极化恒等式优化向量题解法

课题：极化恒等式在向量问题中的应用

目标1:通过自主学习掌握极化恒等式两种模式，理解其几何意义； 目标2-1：通过对例1的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的值； 目标2-2：通过对例2的自主学习掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围; 目标2.3：通过小组合作学习掌握极化恒等式解决与数量积有关的综合问题。

重点 掌握极化恒等式，利用它解决一类与数量积有关的向量问题 难点 根据具体的问题情境，灵活运用极化恒等式

目标达成途径

目标1:阅读材料，了解极化恒等式的由来过程，掌握极化恒等式 的两种模式，

并理解其几何意义

阅读以下材料：

引例：平行四边形是密•向量加法和减法的川可模型。 你能用向量方法证明：平行四边形的对角线待F 方和

结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1） （2）两式相减，能得到什么结论呢？

a 3 = !［（"+祥一"一片）］ --------------- 极化恒等式

对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得 极化恒等式的几何意义是什么？ 几何意义：向最的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对 角线”与“差对角线”平方差的!• 即：= jAqJ 庞「］ （平行四边形模式）

等于两条邻边平方和的厢倍. 证明：不妨设AZ 5=E,

D_____________ C

卞上

贝 lj AC = a +

R D B = a - R

1 -- 1

2 --- 2 -\2 -2 一- -2 AC = AC =(“ + /?/ = " +2a -b + b 图1

(1) 1—<|2 _2 - 2 -一 -2 \DB\ =DB =\ci-b] = a —2a ・b+b

(2)

（1）（2）两式相加

得:

学 习 目 标

学习自我评价

思考：在图1的三角形其皿中（M为8。的中点），此恒等式如何表示呢?

因为AC=2AM,所以a-b = \AM\2 ~^\DB\"（三角形模式）

目标2-1：掌握用极化恒等式求数量积的值

例1.（2012年浙江文15）在△ABC中，心是BC的中点，4W=3,BC = 10,

A

则而.京= ________

解：因为A/是BC的中点，由极化恒等式得：--------------- L ----- \

BMC

' ♦' • - .*> 1 - . *>

AB-AC = \AM[ --|BC]"=9--xl00=-16

【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。

目标检测

（2012J匕京文13改编）己知正方形4BCDW边长为1, 点E是AB边上的动点,贝应•五称J值为.

目标2.2：掌握用极化恒等式求数量积的最值、范围

例2.（自编）己知正三角接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点

则瓦I •两I勺取值范围是_______ ・c

解：取AB的中点D,连结CD,因为三角形ABC为

正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，/ /。| \ \P

且OC = 2OD = 2,所以CD = 3, AB = 2的

（也可用正弦定理求AB）0

又由极化恒等式得：

PA PB = \PI^= |PD|~ -3

因为P在圆o上，所以当P在点C处时，I PD l max= 3

当P在CO的延长线与圆O的交点处时，I PD l min= 1

所以PAPBe[-2,6]

【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可•

目标检测2 7

（201 o福建文11）若点。和点F分别为椭圆号+m=1的中心和左焦点，力户

为椭圆上的任意一点，则弗布的最大值为（）

A.2

B.3

C.6

D.8

课后检测

A. — ,1 j

B. [—1,1)

C. - D，[-1’。)

7.正A4BC边长等于点P在其外接圆上运动，则乔•而的取值范围是()

A.

3 3"

B.

3

二r D-上

r "2^2~2'2We~2'2一a‘方

8.在锐角AABC中,己知B = ^, \AB-AC\ = 2，则而•花的取值范围是

也四方形加CO的边长为4.动点尸在以屈为直径的网孤APB图所示).WI]亥面的职值范困是_________________

【解析】取CO中点矿联弱PE .在APQC内使用极化恒等式得

PC PD = |PE|2-|£D|：=|PE|：-1|CD|：=|PE|' _4 .由图可知，匡倍[2,2^5].故龙.PD€[0.16]

例8在MBC中,点瓦F分别是线段AB.AC的中点.点、F在直线EF匕若MBC的面积为2・

则PC PB^BC2的最小值是

（2012年江苏省南京巾数学鬲号模拟试题）

【分析】如图.取BC•的中点。.在AFBC内使用极化恒等式得

FC-FB=|FD|:-|BD|:=|^D|:--^|SC|2-从而PC-PB+BC2=|PD|2+^.|BC|\因为WBC 的面积1 9

9

为2,所以的高力=“ .又EF为&邛。的中位线,故APBC的高为三.从而如

BC BC BC

因此PC-PB+BC2>^T+.当且仅当PDLBC,8C=足时等号成立I。

例9如图，在半径为1的扇形中，4OB = 60*为瓠上的动点，&与8交于点已则 /辱的故小值为

【解析】如图.