高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解

数列专项之求和-4

（一）等差等比数列前n 项求和

1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

n 项求和

② 数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则数列{}n n a b ⋅的求和就要采用此法. ②将数列{}n n a b ⋅的每一项分别乘以{}n b 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列

{}n n a b ⋅的前n 项和.

此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法.

例23. 求和：1

32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S )0(≠x

例24.求数列

⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2

2,,26,24,2232n n

前

n 项的和.

一般地，当数列的通项12()()

n c

a an

b an b =

++ 12(,,,a b b c 为常数）时，往往可将n

a 变成两项的差，采用裂项相消法求和.

可用待定系数法进行裂项：

设1

2

n a an b an b λ

λ

=

-

++，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得

21

c

b b λ=

-，从而可得

122112

11

=().()()()c c an b an b b b an b an b -++-++

常见的拆项公式有： ①

111(1)1n n n n =-++； ②

1111

();(21)(21)22121

n n n n =--+-+

③

1a b

=-- ④11;

m m m

n n n C C C -+=- ⑤!(1)!!.n n n n ⋅=+- ⑥])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n

…… 例25. 求数列

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

例26. 在数列{a n }中，1

1211++

⋅⋅⋅++++=n n

n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.

例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231

,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a

a a n

如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：

121...n n a a a a -+=+=

例29.求证：n

n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++

例30. 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值

⑸记住常见数列的前n 项和： ①(1)

123...;2

n n n +++++=

②2

135...(21);n n ++++-= ③22221

123...(1)(21).6

n n n n ++++=

++ ④233

3

3

)]1(2

1[321+=+

+++n n n

答案详解

例23. 解：由题可知，{1

)12(--n x

n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比

数列{1-n x } 的通项之积。

132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………. ①

设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----⋅

+=-- ∴ 2

1)

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 例24. 解：由题可知，{

n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

1}的通项之积。

设n n n

S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①

14322

226242221++⋅⋅⋅+++=n n n

S ………………………………② （设制错位）

①－②得 14322

22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n

S （错位相减）

112

2212+---=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

例25. 解：设n n n n a n -+=++=

111 （裂项） 则 1

13

21

211

+++⋅⋅⋅+++

+=

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n