必修一数学培优辅导教材第13讲：对数函数

对数与对数函数
考点：对数函数的基本性质
例1：下面结论中，不正确的是
A.若a ＞1，则x y a =与log a y x =在定义域内均为增函数
B.函数3x y =与3log y x =图象关于直线y x =对称
C.2log a y x =与2log a y x =表示同一函数
D.若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >> 例2：图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为2，43，310，1
5
，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ）. A. 2，
43，15，310 B. 2，43，310，15
C. 15，310
，43，2 D. 43，2，310，1
5
练1：当01a <<时,在同一坐标系中,函数log x a y a y x -==与的图象是（ ）.
A B C D 练2：设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，
上的最大值与最小值之差为1
2
，则a =（ ）. A.2 B. 2 C. 22 D. 4
练3：若23
log 1a <，则a 的取值范围是
A.203
a << B.2
3
a >
C.
2
13
a << D.2
03
a <<
或a ＞1
0 x C 1
C 2 C 4
C 3 1
y
x
y
1 1
o
x
y
o 1 1
o
y
x
1
1 o
y
x
1 1
例3：比较两个对数值的大小：ln7 ln12 ； 0.5log 0.7 0.5log 0.8. 练1：若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（ ）.
A. 1m n >>
B. 1n m >>
C. 01n m <<<
D. 01m n <<< 练2：已知1112
2
2
log log log b a c <<，则（）
A.222b a c >>
B.222a b c >>
C.222c b a >>
D.222c a b >>
练3：下列各式错误的是（ ）.
A. 0.80.733>
B. 0.10.10.750.75-<
C. 0..50..5log 0.4log 0.6>
D. lg1.6lg1.4>. 练4：下列大小关系正确的是（ ）.
A. 30.440.43log 0.3<<
B. 30.440.4log 0.33<<
C. 30.44log 0.30.43<<
D. 0.434log 0.330.4<<
练5：a 、b 、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是 A.c ＞a ＞b
B.c ＞b ＞a
C.a ＞b ＞c
D.b ＞a ＞c
练6：指数函数(0,1)x y a a a =>≠的图象与对数函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象有何关系？
例4：如果log 2log 20a b <<，那么a ，b 的关系及范围.
练1：若log 2log 20a b <<，则（） A.01a b <<<
B.01b a <<<
C.1a b >>
D.1b a >>
练2：若log 3log 3m n <，求m n 和的关系。

例5：比较下列各数大小： 1．0.30.4log 0.7log 0.3与 2．1
2
0.6 3.41log 0.8,log 0.73-
⎛⎫ ⎪⎝⎭
和3．0.30.2log 0.1log 0.1和
练1：比较下列各组数的大小： ⑴2log 3.4，2log 8.5； ⑵0.3log 1.8，0.3log 2.7；
⑶log 5.1a ，log 5.9a (0,a >且1)a ≠; ⑷20.3，2log 0.3，0.32.
练2：若,a b 为不等于1的正数，且a b <，试比较log a b 、1log a b 、1log b b
.
练3：已知2
log 13
a <，求a 的取值范围.
练4：设01a <<，,x y 满足：log 3log log 3a x x x a y +-=，如果y
，求此时a 和x 的值．
练5：已知6lg lg A p q =+，其中,p q 为素数，且满足29q p -=，求证：34A <<
练6：
312
1
log 202x +>的解集为_______
考点：对数型符合型复合函数的定义域值域
例1：下列函数中哪个与函数y=x 是同一个函数（ ） A.log (0,1)a x
y a
a a =>≠ B. y=2
x x
C. log (0,1)x a y a a a =>≠
例2：
函数y ）.
A. (1,)+∞
B. (,2)-∞
C. (2,)+∞
D. (1,2] 练1：
函数y = . （用区间表示） 求下列函数的定义域：
（1
）y =
y =
练2：求下列函数的定义域： ⑴2log a y x =； ⑵log (4)a x -；
⑶y
练3：求下列函数的定义域： ⑴31
log (32)
y x =-；
⑵1log (3)x y x -=-.
练4：求下列函数的定义域：
（1）2log a y x =； （2）log (4)a y x =-； （3）2log (9)a y x =-
练5：求下列函数的定义域： ⑴()3log 1y x =- ⑵21
log y x
=
⑶7
1
log 13y x
=-
练6：求下列函数的定义域： （1） (
)()3log 1f x x ++； （2
）y =
例3：函数212
log (617)y x x =-+的值域是（ ）.
A. R
B. [8,)+∞
C. (,3]-∞-
D. [3,)+∞ 练1：函数2lg(20)y x x =-的值域是 A.y ＞0
B.y ∈R
C.y ＞0且y ≠1
D.y ≤2
练2：求下列函数的定义域、值域：
1．y =
2．22log (25)y x x =++
3．213
log (45)y x x =-++
4．y
练3：已知函数2()lg[2(1)94]f x mx m x m =++++， ⑴若此函数的定义域为R ，求实数m 的取值范围； ⑵若此函数的值域为R ，求实数m 的取值范围.
练4：对于212
()log (23)f x x ax =-+，
⑴函数的“定义域为R ”和“值域为R ”是否是一回事；
⑵结合“实数a 取何值时，()f x 在[1)-+∞，上有意义”与“实数a 取何值时，函数的定义域为(1)(3)-∞+∞，，”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别.
⑶结合⑴⑵两问，说明实数a 的取何值时()f x 的值域为(1]-∞-，. ⑷实数a 取何值时，()f x 在(1]-∞，内是增函数.
⑸是否存在实数a ，使得()f x 的单调递增区间是(1]-∞，，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
例4：已知函数2328()log 1
mx x n
f x x ++=+的定义域为R ，值域为[]02，，求m ，n 的值.
练1：求函数2221
()log log (1)log ()1
x f x x p x x +=+-+--的定义域和值域.
考点：对数型符合型复合函数的单调性
例1：下列函数中，在(0,2)上为增函数的是（ ）.
A. 12
log (1)y x =+ B. 2log y = C. 2
1log y x
=
D. 20.2log (4)y x =-
练1：证明函数y=12
log (2x +1)在（0，+∞）上是减函数；
练2：判断函数y=12
log （2x +1)在（-∞,0）上是增减性.
练3：讨论函数0.3log (32)y x =-的单调性.
练4：求()
20.3log 2y x x =-的单调递减区间
练5：求函数()
22log 4y x x =-的单调递增区间
练6：求函数212
log (318)y x x =--的单调区间，并用单调定义给予证明。

练7：求函数212
log (23)y x x =--的单调区间，并用单调定义给予证明
a ⑴求()f x 的定义域； ⑵讨论函数()f x 的单调性；
练9：已知6
()log ,(0,1)a f x a a x b
=>≠-，讨论()f x 的单调性.
练10：已知()
log 2x a y a =-在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.
①当a ，0b >且a b ≠时，求()f x 的定义域；
②当10a b >>>时，判断f(x)在定义域上的单调性，并用定义证明
练12：设[]2,8x ∈，函数21()log ()log ()2a a f x ax a x =⋅的最大值是1，最小值是1
8-，求a 的值。

练13：已知函数2
()log 2
a x f x x -=+的定义域为[],αβ，值域为[]log (1),log (1)a a a a βα--，且()f x 在[],αβ上为减函数. （1）求证α＞2； （2）求a 的取值范围.
练14：在函数(01a y log x a =<<，1)x ≥的图象上有A ，B ，C 三点，它们的横坐标分别是t ，t ＋2，t ＋4，
（1）若△ABC 的面积为S ，求S ＝f （t ）；
（2）判断S ＝f （t ）的单调性；
（3）求S ＝f （t ）的最大值.
考点：对数函数的综合与应用
例1：函数1lg 1x y x
+=－的图象关于（ ）. A. y 轴对称 B. x 轴对称 C. 原点对称 D. 直线y ＝x 对称
练1：函数())f x x =是 函数. （填“奇”、“偶”或“非奇非偶”）
练2：函数log a y x =在[2,)x ∈+∞上恒有||1y >，求a 的范围.
练3：已知a ＞0，a ≠1，01x <<，比较|log (1)|a x +和|log (1)|a x -的大小.
例2：若关于
lg()2lg lg3
x a x -=-至少有一个实数根，则求a 的取值范围.
练1：设a ，b 为正数，若lg()lg()10ax bx +=有解，则求
a b 的取值范围.
练2：如果2112222log
(1)log 2a a a a +++≤，求a 的取值范围.
练3：已知2{|log (583)2}x A x x x =-+>，24{|210}B x x x k =-+-≥，要使A B ，求实数k 的取值范围.
例3：已知log log 2(0a a x y a +=>，1)a ≠，求
11x y
+的最小值.
练1：已知2520x y +=，求lg lg x y +的最大值.
练2：已知2244x y +=，求xy 的最大值.
练3：设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求224T x y =-的最小值。

例4：已知函数2()3log ,[1,4]f x x x =+∈，22()()[()]g x f x f x =-，求：
（1）()f x 的值域； （2）()g x 的最大值及相应x 的值.
练1：当a 为何值时，不等式215log 1)log (6)log 30a a
x ax ⋅+++≥有且只有一解
练2：设函数()|lg |f x x =，若0a b <<，且()()f a f b >，证明：1ab <
练3：设124
()min(3log ,log )f x x x =+，其中min(,)p q 表示p 、q 中的较小者，求()f x 的最大值
练4：2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料重量x 之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为：
[ln())]4ln 2(0)y k m x k =+-+≠其中. 当燃料重量为1)m 吨（e 为自然对数的底数， 2.72e ≈）时，该火箭的最大速度为4（km/s ）.
（1）求火箭的最大速度(/)y km s 与燃料重量x 吨之间的函数关系式()y f x =；
（2）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？
练5：我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系. 声音的强度I 用瓦/平方米 （2/W m ）表示. 但在实际测量中，常用声音的强度水平1L 表示，它们满足以下公式：10
10lg I L I = （单位为分贝），10L ≥，其中120110I -=⨯，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端. 回答以下问题：
（1）树叶沙沙声的强度是122110/W m -⨯，耳语的强度是102110/W m -⨯，恬静的无限电广播的强度为82110/W m -⨯. 试分别求出它们的强度水平.
（2）在某一新建的安静小区规定：小区内的公共场所声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？
例5：已知函数()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，
⑴试比较函数值()f x 与()g x 的大小；
⑵求方程|()()|()()4f x g x f x g x -++=的解集.
练1：已知函数1,0)((log )(≠>-
=a a x ax x f a 为常数）
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性。

（3）若函数y=f(x)是增函数，求a 的取值范围。

练2：对于在区间[]n m ,上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的∈x []n m ,，均有1)()(≤-x g x f ，则称f(x)与g(x)在[]n m ,上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[]n m ,上是非接近的，现有两个函数)3(log )(1a x x f a -=与)1,0(1
log )(2≠>-=a a a x x f a ，给定区间[]3,2++a a 。

（1）若)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上都有意义，求a 的取值范围；
（2）讨论)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上是否是接近的。

练3：已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（1）求函数()()f x g x -的定义域； （2）判断()()f x g x -的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合.。