不能够铺满地面的正多边形的组合是（）
A.正三角形与正方形 E.正五边形与正十边形
C.正六边形与正三角形
D.正六边形与正八边形
6、一个多边形的每一个内角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数，求这个多边形的边数（用m,n表示）及n的值.
【课后强化练习】
、选择题
1. 一个多边形的每个内角都等于120°，这个多边形的边数为（）条
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
2. 用正四边形一种图形进行平面镶嵌时，它在一个顶点周围的正四边形的个数为（）
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
3. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么它的一个外角为（）
A. 30 °
B. 36 °
C. 40 °
D. 45 °
4. 多边形的内角和不可能是（）
A. 810 °
B. 540 °
C. 1800 °
D. 180 °
5. 如果多边形的边数增加 1，则多边形的内角和、外角和分别( )
A.增加180°，增加180°
B.不变，增加180°
C.不变，不变
D.增加180°,不变 6. 能够铺满地面的正多边形组合是( )
A.正八边形和正方形
B.正五边形和正十边形
C.正四边形和正六边形
D.正四边形和正七边形
*7.在n 边形一边上取一点与各顶点相连，可得三角形的个数为(
)
A. n 个
B. (n —2)个
C. (n —1)个
D. ( n + 1 )个
*8.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成
9个三角形，这个多边形的边数为
()条
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
二、 填空题
9. 在正六边形 ABCDEF 中, / A = 120 ° , AB= 2cm,则/ » ___________ , DE = ___________ . 10. 一个正多边形的每个外角都是
72°,则这个多边形是 ____________ 边形.
11. n (n 为整数，且n 》3)边形的内角和比(n +1)边形的内角和小 ___________________ 度. 12. 从n 边形的一个顶点出发共引出了
5条对角线，则这个n 边形是 ______________ 边形，这
5条对角线把n 边形分成了 ___________ 个三角形.
*13.如果用三种正多边形地砖镶嵌地面，一个顶点处已有一个正方形和一个正六边形地 砖，则还需一个正 ____________________ 边形地砖. **14.用正三角形与正方形两种图案作平面镶嵌， 设在一个顶点周围有 a 个正三角形和b
个正方形，则 a = ____________ ， b = __________ . 三、 解答题 15.
若一个多边形的各边都相等，周长为 63，且内角和
为900 °，求它的边长.
16. ___________________________________ 如图所示，(1)四边形共有 ________ 条对角线，五边形共有 ________________________________ 条对角线, 六边形共有 __________ 条对角线;
(2)你能说出七边形共有多少条对角线吗?
(3) 由(1)、( 2)，请猜想n 边形的对角线的总条数，说说你的理由.
*17.将五边形截去一个角后所得的多边形有几条对角线? *18.小军在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为 检查，发现是少加了一个内角，求：
(1)这个多边形是几边形? (2)这个内角是多少度? 四、拓广探索
1125。

，当发现错了之后，重新
六边形
**19. (1)填表:
(2)如果限用一种正多边形进行平面镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
(3)从正三角形、正四边(方)形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，
请画出这两种不同的正多边形进行平面镶嵌的草图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种
不同的平面图形，说明你的理由.
参考答案
一、选择题
1. B
2. C
—3. C解析：囲次=1切们,解得爪二g.这个多边理的斑个内毎都相等，&T外角也都相等.所囚它的一夕卜角是3fi0°刊=4口"・
4. A聲析：角內角和公式验辽*
5一D解析］外角和与边数无关，故不变内角和的更汇从公式5—2) •总(T中可以看也"
曆加h内甬和増加让『・
6. A解析：正丿I辺册的一个內甬是135°.在-「顶点处.两个正儿迦斷一个正方形可拼出
1疔X 2-FPO fl=36旷+所以正儿边形科正方形组合能铺满地面.
7. C S?析:可采用归纳猫標鶴当川=3时，得三角形2个启沪4时，得三站於3个:「冲辺
形得二角形(用一1)牛・
8. C醉祈：过多迦形的一个更糅的所有刊第蛭把多边址扮咸的9个三角形中，除去两端
各一个三駕形.中间的7个三角形分别含有爹边形的一系遍两端刖三角形各舍有金辺形的两条边.所以多边形的辺数是2-17+2= L1 (条).
二、填空题
9. 120 ° , 2cm10.正五11. 180
12. A, 6解析：这5条对角线是就一个顶点引出的，并不是所有的对垢魏条数-
13. 十二解桁！申艮据题意，另一个正蚤辺刑的內和是3-90° -120° =150°,所以(M-2) 1804 =15『Xn,解俺JI=12.
H. 3, 2解析1梅据题意有d0°XH9F Xi=3d0°・即滋十32?=12,且弘b为正整数，解得尸3】4=2
三、解答题
15. 解：设该多边形有n条边，则(n—2)x 180 ° = 900 °，解得n= 7 .因为63- 7= 9,
所以这个多边形的边长为9.
16. 解：(1) 2, 5, 9 ( 2) 14.因为过七边形的一个顶点可引4条对角线，故过7个顶
点可引28条对角线，由于每条对角线均重复计算一次，所以七边形共有14条对角线(3) (n—3)x n
n边形共有 ---- 2 ------ 条对角线，理由与(2)类似.
17. 解：因为将五边形截去一个角后可能得到四边形、五边形、六边形三种(如图所示)
1 1
多边形.当得到四边形时，有2 x4X( 4—3)= 2条对角线；当得到五边形时，有-X 5 X ( 5
1
—3)= 5条对角线；当得到六边形时，有X 6 X( 6—3)= 9条对角线.
135.
是九边形；（2） 135° •设这个内角为 x °,则（9-2）X 180°= 1125° + x °，解得x
=。