北大版高等数学课后习题答案 完整版

习题
1.1
22
22222222222222
22.
,,.3,3.3,
,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.
,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b
====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,
.,..,:
(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.
0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解
(1)222(1,3/2).
(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.
,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.
60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).1
1,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n
a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<
>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:
6.1200001)(1)1).
(,),(,).
1/10.{|}.(,),,{|},
10
{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m
A A m A a b A
B
C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合
= 若则中有最小数-=证
7.(,),(,).1/10.|}.10
n n n n a b a b m
n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2
642
6
6426426
666
13.(1,)
1).
13.(,).
1
3
||13,||1,3,
11
||3,(,).
y
y x
x x x
y
x
x x x x x x x
x x
x x x
y y x
=+∞
===<>
++
=-∞+∞
+
++++
≤≤>≤=
++
=≤∈-∞+∞
证明函数内是有界函数.
研究函数在内是否有界
时,时
证
解
习题1.4
22
1.-
(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.
1)0,|,
,||.,||,|,
(2)0
x a
x a x a x a x a
x
a x a e e x a
x a x a
εδ
εε
εδδεε
→→→→
→=>===
∀>=<<
<-<=-<<∀>
直接用说法证明下列各极限等式:
要使
取则当时故
证(
22
2222
,|| 1.||||||,
|||||2|1|2|,
1|2|)||,||.min{,1},||,
1|2|1|2|
||,lim
(3)0,.||(1),01),1
x a
x a a x a x a
a
x a x a x a x a
x a x a a a
a x a x a x a
a a
x a x a
x a e e e e e
e
ε
εε
εδδε
ε
εε
→
--
-<-=+-<
+≤-+<+
+-<-<=-<
++
-<=
∀>>-=-<<-<<
不妨设要使由于
只需(取则当时故
设要使即(
.
1,
0ln1,min{,1},0,||,
1|2|
lim lim lim
0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,
2222
,|,|cos cos
x a
a
x a
a
x a x a x a
x a x a x a
e
e
x a x a e e
e a
e e e e e e
x a x a x a x a
x a x a x a x a
ε
εε
δδε
ε
δεδ
-→+→-→
<+
⎛⎫
<-<+=<-<-<
⎪+
⎝⎭
===
+-+-∀>-==≤-
=-<-
取则当时
故类似证故
要使
取则当|时
...
(4)
2
|,lim cos cos.
2.lim(),(,)(,),()
.
1,0,0|-|,|()|1,
|()||()||()|||1||.
(1)1
(1)lim lim
2
x a
x a
x x
x a
f x l a a a a a u f x
x a f x l
f x f x l l f x l l l M
x
x
ε
δδ
εδδ
→
→
→→
<=
=-⋃+=
=><<-<
=-+≤-+<+=
+-
=
故
设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数
对于存在使得当 时从而
求下列极限
证
3.
:
2
00
2
2
2
22
000
2
2
1
2
2
2
lim(1) 1.
22
2sin sin
1cos111
22
(2)lim lim lim1.
222
2
(3)0).
22
(4)lim.
2233
2
(5)lim
22
x
x x x
x x
x
x
x x x
x
x x
x
x
x x
a
x x
x x
x x
x x
→
→→→
→→
→
→
+
=+=
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
-⎝⎭⎝⎭
⎪
====
⎪
⎪
⎝⎭
==>
---
=
---
--
--
2
.
33
-
=
-
201030
30300
022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.1
3132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝
⎭+-==+-
+214
442
100(2)3
1.(1)3(9)244
.
63
(
1)1(1)12(10)lim lim lim .
1
(11)lim x x x n
n n x
y y x x x x n n ny y y x y n x y y
→-→→→→→→→∞--==--+====-+
+
+-+-===-1011001
001
0100101
0.
(12)lim (0)./,(13)lim
(0)0,
, .(14)lim x m m m m
n
n
n x n n m
m m n n x n
x x a x a x a a b b x b x b b a b m n
a x a x a a b
n m b x b x
b m n --→
--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪
≠=>⎨+++⎪∞>⎩
= 1.
=
2030
23
2
2
3
2203(15)lim
12
(
12)
5lim
(112)
5
5
lim .3(112)(16)0,l x x x x
x x
x x x x x x x x x
x x x x a →→→→+-+=++-+=++-+==++-+>00im
lim lim x a x a x a →+→+→+⎫
=+⎫
=
00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎛⎫==
000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin
(1)lim lim lim cos .tan
sin sin(2)sin(2)2
(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5x
x x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x x
x x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:
00()1/0
321.sin 5555
(4)lim lim 2cos sin
sin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.
(7)lim(15)
x x x a x a k
x
x
x
k k
k k x x x y
y x x x
x
x a x a x a a x a x a
k k k e x x x y →→+→→----→∞
→∞
→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦-=5
1/(5)50100
100
lim(15).
111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().
lim ():0,0,0|-|().
lim (y y x x
x x x x a
x x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞
→∞→→-∞
→→-∞
⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().
A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时
习题1.5
22
2 2
1.
(2)sin5.
(1)0,|.,
,|||||,0
555()
(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.
22
x
x x a
x
x x x x
x a x a
x a
εδ
εε
εδδε
εε
-
=
=
∀>=<≤
<<=<<=
+-
∀>-=<
试用说法证明
连续
在任意一点连续
要使只需
取则当时有连续.
要使
由于
证
000
000
555()
2|cos||sin|5||,5||,||,
225
,|||sin5sin5|,sin5
5
()()0,0||()0.
(),()/2,0||
(
x a x a
x a x a x a
x a x a x x a y f x x f x x x f x
f x x f x x x
f x
ε
ε
ε
δδε
δδ
εδδ
+-
≤--<-<
=-<-<=
=>>-<>
=>-<
只需
取则当时有故在任意一点连续.
2.设在处连续且证明存在使得当时
由于在处连续对于存在存在使得当时
证
00000
000
0000 )()|()/2,()()()/2()/20.
3.()(,),|()|(,),?
(,),.0,0||
|()()|,||()||()|||()()|,||.
f x f x f x f x f x f x
f x a b f x a b
x a b f x x x
f x f x f x f x f x f x f x
εδδ
εε
-<>-=>
∈>>-<
-<-≤-<
于是
设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立
任取在连续任给存在使得当时
此时故在连续其
证
000
1,
,(),()|1
1,
ln(1),1,
0,
(1)()(2)()
arccos, 1.
0;
lim()lim1(0),lim()(0)
x x x
x
f x f x
x
a
x x
x
f x f x
a x x
a x x
f x f f x f
π
→-→→+
⎧
=≡
⎨
-⎩
+≥
⎧
<
==⎨
<
+≥⎩
⎪⎩
=====
逆命题
是有理数
不真例如处处不连续但是|处处连续.
是无理数
4.适当地选取,使下列函数处处连续:
解(1)
1111
2
sin2
lim
sin3
1.
(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,
ln2.
5.3:
(1)lim cos lim cos0 1.
(2)lim
(3)lim x
x x x x
x x
x
x
x
x
a
f x x f f x a x a f
a
e e
π
→
→+→+→-→-
→+∞→+∞
→
→
=
=+====-==
=-
===
=
=
利用初等函数的连续性及定理
求下列极限
sin22
sin33.
(4)lim arctan arctan1.
4
x
x
x x
e
π
→∞→∞
=
===
()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().
lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0
lim [(ln ())()]
ln 22.
7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:
间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.
,011,sin
,12,11
,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x x
π
⎧≤≤⎪
=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪
=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.
0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().
y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,
将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解
习题1.6
00001.:()lim (),
lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.
2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞
→-∞
=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.
设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数
的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,
(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,
()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212
1211211211122122212121212
12),,(,),0,0,(,)()()
().
()(),.()(),()()()()()()
()(),
[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=
+==<+++=
≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.
4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().
()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().
5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].
(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.
f x x ξξξ-===+取
第一章总练习题
221.:
581 2.
3|58|1422.|58|6,586586,.
3552
(2)33,
5
2
333,015.
5
(3)|1||2|
1
(1)(2),2144,.
2
2|2|,.
2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.
解22231231
2,4,(2).
3
2,41
(2), 4.3
1
3.1.
2
2,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.22222
121
1,.22
123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则
解证1231111
12
1
2
112
2211231222222
2124(1)(1)3222,2222
1..1(1)(2)123(1).(1)
1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nx
x x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-+++++
+=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,12
1
2
.
1(1)123(1)(1)(1)n n n n
n
n n x nx x x nx
n x n x
x +--+++++
+++=++-等式成立设等式对于成立,则
12212211221122122
1(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),
(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=
--+++-++=
--+++-++=
--+++-++=
--+++=-+即等式对于成立.,.
|2|||2
5.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422
(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.
41224/,2(2)()x x f x x
f f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=
---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:
当时是否有极限?
解000222222
22;2,20;
0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().
(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.
6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-
→+
→-
→--
→--
→-+
→-+
→--
→-⎧⎪
-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.
求0
03,;
2(2)()0?(3)()?
391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.
244(2).lim ()lim[14]14(0).
(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+
⎛⎫
⎪⎝⎭
==⎛⎫⎡⎤⎡
⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣
⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.
7.,0,,:(1)(1);(2)(1).
n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a
++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明
111111
1
()()
(1),
(1).
118.1,2,3,,1,1.
:{},{}..11
1,1,7,111n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b a
n a b n n a b a b a b n n
n ++--+++--+++=
<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫
==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=1
1
11
1
1
1
1111(1)1,
111111111(1)11(1)
1111111,
11111.
1111(1)11n n n
n n n
n n
n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫
⎭
⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-
+⎛⎫⎛
⎫⎛⎫
+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛
⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭1
1
1
1
1
1
1
2
1111111111(1)1111(1)11111111111111111.
1111111.
111n n n
n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n +++++++⎛
⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-
+⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫++<+-+ ⎪ ⎪
⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛
⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明2
21
1
1211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.
n
n n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
最后不等式显然成立当时故
9.求极限
22222222221111lim 11112341111111123
41324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nx
f x a nx a
x nx
f x nx a →∞
→∞→∞⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.
解解0;1/,0.
x x ⎧⎨
≠⎩
1111.?,()[,]|()|,[,].
,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].
,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].
,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x x
π
==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈=
=证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11
(,),00,,,(),
1
()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,
21/2
0().
n x f x M n n M f n M n n
f x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证
11
1
11
0001
14.lim (1)ln (0).
1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.
ln(1)ln(1)
lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,
ln (1)ln ().
ln(1)
15.()()n
n n
n n n n n y y y y y n n
n n x x x x
x y x y n y x n y y y y e y y x
n x x n y f x g x →∞
→∞
→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=
→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证0000202
22
22220000.:()(),,()lim ()lim ()().
1cos 1
16.lim
.2
2sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞
→∞
→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.
任取一个无理数取有理数序列证明证证001
1
000000001.2
ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .
ln(1)
(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.
(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim
1
.
1
x a x
a y x y y y y y x a a a x x a
a a
x x x y y a a y e e e y x y y y e y
e e e e e y e e e y x x x y y
e e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.
|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x a
x a
y f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M M
δεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<
=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有
定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.
x a
f x
g x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).
y f x c g x f x f x c g x c f x c
c f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪
=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下 当当当试画出的略图并证明在上连续
0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().
(),0,||()lim ()lim ().
(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),
若则存在当时,g(x)=c,
若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.
()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.1
20.()[,],[()()()],
3
,,[,].[,],().()()(),(),.
()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},
()(),[,],,[,],().
21.()(),()g(),,.
0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,0
00000||
()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet .
.,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.
23.求下列极限:
证222001/1
12132100;2tan 5tan 5/5
(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1(4)lim(1).
24.()[0,),0().0,(),(),
,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .
lim ,(),().
(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞
→∞
++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,
证
111lim ,lim lim ()(lim )().
25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞
→∞
→∞
→∞
======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证1
1.
,()(11)(1).
1(0)(())()()(),().().
1111,(1)()()()(),().
11()()().,n n n n n n n
n m
m
m n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛
⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设是正整数则于对于任意整数
对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),
()lim ()lim ().
n
n
n r x x x x n n n r e x x E x E x E x e e
e e →∞
→∞
→∞
=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性
习题2.1
201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?
x l O x x m x x x l x x m m
x m
x ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值
问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么
2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m m
x x x x x x
∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解
3
33
32233
222 00
00
2.,:
(1)
;(2)0;(3)sin5.
()
(1)
lim
(33)
lim lim(33)3. (2)
lim lim
lim
x
x x
x
x
x
y ax y p y x
a x x ax
y
x
x x x x x x x
a a x x x x ax
x
y
x
∆→
∆→∆→
∆→→
→
==>=
+∆-
'=
∆
+∆+∆+∆-
==+∆+∆=
∆
'==
∆
=
根据定义求下列函数的导函数
解
00
000
lim
lim
5(2)5
2cos sin
sin5()sin522
(3)lim lim
55(2)55
2cos sin sin
5(2)
2222
lim5lim cos lim
55
2
2
x
x
x x
x x x
x x x
x x x
y
x x
x x x x
x x
x
→
→
∆→∆→
∆→∆→∆→
=
==
+∆∆
+∆-
'==
∆
∆
+∆∆∆
+∆
==
∆∆
5cos5.
2
x
x
=
00
2
2
3.()(,()):
(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).
(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.
(2)2,(3)6,:116(3).
4.2(0)(,)(0,0)
x
x
y f x M x f x
y M y x B
y y y x y x
y x y y x
y px p M x y x y
=
==+
''
==-==+ ''
==-=-
=>>>
求下列曲线在指定点处的切线方程
切线方程
切线方程
试求抛物线上任一点处的切线斜率解
,0,.
2
p
F x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴
2
000,().
(),.
,2,.
2,.
p p
y y M PMN Y y X x y
y p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '==
=-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证
2005.2341,.
224,1,6,4
112564(1),4 2.:6(1),.
444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫
-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解
3
23226.,,;(),,, (1)():(2)();
(3)().
()lim ()lim
,
lim ()lim
r R r R r R r R r g r GMr
r R R g r R M G GM r R r
g r r g r g r r GMr GM
r R g r g r R R
GM g r r →-
→-→+
→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为
其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.
问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GM
g r g r r R R
→-==在连续.
(2)
33(3)()2(),()(),().r R g r GM GM
g R g R g R g r r R R R
-
+-≠'''==-≠=时可导.
在不可导
227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.3
411111
3,,3(),()3.
2222
P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪
'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解
3222222222228.:(1)87,24 1.
(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22
.
(56)122(5)1(1),.
11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---
2
332
22222
26(6)(1),.
1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .
(10)sin ,sin cos (s x x x x x
x x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e e
y x y x x x x x x
y x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +
00000001001100009.:()()()(),()0
().()()(1)(2).
()()(),()0()()()()()
()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.
000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.
()(0)()(0)()(0)
(0)lim lim lim (0),(0)0.
()()
11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x x
f x x f x x f x x f x
→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().
()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22
x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤
=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤
=+⎢⎥∆-∆⎣⎦
+∆--∆-⎡⎤'=
+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.
222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),
()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).
y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解
1/1/1/1/1/000013.,0()10, 0
0.
1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()lim
x
x x x x x x x x x x
x f x e
x x x x e e f f x e x
e f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数
在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+
解证()()()()
(),()lim ()().
a x a a x x x a x a a a f a x a x a
ϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f
习题2.2
(
)
(
)(
)
2
222
1.,:
sin sin
111
(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).
111
(3)2.
2
2
x x x
x x x
x x
x x x x
''
=-=-=
'''
-=-=-=
---
'
''
⎡==
⎣
'
''
⎡=+=
⎣
=
下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正
错
错
错
33
2
2
2
2
2
()
2
2
1
(4)ln|2sin|(14sin)cos,.
2sin
1
ln|2sin|(14sin cos).
2sin
2.(())()|.() 1.
(1)(),(0),(),(sin);
(2)(),(sin);
(3)
u g x
x x x x
x x
x x x x
x x
f g x f u f x x
f x f f x f x
d d
f x f x
dx dx
=
=
'
⎡⎤
+=+
⎣⎦+
'
⎡⎤
+=+
⎣⎦+
''
==+
''''
错
记现设
求
求
[]
()
[][]
22
22223
(())(())?.
(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.
(2)()()224.
(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.
(3)(())(()),(())(())().
f g x f g x
f x x f f x x f x x
d
f x f x x x x x
dx
d
f x f x x x x x
dx
f g x f g x f g x f g x g x
'
'
''''
====
'
'
===
''
===
''
'''
=
与是否相同指出两者的关系
与不同
解
()()
()
22
22
333
122
323
2
3.
2236
(1),.
111
(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.
(3)sin3cos5,3cos35sin5.
(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin3
3sin
x x
y y
x x x
y x y x x x x x x x y x x y x x
y x x y x x x x x
---
'
==-=-
---
'
''
===-=--=
'
=+=-
'
==-
=
求下列函数的导函数:
2
(cos cos3sin sin3)3sin cos4.
x x x x x x x
-=
22222
22
22222
32222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1
(6)tan tan ,tan sec sec 1
3
tan sec tan tan (sec 1)tan .
(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x x
y x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='=
=5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫
'=+=+ ⎪ ⎪
⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪
⎝⎭
==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222
cos 42411sec .
cos sin()211()()1
(10)ln (0,),.
22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-
2222
2222
224.:11(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.
1(3)arccos (||1),2arccos 1111
(4)arctan ,.111(5)ar 2x
y a y a
a a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x x
a y '=>=
=-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),
x a a
>
2
22
2
2
22
2
(6)ln(0)
2
1
2
(7)arcsin,
1
y
a x
y a
a
y
x
y x
x
'=+
==
+
=>
⎛⎫
'=++
==
=≠±
+
222
22
2
2
2
2
2
1.
211
2sgn(1)
2.
11
1
(8)(0).
2
1
22
11
sec
2
()tan()cos()s
22
x
x x x
y
x x
x
x
y a b
x
y
x
x x
a
b a b a b a b
--
'===
++
-
⎫
=>≥
⎪⎪
⎭
⎛⎫
'= ⎪
⎝⎭
==
++-++
-2
in
2
1
.
cos
(9)(1ln(1ln(1ln(1 /
.
(10)
(11)
(12)
x
a b x
y y
y y
y y
y y
y y
=
+
=+++=++++ '=+
⎡⎤
'=+
'
==
'
==
y y'
==
(13)ln(121
(14)(ln(1)ln(31)ln(2),
33
1211131321
211.13132(15),(1).(16)x
x
x
x e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==
+==-=-+++-'-=++
-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦
'=+=+=+1
11
12(0).ln ()ln ln ln ln .
a
a
x
a a x
a
a
x
a x a a a x a a x a a
x a a x y x a a a y a x a a ax a aa a
a x a aa x a a a ----=++>'=++=++
222
2
25.()1()()84,tan (),
24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?
解222110
,(10)0.1(/).5050
10
101006.,2m t s θπ
θ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?
2
0()2cos8(8)
()16sin 8,
811
()8,,,()16.
21616
16m/s.
x t t t x t t t t t t x ππππππαπππ='=-+'====-活塞向右移动的速率是解
习题2.3
23222(1)(1).
1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos
)2sin ,22
2.
:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x x
y x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x αααααβ=→=++==
=-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.
阶.
已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().
()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.
444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x x
x x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫
⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭
=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:
是常数证122
(1),(0),.5.1222(1)1
,,.11
(1)(1)
(2),
(1).(1).
2
6.(1),3 3.001,1
1
,(3).
222.001x x x x x x y dy dx x dx
y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'=
=-+=-=-++++'==+=+=+=
≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113
3
3
3
3
3
2220.0010.001
1,.
2.00127..
1.16
2(1) 2.002.532
8.:1
1(1)(0).0,.3
3(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a x
y y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x a
y y b
-'=-
-。