Gauss整数环的主理想及其商环研究

Gauss 整数环的主理想及其商环研究
摘要:本文给出了Gauss 整数环的若干性质,并用一种新的初等方法解决了文献[1]中提出的一个猜想: Gauss 整数环的商环[]()
Z i n m i +元素个数是22m n +. 关键词:Gauss 整数环;商环;素元;主理想;单位
Research the Principal Ideal and Quotient Ring of
Gaussian Integral Domain
Wang xiao-juan
(Department of Mathematics,Xiaogan University 031114328)
Abstract :This paper gives some proterties of Gaussian integral domain, and proves the two conjectuires of Arch.[1] with a new and elementary method. In light of the Gaussian integral domain,the number of elements of its ring of quotients is 22m n +. Key words : Gaussian integral domain; quotient ring; prime element; principal ideal;unit.
1 介绍
在文献[1]中,提出两个猜想 :(1) Gauss 整数环的商环
[]()Z i n mi +元素个数是22m n +;(2) 对于[]()
Z i n i +,显然1,2i i ++为素元,问n i +形式的素元是否为无穷多.文献[1]证明了:对0m = (或0n =)以及1m =但n 任意(或1n =但m 任意)的情形有[]()Z i n mi +的元素个数恰为22m n +.近期有关Gauss 整数环的商环[]()
Z i n mi +所含元素的个数, 文献[12]-都讨论了这个问题,并得到了很好的结果,即︱
[]
()Z i n mi +︱=22m n +其中()n mi +表示由n mi +所生成的主理想.本文以一种新的初等的方法明确了[]()
Z i n mi +的元素个数就是22m n +,为了解决上述两个猜想,首先给出Gauss 整数环的一些相关定义. 我们用X 表示集合X 的元素个数，n mi +的范数
用22()N n mi m n +=+来表示，α表示Gauss 整数环中的元素α的共轭.
下面给出Gauss 整数环的一些相关定义：
设Z 表示整数环，i 表示虚数单位，则高斯整数环[]Z i 是指一切形如a bi + (2,,1a b Z i ∈=-)的复数关于数的普通加法与乘法作成的环, 高斯整数环中的元素称为高斯整数.因此我们有以下定义：
定义1 设Z 表示整数环,则环[]{|,}Z i a bi a b Z =+∀∈称为Gauss 整数环. 定义2 若环R 的非空子集I 满足下面条件:
（1）I 是一个子加群；
（2） 对任意a ∈I , r ∈R ,元素,ar ra 都在I 中.
此时我们称I 是环R 的一个理想.
定义3 我们称环(R /I ,+,.)为环R 关于理想I 的商环,其中
R /I ,={a + I ,a ∈R }
(a +I )+(b +I )=()a b ++I
(a +I ).(b+I )=ab I +
定义4 设H =()n mi +={()()|,}x yi n mi x y Z ++∀∈为[]Z i 的一个主理想. 2 性质
Gauss 整数环有下列显然的基本性质:
命题1 []Z i 的单位(可逆元)是1,1,,i i --.
证明 设[]x y i Z i +∈， x y i +可逆，其逆元为[]a bi Z i +∈，则
()()1x yi a bi ++=
两边取模并平方，得到
2222()()1x y a b ++=
由于22()x y Z +∈，22()a b Z +∈，故221x y +=，于是
10
x y =⎧⎨=⎩，或10x y =-⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=-⎩ 即[]Z i 的单位(可逆元)是1,1,,i i --.
命题2 []Z i 是欧氏环,因而是主理想环和唯一分解环
证明 见文献[3]中.
命题3[4] []Z i 中的素元当且仅当是不可约元。

证明 设α为[]Z i 中的不可约元，并有αβγ（,[]Z i βγ∈），由命题2知： []Z i δ∃∈，使得(,)()αβδ=令1212,,,[]Z i αεδβεδεε==∈,因为α是Z[i]的不可约元，故1,εδ中必有一个是单位。

若1ε是单位，则
11121,()δεαβεεα--==即αβ 若δ是单位，由()(,)δαβ=故可设
3434,,[]Z i δεαεβεε=+∈，于是11241δεαδεβ--=+则1124γδεαγδεβγ--=+，由 于α|βγ及α|αγ，所以α|γ,因此α是[]Z i 中的素元。

反之，设α是z[i]的素元，若αβγ=,则有α|β或α|γ,不妨设α|β，可设βεα=[]Z i ε∈,故()αβγεγα==，由[]Z i 是无零因子环，所以有1εγ=，即得γ是单位，故α是不可约的。

命题[4]4 设[]Z i α∈，如果()N α是z 中的素数，则α是Z[i]的素元；若β是Z[i]中的素元则β也是[]Z i 中的素元。

证明 设[]a bi Z i α=+∈,由22()N a b α=+是Z[i]中的素数，若α是Z[i]
中的可约元，可设1212,,ααααα=⋅均不是Z[i]中的单位，由
1212()()(),(),()N N N N N ααααα=均不为1，与()N α是Z[i]中的素数矛盾，所以α是Z[i]中的不可约元， 由命题3知α是z[i]中的素元。

设12121212()()b b i b b i c c i d d i β=+=+=++，则
12121212()()()()c c i d d i c c i d d i ββ==++=-- 由β可约可知β可约，因此β是Z[i]中的素元，则β也是。

命题[4]5 设α是Z[i]中的素数且1(mod 4)p ≡,当且仅当P 中Z[i]中的可约元。

由文献[5]5455p -中的高斯平方和定理即知命题5成立。

3 商环
定理1 22[]()
Z i m n n mi =++，这里记()H n mi =+，则元素z 所在的陪集记为:{}()(),,z H z x yi n mi x y Z +=+++∀∈，简记为[]z
引理1［３］ 设H 是环R 的一个理想，则12z H z H +=+，即12[][]z z =的充分必要条件是12z z H -∈
定理1的证明
当(,)1m n =时，下证220,1,2,
,1m n +-这22m n +个数在不同的陪集中，即 x y ∀≠,对,a b ∈22{0,1,2,,1}m n +-,有a b H -∉，即
设2201b a m n <<<+-，有
对任何,x y Z ∈,
()()a b x yi n mi -≠++,令c a b =-
即对任何0<c<22m n +都有 ()()c x yi n mi ≠++
(反证法)假设()()c x yi n mi =++，则有
0n x m y c m x n y -=⎧⎨+=
⎩ (1)(2) 由(2)式mx ny =-及(,)1m n =得 m|ny, n|mx 故m y ，n x
∴令,y ms x nt ==并将其代入mx ny =-得 mnt mns =-
0mn ≠∴s t =-
即,x nt y mt ==-再代入(1)式得
22()t m n c +=
0c > ∴0t >
∴2222()c t m n m n =+≥+与上式0<c<22m n +矛盾
∴当(,)1m n =时有22[]()
Z i m n n mi =++成立 下证:对任意[]u vi Z i +∈,必存在整数c 且2201c m n ≤<+-
使得 u vi c H +-∈或()()c u vi n mi -+∈+
(,)1m n =
∴,,.s t Z s t ∃∈ 1ms nt +=
等式两边同乘以v 得 ms v
n t v v += ∴()u vi u msv ntv i +=++
=()()n mi vs vti nvs mvt u ++-++
=()()()v s ti n mi u mvt nvs ++++-
=22()()()v s ti n mi m n q r +++++
=()n mi z r ++
其中
220,r m n q Z ≤<+∈ ∴()()u vi r H n mi +-∈=+
∴u vi +在陪集[]r H r +=中
即 22[][],(01)u vi r r m n +=≤≤+-
引理[6]2 设R 是一个环,I 与J 都是R 的理想,I J ⊂则
//R R I J J I ≅,由环的第二同态基本定理得 ||||/||R R J J I I
= 对Gauss 整数环[]Z i ,主理想(){I n mi =+=()()|,}x yi n mi x y Z ++∀∈
若(,)1m n d =>,则11,,.m n Z s t ∃∈ 11,m m d n n d ==且11(,)1m n =
{}()(),,I x yi n mi x y Z =++∀∈
={}11()(),,d x yi n mi x y Z ++∀∈
若主理想11()J n m i =+{()(x yi =+11)n m i +|,}x y Z ∈
则显然I J ⊂且有
11[][]||||/||()()Z i Z i J n m i n mi I
=++ ∴2211[]|
|()/||()Z i J m n n mi I =++ 下证2||J d I
=: 在J 中选取2d 个元素:
()k li +(11)n m i +J ∈ (3) 其中,0,1,2...,1k l d =-
对(3)中的任意两个不同的元素α与β:
1111()()k l i n m i α=++
β=2211()()k l i n m i ++
其中1122,,,k l k l 不全相同，即坐标 1122(,)(,)
k l k l ≠ 则αβ-=121211[()()]()k k l l i n m i -+++
下证:I αβ-∉
(反证法)假设I αβ-∈,则
121211[()()]()k k l l i n m i -+-+11()()d x yi n m i =++
11(,)0n m ≠
∴1212()()k k l l i -+-dx dyi =+
∴12k k dx -=
12l l dy -=
∴1212
||d k k d l l -⎧⎨-⎩ 这显然矛盾,故假设不成立 即商环J I
至少有2d 个不同的陪集 又对 γ∀()(x yi =+11)n m i +J ∈
由带余除法,设11x q d x =+,21y q d y =+其中11(0,0)x d y d ≤<≤<
则γ()(x yi =+11)n m i +=[(11q d x +)+(21q d y +)i 11]()n m i +
1211()()d q q i n m i =+++1111()()x y i n m i ++
所以γ-1111()()x y i n m i ++=1211()()d q q i n m i ++
=12()q q i +()n mi +I ∈
这说明γ与元素1111()()x y i n m i ++在同一个陪集中,而1111()()x y i n m i ++必为(3)中的一个元素，故商环J I
中元素的个数为2d . 即 2||J d I
= . 4 素元
对于Gauss 整数环[]Z i ,它的元素可以分为两部分,一部分是整数,另一部分是形如,,a bi a b Z +∈的元素.下面讨论[]Z i 中的素元及形如n i +的素元的个数. 首先，[]Z i 中的非素数肯定不是[]Z i 中的素元，因为素元要求除本身及单位外无其它因子，故只有素数才可能是[]Z i 中的素元．但素数在[]Z i 中是素元，在[]Z i 中则不一定．如素数2，在[]Z i 可分解为2(1)(1)i i =+-,1i ±都不是2的相伴元．显然它不是[]Z i 中的素元.
引理[9]1 若[]a bi Z i +∈，a bi +是素元,且,0a b ≠ 则(,)1a b =
应用反证法．不难看出结论是显然的。

引理[9]2 设(,)1a b =，若有[]x yi Z i +∈，使得()()a bi x yi n ++=(n 是一整数)，则22|a b n +
证明:由()()a bi x yi n ++=得到
0ax by n ay bx -=⎧⎨+=⎩ 即2222an x a b bn
y a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩
(,)1a b =,∴必有整数12,d d 使得：
121ad bd +=
∴12()()an d bn d n +=
将方程组的解代入上式得：
2212()()a b xd yd n +-=
22|a b n ∴+
引理[9]3 若[]a bi Z i +∈,且,0a b ≠,则a bi +是素元的充要条件是：22a b +是素数。

证明 （充分性）设有11,a bi +22[]a b i Z i +∈使得
1122()()a bi a bi a b i +=++
∴22a b +2211()a b =+222
2()a b + 因22a b +是素数，∴22111a b +=或22221a b +=
∴11a b i +或22a b i +是单位
a bi ∴+是素元
（必要性）假设有自然数12,n n ，使 2212a b n n +=，另一方面，由于
22a b +()()a bi a bi =+-，而a bi +是素元
∴a bi +|1n 或a bi +2|n
不妨设a bi +|1n ,即存在[]x yi Z i +∈使得()()a bi x yi ++=1n ，
根据引理1应有(,)1a b =,进一步根据引理2，得
22a b +|1n
∴有自然数k 使(22a b +)1k n =,代入2212a b n n +=，得到
22a b +=(22a b +)2.k n
∴2.k n 1=∴21,1k n == ∴22a b +是素数.
[参考文献]
[1]王海坤.Gauss 整数环诸类问题探[J].工科数学.1999,15(3):6769.
[2]王芳贵.关于Gauss 整数环的商环元素个数的注记[J].工科数学,2001,17(4):62
63. [3]聂灵沼,丁石孙.代数学引论[M].北京:高等教育出版社,1988.
[4]方辉. Gauss 整数环及其商环的若干性质[J].安徽教育学院学报,2002,20(6):16
18. [5]冯克勤.代数数论[M].北京:科学出版社,2000.
[6]吴品三.近世代数[M].北京:人民教育出版社,1979,12
[7]王向辉.整环Z[i]上一类子环的构筑[J].忻州师范学院学报,2006,22(4):51
52. [8]宋文青,郇正良. Gauss 数环中的素元[J].工科数学,2002,18(4):32
34. [9]赵启林. Gauss 整数环[]Z i 中素元的形成及剩余类环[]
()Z i a bi +[J].阜阳师范学院学
报,2000,17(2)
[10]姚光同,贾璐.关于Z环[J].黑龙江大学自然科学学报,2004,21(3).
[11]简国明.唯一分解环的又一充要条件[J].韶关大学韶关师专学报.1991,1.
[12]魏裕博,贺继康.高斯整数环中的单位和素[J].榆林高等专科学校学报,2000,10(2).
致谢
感谢学院领导及老师对论文的建议与指导,特别是指导老师胡付高副教授在论文的写作过程中给予的悉心指导,在选题急查阅文献资料方面的帮助,并且在论文初稿完成后对其内容急格式进行了认真修改,在此,表示衷心的感谢!。