第六章 Z变换课件
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第六章
Ｚ
变
换
本章重点： Ｚ变换的定义、性质和应用。
§６－１
Ｚ变换
一、Ｚ变换的定义： 离散信号Ｚ变换的定义为：
X( z )
n
n x ( n ) z
双边Z变换 单边Z变换
X( z ) x ( n )z n
n 0
二、Ｚ变换的收敛域：
1、Ｘ（Ｚ）的收敛域为Ｚ平面内以原点 为中心的一个环，内边界可以是原点， 外边界可以是无穷远点。 2、ＲＯＣ内不包含任何极点。
If then
x ( n ) X(z )
ROC : R 1 R R 2
1 x n X( ) z 1 1 ROC : R R1 R2
六、时域卷积定理：
If x 1 ( n ) X1 ( z ) x 2 ( n) X 2 (z ) then ROC : R 1 ROC : R 2
Ex.3.
z nun 2 (z 1)
Ex .4.
e
j0 n
z u n z e j0 z u n j0 ze
e
j0 n
z sin 0 sin(0 n)un 2 z 2 z cos0 1
Ex .5.
z a u n za
2 2
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e
j0
2
za
dX ( z ) az 解： 1 dz 1 az dX ( z ) a z z a dz
kx(k ) a(a) k 1
k 1
k
(1) a x(k ) k 1 k
k 1
五、时域翻转：（双边变换）
2
z z cos0 cosk0 k 2 2 z 2 z cos0
2 k
四、Ｚ域微分（序列线性加权）：
If then
x ( n ) X(z )
ROC : R
dX ( z ) nxn z dz ROC : R
Ex. 求反Z变换：
X ( z) ln 1 az1
七、序列除(k+m)（Z域积分）； 八、初值定理： 九、终值定理； 十、部分和。
一、 线性性质：
If
x 1 ( n ) X1 ( z ) x 2 ( n) X 2 (z )
ROC : R 1 ROC : R 2
then
ax1 n bx 2 n aX1 z bX 2 z ROC : 包含R 1 R 2
Z [ xn n0 ]
(n0 0)
n
xn n0 z
n 0 n0
z [ X z x ( m) z ]
m m 0
n0 1
2) Z [ xn n0 ] xn n0 z
n 0 n
( n0 0)
z
n0
[ X z
n
ROC : a z
an
双边Z变换不存在
n
若x n a
a 1
双边Z变换不存在
z az a 1 X( z ) z a 1 az 1 ROC : a z a
§6-2 Ｚ变换的基本性质
一、 线性性质； 二、移位性质； 三、频移性质（Ｚ域尺度变换）； 四、Ｚ域微分（序列线性加权）； 五、时域翻转：（双边变换）； 六、时域卷积定理；
z
z 2. a x n X a
n
ROC : aR
1. e
j0 n
xn X e
j0
z
该式的左边理解为复指数序列的调制。 该式的右边理解为z平面的旋转。
z 2. a xn X a
n
当a为复数时，x(z)的零、极点不但 旋转了角度，模也发生了尺度变换。
线性相加可能出现零点与极点相消的 情况，这时收敛域会扩大。
Ex. u(n)-u(n-1)= n
二、移位性质：
1、双边Ｚ变换：
If then
x ( n) X ( z ) xn n0 z ROC : R
ROC : R
n0
X z
2、单边Ｚ变换：
若是对双边序列进行单边Ｚ变换，则： 1）
m 1
x ( m) z
n0
m
]
3)
Z [ xn n0 u (n n0 )] (n0 0) z
n0
X z
主要应用于解差分方程：
Z xn 1 zX ( z) zx(0)
Z xn 2 z X ( z) z x(0) zx(1)
在这个ROC内 。
6、双边序列的ROC：如果│ｚ│＝ r0在ＲＯ Ｃ内，则ＲＯＣ为Ｚ平面上包含│ｚ│＝ r0 的
一个环。
7、如果序列x(n)的z变换X(z)是有理
的，那么它的ROC就被极点所界定， 或者延伸至无限远。
三、Ｚ变换举例：
Ex.1.
Ex .2.
n 1
z u n z 1
3、有限序列的ＲＯＣ为全平面。（可能 除了z=0 and/or z=∞）。
4、右边序列的ＲＯＣ：当 │ｚ│= r0 的圆位于 ROC内，那么│ｚ│> r0的全部Z值都一定在这 个ROC内 。
5、左边序列的ＲＯＣ：当 │ｚ│= r0 的圆位 于ROC内，那么0<│ｚ│< r0的全部Z值都一定
Байду номын сангаас
z k z 1
j 0 j 0
1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 2 e z 1 e z 1 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2
z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
Ｚ
变
换
本章重点： Ｚ变换的定义、性质和应用。
§６－１
Ｚ变换
一、Ｚ变换的定义： 离散信号Ｚ变换的定义为：
X( z )
n
n x ( n ) z
双边Z变换 单边Z变换
X( z ) x ( n )z n
n 0
二、Ｚ变换的收敛域：
1、Ｘ（Ｚ）的收敛域为Ｚ平面内以原点 为中心的一个环，内边界可以是原点， 外边界可以是无穷远点。 2、ＲＯＣ内不包含任何极点。
If then
x ( n ) X(z )
ROC : R 1 R R 2
1 x n X( ) z 1 1 ROC : R R1 R2
六、时域卷积定理：
If x 1 ( n ) X1 ( z ) x 2 ( n) X 2 (z ) then ROC : R 1 ROC : R 2
Ex.3.
z nun 2 (z 1)
Ex .4.
e
j0 n
z u n z e j0 z u n j0 ze
e
j0 n
z sin 0 sin(0 n)un 2 z 2 z cos0 1
Ex .5.
z a u n za
2 2
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e
j0
2
za
dX ( z ) az 解： 1 dz 1 az dX ( z ) a z z a dz
kx(k ) a(a) k 1
k 1
k
(1) a x(k ) k 1 k
k 1
五、时域翻转：（双边变换）
2
z z cos0 cosk0 k 2 2 z 2 z cos0
2 k
四、Ｚ域微分（序列线性加权）：
If then
x ( n ) X(z )
ROC : R
dX ( z ) nxn z dz ROC : R
Ex. 求反Z变换：
X ( z) ln 1 az1
七、序列除(k+m)（Z域积分）； 八、初值定理： 九、终值定理； 十、部分和。
一、 线性性质：
If
x 1 ( n ) X1 ( z ) x 2 ( n) X 2 (z )
ROC : R 1 ROC : R 2
then
ax1 n bx 2 n aX1 z bX 2 z ROC : 包含R 1 R 2
Z [ xn n0 ]
(n0 0)
n
xn n0 z
n 0 n0
z [ X z x ( m) z ]
m m 0
n0 1
2) Z [ xn n0 ] xn n0 z
n 0 n
( n0 0)
z
n0
[ X z
n
ROC : a z
an
双边Z变换不存在
n
若x n a
a 1
双边Z变换不存在
z az a 1 X( z ) z a 1 az 1 ROC : a z a
§6-2 Ｚ变换的基本性质
一、 线性性质； 二、移位性质； 三、频移性质（Ｚ域尺度变换）； 四、Ｚ域微分（序列线性加权）； 五、时域翻转：（双边变换）； 六、时域卷积定理；
z
z 2. a x n X a
n
ROC : aR
1. e
j0 n
xn X e
j0
z
该式的左边理解为复指数序列的调制。 该式的右边理解为z平面的旋转。
z 2. a xn X a
n
当a为复数时，x(z)的零、极点不但 旋转了角度，模也发生了尺度变换。
线性相加可能出现零点与极点相消的 情况，这时收敛域会扩大。
Ex. u(n)-u(n-1)= n
二、移位性质：
1、双边Ｚ变换：
If then
x ( n) X ( z ) xn n0 z ROC : R
ROC : R
n0
X z
2、单边Ｚ变换：
若是对双边序列进行单边Ｚ变换，则： 1）
m 1
x ( m) z
n0
m
]
3)
Z [ xn n0 u (n n0 )] (n0 0) z
n0
X z
主要应用于解差分方程：
Z xn 1 zX ( z) zx(0)
Z xn 2 z X ( z) z x(0) zx(1)
在这个ROC内 。
6、双边序列的ROC：如果│ｚ│＝ r0在ＲＯ Ｃ内，则ＲＯＣ为Ｚ平面上包含│ｚ│＝ r0 的
一个环。
7、如果序列x(n)的z变换X(z)是有理
的，那么它的ROC就被极点所界定， 或者延伸至无限远。
三、Ｚ变换举例：
Ex.1.
Ex .2.
n 1
z u n z 1
3、有限序列的ＲＯＣ为全平面。（可能 除了z=0 and/or z=∞）。
4、右边序列的ＲＯＣ：当 │ｚ│= r0 的圆位于 ROC内，那么│ｚ│> r0的全部Z值都一定在这 个ROC内 。
5、左边序列的ＲＯＣ：当 │ｚ│= r0 的圆位 于ROC内，那么0<│ｚ│< r0的全部Z值都一定
Байду номын сангаас
z k z 1
j 0 j 0
1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 2 e z 1 e z 1 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2
z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1