2009年数学一试题答案、解析

2009年数学一试题答案、解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-等价无穷小，则（）
（A ）11,6a b ==- （B ）1
1,6a b ==
（C ）11,6a b =-=- （D ）1
1,6
a b =-=
【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。

参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。

【答案】A
22220000sin sin 1cos sin lim lim lim lim ln(1)()36x x x x x ax x ax a x a ax
x bx x bx bx bx
→→→→---===---- 23
0sin lim 166.x a ax a b b ax
a →==-=- 36a
b =-意味选项B ，C 错误。

再由2
1cos lim 3x a ax
bx →-=
-存在，故有1cos 0(0)a ax x -→→，故a=1，D 错误，所以选A 。

（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域，
(1,2,3,4),cos K
K K D D k I y xdxdy ==⎰⎰，则14
max{}K K I ≤≤=（）
【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。

参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。

24,D D 关于x 轴对称，而cos y x -即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,I I D D =两区域关
于y 轴对称，cos()cos y x y x -=即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，
13{(,)|,01}
{(,)|,01}
2
cos 0,2
cos 0x y y x x x y y x x I y xdxdy I y xdxdy ≥≤≤≤-≤≤=>=<⎰⎰
⎰⎰
，所以正确答案为A 。

（3）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为
则函数0()()x
F x f t dt =⎰为（）
【解析与点评】考点：函数与其变限积分函数的关系、函数与其导函数之间的关系，变限积 分函数的性质（两个基本定理），定积分的几何意义。

由()y f x =的图形可见，其图像与 x 轴及y 轴、x=0所围的图形的代数面积应为函数()F x ，由于()f x 有第一类间断点，()F x 只能为连续函数，不可导。

(1,0)x ∈-时，()0f x >且为常数，应有()F x 单调递增且为直线函数。

(0,1)x ∈时，()0,()0f x F x <≤，且单调递减。

(1,2)x ∈时，()0,()f x F x >单调递增。

(2,3)
x ∈时，()0,()f x F x =为常值函数。

正确选项为D 。

【答案】D 。

（4）设有两个数列{},{}n n a b ，若lim 0n n a →∞
=，则（）
（A ）当1
n n b ∞=∑收敛时，1
n n n a b ∞=∑收敛 （B ）1
n n b ∞=∑发散时，1
n n n a b ∞
=∑发散
（C ）当1
||n n b ∞=∑收敛时，221
n n
n a b ∞
=∑收敛
（D ）1
||n n b ∞=∑发散时，22
1
n
n n a b ∞
=∑发散 【解析与点评】以下方法1是水木艾迪考生的首选方法。

（方法1）1||n n b ∞
=∑收敛，
则lim ||0n n b →∞=，又lim ||0n n a →∞
=，必存在N ，使当n>N 时1||2n b <且1
||2
n a <（极限的有界性!），22
||n
n n a b b <，立即由正项级数的直接比较法得到： 当1
||n n b ∞=∑收敛时，22
1
||n
n n a b ∞
=∑收敛。

应选C 。

参见水木艾迪春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义-----微积分》（清华大学出版
社）自测模拟题 15.3，例 15.4。

（方法2）反例：对A
取(1)n
n n a b ==-B 取1n n a b n ==，对D 取1n n a b n ==。

（5）设123,,a a a 是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311
,,23a a a 到基
122331,,a a a a a a +++的过渡矩阵为（）
（A ）101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）120023103⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
（C ）1112
461112
461112
4
6⎛⎫- ⎪
⎪ ⎪-
⎪
⎪ ⎪- ⎪
⎝⎭（D ）11
12221
114441
116
6
6⎛⎫-
⎪ ⎪
⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
【解析】由基12323111
,,,,23a a a a a a +++123到a a a 的过渡矩阵满足
12233112310111(,,),,22023033a a a a a a a a a ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
+++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭
所以此题选（A ）。

【点评】本题考查的主要知识点：过渡矩阵。

（6）设 A,B 均为 2 阶矩阵，,A B **分别为A ，B 的伴随矩阵，若|A|=2，|B|=3，则分块矩
阵0O A B ⎛⎫
⎪⎝⎭
的伴随矩阵为（） （A ）32O B A O **⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）23O B A O **
⎛⎫
⎪⎝⎭ （C ）32O A B O **⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）23O A B
O **⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】由于分块矩阵0
0A B ⎛⎫
⎪⎝⎭
的行列式
220(1)||||236A A B B ⨯ =-=⨯= 0，即分块矩 阵可逆，根据公式1||C C C *-=，
1
1
1100
00||0
66000100||B A A A B B B B B A
A A **
---⎛
⎫ ⎪ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
* ⎪⎝⎭
10023
613002B B A A ***
*⎛
⎫ ⎪
⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎝⎭
，故答案为B 。

【点评】本题考查的知识点有：伴随矩阵和逆矩阵的关系，分块矩阵的行列式，分块矩阵的 逆矩阵等。

（7）设随机变量X 的分布函数为1()0.3()0.72x F x x -⎛⎫
=Φ+Φ ⎪⎝⎭
其中()x Φ为标准正态分布函
数，则EX=（） （A ）0 (B)0.3
(C)0.7 (D)1
【解析】因为1()0.3()0.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭
所以22
2
(1)2
220.71()0.3()22x x x F x x ϕϕ--
-
⨯-⎛⎫'=+
=+ ⎪⎝⎭，
22
x -
是Ｎ(0,1)的密度函数，故其期望值为0，
22
(1)22x --
⨯是N(1,22)的密度函数，其期望值为1，所以
EX=()0.300.710.7xF x dx +∞
-∞
'=⨯+⨯=⎰
，【答案】(C)
【点评】这是一个已知分布函数求期望的问题，属于概率论的基本题型。

其中需要知道正态
分布的基本性质，这类问题在辅导讲义中有许多类似的题目。

（8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布N(0,1),Y 的概率分布为
P{Y=0}=P{Y=1}=1
2
，记()z F z 为随机变量Z=XY 的分布函数，则函数()z F z 的间断点个数为（）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【解析】()()(|0)(0)(|1)(1)z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==
1
[(|0)(|1)]2
P XY z Y P XY z Y =≤=+≤=
1
[(.0|0)(|1)]2
P X z Y P XY z Y =≤=+≤= 由于X ，Y 独立。

1
()[(.0)()]2z F z P X z P X z =≤+≤。

（1）若z<0，则1()()2z F z z =Φ，（2）若z ≥0，则1
()(1())2
z F z z =+Φ
z=0为间断点，故选（B ）
【评注】这是一个考查离散型随机变量与连续型随机变量函数分布的典型问题，一般都要利 用全概率公式的思想来解决，这类问题在辅导讲义中有类似的题目可供参考。

二、填空题：9-14 小题，每小题 4分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。

（9）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，z=(,)f x xy 则2z
x y
∂∂∂=________。

【解析与点评】本题为多元函数偏导数计算的基本题目，同类题目可参见参见水木艾迪2009 考研数学模拟试题数1-10 题，水木艾迪考研《大学数学同步强化 299》例10.1210.13，10.15 等，还有《考研数学三十六技》例15-1，15-3，15-5等，以及《考研数学通用辅导讲义----微积分》101，103 等例题。

答案：12
222xf f xyf '''''++ 21212
222.,z z
f f y xf f xyf x x y
∂∂'''''''=+=++∂∂∂ （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为12()x y C C x e =+，则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件(0)2,(0)0y y '==的通解为y=_________。

【解析与点评】答案：2x y xe x =-++
由12()x y C C e =+，得二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的特征值
121λλ==，故a=-2,b=1，要求解的微分方程为2y y y x '''-+=。

设特解0y Ax B =+代入微分方程为2y y y x '''-+=，得出-2A+Ax+B=x,A=1,B=2, 故微分方程为的2y y y x '''-+=特解2y x ''=+，通解为 12()2x y C C x e x =+++ 代入初始条件(0)2,(0)0y y '==，得120,1C C ==-，要求的解为2x y xe x =-++
参见水木艾迪 2009考研数学模拟试题数 1-12 题，【水木艾迪考研】《大学数学同步强化299》133，134，《考研数学三十六技》例 11-8，例 11-11，例 11-12，《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 8.20，例 8.21，例 8.29，例 8.30。

（11）已知曲线2:(0L y x x =≤≤，则L
xds ⎰=_________。

【解析与点评】由题意，2,,0x x y x x ==≤≤ds ==，
所以20
1113
(14)886
L
xds x ==
+==
⎰。

【答案】
136
参见【水木艾迪考研】《大学数学同步强化 299》114，《考研数学三十六技》例 19-1《微积分通用辅导讲义》例 13.1，例 13.3
（12）设222{(,,)|1}x y z x y z Ω=++≤，则2z dxdydz Ω
=⎰⎰⎰_________。

【解析与点评】以下方法 1 是水木艾迪考生的首选方法。

（方法一）由轮换对称性，222x dxdydz y dxdydz z dxdydz Ω
Ω
Ω
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
21222222
000114().sin 3315
z dxdydz x y z dxdydz d d d ππθϕρρϕρπΩ
Ω=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （方法二）21
2
2220
sin cos z dxdydz d d d π
πθϕρϕρϕρΩ
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
321
2
4
00cos 14
cos (cos )2.3515
d d d d ππ
πϕθϕϕρρπϕπ=-==⎰⎰
⎰⎰ 参见【水木艾迪考研】《大学数学同步强化 299》125，《考研数学三十六技》例 18-5，例 18-6，
例 18-7，《微积分通用辅导讲义》例 12.13，12.29。

【答案】4
15π
（13）若 3 维向量,a β满足2T a β=，其中T a 为a 的转置，则矩阵T a β的非零特征值为______。

【解析】由2,() 2.,T T T T a a a a βββββββ===的非零特征值为2。

【点评】本题考查的知识点有：特征值和特征向量的概念。

本题也可根据矩阵T a β是秩为1的3阶矩阵，可知其特征值必为0，0，()T tr a β，而
()2T T tr a a ββ==，求得答案。

【答案】2。

（14）设12,,...,m X X X 为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，___
X 和2S 分别为样本均值和样本方差。

若___
X +k 2S 为2np 的无偏估计量，则k=_________。

【解析】由___
X +k 2S 为2np 的无偏估计，即np+knp(1-p)=np 2
即1+k(1-p)=p ，从而k=-1，【答案】-1
【点评】这是一个考查样本均值与样本方差的典型问题，只要记住样本均值是总体均值的无偏估计以及样本方差是总体方差的无偏估计的结果，很容易获得结论。

三、解答题：15-23 小题，共 94 分。

请将解答写在答题纸指定的位置上。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本题满分 9 分）求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++极值。

【解析与点评】考点：二元函数的局部极值问题。

22(,)2(2)0,(,)2ln 10x y f x y x y f x y x y y ''=+==++=，驻点为1
0,x y e ==。

221
2(2),2,4xx
yy xy f y f x f xy y
''''''=+=+= 则11120,0,0,122,0,xx
xy yy
e e e
f f f e e ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎛
⎫''''''=+== ⎪⎝⎭
在驻点，20,()0xx
xy xx yy f f f f ''''''''>->，二元函数存在极小值110,f e e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
参见水木艾迪2009考研数学模拟试题数1-19题、基础班2009 模拟试题2-（3）题，还可参
见【水木艾迪考研】《大学数学同步强化299》106，107，108 等，《考研数学三十六技》例16-5，以及《考研数学通用辅导讲义-----微积分》例 11.10，例 11.11，11.20。

（16）（本题满分 9 分）设n a 为曲线1(1,2,...)n n y x y x n += ==与所围成区域的面积，记
12211
1
,n n n n S a S a ∞
∞
-====∑∑，求1S 与2S 的值。

【解析与点评】考点：定积分求面积，级数求和。

级数求和的零部件组合安装法是水木艾迪 强调的重要技巧。

曲线n y x =与曲线1n y x +=在点x=0和x=1处相交，
1
112100
1111
()(
)1212
n n n n n a x x dx x x n n n n +++=-=-=-
++++⎰， 1111111111
lim lim (...)lim ()2312222N
n n N N N n n S a a n n n ∞
→∞→∞→∞=====-++-=-=+++∑∑
2211
1
111111
(
) (22123221)
n n n S a n n n n ∞
∞
-====-=-++-+++∑∑ 由2(1)1ln(1)...(1)...2n n x x x x n
-+=-++-+，令x=1，得 21111
ln(2)1(...)12345
S =--+-+=-，
21ln 2S =-
参见水木艾迪2009考研数学模拟试题数1-16题、基础班2009模拟试题1-17 题，以及【水木艾迪考研】《大学数学同步强化 299》76，78，例158-1等，《考研数学三十六技》例 9-16，10-8，《考研数学通用辅导讲义-----微积分》例 15.14，例 16.18。

（17）（本题满分 11 分）椭球面积1S 是椭圆22
143
x y +
=绕x 轴旋转而成，圆锥面积2S 是过点
（4，0）且与椭圆22
143
x y +
=相切的直线绕x 轴旋转而成。

（I ）求1S 及2S 的方程；（II ）求1S 与2S 之间的立体体积。

【解析】（I ）1S 的方程为222
143
x y z ++
=， 过点（4，0）与22
143
x y +
=的切线为两条，由线绕x 轴旋转体的几何意义，只需求一条即可，切线
00
143
xx yy +=过点（4，0）
，斜率为0034x k y =-，得到切点为 00311,,22x y k ==±=-，取一条切线1
22
y x =-。

得到2S 的方程为2221
(2)2
y z x +=-
（II
）记1212,2y x y =-=
4
2
4
22
2221
2
000013
(24)(3)44x V y dx y dx x x dx x dx ππππ=-=-+--⎰⎰⎰⎰
324
3200114[4][3]1243
x x x x x πππ=-+--=
（18）（本题满分 11 分）（I ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[a,b]上连续，在（a,b ）可导，则存在(,)a b ζ∈，使得()()()()f b f a f b a ζ'-=-。

（II ）证明：若函数()f x 在x=0处连续，在(0,)(0)δδ>内可导，且0lim ()x f x A →+
'=则(0)f +'
存在，且(0)f A +'=。

【解析与点评】
（I ）过(,())a f a 与(,())b f b 的直线方程为()()
()()()f b f a y x f a x a b a
-=---
取辅助函数()()
()()()()f b f a F x f x f a x a b a
-=--
--，则()()F a F b =；
()F x 在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导，且()()
()()f b f a F x f x b a
-''=--。

由罗尔定理，存在(,)a b ζ∈，使()0F ζ'=，即
()()
()0f b f a f b a
ζ-'-
=-，或()()()()f b f a f b a ζ'-=-。

（II ）任取(0,)x δ∈，则函数()f x 满足：
在闭区间[0,x]上连续，开区间0((0,))x 内可导，由拉格朗日中值定理可得：
(0,)(0,)x ζδ∃∈⊂，使得()(0)
()0
f x f f x ζ-'=
-，
两边取0x +→时的极限，注意到0
lim ()x f x A +→'=，可得
0()(0)
(0)lim lim ()0
x x f x f f f A x ζ+
+
+→→-'===- 于是(0)f +'存在，且(0)f A +'=
导数定义与拉格朗日微分中值定理是水木艾迪辅导的星级考点，尤其是拉格朗日微分中值定
理本身的证明方法，及其在处理问题中的桥梁功能与逐点控制功能（连锁控制功能）是我们教学中一再强调的概念与方法，相关例题参见水木艾迪《考研数学通用教材-----微积分》（清华大学出版社）。

（19）（本题满分10分）计算曲面积分32222
()xdydz ydzdx zdxdy
I x y z ∑
++=++⎰⎰Ò其中∑是曲面 222224x y z ++=的外侧。

【考点】3R 中复连通域上的 Stokes 定理、Guass 公式。

在水木艾迪2009点题班上曾强调数一考生今年要特别注意复连通域上的Stokes 定理、Guass 公式与 Green 公式，并注意用积分与的约束条件简化计算。

【解析与点评】32222()xdydz ydzdx zdxdy
I x y z ∑
++=++⎰⎰Ò，其中222224x y z ++= 记3
3
3
22222222222
2
,,()()()
x
y
z X Y Y x y z x y z x y z ===++++++，则
222
5
2222
2()X y z x x
x y z ∂+-=∂++， 由轮换对称性，222222
55
2222222222,()()Y x z y Z x z z y z
x y z x y z ∂+-∂+-==∂∂++++， 除原点外，散度(,,)0X Y Z
div X Y Z x y z
∂∂∂=
++=。

记2221:1S x y z ++=，由复连域上的Stokes 公式及Guass 公式，注意到约束条件可得：
1
3
32222222
2
()
()
S xdydz ydxdz zdxdy
xdydz ydxdz zdxdy
x y z x y z ∑
++++=++++⎰⎰
⎰⎰
Ò
1
43 3.
43
S xdydz ydxdz zdxdy dV π
πΩ
++===⎰⎰⎰⎰⎰
【水木艾迪考研】可参见《大学数学同步强化 299》129，130 等例题，《考研数学三十六技》 例 20-4（完全相同），例 20-5，例 20-6，以及《考研数学通用辅导讲义微积分》例 14.8，例14.12，例 14.15，14.31，水木艾迪 2009 考研数学模拟试题数 1-19 题。

（20）（本题满分11分）设11111111,10422A ζ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
（I ）求满足22131,A A ζζζζ==的所有向量23,ζζ；
（II ）对（I ）中的任一向量23,ζζ，证明：123,,ζζζ线性无关。

【解析】（I ）解方程21A ζζ=，
111011112211111111101012222000000 - - - - -⎛⎫ - - -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- 1 1 1→ → ⎪ ⎪ ⎪0 -4 -2 -2 ⎪⎝⎭ ⎝⎭⎛
⎫ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 0 ⎪
⎪⎝⎭。

故21112211
2201k ζ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其中1k 为任意常数。

解方程231A ζζ=，
2110022022122,22010000440200A ⎛
⎫ -
0 -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=- -2 0 - - →
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4 4 0 - 0 0⎝⎭⎝⎭ ⎝⎭⎪
⎪⎪⎪⎪
， 故32311020100k k ζ⎛⎫
- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= + +0 ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
1⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭，其中23,k k 为任意常数。

（II ）证明：由于
1212121113131111100222211111111(1)0222222k k k k k k k k k k k k - - + -- -
- = - =-+-=-≠-2 -2 。

故123,,ζζζ线性无关。

【点评】本题考查的知识点有：矩阵的运算，非齐次线性方程组求解，解的结构，线性无关的概念，三个三维向量线性无关的充要条件是行列式不为零，行列式的计算等。

（21）（本题满分11分）设二次型22212312
31323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （I ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（II ）若二次型f 的规范形为22
12y y +，求a 的值。

【解析】（I ）0101111a A a a ⎛⎫
⎪
= - ⎪ ⎪ - -⎝⎭。

010||010101111111121a a a a E A a a a a a a λλλλλλλλλλλ- -- - 0- 0
-= - = - = - - -+ - -+ - -+
()2()()()2)()(1)(2)a a a a a a λλλλλλ=--+--=----+。

所以二次型的矩阵A 的特征值为a-2,a,a+1。

（II ）若规范形为22
12y y +，说明有两个特征值为正，一个为0， 当a=2时，三个特征值为 0，2，3，这时，二次型的规范形为2212y y +。

【点评】本题点：二次型的矩阵，求矩阵的特征值，二次型的规范形，惯性定理等。

（22）（本题满分 11 分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以 X ，Y ，Z 分别表示两次取球的红、黑、白球的个数。

（I ）求P{X=1|Z=0}。

（II ）求二维随机变量( X ，Y)的概率分布。

【解析】（I ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用样本空间的缩减法，相当于只有 1
个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸一个红球的概率，所以P{X=1|Z=0}=1
2224
39
C ⨯=。

（II ）X ，Y 取值范围为1，1，2，故
1211
332322
11
(0,0),(1,0)6466C C C C P X Y P X Y ⨯⨯========， 11122322111
(2,0),(0,1)63663
C C C P X Y P X Y ⨯⨯========，
11222
1
(1,1),(2,1)069
C C P X Y P X Y ⨯=======， 112221
(0,2),(1,2)0,(2,2)069
C C P X Y P X Y P X Y ⨯==========
技巧就可以解决。

（23）（本题满分 11 分）设总体 X 的概率密度为2,0
()0,x xe x f x λλ-⎧ >=⎨ ⎩其他
，其中参数
(0)λλ>未知，12,,...n x x x 是来自总体X 的简单随机样本。

（I ）求参数λ的矩估计量；（II ）求参数λ的最大似然估计量。

【解析】（I ）由2202
x EX x e dx λλλ
+∞
-==
⎰，令EX X =，可得总体参数λ的矩估计量2
X
λ=。

（II ）构造似然函数
12111
1
()..,, 0
(,......,)0,n
l
l n n x n l l n n l l f x x e x x L x x λλλ=-==⎧∑⎪=>=⎨⎪
⎩∏∏其他 当12,...0n x x x >时，取对数1
1
ln 2ln ln n
i i i i L n x x π
λ===+-λ∑∑
令11
1ln 222
00,1n i n n i i i i i d L n n x d x x n ====⇒-=λ==λλ∑∑∑，故其最大似然估计量为2X λ=)
【点评】这是一个典型的求矩估计和最大似然估计的题目，有固定的解法步骤。

辅导讲义中
有许多这种问题的求解。