集合间的基本关系例题讲解

集合间的基本关系例题讲解

说明 所选例题题型、难易程度顺序不分先后

题型一 根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围

对于两个集合A 与B ,A 或B 中含有待定的参数（字母）,若已知集合A 与B 的关系,求参数的值或取值范围时,常采用分类讨论和数形结合的方法.

（1）分类讨论:若,在未指明集合A 非空时,应分为和两种情况B A ⊆∅=A ∅≠A 进行讨论.

（2）数形结合:在对这种情况进行参数的确定时,要借助于数轴来完成.将∅≠A 两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心,根据两个集合之间的基本关系,列不等式（组）求解.

例1. 已知集合,,若,求实数的{}43≤≤-=x x A {}112+≤≤-=m x m x B A B ⊆m 取值范围.

分析:需要知道的是由集合间的基本关系可以确定参数的取值范围. 本题在分类讨论时要用到下面的结论:

关于集合为空集的重要结论

（1）若集合,则;

{}∅=≤≤=n x m x A n m >（2）若集合,则≥;

{}∅=<<=n x m x A m n （3）若集合或,则≥. {}∅=<≤=n x m x A {}∅=≤<=n x m x A m n 最后,实数的取值范围最好写成集合的形式.

m 解:∵,

A B ⊆{}112+≤≤-=m x m x B ∴分为两种情况:

①当时,,解之得:;

∅=B 112+>-m m 2>m ②当时,则有:,解之得:≤≤2.

∅≠B ⎪⎩

⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-41312112m m m m 1-m 综上,实数的取值范围为. m {}1-≥m m

例2. 已知集合,,若,求实数⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<->+=0102063x x x A {}121-≤≤+=m x m x B A B ⊆m 的取值范围.

解:解不等式组得: ⎩

⎨⎧<->+0102063x x 52<<-x ∴

{}52<<-=x x A ∵,∴分为两种情况:

A B ⊆①当时,,解之得:;

∅=B 121->+m m 2

∅≠B ⎪⎩

⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m 3

a 分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏,特别注意不能漏掉对的讨论.解∅=B 决本题还要明白以下两点:（1）空集是任何集合的子集;（2）空集是任何非空集合的真子集.

解:

{}{}4,0042-==+=x x x A ∵,

A B ⊆(){}011222=-+++=a x a x x B ∴分为两种情况:

（1）当时,方程没有实数根

∅=B ()011222=-+++a x a x ∴,解之得:; ()[]()0141222

<--+=∆a a 1-

∅≠B {}0=B {}4-=B {}4,0-=B ①当或时,方程有两个相等的实数根 {}0=B {}4-=B ()011222=-+++a x a x ∴,解之得: ()[]()0141222

=--+=∆a a 1-=a ∴符合题意;

{}0=B

②当时,由根与系数的关系定理可得: {}4,0-=B ()⎩⎨⎧=--=+-0

14122a a 解之得:.

1=a 综上,实数的值取值范围为. a {}11-≤=a a a 或★例4. 已知集合,.

{}52≤≤-=x x A {}121-≤≤+=m x m x B （1）若,求实数的取值范围;

A B ≠⊂m （2）若,求实数的取值范围.

B A ⊆m 分析:（1）本题中集合A 为非空集合,因为空集是任何非空集合的真子集,所以要对含参集合B 进行分类讨论;

（2）由可知集合B 为非空集合.

B A ⊆解:（1）∵,

A B ≠⊂{}121-≤≤+=m x m x B ∴分为两种情况:

①当时,,解之得:;

∅=B 121->+m m 2

∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m ⎪⎩

⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m 解之得:2≤≤3.

m 综上所述,实数的取值范围为; m {}3≤m m （2）∵,且

B A ⊆∅≠A ∴,则有:解之得:实数不存在.

∅≠B ⎪⎩

⎪⎨⎧≥--≤+-<+51221121m m m m m ∴不存在实数,使得.

m B A ⊆注意:在第（1）问中,当时,结果是不正确的.如下图的数轴

∅≠B ⎪⎩

⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m

所示,应有:或.这一点雅慧你要特别注意了.

⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m ⎪⎩

⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m m m + 1 2

2m 1

在第（2）问中,虽然得出,但不是,应是,见∅≠B 121-≤+m m 121-<+m m 如下图所示的数轴,应从整体上把握题目.

鉴于此题的重要性和代表性,雅慧,建议你整理此题,并尝试独立解决.

例5. 已知集合,,若,求实数的取{}51<<=x x A {}3423-<<-=a x a x C A C ⊆a 值范围.

解:∵,∴分为两种情况:

A C ⊆①当时,≥,解之得:≤1;

∅=C 23-a 34-a a ②当时,则有:,解之得:≤2.

∅≠C ⎪⎩

⎪⎨⎧≤-≥--<-5341233423a a a a a <1综上所述,实数的取值范围是.

a {}2≤a a 例6. 已知集合.

{}52≤≤-=x x A （1）若,,求实数的取值范围;

A B ⊆{}121-≤≤+=m x m x B m （2）若,,求实数的取值范围;

B A ⊆{}126-≤≤-=m x m x B m （3）若,,求实数的取值范围.

B A ={}126-≤≤-=m x m x B m 解:（1）∵,,∴分为两种情况:

A B ⊆{}121-≤≤+=m x m x B ①当时,,解之得:;

∅=B 121->+m m 2

∅≠B