高中均值不等式讲解及习题

高中均值不等式讲解及习题
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b
a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当
b a =时取“=”
） (3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”
）;若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则11122-2x x x x
x
x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
3.若0>ab ，则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 4.若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和
为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋
12x
2
（2）y ＝x ＋1
x
解：（1）y ＝3x 2＋
1
2x 2
≥23x 2·
1
2x 2
＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2；
当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1
x ）≤－2
x ·1
x
=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)
45
x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，
5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭
231≤-+= 当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数
例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设2
3
0<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解：∵2
3
0<
<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y
当且仅当,232x x -=即⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

技巧三： 分离
例3. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当
,即
时,4
21)591
y x x ≥+⨯
+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t
-+-++==++）
当,即t=时,4
59y t t
≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式
子分开再利用不等式求最值。

即化为()(0,0)()
A
y mg x B A B g x =+
+>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数
()a
f x x x =+的单调性。

例：求函数224y x =+的值域。

2
4(2)x t t +=≥，则2
24
y x =
+221
4(2)4
x t t t x =+=+≥+
因10,1t t t >⋅=，但1
t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

因为1
y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，
故52y ≥。

所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）
231,(0)
x x y x x
++=> （2）
1
2,33
y x x x =+
>- (3)1
2sin ,(0,)sin y x x x
π=+
∈
2．已知01x <<，求函数y =的最大值.；3．2
03
x <<
，求函数
y .
条件求最值
1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是.
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b a 33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解：b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a
当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，
b a 33+的最小值是6．
变式：若44log log 2x y +=，求11
x y
+的最小值.并求x,y 的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且19
1x y
+=，求x y +的最小值。

错解
．．
：0,0x y >>，且
191x y +=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫
+=++≥= ⎪⎝⎭
故 ()min 12x y += 。

错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥等号成立条件是x y =，在
19x y +≥19
x y
=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：190,0,1x y x
y
>>+=，()1991061016y x
x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当
9y x
x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，
()min 16x y += 。

变式： （1）若+
∈R y x ,且12=+y x ，求y
x
11+的最小值
(2)已知+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x +的最小值
技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2
＋
y 22
＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤
a 2＋
b 2
2。

同时还应化简1＋y 2 中y 2
前面的系数为 12 ， x 1＋y 2 ＝x
2·1＋y 2
2
＝
2 x ·
12 ＋y 22
下面将x ，
12 ＋y 2
2
分别看成两个因式： x ·
12 ＋y 2
2
≤x 2
＋(
12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝3
4 即x
1＋y 2 ＝
2 ·x
12 ＋y 22 ≤3
4
2
技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝
1
ab
的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b
b ＋1
由a ＞0得，0＜b ＜15 令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝
－2t 2＋34t －31
t ＝－2（t ＋16
t ）＋34∵t ＋16
t
≥2
t ·16
t
＝8 ∴ab ≤18 ∴y ≥1
18 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2
∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1
18
点评：①本题考查不等式ab b
a ≥+2
）
（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是
寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式
ab b
a ≥+2
）
（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.
变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方
5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2
≤
a 2＋
b 2
2
，本题很
简单
3x ＋2y ≤ 2
（3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋2
3x ·
2y ＝10＋2
3x ·
2y ≤10＋
(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20
∴ W ≤20 ＝2 5
变式: 求函数15
()2
2
y x <<的最大值。

解析：注意到21x -与52x -的和为定值。

2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=
又0y >，所以0y <≤
当且仅当21x -=52x -，即3
2
x =
时取等号。

故max y =。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

应用二：利用均值不等式证明不等式
1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2
2
2
1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc
例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个
“2”连乘，又111a b c a
a
a
-+-==≥
解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=。

∴111a b c a a a a
-+-==≥。

同理11b -≥，
11c -≥。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
111221118ac ab a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

当且仅当13a b c ===时取等号。

应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知0,0x y >>且19
1x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范
围。

解：令,0,0,
x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x
k kx ky
∴++= 103
12k k
∴-
≥⋅ 。

16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b
a R
b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是.
分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a
2
1
=
Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 2
1lg )2lg(∴R>Q>P 。

2010年高考均值不等式求最值聚焦
最值问题始终是高考数学的热点题型之一，而利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以2010年高考试题为题材，对高考中考查利用均值不等式求最值问题的基本特征和基本类型作一些分类解析，供参考。

一、
基础题型。

1.直接利用均值不等式求解最值。

例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134
x
y
+=，则xy 的最大值为 ________。

解：因为x >0，y>0，所以23
434
3
x
y x y xy
+
≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8
时取等号)13
xy
， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值位3. 2通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。

例2：（2010年高考四川文科卷第11题）设0a b ＞＞，则()
2
11
a a
b a a b +
+-的最小值是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
解：()2
11a ab a a b +
+-＝2
11()
a a
b ab ab a a b -+++- ＝11()()
ab a a b ab a a b +
+-+-≥2＋2＝4 当且仅当ab ＝1，a (a －b )＝1时等号成立，如取a 2,b ＝22满足条件。

故选择答案D 二、转化题型
1.和积共存的等式，求解和或积的最值。

例3：（2010年高考重庆理科卷第7题）已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则
x +2y 的最小值是（ ）
A. 3
B. 4
C.
92 D. 112
解： 因为x >0，y >0，所以2
228)2(82⎪⎭
⎫
⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ，
整理得()()0322422≥-+++y x y x
即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x 等号当且仅当22x y ==时成立，故选择答案B 。

变式：因为x >0，y >0，所以因为x >0，y >0
，所以282x y xy +=-≥
整理得40xy ≤
，即-2xy ≤ 等号当且仅当22x y ==时成立，故xy 的最大值为2. 2.分式型函数（
二次一次二次
、、
一次二次二次
）求解最值。

例4：（2010年高考江苏卷第14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于
底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=梯形的面积
梯形的周长）
2
(,则S 的最小值是
_________。

解：设剪成的小正三角形的边长为x ，则
22
2
(3)1x S x -==- 令22(3)()(01)1x f x x x -=<<-，则222
69610()111x x x f x x x -+-+==---
令35,(25)t x t =-+<<，则22261021818
516
110161()()10
3x t t t x t t t t
-+===
---+---++ 因为25t <<
，所以168t t +≥=，等号当且仅当t=4，即13x =时成立。

所以16
t t
+
最小值为8 故2269()1x x f x x -+=-的最小值为8，S。

例5：（2010年高考全国Ⅰ卷第11题）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB •的最小值为（ ）
(A) 4-+
(B)3-(C) 4
-+
解：如图所示：设PA=PB=x(0)
x>,
∠APO=α，则∠APB=2α，，
sinα=
||||cos2
PA PB PA PBα
•=⋅=22
(12sin)
xα
-=
22
2
(1)
1
x x
x
-
+
=
42
21
x x
x
-
+
，
令PA PB y
•=，则
42
21
x x
y
x
-
=
+
，令21,0
t x t
=+>，
则
22
(1)(1)322
33
t t t t
y t
t t t
----+
===+-≥
等号当且仅当
2
t
t
=，即t=时成立。

故
min
()3
PA PB
•=-+.此时x=，选择答案D。

练习：
2.（2010年高考山东理科卷第14题）若对任意0
x>，
231
x
a
x x
≤
++
恒成立，则a的取值范围是。

答案：
1
5
a≥
解：因为0
x>，所以
1
2
x
x
+≥（当且仅当x=1时取等号），所以有2
111
1
31235
3
x
x x x
x
=≤=
+++
++
，即
231
x
x x
++
的最大值为
1
5
，故
1
5
a≥。

3.（2010年高考重庆文科卷第12题）已知t o
>,则函数
2
t41
t
y
t
-+
=的最小值为答案：—2
解：
2411
42(0)
t t
y t t
t t
-+
==+-≥->，当且仅当1
t=时，min2
y=-.
4.（2010年高考浙江文科卷第15题）若正实数x，y满足26
xy x y
=++，则
例5图
xy 的最小值是 。

（变式：求2x +y 的最小值为______） 答案：18
解：因为x >0，y >0 ，所以62262+≥++=xy y x xy ，
60xy -≥≥≤ 等号当且仅当2x=y=6时成立，故xy 的最小值为18。

变式答案：12
解：因为x >0，y >0 ，所以21226()22
x y xy x y +=++≤
整理得2(2)8(2)480x y x y +-+-≥，解得21224(x y x y +≥+≤-或舍） 等号当且仅当2x=y=6时成立，故2x +y 的最小值为12。