2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一(下)期末数学试卷

合集下载

2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若a r ，b r 共线，则实数m =（）A ．6-B ．83-C ．83D ．6【答案】C【解析】利用向量平行的性质直接求解．【详解】Q 向量(2,3)a =r ，(,4)b m =r ，,a b rr 共线，∴423m =，解得实数83m =．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知,a b ∈R ，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为()1,3，则a b +=（） A ．7- B ．1-C ．1D ．7【答案】B【解析】由韦达定理列方程求出a ，b 即可得解．【详解】由已知及韦达定理可得，13a -=+，13b =⨯，即4a =-，3b =，所以1a b +=-．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程和一元二次不等式的关系、韦达定理的应用等，属于一般基础题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56a a +=（） A ．11 B ．16C ．20D ．28【答案】C【解析】可利用等差数列的性质2S ，42S S -，64S S -仍然成等差数列来解决．【详解】{}n a Q 为等差数列，前n 项和为n S ，2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=．故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的性质，关键在于掌握“等差数列中n S ，2n n S S -，32n n S S -⋯仍成等差数列”这一性质，属于基础题．4．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（） A ．600 B ．800C ．1000D ．1200【答案】B【解析】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数．【详解】根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，即4k =，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人，则该校高二年级学生人数为8300080030⨯=人．故选：B ．【点睛】本题考查分层抽样的方法，属于容易题． 5．已知变量x ，y 的取值如下表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为$3y bx=-$，据此可预测：当8x =时，y 的值约为（） A ．63 B ．74C ．85D ．96【答案】C【解析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆb ，取8x =求得y 值即可．【详解】由题得1234535x ++++==，1015304550305y ++++==．故样本点的中心的坐标为(3,30)，代入ˆˆ3ybx =-，得303ˆ113b +==． ∴ˆ113yx =-，取8x =，得ˆ118385y =⨯-=．故选：C ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 6．已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是（） A ．11a b+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+【答案】D【解析】根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果．【详解】 A.11a b<，取11a b =>=-，显然不成立，所以该选项错误； B. ab a b >+，取1,1a b ==-，显然不成立，所以该选项错误； C. 22a b >，取2,3a b ==-，显然不成立，所以该选项错误；D. 3223a ab a b b +>+，由已知220a b +>且a b >，所以2222()()a a b b a b +>+，即3223a ab a b b +>+．所以该选项正确. 故选：D ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于容易题．7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．无数多个【答案】B【解析】直接由正弦定理分析判断得解. 【详解】4,sinC sin ,sin 2A C AC =∴==∴<, 所以C 只有一解，所以三角形只有一解. 故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】利用等比数列{}n a 的前n 项和公式列出方程组，能求出首项．【详解】Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，621S =-，∴313616(1)31(1)211a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==-⎪-⎩，解得11a =，2q =-．故选：C ．【点睛】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为（）A ．10B ．20C ．40D ．60【答案】C【解析】由频率分布直方图求出这1000名学生中成绩在130分以上的频率，由此能求出这1000名学生中成绩在130分以上的人数．【详解】由频率分布直方图得这1000名学生中成绩在130分以上的频率为： 1(0.0060.0140.020.008)200.04-+++⨯=，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为10000.0440⨯=人．故选：C ．【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22cos a b c B =+，则C =（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】由题意和余弦定理可得222a b c ab +-=，再由余弦定理可得cos C ，可得角C 的值．【详解】Q 在ABC ∆中，2cos 2c B a b =-，∴由余弦定理可得222222a c b c a b ac+-⨯=-，222a b c ab ∴+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，又(0,)C π∈，3C π∴=．故选：B ．【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查了转化思想，属基础题． 11．已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b++的最小值为（） A ．72B ．92C ．7D ．9【答案】B【解析】根据条件可知10a +>，0b >，122a b ++=，从而得出121222(1)2()(12)()149111b a a b a b a b a b ++=+++=++++++…，这样便可得出121a b++的最小值．【详解】1a >-Q ；10a ∴+>，且0b >，21a b +=；122a b ∴++=；∴121222(1)2()(12)()1459111b a a b a b a b a b ++=+++=++++=+++…，当且仅当213a b +==时等号成立； ∴12912a b ++…； ∴121a b ++的最小值为92．故选：B ．【点睛】考查基本不等式在求最值中的应用，注意应用基本不等式所满足的条件及等号成立的条件．12．已知,R λμ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足||||||||AB BC AC CB AP AB AC AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，则||||BP CP =u u u ru u u r （） A ．sin2sin2BC B ．cos 2cos2BC C ．sin 2sin 2C BD ．cos2cos2C B 【答案】D【解析】由平面向量基本定理及单位向量可得点P 在ABC ∠的外角平分线上，且点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB B PBC CP ∠==∠u u u r u u u r 得解．【详解】因为||||||||AB BC AC CB AP AB AC AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以,||||||||AB BC AC CB BP CP AB BC AC CB λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ，因为||||AB BC AB BC +u u u r u u u r u u ur u u u r 方向为ABC ∠外角平分线方向，所以点P 在ABC ∠的外角平分线上，同理，点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB BPBC CP ∠==∠u u u r u u u r ，故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量基本定理及单位向量，考查向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题13．不等式210x x+>的解集为_________. 【答案】1,(0,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】利用两个数的商是正数等价于两个数同号；将已知的分式不等式转化为整式不等式，求出解集．【详解】210x x+>同解于(21)0x x +> 解得21x <-或0x >故答案为：1(,)(0,)2-∞-+∞U【点睛】本题考查解分式不等式，利用等价变形转化为整式不等式是解题的关键．14．甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为_________. 【答案】13【解析】利用古典概型的概率求解. 【详解】甲、乙两人选择交通工具总的选择有339⨯=种，他们选择相同交通工具有3种情况，所以他们选择相同交通工具的概率为3193=．故答案为：13．【点睛】本题考查古典概型，要用计数原理进行计数，属于基础题．15．当实数a 变化时，点()2,1P --到直线():1120l a x y a -++-=的距离的最大值为_______.【答案】【解析】由已知直线方程求得直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．【详解】由直线:(1)120l a x y a -++-=，得(2)10a x x y --++=，联立2010x x y -=⎧⎨-++=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点(2,1)，P ∴到直线l 的最大距离d =故答案为：【点睛】本题考查点到直线距离最值的求法，考查直线的定点问题，是基础题．16．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆cos A ，则cos sin B C +的最大值为________.【解析】先求得A 的值，再利用两角和差的三角公式和正弦函数的最大值，求得cos sin B C +的最大值．【详解】ABC ∆中，若ABC ∆1cos sin 2A bc A =g ，tan 3A ∴=，6A π∴=．11cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin )622B C B A B B B B B B B B π+=++=++=++)3B π=+…当且仅当6B π=时，取等号，故cos sin B C +【点睛】本题主要两角和差的三角公式的应用和正弦函数的最大值，属于基础题．三、解答题17．学生会有A B C D E F 、、、、、共6名同学,其中4名男生2名女生,现从中随机选出2名代表发言.求：()1A 同学被选中的概率；()2至少有1名女同学被选中的概率.【答案】（1）13（2）35【解析】(1)用列举法列出所有基本事件,得到基本事件的总数和A 同学被选中的,然后用古典概型概率公式可求得;(2)利用对立事件的概率公式即可求得. 【详解】解：() 1选两名代表发言一共有()()()(),,,,,,,A B A C A D A E ,()()(),,,,,A F B C B D ,()()()(),,,,,,,,B E B F C D C E ()()()(),,,,,,,C F D E D F E F 共15种情况,其中.A 被选中的情况是()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A E A F 共5种. 所以A 被选中的概本为51153=. ()2不妨设, , , A B C D 四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况是:()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,B C B D C D 共6种,则至少有一名女同学被选中的概率为631155-=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式和对立事件的概率公式,属基础题. 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=. （1）求n a ；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）3n a n =-（2）2124n n T -=-【解析】（1）在等差数列{}n a 中根据77S =，2128a a +=，可求得其首项与公差，从而可求得n a ；（2）可证明{}n b 为等比数列，利用等比数列的求和公式计算即可．【详解】（1）172127784772a a a a a S ++=⇒===Q g 711216a a a d -∴=-∴== 213n a n n ∴=-+-=-；（2）3n a n =-Q ，2n an b =32n n b -∴= 所以()2112142124n n n T --==--. 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和，着重考查等差数列的性质与通项公式及等比数列的前n 项和公式，属于基础题．19．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年）和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+$$$；（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$1221,n ii i x y nx b ay bx x ynx =--==--∑∑$$. 【答案】（1）ˆ0.70.35yx =+（2）使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元【解析】（1）由已知图形中的数据求得ˆb 与ˆa 的值，则线性回归方程可求；（2）直接由ˆ0.70.3510yx =+>求得x 的范围得答案．【详解】（1）3456 4.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=．故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+；（2）由ˆ0.70.3510y x =+>，解得111314x >．故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =，6BD =，1in 3s ADB ∠=.（1）求AB 的长度；（2）求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2AB =（22 【解析】（1）求得cos D ，在ABD ∆中运用余弦定理可得所求值；（2）在ABD ∆中，求得cos A ，sin A ，AC ，再由三角形的面积公式，可得所求值．【详解】（1）由题意可得222cos 13D sin D =-=，在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD D =+-g2212622362=+-⨯=，则2AB =（2）在ABD ∆中，2226cos 22223AB AD BD A AB AD +-==g g ， 23sin 1A cos A -，3cos AB AC A==， ABC ∆的面积为1132sin 23222S AB AC A ===g g g g．【点睛】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和运算能力．21．在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点()1,3A -、()3,4B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=. （1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）2）13【解析】（1）由题意求得AC 所在直线的斜率再由直线方程点斜式求AC 的方程，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）设C 的坐标，由题意列式求得C 的坐标，再求出||AC ，代入三角形面积公式求解．【详解】（1）由题意，32AC k =，直线AC 的方程为33(1)2y x -=+，即3290x y -+=．点B 到直线AC的距离d ==（2）设(,)C m n ，则BC 的中点坐标为34(,)22m n +-，则329034237022m n m n -+=⎧⎪⎨+-⨯+⨯-=⎪⎩，解得16m n =⎧⎨=⎩，即C(1,6)，||AC ∴=ABC ∆∴的面积1||132S AC d ==g ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，考查点关于直线的对称点的求法，是基础题． 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+. （1）证明：数列13n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）证明：n S <【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）将已知递推式取倒数得1123n n na a +=+，，再结合等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）得132n n na =+，再利用基本不等式以及放缩法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证．【详解】（1）115a =，123n n n n a a a +=+，可得1123n n na a +=+，即有111132(3)n n n na a ++-=-，可得数列1{3}n na -为公比为2，首项为2的等比数列；（2）由（1）可得132n n na -=，即132n n n a =+，由基本不等式可得32n n n +>，n a <，即有12112211n n S a a a =++⋯+<<=- 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式、考查构造数列法以及放缩法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2018-2019学年重庆市区县高一下学期期末考试数学试题(PDF版)

（1）求 AB 的长度；
A
（2）求 ABC 的面积.
B
C
D
21．（12 分）
在平面直角坐标系中， ABC 的顶点 A(1，3) 、 B(3， 4) ，边 AC 上的高线所在的直线方程为 2x 3y 6 0 ，边 BC 上的中线所在的直线方程为 2x 3y 7 0 .
2AB AD
3
3
AC AB c
AC
sin
A

2
.
2
……12 分
21．（12 分）
解：（1）由题知 kAC

3 2
，直线
AC
方程为
y
3

3 2
(x 1)
，即 3x 2 y
9

0，
点 B 到直线 AC 的距离 d | 33 2 (4) 9 | 2 13 ； ……6 分 32 22
维护费用 y（万元）
4.5
4
3
2.5
使用年限 x（年）
34 5 6
（1）求出 y 关于 x 的回归直线方程 yˆ bˆx aˆ ；
（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10 万元？
参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程 yˆ bˆx aˆ 的斜率和截
A． 6
B． 8 3
C． 8 3
D． 6
2．已知 a，b R ，若关于 x 的不等式 x2 ax b 0 的解集为 (1，3) ，则 a b
A． 7
B． 1

重庆市巴蜀中学2018-2019学年高一下学期末考试数学试题

重庆市巴蜀中学高2021届高一(下)期末考试数学试题一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）1．已知向量，，，，若，则k＝（）A．B．4 C．D．﹣4[2．已知命题p：∀x∈（1，+∞），x﹣e x＜0，则￢p为（）A．∀x∈（﹣∞，1]，x﹣e x≥0B．，，C．∀x∈（1，+∞），x﹣e x≥0D．，，3．已知a＞0＞b，下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．a﹣b＞1 C．＞D．a3＞b34．若等差数列{a n}满足a3+a2019＝4，则{a n}的前2021项之和S2021＝（）A．2021 B．2020 C．4042 D．40405．在△ABC中，已知a＝3，A＝30°，则△ABC的外接圆面积等于（）A．9πB．36πC．6πD．24π6．已知角，，则的最小值为（）A．2 B．1 C．4 D．37．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．28．已知直线l1：x+（m+1）y+m＝0，l2：mx+2y+1＝0，则“l1∥l2”的必要不充分条件是（）A．m＝﹣2 B．m＝1 C．m＝﹣2或m＝1 D．m＝2或m＝19．已知实数，则直线l：mx+y+2＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣m）2＝m的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且角B，c＝3，则△ABC的内切圆周长为（）A．B．C．D．11．若圆：＞始终平分圆：的周长，则直线3x+4y+3＝0被圆C1所截得的弦长为（）A．B．C．D．12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，使所得，则角B的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）13．已知单位向量，夹角为，则．14．已知直线l1：3x+4y+2＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2之间的距离为．15．已知数列{a n}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：a m+n＝a m+a n+mn，则a19＝．16．已知点P为△ABC内的一点，且，则．三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题12分，满分70分）17．已知圆：12，圆心在直线4x﹣y﹣12＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l经过点A（6，0），且与圆C相切，求直线l的方程．18．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，，．（1）求角B；（2）若b＝3，且sin（C+A）+sin（C﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积．19．已知数列{a n}为等比数列，公比q＞0，S n为其前n项和，且a1＝4，S3＝28．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的前n项和T n．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若，，，求角B；（2）若，，求△ABC周长的取值范围．21．已知数列{a n}各项均为正数，前n项和为S n，且S n满足：∀ ，．（1）求a1的值及数列{a n}的通项公式；（2）若，且c n＝a n×b n．证明：对一切正整数n，有＜．22．已知圆O：x2+y2＝4，直线l过点M（3，3），且l⊥OM．（1）若点N（x0，y0）上直线l的动点，在圆O上是否存在一点E，使得∠ONE＝30°，若现在，求y0的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）过点F（1，0）作两条互相垂直的直线，分别交圆O于A，C和B，D，设线段AC，DB的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．一、1D．2．B3．D4．C5．A6．C7．B8．C9．A10．D11．B12．二、13．单位向量，夹角为，则1．14．直线l1：3x+4y+2＝0，l2：6x+8y+5＝0，则l1与l2之间的距离为：．15．解法一：数列{a n}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：a m+n＝a m+a n+mn，∴a2＝3，a3＝6，a4＝10，a8＝36，a16＝136，a19＝190，解法二：数列{a n}满足：a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有：a m+n＝a m+a n+mn，令m＝1，可得a1+n＝a1+a n+n，a n＝a1+a n﹣1+n﹣1，a n﹣1＝a1+a n﹣2+n﹣2，…a2＝a1+a1+1，累加可得：a n＝（n﹣1）a1+a1+1+2+…+n﹣1可得a n．∴a19＝190，16．取AB的四等分点为E，取AC的三等分点为F，以AE，AF为相邻两边作平行四边形AFPE，作EG⊥AC，BH⊥AC，由图可知：，三、17．（1）由题意可得：圆心坐标（，4），圆心在直线4x﹣y﹣12＝0上，所以4•4﹣12＝0⇒m＝8 所以圆的标准方程为：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝4（2）斜率不存在时x＝6，显然圆心（4，4）到x＝6的距离为2，正好等于半径，所以x＝6是其中一条切线；当斜率存在时，设斜率为k，则过A点的直线方程为：y＝k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k＝0，圆心到直线的距离等于半径2，2⇒（k+2）2＝k2+1⇒k，所以直线l的方程是3x+4y﹣18＝0．综上，所求的切线方程是：x＝6或3x+4y﹣18＝0．18．（1）因为向量，，，，．所以b sin A﹣a cos B＝a，由正弦定理可得：sin A sin B﹣sin A cos B＝sin A，所以sin B﹣cos B＝1，即2sin B cos B＝0，又B∈（0，π），所以B；（2）因为sin（C+A）+sin（C﹣A）＝2sin2A，所以2sin C cos A＝4sin A cos A，又cos A≠0，所以sin C＝2sin A，即c＝2a，又B，b＝3，所以a，c，所以S△ABC，故△ABC的面积为．19．（1）数列{a n}为等比数列，公比q＞0，且a1＝4，S3＝28．可得4+4q+4q2＝28，解得q＝2（﹣3舍去），可得a n＝4•2n﹣1＝2n+1；（2）b n＝n•2n+1，前n项和T n＝1•4+2•8+3•16+…+n•2n+1，2T n＝1•8+2•16+3•32+…+n•2n+2，相减可得﹣T n＝4+8+16+…+2n+1﹣n•2n+2n•2n+2，化为T n＝4+（n﹣1）•2n+2．20．（1）若，，，可得sin B，由a＞b，即A＞B，则B为锐角，可得B；（2）由sin（A+B），即sin（π﹣C），可得sin（C），由0＜C＜π即有＜C＜，可得C，即C，设Aα，Bα，＜α＜，由可得，即为，可得c，由＜α＜，可得＜cosα≤1，即有2≤c＜4，则6≤a+b+c＜8，则△ABC周长的取值范围为[6，8）．21．（1）S n满足：∀ ，．可得n＝1时，4a1＝4S1＝a12+2a1，解得a1＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1a n a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）＝0，由a n＞0，可得a n﹣a n﹣1＝2，可得a n＝2+2（n﹣1）＝2n，n≥2：上式对n＝1也成立，则a n＝2n，n∈N*：（2）证明：，c n＝a n b n＝2n•＜，则c1+c2+…+c n＜1＝1＜．22．（1）由题得k OM＝1，所以k l＝﹣1，则直线l的方程为x+y﹣6＝0，所以x＝6﹣y，如图可知，对每个给定的点N，当NE为圆O的切线时，∠ONE最大，此时OE⊥EN，若∠ONE＝30°，则ON＝2OE＝4，即4，又因为x0＝6﹣y0，代入整理得，则△＝36﹣40＝﹣4＜0即该方程无解，故不存在这样的点E．（2）当直线AC，BD斜率存在时，设直线AC的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），联立，整理得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，则x1+x2，x1x2，△＝4k4﹣4（1+k2）（k2﹣4）＝16+12k2＞0，，所以P（，），同理得Q（，），即Q（，），k PQ，所以直线PQ方程为y，y，恒过定点（，0），当AC斜率为0，直线BD斜率不存在时，直线AC方程y＝0，此时A（﹣2，0），C（2，0），P（0，0）直线BD方程x＝1，此时B（1，），D（1，），Q（1，0），直线PQ为y＝0，经过点（，0）．综上所述，恒过定点（，0）．。

重庆市巴蜀中学2018-2018学年高一年级下学期期末考试数学(理)试卷Word版含答案解析

2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一下学期期末考试数学理卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（）A ．(1,2)-B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(1,2)--2.已知a ，b 为非零实数，且a b <，则下列不等式一定成立的是（） A ．22a b D ．33a b < 3.下列四个方程表示对应的四条直线，其中倾斜角为4π的直线是（）、A ．1x =B ．4y π= C ．0x y += D ． 0x y -=（63a -≤≤）的最大值为（）A ．9B ．92C.3 D 5.在等差数列{}n a 中，n S 表示{}n a 的前n 项和，若363a a +=，则8S 的值为（）A ．3B ．8 C.12 D ．246.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =-，则a 在b 方向上的投影是（）A ．25-B ．25 C. D 7.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，且222c a b ab =++，则角C 的大小为（）？A ．6πB ．3π C.56π D ．23π8.已知向量a ，b ，则“||||||a b a b ⋅=⋅”是“a b //”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.若x ，y 满足条件4050550x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，当且仅当5x =，0y =时，目标函数z ax y =+取得最小值或最大值，则实数a 的取值范围是（）A ．1(,1)(,)5-∞--+∞ B ．1(,)5-∞ C.1(,1)5 D ．1(,)(1,)5-∞+∞ 10.在ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，且a ，b ，c 成等比数列，3a c +=，3cos 4B =，则ABC 外接圆的直径为（） ABD 11.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()fx '满足()1xf x '>，则（） 'A ．()()21ln 2f f -C.()()21f f -<1 D ．()()21f f ->112.已知M ，N 是圆22:4O x y +=上两点，点(1,2)P ，且0PM PN ⋅=，则||MN 的最小值为（）A 1BD 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2n n S a =+，则实数a 的值为．14.若实数x ，y 满足111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为．!15.函数()2932f x x x=+-（03x <<）的最小值为．16.已知函数()232(1)(5)ln 2f x x k x k x =+-++⋅，若()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，则k 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()2(1)f x x x =-．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求()f x 在区间[]1,2-上的最大值和最小值．18. 已知圆C 的圆心为(1,1)，直线40x y +-=与圆C 相切．（1）求圆C 的标准方程；:（2）若直线l 过点(2,3)，且被圆C 所截得弦长为2，求直线l 的方程．19. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ccos )bsin B C -=．（1）求角C 的大小；（2）S 是ABC 的面积，若S =c 的最小值．20.已知数列{}n a 满足11a =，1120n n n n a a a a +++-=．（1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设12n n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21. 已知圆C 过点(3,1)A ，(5,3)B ，圆心在直线y x =上．，（1）求圆C 的方程；（2）过圆221:(y 1)1O x ++=上任一点P 作圆C 的两条切线，切点分别为Q ，T ，求四边形PQCT 面积的取值范围．22. 已知函数()log x a f x =，（0a >且1a ≠）（1）当a e =，求证：()0f x >；f x的零点个数．（2）讨论()试卷答案一、选择题\1-5:BDDBC 6-10:ADCDC 11、12：BB二、填空题13.1- 14.5 15.256 16.(5,2)-- 三、解答题17.(1)令()2320f x x x '=->可得0x <或23x >，()203f x x '<⇒0<< 所以()f x 的递增区间为2(,0),(,)3-∞+∞，递减区间为2(0,)3．（2）由（1）知：20,3x =分别是()f x 的极大值点和极小值点（所以()f x 极大值()00f ==，()f x 极小值24327f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，而()12f -=-，()24f = 所以()f x 最大值()24f ==，()f x 最小值()12f =-=-．18. （1）圆心(1,1)C 直线40x y +-=的距离d ==．所以，圆心(1,1)C ，半径r =22(x 1)(y 1)2-+-=．（3）①当直线l 的斜率存在时，设直线:3(2)l y k x -=-即：320kx y k -+-=，d =，又212d +=，所以1d =，解得34k = :3460l x y -+=②当l 的斜率不存在时，2x =满足条件．—故l 的方程为：3460x y -+=或2x =．19. （1ccos )bsin B C -=]sin(B C)sinCcosB sin sin B C +-=cos sin sin B C B C =，而在ABC 中，sin 0B ≠所以tan C =60C =︒ （2）1sin 602S ab =︒=4ab =，由余弦定理有：2222cos6024c a b ab ab ab ab =+-︒≥-==．当2a b ==时取“=”，所以当2a b ==时，c 的最小值为2．20. （1）证明：1120n n n n a a a a +++-=两边同除以1n n a a +得：|12110n n a a ++-=，可得11112(1)n n a a ++=+，且11120a +=≠，所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列．（2）由（1）得：121n n a =-，则11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==----- 所以11111122212121n n n n S +++-=-=--- 21. （1）设圆心(,)C a a ，半径为r ，则222222(3)(1)(5)(3)a a r a a r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得32a r =⎧⎨=⎩ 所以圆C 的方程为：22(3)(y-3)4x -+=（2）设PQ 的长为x ，则122222PQCT PQC S S x x ==⋅⋅⋅=，而x = 由几何关系有：11|CQ |1|PC ||CQ |1-≤≤+．而1|CQ |5=，可得46PC ≤≤，则x S ⎡≤≤⇒∈⎣． 22. （1）证明：当a e =时，()ln f x x =（0x >）()1f x x '==0x >）令()0f x '=，则4x =所以()f x 在(0,4)单调递减，在(4,)+∞单调递增，所以()()min 42ln 20f x f ==->所以()0f x >（2）()ln 0log lnln x a x f x a a =⇔=⇔=⇔=。

重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)

重庆市巴蜀中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 圆的圆心坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：将圆的方程化为标准方程后可得所求．详解：将圆方程化为标准方程得，∴圆心坐标为．故选B．点睛：本题考查圆的标准方程和一般方程间的转化及根据标准方程求圆的半径，属容易题．2. 已知，为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据不等式的性质或函数的性质对四个选项分别进行分析、排除后可得结论．详解：对于A，当时不等式不一定成立，故A不正确．对于B，当时，不等式不成立，故B不正确．对于C，当时不等式不成立，故C不正确．对于D，根据函数的单调性可得不等式成立，故D正确．故选D．点睛：判断关于不等式的命题真假的常用方法（1）直接运用不等式的性质进行推理判断．（2）利用函数的单调性，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．（3）特殊值验证法，即给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断．3. 下列四个方程表示对应的四条直线，其中倾斜角为的直线是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据选项中给出的直线的方程，分别求出直线的倾斜角即可．详解：选项A中，直线的倾斜角为，所以A不正确．选项B中，直线的倾斜角为，所以B不正确．选项C中，直线的倾斜角为，所以C不正确．选项D中，直线的倾斜角为，所以D正确．故选D．4. （）的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据基本不等式求解即可．详解：∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴（）的最大值为．故选B．点睛：使用基本不等式求最值时，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且这三个条件缺一不可，其中关键是寻求定值，若条件不满足使用的条件，则需要进行适当的变形，以得到定值．5. 在等差数列中，表示的前项和，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据等差数列的前项和公式和数列下标和的性质求解．详解：∵数列为等差数列，∴．∴．故选C．点睛：等差数列中的下标和的性质，即若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q常与前n项和公式结合在一起考查，解题时采用整体代换的思想，可简化解题过程，提高解题的效率．6. 已知向量，，则在方向上的投影是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据向量在另一个向量方向上的投影的概念求解．详解：∵，，∴，.设的夹角为，则向量在方向上的投影为．故选A．点睛：向量在另一向量方向上的投影是向量数量积的几何意义的具体体现，它是一个数量，其值可正、可负、也可为零，计算的主要途径是根据定义进行．7. 在中，、、分别是内角、、的对边，且，则角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据余弦定理的推论求得，然后可求得．详解：∵，∴．由余弦定理的推论得，又，∴．故选D．点睛：本题考查余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后忽视了角的范围，从而得到错误的结果．8. 已知向量，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先讨论充分性：由得所以“”是“”的充分条件.再讨论必要性：因为，所以，所以“”是“”的必要条件.故选C.9. 若，满足条件，当且仅当，时，目标函数取得最小值或最大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：作出可行域，根据最优解的位置判断目标函数的斜率范围，列出不等式解出．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由可得．∵目标函数仅在处取得最大值或最小值，∴或，解得或，∴实数的取值范围是．故选D．点睛：线性规划中已知最优解求参数的取值或范围时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．10. 在中，已知，，分别为，，所对的边，且，，成等比数列，，，则外接圆的直径为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用成等比数列得到，结合余弦定理及求得，再根据正弦定理求得三角形外接圆的直径．详解：∵成等比数列，∴．在中，由余弦定理得，∴，∴．由得．设外接圆的半径为,则，∴外接圆的直径为．故选C．点睛：用余弦定理解三角形时注意整体代换思想的利用，即解题中常用到变形，可简化运算．令由正弦定理可得，若外接圆的半径为，则有．11. 已知定义在上的函数的导函数满足，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由可得，构造函数，可得，故单调递增，根据单调性可得结论．详解：令，∴，∵，∴，∴函数在上单调递增，∴，即，∴．故选B．点睛：本题考查对函数单调性的应用，考查学生的变形应用能力，解题的关键是根据题意构造函数，通过判断函数的单调性得到函数值间的关系，从而达到求解的目的．12. 已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：如图，由得，设的中点为，则．令，在中，根据弦长、弦心距和半径的关系求得后可得所求．详解：如图所示，由得．设的中点为，则．由题意可得当最小时，则最小，此时，又为的中点，故点在上，即垂直平分．令，则，．在中，根据勾股定理得，即，整理得，解得或（舍去）．∴的最小值为．故选B．点睛：解答本题的关键是根据平面几何的关系得到最小时点，的位置，然后再根据计算得到所求的值，利用几何法解决圆的有关问题，可省去大量的运算，提高解题的效率，这是研究解析几何问题时常用的方法．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为__________．【答案】.【解析】分析：由题意求得，然后根据数列成等比数列可得实数的值．详解：∵，∴，由题意得成等比数列，∴，即，解得．点睛：本题考查等比数列的运算，解题的关键是根据题意得到数列的前三项，然后列出方程求解．另外，解题时也可利用结论求解，即若等比数列的前项和，则有，注意要注意结论中必须为．14. 若实数，满足，则的最大值为__________．【答案】5.【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部：其中，，，设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最大值，此时.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 函数（）的最小值为__________．【答案】.【解析】分析：将所给函数的解析式变形为，再结合，并根据基本不等式求解即可得到结论．详解：由题意得，∵，∴．又，∴．∴，当且仅当，即时等号成立．∴函数的最小值为．点睛：（1）使用基本不等式求最值时，注意使用的前提是“一正、二定、三相等”，且这三个条件缺一不可．（2）在运用基本不等式时，若条件不满足使用的条件，则要注意通过“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．16. 已知函数，若在区间上不是单调函数，则的取值范围为__________．【答案】.【解析】分析：由题意得，因为在区间上不单调，故在区间上有解，分离参数后通过求函数的值域可得所求的范围．详解：∵，∴．∵在区间上不单调，∴在区间上有解，即方程在区间上有解，∴方程在区间上有解．令，则，∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴当时，取得最大值，且最大值为．又.∴.又由题意得在直线两侧须有函数的图象，∴．∴实数的取值范围为．点睛：解答本题时注意转化的思想方法在解题中的应用，将函数不单调的问题化为导函数在给定区间上有变号零点的问题处理，然后通过分离参数又将问题转化为求函数的值域的问题，利用转化的方法解题时还要注意转化的合理性和准确性．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1) 的递增区间为，递减区间为．(2) 最大值，最小值．详解：（1）∵，∴．由，解得或；由，解得，所以的递增区间为，递减区间为．（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，，所以最大值，最小值．点睛：（1）求单调区间时，由可得增区间，由可得减区间，解题时注意导函数的符号与单调性的关系．（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数的极值和区间的端点值，通过比较后可得最大值和最小值．18. 已知圆的圆心为，直线与圆相切．（1）求圆的标准方程；（2）若直线过点，且被圆所截得弦长为，求直线的方程．【答案】(1) .(2) ；或．【解析】分析：（1）由直线和圆相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程．（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况考虑，根据待定系数法设出直线的方程并结合弦长公式求解可得结果．详解：（1）由题意得圆心到直线的距离为．所以圆的圆心为，半径，∴圆的标准方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为即，∴圆心到直线的距离为．又由题意得，解得．∴，解得．∴直线的方程为．②当的斜率不存在时，可得直线方程为，满足条件．综上可得直线的方程为或．点睛：解决解析几何问题时注意把几何问题转化为数的运算的问题，通过计算达到求解的目的．在本题（2）中，容易忽视斜率不存在的情形，解题时要注意这一特殊情况，通过验证可求得，以得到完整的解．19. 在中，角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）是的面积，若，求的最小值．【答案】(1) .(2)2.【解析】分析：（1）根据条件及正弦定理可得，然后由并根据三角变换得到，进而可求得．（2）由得到，再由余弦定理和基本不等式可得所求．详解：（1）由及正弦定理得，所以，所以，因为在中，，所以，又，所以．（2）由，得，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，所以，所以的最小值为．点睛：三角形的面积公式和余弦定理经常结合在一起考查，解题时往往用到整体代换的思想方法，其中变形是重要的解题方法，同时也常与基本不等式结合在一起，解题时要注意等号成立的条件是否满足．20. 已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析.(2)【解析】分析：（1）将两边同除以得，变形得，故得结论．（2）由题意得到，根据裂项相消法可得．详解：（1）证明：将两边同除以，得，∴，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）得，∴，∴∴.点睛：（1）证明数列为等比数列时，在得到后，不要忘了证明，这是容易忽视的步骤．（2）在用裂项相消法求数列的和时，要注意在相消后剩余的项具有前后对称的特征，即前面剩下了第几项，则后面就剩下倒数第几项，根据此结论可判断结果是否正确．21. 已知圆过点，，圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）过圆上任一点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的取值范围．【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）根据条件设圆的方程为，由题意可解得，于是可求得圆的方程．（2）根据几何知识可得，故将所求范围的问题转化为求切线长的问题，然后根据切线长的求法可得结论．详解：（1）由题意设圆心为，半径为，则圆的标准方程为．由题意得，解得，所以圆的标准方程为．（2）由圆的切线的性质得，而．由几何知识可得，又，所以，故，所以，即四边形面积的取值范围为．点睛：解决圆的有关问题时经常结合几何法求解，借助图形的直观性可使得问题的求解简单直观．如在本题中将四边形的面积转化为切线长的问题，然后再转化为圆外一点到圆上的点的距离的范围的问题求解．22. 已知函数，（且），当，求证：.【答案】证明见解析.【解析】分析：先判断函数的单调性，求得函数的最小值后可证得结论成立．详解：证明：当时，（）∴（）∴当时，单调递减；当时，单调递增，∴当时，有极小值，也为最小值，且所以，所以．点睛：本题考查函数的单调性及最值的应用，证明不等式时，可转化为求函数的最值的问题，如在本题中证明不等式成立时只需证明函数的最小值大于零即可．。

重庆市巴蜀中学1718学年度高一下学期期末考试——数学

重庆市巴蜀中学2017—2018学年度下学期期末考试高一数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量，，满足，则实数（）A ．B ．C ．D ．2.已知为等差数列中的前项和，，，则数列的公差（）A ．B ．C ．D ．3.中，分别是角所对应的边，，，，则（）A ．B ．C ．D ．4.已知实数满足且，下列选项中不一定成立的是（）A ．B ． C. D ．5.已知函数在处取得极值，则实数（）A ．B ． C. D ．6.下列说法正确的是（）A ．若与共线，则或者B ．若，则C.若中，点满足，则点为中点D ．若，为单位向量，则7.若是整数，则称点为整点，对于实数，约束条件2300x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内整点个数为（）个A ．B ． C. D ．8.已知各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值是（）A ．B ． C. D ．9.若直线（，）平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则的最小值为（）A ．B ． C. D ．10.在中，若，则是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形 C.等边三角形 D ．等腰直角三角形11.数列中，，（），则13241012a a a a a a ++=L （）A ．B ． C. D ．12.已知有且仅有两个零点，那么实数（）A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若满足约束条件()103030x y f x x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则的最小值为．14.圆与圆相外切，则半径的值为．15.是正三角形，，点为的重心，点满足，则．16.已知圆22:430M x y y +-+=，直线，如果圆上总存在点，它关于直线的对称点在轴上，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()[]2144,3,23f x x x x =-+∈- （1）求函数在处切线方程；（2）求函数的最大值和最小值．18. 已知中，分别是角所对应的边，若，且的面积为2，（1）求角；（2）若，求的值．19. 已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．20. 已知正项等比数列的前项和满足：213,()42n n S S n N *+=+∈ （1）求数列的首项和公比；（2）若21log ,()n n n b a a n N *+=+∈，求数列的前项和．21. 已知圆22:(4)(1)4C x y -+-=,直线:2(31)y 20l mx m -++=（1）若直线与圆相交于两点，弦长等于，求的值；（2）已知点，点为圆心，若在直线上存在定点（异于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及改常数．22.已知函数（1）若，求函数的单调性；（2）若存在，使恒有，求实数的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:BBBCA 6-10: CCCAA 11、12：DD二、填空题13. 14. 15.16.⎣ 三、解答题17.解：（1），斜率，切点．所以切线为18. 解（1）由及正弦定理得： sin sin cos sin sin A B C C B =+，即sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+ 得sin cos sin sin C B C B =，又，所以，因为，所以．（2）由1s i n 22ABC S ac B ∆==，得，又22222cos (a c)217b a c ac B ac =+-=+-=-19.解：（1）直线的斜率，中点坐标为，直线的方程为，即；（2）设圆心，则由点在直线上得：①，又直径，所以，所以②由①②解得：或所以圆心或圆的方程为22(3)(6)40x y ++-=或22(5)(2)40x y -++=．20.由题有314213421342S S S S ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相减得：，则由题意，有又，可知12311342a a a a ++=+，有111113(1)2442a a ++=+，所以，由（1），，所以，采用分组求和： 12211()(1)111212()1222212n n n n n T n n ----⨯=⨯+=----． 21.解（1）或；（2）由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，则设，，得222|PM ||PN |(0)λλ=>，且所以22222224(1)(5)4(1)()y y y y t λλλ--+-=--+- 整理得：222[(22)8]y (3)280t t λλ-+++-= 因为，上式对于任意恒成立，所以且解得，所以，（舍去，与重合），，综上可知，在直线上寻在定点，使得为常数．22.（1）易得：，若当时有，则在单调递减，在单调递增；（2）令()22()21x g x f x x e x ax =+-=+--，且，，，在单调递增，若，即，，，此时在单调递减，当，，不成立．若，即，在单调递增，则，，所以在单调递增，所以在单调递增所以，成立，故．。

2018-2019学年重庆市区县高一(下)期末数学试卷

2018-2019学年重庆市区县高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若,a b r r 共线，则实数(m = )A ．6-B ．83-C ．83D ．62．（5分）已知a ，b R ∈，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,3)，则(a b += )A ．7-B ．1-C ．1D ．73．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56(a a += ) A ．11B ．16C ．20D ．284．（5分）某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3:2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为( )A ．600B ．800C ．1000D ．12005．（5分）已知变量x ，y 的取值如表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为ˆˆ3y bx =-，据此可预测：当8x =时，y 的值约为( )A ．63B ．74C ．85D ．966．（5分）已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是( ) A ．11a b+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数多个8．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1(a = ) A ．2-B ．1-C ．1D ．29．（5分）某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为( )A ．10B ．20C ．40D ．6010．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=，则角C 的大小为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 11．（5分）已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b ++的最小值为( ) A ．72B ．92C ．7D ．912．（5分）已知λ，R μ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足()()ABBCACCBAP AB AC AB BC AC CBλμ=++=++，则||(||BP CP =u u u r u u u r ) A ．sin 2sin2BC B ．cos 2cos2B C C ．sin 2sin2C BD ．cos2cos2C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）关于x 的不等式210x x+>的解集为． 14．（5分）甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为．15．（5分）当实数a 变化时，点(2,1)P --到直线:(1)120l a x y a -++-=的距离的最大值为16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为，b ，c ，若ABC ∆的面积为3cos bc A ，则cos sin B C +的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）学生会6名同学，其中4名男同学2名女同学．现要从中随机选出2名代表发言．求：（1）A 同学被选中的概率是多少？（2）至少有1名女同学被选中的概率是多少？18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=．（1）求n a ；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）近年来，某地大力发展文化旅游创意产业创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年)和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系（1）求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynxy bay bx xnx ==-==--∑∑． 20．（12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =6BD =，1sin 3ADB ∠=．（1）求AB 的长度；（2）求ABC ∆的面积．21．（12分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(1,3)A -、(3,4)B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=．（1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求ABC ∆的面积．22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+．（1）证明：数列1{3}n na -为等比数列；（2）证明：2(61)n S <-．2018-2019学年重庆市区县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，若,a b r r 共线，则实数(m = )A ．6-B ．83-C ．83D ．6【解答】解：Q 向量(2,3)a =r，(,4)b m =r ，,a b r r 共线， ∴423m =，解得实数83m =．故选：C ．2．（5分）已知a ，b R ∈，若关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,3)，则(a b += )A ．7-B ．1-C ．1D ．7【解答】解：由已知及韦达定理可得，13a -=+，13b =⨯，即4a =-，3b =，所以1a b +=-．故选：B ．3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，416S =，则56(a a += ) A ．11B ．16C ．20D ．28【解答】解：{}n a Q 为等差数列，前n 项和为n S ，2S ∴，42S S -，64S S -成等差数列，422642()()S S S S S ∴-=+-，又24S =，416S =，64562444S S a a ∴=+-=++，5620a a ∴+=．故选：C ．4．（5分）某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3:2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为()A ．600B ．800C ．1000D ．1200【解答】解：根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则 321030k k ++=，即4k =，所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人，则该校高二年级学生人数为8300080030⨯=人．故选：B ．5．（5分）已知变量x ，y 的取值如表：由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为ˆˆ3y bx =-，据此可预测：当8x =时，y 的值约为( )A ．63B ．74C ．85D ．96【解答】解：1234535x ++++==，1015304550305y ++++==．故样本点的中心的坐标为(3,30)，代入ˆˆ3ybx =-，得303ˆ113b +==． ∴ˆ113yx =-，取8x =，得ˆ118385y =⨯-=．故选：C ．6．（5分）已知非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等关系一定成立的是( ) A ．11a b+ C ．22a b >D ．3223a ab a b b +>+【解答】解：由已知220a b +>且a b >，所以2222()()a a b b a b +>+，即3223a ab a b b +>+．故选：D ．7．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4A π=，5a =，4c =，则满足条件的ABC ∆的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．无数多个【解答】解：4A π=Q，5a =，4c =，∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：22251624b b =+-⨯⨯⨯，可得：24290b b --=，(*)∴由△24680b ac =-=>，且两根之和为正、两根之积为负数，∴方程(*)有两个不相等的实数根，且只有一个正实数根，即有一个边b 满足题中的条件，由此可得满足条件的ABC ∆有一个解．故选：B ．8．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1(a = ) A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：Q 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，621S =-， ∴313616(1)31(1)211a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==-⎪-⎩，解得11a =，2q =-．故选：C ．9．（5分）某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为( )A ．10B ．20C ．40D ．60【解答】解：由频率分布直方图得：这1000名学生中成绩在130分以上的频率为： 1(0.0060.0140.020.008)200.04-+++⨯=，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为10000.0440⨯=人．故选：C ．10．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=，则角C 的大小为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：Q 在ABC ∆中，2cos 2c B a b =-，∴由余弦定理可得：222222a c b c a b ac +-⨯=-，222a b c ab ∴+-=，2221cos 22a b c C ab +-∴==，又(0,)C π∈，3C π∴=．故选：B ．11．（5分）已知1a >-，0b >，21a b +=，则121a b ++的最小值为( ) A ．72B ．92C ．7D ．9【解答】解：1a >-Q ；10a ∴+>，且0b >，21a b +=； 122a b ∴++=；∴121222(1)2()(12)()1459111b a a b a b a b a b ++=+++=++++=+++…，当且仅当213a b +==时等号成立； ∴12912a b ++…； ∴121a b ++的最小值为92．故选：B ．12．（5分）已知λ，R μ∈，ABC ∆所在平面内一点P 满足()()AB BC AC CBAP AB AC AB BC AC CBλμ=++=++，则||(||BP CP =u u u r u u u r ) A ．sin 2sin2BC B ．cos 2cos2B C C ．sin 2sin2C BD ．cos2cos2C B 【解答】解：由||||AB BC AB BC +u u u r u u u r u u ur u u u r 方向为ABC ∠外角平分线方向，所以点P 在ABC ∠的外角平分线上，同理，点P 在ACB ∠的外角平分线上，2BPBC π-∠=，2CPCB π-∠=，在PBC ∆中，由正弦定理得： cos||sin 2sin ||cos 2C BP PCB BPBC CP ∠==∠u u u r u u u r ，故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）关于x 的不等式210x x +>的解集为 1(,)(0,)2-∞-+∞U ．【解答】解：210x x+>同解于 2100x x +>⎧⎨>⎩或2100x x +<⎧⎨<⎩解得12x <-或0x >故答案为：1(,)(0,)2-∞-+∞U14．（5分）甲、乙两人要到某地参加活动，他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种，则他们选择相同交通工具的概率为13．【解答】解：甲、乙两人选择交通工具总的选择有339⨯=种，他们选择相同交通工具有3种情况，所以他们选择相同交通工具的概率为3193=．故答案为：13．15．（5分）当实数a 变化时，点(2,1)P --到直线:(1)120l a x y a -++-=的距离的最大值为【解答】解：由直线:(1)120l a x y a -++-=，得(2)10a x x y --++=，联立2010x x y -=⎧⎨-++=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩．∴直线l 恒过定点(2,1)，P ∴到直线l的最大距离d ==故答案为：16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为，b ，c ，若ABC ∆cos A ，则cos sin B C +【解答】解：ABC ∆中，若ABC ∆1cos sin 2A bc A =g ，tan A ∴=，6A π∴=．则11cos sin cos sin()cos sin()cos cos sin ))6223B C B A B B B B B B B B B ππ+=++=++=+++…，当且仅当6B π=时，取等号，故cos sin B C +三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）学生会6名同学，其中4名男同学2名女同学．现要从中随机选出2名代表发言．求：（1）A 同学被选中的概率是多少？（2）至少有1名女同学被选中的概率是多少？【解答】解：（1）所有的选法有26C 种，A 同学被选中的方法有1115C C 种，故A 同学被选中的概率是 152613C P C ==．（2）所有的选法有26C 种，至少有1名女同学包括两种情况：1个男同学与1个女同学，2个女同学，这两种情况分别有1142C C 和22C 种选法，故至少有1名女同学被选中的概率是1124222635C C C P C +==． 18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，77S =，2128a a +=．（1）求n a ；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（1）172127784772a a a a a S ++=⇒===Q g 711216a a a d -∴=-∴== 213n a n n ∴=-+-=-；（2）3n a n =-Q ，2n a n b =32n n b -∴=则111(12)14(21)124n n n T ---==--． 19．（12分）近年来，某地大力发展文化旅游创意产业创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年)和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系（1）求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,n i ii n ii x y nxyb a y bx x nx ==-==--∑∑．【解答】解：（1）3456 4.54x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g ， ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=．故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+；（2）由ˆ0.70.3510y x =+>，解得111314x >．故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元． 20．（12分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 为AC 延长线上一点，且23AD =，6BD =，1sin 3ADB ∠=．（1）求AB 的长度；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由题意可得222cos 1D sin D =-= 在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD D =+-g 2212622362=+-⨯=，则2AB = （2）在ABD ∆中，2226cos 22223AB AD BD A AB AD +-===g g ， 23sin 1A cos A =-=3cos AB AC A == ABC ∆的面积为1132sin 2322S AB AC A ===g g g g 21．（12分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点(1,3)A -、(3,4)B -，边AC 上的高线所在的直线方程为2360x y ++=，边BC 上的中线所在的直线方程为2370x y +-=．（1）求点B 到直线AC 的距离；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）由题意，32AC k =，直线AC 的方程为33(1)2y x -=+，即3290x y -+=．点B 到直线AC的距离d == （2）设(,)C m n ，则BC 的中点坐标为34(,)22m n +-，则329034237022m n m n -+=⎧⎪⎨+-⨯+⨯-=⎪⎩，解得16m n =⎧⎨=⎩，即(1,6)C ，||AC ∴= ABCd ∴∆的面积1||132S AC d ==g ． 22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，123n n n n a a a +=+．（1）证明：数列1{3}n n a -为等比数列；（2）证明：n S <．【解答】证明：（1）115a =，123n n n n a a a +=+，可得1123n n n a a +=+，即有111132(3)n n n na a ++-=-，可得数列1{3}n na -为公比为2，首项为2的等比数列；（2）由（1）可得132n n n a -=，即132n n na =+，由基本不等式可得32n n n +>，n a <，即有12112211n n S a a a =++⋯+<<=--．。

2017-2018年重庆市巴蜀中学高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y＝0，则圆C的圆心坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）2．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜b2B．＜C．＞1D．a3＜b33．（5分）下列四个方程表示对应的四条直线，其中倾斜角为的直线是（）A．x＝1B．y＝C．x+y＝0D．x﹣y＝04．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．5．（5分）在等差数列{a n}中，S n表示{a n}的前n项和，若a3+a6＝3，则S8的值为（）A．3B．8C．12D．246．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣3，4），则在方向上的投影是（）A．﹣B．C．﹣D．7．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且c2＝a2+b2+ab，则角C 的大小为（）A．B．C．D．8．（5分）已知向量，，则“|•|＝||•||”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）若x，y满足条件，当且仅当x＝5，y＝0时，目标函数z＝ax+y取得最小值或最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B．（﹣∞，）C．（，1）D．（﹣∞，）∪（1，+∞）10．（5分）在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a，b，c成等比数列，a+c＝3，cos B＝，则△ABC外接圆的直径为（）A．B．C．D．11．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）＞1，则（）A．f（2）﹣f（1）＞ln2B．f（2）﹣f（1）＜ln2C．f（2）﹣f（1）＞1D．f（2）﹣f（1）＜112．（5分）已知M，N是圆O：x2+y2＝4上两点，点P（1，2），且＝0，则||的最小值为（）A．B．﹣C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S n＝2n+a，则实数a的值为．14．（5分）若实数x，y满足，则2x+y的最大值为．15．（5分）函数f（x）＝+（0＜x＜3）的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+（k+5）•lnx，若f（x）在区间（0，3）上不是单调函数，则k的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝x2（x﹣1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值和最小值．18．（12分）已知圆C的圆心为（1，1），直线x+y﹣4＝0与圆C相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点（2，3），且被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（a﹣c cos B）＝b sin C．（1）求角C的大小；（2）S是△ABC的面积，若S＝，求c的最小值．20．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，2a n+1+a n+1a n﹣a n＝0．（1）求证：数列{+1}是等比数列；（2）设b n＝2n•a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．21．（12分）已知圆C过点A（3，1），B（5，3），圆心在直线y＝x上．（1）求圆C的方程；（2）过圆O1：x2+（y+1）2＝1上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝﹣log a x，（a＞0且a≠1）（1）当a＝e，求证：f（x）＞0；（2）讨论f（x）的零点个数．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y＝0，则圆C的圆心坐标为（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y＝0 即（x+1）2+（y﹣2）2＝5，故圆心为（﹣1，2），故选：B．2．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜b2B．＜C．＞1D．a3＜b3【解答】解：a，b为非零实数，且a＜b，a2＜b2不一定成立，比如a＝﹣2，b＝﹣1；＜不一定成立，比如a＝﹣2，b＝1；＞1不一定成立，比如a＝﹣2，b＝1；由函数y＝x3在R上递增，可得a3＜b3成立．故选：D．3．（5分）下列四个方程表示对应的四条直线，其中倾斜角为的直线是（）A．x＝1B．y＝C．x+y＝0D．x﹣y＝0【解答】解：直线x＝1的倾斜角为；直线y＝的倾斜角为0；直线x+y＝0的斜率为﹣1，倾斜角为；直线x﹣y＝0的斜率为1，倾斜角为．∴倾斜角为的直线是x﹣y＝0．故选：D．4．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．【解答】解：令f（a）＝（3﹣a）（a+6）＝﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得当a＝﹣时，函数f（a）取得最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为＝，故选：B．5．（5分）在等差数列{a n}中，S n表示{a n}的前n项和，若a3+a6＝3，则S8的值为（）A．3B．8C．12D．24【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a1+a8＝a3+a6＝3，则S8＝＝4×3＝12．故选：C．6．（5分）已知向量＝（2，1），＝（﹣3，4），则在方向上的投影是（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（﹣3，4），∴在方向上的投影为：＝＝﹣，故选：A．7．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且c2＝a2+b2+ab，则角C 的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：由a2+b2+ab＝c2，得到a2+b2﹣c2＝﹣ab，则根据余弦定理得：cos C＝＝﹣＝﹣，又C∈（0，π），则角C的大小为．故选：D．8．（5分）已知向量，，则“|•|＝||•||”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设＜＞＝θ，由|•|＝||•||，得＝，即|cosθ|＝1，∴∥一定成立，而∥时，向量，同向或反向，此时|•|＝||•||•|cosθ|＝||•||，∴“|•|＝||•||”是“∥”的充要条件．故选：C．9．（5分）若x，y满足条件，当且仅当x＝5，y＝0时，目标函数z＝ax+y取得最小值或最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B．（﹣∞，）C．（，1）D．（﹣∞，）∪（1，+∞）【解答】解：作出x，y满足条件表示的平面区域如图：由z＝ax+y得y＝﹣ax+z，∵z＝ax+y仅在（5，0）处取得最值，∴﹣a＞﹣，或﹣a＜﹣1，解得a＜或a＞1．故选：D．10．（5分）在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a，b，c成等比数列，a+c＝3，cos B＝，则△ABC外接圆的直径为（）A．B．C．D．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac．又a+c＝3，cos B＝，∴＝＝，可得：ac＝2，∴b＝．又sin B＝＝．则△ABC外接圆的直径2R＝＝＝．故选：C．11．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）＞1，则（）A．f（2）﹣f（1）＞ln2B．f（2）﹣f（1）＜ln2C．f（2）﹣f（1）＞1D．f（2）﹣f（1）＜1【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），即x＞0，则，故，即f（2）﹣f（1）＞ln2，故选：A．12．（5分）已知M，N是圆O：x2+y2＝4上两点，点P（1，2），且＝0，则||的最小值为（）A．B．﹣C．D．【解答】解：如图所示：设R（x，y）是线段MN的中点，则OR⊥MN，∵＝0，∴⊥，于是|PR|＝|MN|＝|RN|，在RT△ORN中，|ON|＝2，|OR|＝，|RN|＝|RP|＝，由勾股定理得：22＝x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣2）2，整理得+（y﹣1）2＝，故R（x，y）的轨迹是以C（，1）为圆心，r＝为半径的圆，故|OR|max＝|OC|+r＝+＝+，故|MN|min＝2|NR|min＝2＝2＝＝﹣，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）等比数列{a n}中，S n为其前n项和，若S n＝2n+a，则实数a的值为﹣1．【解答】解：a1＝21+a＝2+a，a2＝S2﹣S1＝2，a3＝S3﹣S2＝4，∴（2+a）•4＝4，求得a＝﹣1故答案为﹣1．14．（5分）若实数x，y满足，则2x+y的最大值为5．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z＝2x+y，则y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象知在A处y＝﹣2x+z的截距最大，z最大，由，得，即A（2，1），代入z＝2x+y得z＝2×2+1＝5，故答案为：515．（5分）函数f（x）＝+（0＜x＜3）的最小值为．【解答】解：函数f（x）＝+（0＜x＜3），∴＞0，＞0．∴f（x）＝×+×＝+++＝（当且仅当x＝时，等号成立），∴函数f（x）＝+（0＜x＜3）的最小值为．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+（k+5）•lnx，若f（x）在区间（0，3）上不是单调函数，则k的取值范围为（﹣5，﹣2）．【解答】解：函数f（x）＝x2+2（k﹣1）x+（k+5）•lnx（x＞0）的导数为f′（x）＝3x+2（k﹣1）+，由题意可得函数y＝f′（x）在（0，3）存在零点，可得k＝在x∈（0，3）有解，设t＝2x+1（1＜t＜7），可得x＝（t﹣1），即有g（t）＝，化为g（t）＝（10﹣3t﹣），由3t+在（1，3）递减，（3，7）递增，可得3t+∈[18，30），可得在x∈（0，3）的范围是（﹣5，﹣2]．由于k＝﹣2时，f′（x）＝3x﹣6+≥0，f（x）递增，则k的范围是（﹣5，﹣2）．故答案为：（﹣5，﹣2）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝x2（x﹣1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）令f′（x）＝3x2﹣2x＞0，可得x＜0或x＞，令f′（x）＜0，解得：：0＜x＜，所以f（x）的递增区间为（﹣∞，0），（，+∞），递减区间为（0，）．（2）由（1）知：x＝0，分别是f（x）的极大值点和极小值点，所以f（x）极大值＝f（0）＝0，f（x）极小值＝f（）＝﹣，而f（﹣1）＝﹣2，f（2）＝4，所以f（x）最大值＝f（2）＝4，f（x）最小值＝f（﹣1）＝﹣2．18．（12分）已知圆C的圆心为（1，1），直线x+y﹣4＝0与圆C相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点（2，3），且被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程．【解答】解：（1）圆心C（1，1）到直线x+y﹣4＝0的距离d＝＝．∵直线x+y﹣4＝0与圆C相切，∴r＝d＝．∴圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．（3）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y﹣3＝k（x﹣2），即：kx﹣y+3﹣2k＝0，d＝，又d2+1＝2，∴d＝1．解得：k＝．∴直线l的方程为：3x﹣4y+6＝0．②当l的斜率不存在时，x＝2，代入圆的方程可得：（y﹣1）2＝1，解得y＝1±1，可得弦长＝2，满足条件．故l的方程为：3x﹣4y+6＝0或x＝2．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（a﹣c cos B）＝b sin C．（1）求角C的大小；（2）S是△ABC的面积，若S＝，求c的最小值．【解答】解：（1）∵（a﹣c cos B）＝b sin C，可得[sin（B+C）﹣sin C cos B]＝sin B sin C，∴sin B cos C＝sin B sin C，而∵在△ABC中，sin B≠0，∴tan C＝，可得C＝60°．（2）∵S＝ab sin60°＝，可得ab＝4，∴由余弦定理有：c2＝a2+b2﹣2ab cos60°≥2ab﹣ab＝ab＝4．当a＝b＝2时取“＝”，∴当a＝b＝2时，c的最小值为2．20．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，2a n+1+a n+1a n﹣a n＝0．（1）求证：数列{+1}是等比数列；（2）设b n＝2n•a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）证明：a1＝1，2a n+1+a n+1a n﹣a n＝0，两边同除以a n a n+1得：+1﹣＝0，可得+1＝2（＝1），且+1＝2，所以{+1}是首项为2、公比为的等比数列；（2）由（1）得+1＝2n，即有a n＝，则b n＝2n•a n a n+1＝＝﹣，所以数列{b n}的前n项和S n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．21．（12分）已知圆C过点A（3，1），B（5，3），圆心在直线y＝x上．（1）求圆C的方程；（2）过圆O1：x2+（y+1）2＝1上任一点P作圆C的两条切线，切点分别为Q，T，求四边形PQCT面积的取值范围．【解答】解：（1）设圆心C（a，a），半径为r，则，解得．∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4；（2）设PQ的长为x，则，而x＝．由几何关系有：|CO1|﹣1≤|PC|≤|CO1|+1．而|CO1|＝5，可得4≤PC≤6，则，∴S∈[]．22．（12分）已知函数f（x）＝﹣log a x，（a＞0且a≠1）（1）当a＝e，求证：f（x）＞0；（2）讨论f（x）的零点个数．【解答】（1）证明：当a＝e时，f（x）＝﹣lnx，f′（x）＝（x＞0），令f′（x）＝0，得x＝4．∴f（x）在（0，4）上单调递减，在（4，+∞）单调递增，∴f（x）min＝f（4）＝2﹣ln2＞0．∴f（x）＞0；（2）解：f（x）＝0⇔⇔⇔．令y＝，y′＝＝．由y′＝0，可得x＝e2，∴当x∈（0，e2）时，y′＞0，当x∈（e2，+∞）时，y′＜0，作出函数y＝的图象如图：由图可知，当lna＜0，即0＜a＜1时，f（x）有1个零点；当0＜lna＜，即1＜a＜时，f（x）有2个零点；当a＝时，f（x）有1个零点；当a＞时，f（x）无零点．。

2017-2018年重庆市巴蜀中学高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若向量＝（2，k），＝（﹣1，2），满足⊥，则实数k＝（）A．﹣1B．1C．4D．02．（5分）已知S n为等差数列{a n}中的前n项和，a3＝3，S4＝10，则数列{a n}的公差d＝（）A．B．1C．2D．33．（5分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，B＝60°，，A＝30°，则a＝（）A．2B．4C．6D．4．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0 5．（5分）已知函数f（x）＝2lnx+ax在x＝1处取得极值，则实数a＝（）A．﹣2B．2C．0D．16．（5分）下列说法正确的是（）A．若与共线，则＝或者＝﹣B．若•＝•，则＝C．若△ABC中，点P满足2＝+，则点P为BC中点D．若，为单位向量，则＝7．（5分）若a，b是整数，则称点（a，b）为整点，对于实数x，y，约束条件所表示的平面区域内整点个数为（）个A．4B．5C．6D．78．（5分）已知各项均为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为，则a42+a62的最小值是（）A．1B．2C．4D．89．（5分）若直线ax﹣by+1＝0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的周长，则最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n＝2a n+1（n∈N*），则a1a3+a2a4+…+a10a12＝（）A．（410﹣1）B．（411﹣1）C．（1﹣（）11）D．（1﹣（）10）12．（5分）已知f（x）＝a（x2﹣x）+有且仅有两个零点，那么实数a＝（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为．14．（5分）圆x2+y2＝r2（r＞0）与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1相外切，则半径r的值为．15．（5分）△ABC是正三角形，AB＝2，点G为△ABC的重心，点E满足，则＝．16．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣4y+3＝0，直线l：kx﹣y＝0（k＞0），如果⊙M上总存在点A，它关于直线l的对称点在x轴上，则k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+4，x∈[﹣3，2]．（1）求函数f（x）在x＝0处切线方程；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．18．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若a＝b cos C+c sin B，且△ABC的面积为2，（1）求角B；（2）若a+c＝5，求b2的值．19．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．20．（12分）已知正项等比数列{a n}的前n项和S n满足：S n+2＝S n+，（n∈N*）（1）求数列{a n}的首项a1和公比q；（2）若b n＝a n+log2a n+1，（n∈N*），求数列{b n}的前f（x）项和T n．21．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4，直线l：2mx﹣（3m+1）y+2＝0．（1）若直线l与圆C相交于两点A，B，弦长AB等于2，求m的值；（2）已知点M（4，5），点C为圆心，若在直线MC上存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax+1．（1）若a＝1，求函数f（x）单调性；（2）若存在b＞0，使得x∈（0，b）恒有f（x）≥2﹣x2，求实数a的取值范围．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若向量＝（2，k），＝（﹣1，2），满足⊥，则实数k＝（）A．﹣1B．1C．4D．0【解答】解：∵向量＝（2，k），＝（﹣1，2），满足⊥，∴＝﹣2+2k＝0，解得实数k＝1．故选：B．2．（5分）已知S n为等差数列{a n}中的前n项和，a3＝3，S4＝10，则数列{a n}的公差d＝（）A．B．1C．2D．3【解答】解：∵a3＝3，S4＝10，∴a1+2d＝3，4a1+d＝10，联立解得d＝1．故选：B．3．（5分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，B＝60°，，A＝30°，则a＝（）A．2B．4C．6D．【解答】解：∵B＝60°，，A＝30°，∴由正弦定理，可得：a＝＝＝4．故选：B．4．（5分）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确故选：A．5．（5分）已知函数f（x）＝2lnx+ax在x＝1处取得极值，则实数a＝（）A．﹣2B．2C．0D．1【解答】解：f′（x）＝+a，若f（x）在x＝1处取极值，则f′（1）＝2+a＝0，解得：a＝﹣2，故f（x）＝2lnx﹣2x，f′（x）＝﹣2，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，x＝1是极大值点，符合题意，故选：A．6．（5分）下列说法正确的是（）A．若与共线，则＝或者＝﹣B．若•＝•，则＝C．若△ABC中，点P满足2＝+，则点P为BC中点D．若，为单位向量，则＝【解答】解：对于A，根据共线向量的定义显然不成立，对于B，令＝，显然不成立，对于C，根据向量的运算性质，成立，对于D，根据单位向量的定义，显然不成立，故选：C．7．（5分）若a，b是整数，则称点（a，b）为整点，对于实数x，y，约束条件所表示的平面区域内整点个数为（）个A．4B．5C．6D．7【解答】解：当x＝0时，不等式组等价为，得0≤y≤，此时y＝0，y＝1，当x＝1时，不等式组等价为，得0≤y≤1，此时y＝0，y＝1，当x＝2时，不等式组等价为，得0≤y≤，此时y＝0，当x＝3时，不等式组等价为，得y＝0，综上共有6个整数点，故选：C．8．（5分）已知各项均为正的等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为，则a42+a62的最小值是（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：等比数列{a n}中，a2与a8的等比中项为，∴a4a6＝a2a8＝2，则a42+a62≥2a4a6＝4，当且仅当a4＝a6＝时取等号．故选：C．9．（5分）若直线ax﹣by+1＝0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的周长，则最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0配方可得：（x+1）2+（y﹣2）2＝4，可得圆心C（﹣1，2）．∵直线ax﹣by+1＝0（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的周长，∴﹣a﹣2b+1＝0，即a+2b＝1．∵a＞0，b＞0则＝（a+2b）＝3++≥3+2，当且仅当a＝b＝﹣1时取等号．∴最小值为3+2．故选：A．10．（5分）在△ABC中，若sin B sin C＝cos2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：由题意，即sin B sin C＝1﹣cos C cos B，亦即cos（C﹣B）＝1，∵C，B∈（0，π），∴C＝B，故选：A．11．（5分）数列{a n}中，a1＝2，a n＝2a n+1（n∈N*），则a1a3+a2a4+…+a10a12＝（）A．（410﹣1）B．（411﹣1）C．（1﹣（）11）D．（1﹣（）10）【解答】解：由数列{a n}中，a1＝2，a n＝2a n+1（n∈N*），可得数列{a n}为等比数列，首项为2，公比为．∴a n＝＝22﹣n，a n a n+2＝22﹣n•22﹣（2+n）＝．则a1a3+a2a4+…+a10a12＝＝＝×．故选：D．12．（5分）已知f（x）＝a（x2﹣x）+有且仅有两个零点，那么实数a＝（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝a（x2﹣x）+有且仅有两个零点，即方程a（x2﹣x）＝﹣有且仅有两个实数根，也就是函数y＝a（x2﹣x）与y＝﹣的图象有两个交点，如图，当a＝0时，不合题意；当a＜0时，由函数y＝a（x2﹣x）的图象过原点，不合题意；∴a＞0，两函数y＝a（x2﹣x）与y＝﹣的图象在第二象限必有1个交点，则两函数y＝a（x2﹣x）与y＝﹣的图象在第四象限必相切．设切点为P（x0，y0），由y＝a（x2﹣x），得y′＝2ax﹣a，由y＝﹣，得y．∴函数y＝a（x2﹣x）在P点处的切线方程为y﹣＝（2ax0﹣a）（x﹣x0），即；函数y＝﹣在P点处的切线方程为，即y＝，则，解得：．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，4）．化目标函数z＝x﹣2y为y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4＝﹣5．故答案为：﹣5．14．（5分）圆x2+y2＝r2（r＞0）与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1相外切，则半径r的值为4．【解答】解：圆x2+y2＝r2（r＞0）的圆心坐标（0，0），半径为r；圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心坐标（3，4），半径为1，∵两圆外切，∴两圆圆心距等于两圆半径之和，∴＝5＝1+r，∴r＝4，故答案为：4．15．（5分）△ABC是正三角形，AB＝2，点G为△ABC的重心，点E满足，则＝﹣．【解答】解：如图所示：，△ABC是正三角形，AB＝2，点G为△ABC的重心，点E满足，则A（1，），E（，0），C（2，0），G（1，），则＝（，﹣），＝（﹣1，），故＝﹣﹣1＝﹣，故答案为：﹣．16．（5分）已知⊙M：x2+y2﹣4y+3＝0，直线l：kx﹣y＝0（k＞0），如果⊙M上总存在点A，它关于直线l的对称点在x轴上，则k的取值范围是[]．【解答】解：化圆M：x2+y2﹣4y+3＝0为x2+（y﹣2）2＝1，可知圆M的圆心坐标为（0，2），半径为1，设圆心M关于直线y＝kx的对称点为M′（x′，y′），则，即．由|y′|＝||≤1，解得：．∴k的取值范围是[]．故答案为：[]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+4，x∈[﹣3，2]．（1）求函数f（x）在x＝0处切线方程；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）＝x3﹣4x+4的导数为f′（x）＝x2﹣4，斜率k＝f′（0）＝﹣4，切点（0，4），所以切线为y＝﹣4x+4；（2）极大值极小值﹣所以函数最小值为﹣，最大值为．18．（12分）已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若a＝b cos C+c sin B，且△ABC的面积为2，（1）求角B；（2）若a+c＝5，求b2的值．【解答】解：（1）∵a＝b cos C+c sin B，∴由正弦定理得：sin A＝sin B cos C+sin C sin B，即sin（B+C）＝sin B cos C+sin C sin B，∴得sin C cos B＝sin C sin B，又∵sin C≠0，∴tan B＝1，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵由S△ABC＝ac sin B＝2，得ac＝4，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣2ac﹣ac＝17﹣8．19．（12分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．【解答】解：（1）由题意知直线CD垂直平分线段AB，∵A（﹣1，0），B（3，4），∴AB的中点M（1，2），又，∴k CD＝﹣1，∴直线CD的方程为：y﹣2＝﹣1×（x﹣1），即x+y﹣3＝0；（2）由题意知线段CD为圆的直径，∴2r＝，得r＝2．设圆P的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝40，∵圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），∴，解得或．∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2＝40或（x﹣5）2+（y+2）2＝40．20．（12分）已知正项等比数列{a n}的前n项和S n满足：S n+2＝S n+，（n∈N*）（1）求数列{a n}的首项a1和公比q；（2）若b n＝a n+log2a n+1，（n∈N*），求数列{b n}的前f（x）项和T n．【解答】解：（1）正项等比数列{a n}的前n项和S n满足：S n+2＝S n+，（n∈N*），令n＝1和2，得到：，两式相减得：，解得．由于q为正数，则q＝．又，可知，解得：a1＝1，（2）由（1）得：，所以b n＝a n+log2a n+1＝，利用分组求和得：，＝．21．（12分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4，直线l：2mx﹣（3m+1）y+2＝0．（1）若直线l与圆C相交于两点A，B，弦长AB等于2，求m的值；（2）已知点M（4，5），点C为圆心，若在直线MC上存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．【解答】解：（1）圆心C（4，1）到直线l的距离d＝＝．∵d2+＝22，解得d＝1．∴＝1．平方化为：m（3m+1）＝0，解得m＝0或m＝﹣．（2）由题知，直线MC的方程为：x＝4，假设存在定点N（4，t）满足题意，设P（x，y），＝λ，得|PM|2＝λ2•|PN|2（λ＞0），且（x﹣4）2＝4﹣（y﹣1）2，∴4﹣（y﹣1）2+（y﹣5）2＝4λ2﹣λ2（y﹣1）2+λ2（y﹣t）2，整理得：[（2﹣2t）λ2+8]y+（3+t2）λ2﹣28＝0，由于上式对于任意y∈[﹣1，3]恒成立，∴（2﹣2t）λ2+8＝0，且（3+t2）λ2﹣28＝0，解得：t2﹣7t+10＝0，∴t＝2，或t＝5（舍去，与M重合），λ2＝4，λ＞0，解得λ＝2．综上可知，在直线MC上存在定点N（4，2），使得为常数2．22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax+1．（1）若a＝1，求函数f（x）单调性；（2）若存在b＞0，使得x∈（0，b）恒有f（x）≥2﹣x2，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝e x﹣x+1的导数为f′（x）＝e x﹣1，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，则f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；（2）存在b＞0，使得x∈（0，b）恒有f（x）≥2﹣x2，可得a≤在x∈（0，b）恒成立，由y＝e x﹣x﹣1的导数为y′＝e x﹣1，可得函数y在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，即为e x﹣x﹣1≥0，即有e x﹣1≥x，则＞＝x+1＞1，可得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．。

巴蜀中学高一下期末数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. -3B. √9C. 0.101010...D. π2. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3)的值为（）A. -7B. -5C. -3D. 13. 下列各对数式中，正确的是（）A. log2(4) = 2B. log3(27) = 3C. log4(16) = 2D. log5(125) = 34. 已知a > 0，b > 0，且a + b = 4，则ab的最大值为（）A. 4B. 2C. 1D. 05. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，3，5，则第10项an的值为（）A. 15B. 17C. 19D. 216. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，则该圆的半径为（）A. 1B. 2C. √5D. √67. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是（）A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 圆8. 已知函数f(x) = |x| + 1，则f(-2)的值为（）A. -1B. 1C. 3D. 59. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第6项an的值为（）A. 54B. 162C. 243D. 72910. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)的图像是（）A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 圆二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的对称轴为______。

12. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，3，5，则该数列的公差为______。

13. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0，则该圆的圆心坐标为______。

14. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为______。

15. 已知等比数列{an}的首项为3，公比为-2，则第4项an的值为______。

2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一(上)期末数学试卷(解析版)

2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一（上）期末数学试卷一、选择题1．sin（﹣690°）的值为（）A．B．C．D．2．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{x||x|＜1}，则A∪B＝（）A．（1，2]B．（﹣1，1）C．（﹣1，2]D．[0，1）3．若函数f（x）＝，则f（f（4））＝（）A．1B．2C．3D．44．下列函数是（0，+∞）上的增函数的是（）A．y＝ln（x﹣1）B．C．D．5．已知a＝sin29°，b＝cos52°，c＝tan50°，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 6．已知tan（α﹣）＝，tan（+β）＝，则tan（α+β）＝（）A．B．C．D．7．函数y＝2sin x﹣x3+1的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于（0，1）对称D．关于（1，0）对称8．为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．已知，则cos2α的值为（）A．0B．C．D．﹣10．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x+1）是偶函数，且f（﹣1）＝1，则f（2018）+f（2019）＝（）A．0B．1C．﹣1D．211．函数的图象与与函数y＝2sinπx+1（﹣2≤x≤4）的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（）A．8B．12C．16D．2012．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的一条对称轴为x＝，一个对称中心为（，0），且在（，）上单调，则ω的最大值（）A．9B．12C．16D．20二、填空题13．tan30°＝．14．函数f（x）＝sin x sin（x﹣）的最小值为．15．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其部分图象如图所示，则φ＝．16．若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题17．已知（1）求的值；（2）求的值．18．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣a|（1）当a＝2时，解不等式f（x）≤6；（2）当a＜2时，若f（x）的最小值为2，求a的值．19．已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（1）求f（x）的最小值；（2）求f（x）在的值域．20．已知函数为R上的偶函数（1）求实数k的值；（2）若方程f（2x）＝log2a在x∈[0，1]上只有一个实根，求实数a的取值范围．21．已知（1）求g（x）＝f（2x﹣）的递增区间；（2）若函数在的最大值为2，求实数a的值．22．已知函数f（x）＝ax2+4x+2．（1）若f（x）在区间[﹣1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a＜0时，|f（x）|≤4对x∈[0，m]（m＞0）恒成立，求m的最大值．2018-2019学年重庆市巴蜀中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．sin（﹣690°）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：sin（﹣690°）＝sin（﹣720°+30°）＝sin30°＝，故选：C．2．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{x||x|＜1}，则A∪B＝（）A．（1，2]B．（﹣1，1）C．（﹣1，2]D．[0，1）【解答】解：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝（﹣1，2]．故选：C．3．若函数f（x）＝，则f（f（4））＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（4）＝＝﹣log24＝﹣2，则f（f（4））＝f（﹣2）＝（﹣2）2﹣1＝3；故选：C．4．下列函数是（0，+∞）上的增函数的是（）A．y＝ln（x﹣1）B．C．D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝ln（x﹣1），其定义域为（1，+∞），不符合题意；对于B，y＝，为幂函数，是（0，+∞）上的增函数，符合题意；对于C，y＝（）x，为指数函数，是（0，+∞）上的减函数，不符合题意；对于D，y＝x+，在区间（0，）上为减函数，不符合题意；故选：B．5．已知a＝sin29°，b＝cos52°，c＝tan50°，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：∵b＝cos52°＝sin38°＞sin29°＝a，∴1＞b＞a＞0，又∵c＝tan50°＞tan45°＝1，∴a、b、c的大小关系为c＞b＞a．故选：D．6．已知tan（α﹣）＝，tan（+β）＝，则tan（α+β）＝（）A．B．C．D．【解答】解：tan（α﹣）＝，tan（+β）＝，则tan（α+β）＝tan（α﹣+β+）＝＝＝．故选：A．7．函数y＝2sin x﹣x3+1的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于（0，1）对称D．关于（1，0）对称【解答】解：根据题意，设f（x）＝2sin x﹣x3+1，则f（﹣x）＝2sin（﹣x）﹣（﹣x）3+1＝﹣（2sin x﹣x3）+1，则有f（x）+f（﹣x）＝2，则函数y＝2sin x﹣x3+1的图象点（0，1）对称；故选：C．8．为了得到函数的图象，可以将函数y＝cos3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：得到函数的图象，只需将y＝cos3x的图象向右平移个单位，即可得到．由于．故选：A．9．已知，则cos2α的值为（）A．0B．C．D．﹣【解答】解：∵，∴sin2α＝（cosα+sinα），两边平方可得：sin22α＝（1+sin2α），即2sin22α﹣sin2α﹣1＝0，∵2α∈（0，π），sin2α＞0，∴解得sin2α＝1，可得cos2α＝0．故选：A．10．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意x∈R有f（x+1）是偶函数，且f（﹣1）＝1，则f（2018）+f（2019）＝（）A．0B．1C．﹣1D．2【解答】解：根据题意，f（x+1）是偶函数，则f（﹣x+1）＝f（x+1），变形可得f（x+2）＝f（﹣x），又由f（x）为奇函数，则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，则有f（2）＝f（0+2）＝﹣f（0）＝0，则f（2018）＝f（2+504×4）＝f（2）＝0，f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1；故f（2018）+f（2019）＝﹣1；故选：C．11．函数的图象与与函数y＝2sinπx+1（﹣2≤x≤4）的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（）A．8B．12C．16D．20【解答】解：根据题意，函数＝1+，（﹣2≤x≤4），其图象关于点（1，1）对称，函数y＝2sinπx+1，（﹣2≤x≤4）其图象也关于点（1，1）对称，作出两个函数草图分析可得两个函数在（﹣2，4）上有8个交点，设8个交点从左到右依次为A、B、C、D、E、F、G、H，A与H关于点（1，1）对称，则x A+x H＝2，y A+y H＝2，B与G关于点（1，1）对称，则x B+x G＝2，y B+y G＝2，C与F关于点（1，1）对称，则x C+x F＝2，y C+y F＝2，D与E关于点（1，1）对称，则x D+x E＝2，y D+y E＝2，故两个图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于16；故选：C．12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的一条对称轴为x＝，一个对称中心为（，0），且在（，）上单调，则ω的最大值（）A．9B．12C．16D．20【解答】解：依题意，，T是函数f（x）的最小正周期，∴，∴，∴ω＝4k+1，k∈Z，又函数f（x）在上单调，∴，∴ω≤10，∴ω的最大值是9．故选：A．二、填空题13．tan30°＝0．【解答】解：原式＝+＝﹣log33＝﹣＝0．故答案为：0．14．函数f（x）＝sin x sin（x﹣）的最小值为﹣．【解答】解：f（x）＝sin x sin（x﹣）＝﹣sin x cos x＝﹣sin2x≥﹣，故答案为：．15．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其部分图象如图所示，则φ＝．【解答】解：根据题意，由图象可知：A＝2，T＝﹣（﹣）＝2π，所以T＝4π＝，可得ω＝，又因为（，﹣2）在图象上，所以﹣2＝2sin（×+φ），可得sin（+φ）＝﹣1，所以+φ＝2kπ+，k∈Z，解得φ＝2kπ+，k∈Z，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故答案为：．16．若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为（，2）．【解答】解：因为函数；当2x﹣a＝0时⇒x＝log2a．当x2﹣4ax+3a2＝0时⇒（x﹣a）（x﹣3a）＝0⇒x＝a或者x＝3a．显然a≤0整个函数无零点，舍去；当a＞0时．显然零点不可能是log2a和a；若两个零点是log2a和3a，需满足⇒＜a≤1；若两个零点是a和3a，需满足：⇒1＜a＜2．综上可得：实数a的取值范围为（，2）．故答案为：（，2）．三、解答题17．已知（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）已知所以tanα＝﹣2．所以＝＝．（2）＝＝＝＝＝．18．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣a|（1）当a＝2时，解不等式f（x）≤6；（2）当a＜2时，若f（x）的最小值为2，求a的值．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣2|＝3|x﹣1|．∵f（x）≤6，∴3|x﹣1|≤6，∴﹣1≤x≤3，∴不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）当a＜2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣a|＝，∴f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴．∵f（x）的最小值为2，∴，∴a＝﹣2．19．已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（1）求f（x）的最小值；（2）求f（x）在的值域．【解答】解：（1）函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1＝sin2x+cos2x＝，当sin（2x+）＝﹣1时，函数的最小值为﹣2．（2）由于，所以，所以，则函数f（x）．20．已知函数为R上的偶函数（1）求实数k的值；（2）若方程f（2x）＝log2a在x∈[0，1]上只有一个实根，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，函数为R上的偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即log2（2x+1）+kx＝log2（2﹣x+1）+k（﹣x），变形可得：2kx＝log2（2﹣x+1）﹣log2（2x+1）＝log2（）＝﹣x，则有k＝﹣；（2）根据题意，方程f（2x）＝log2a，即log2（22x+1）﹣x＝log2a，方程f（2x）＝log2a在x∈[0，1]上只有一个实根，即log2（22x+1）﹣x＝log2a在x∈[0，1]上只有一个实根，变形可得方程log2（）＝log2a，即＝a在区间[0，1]上只有一个实根，设g（x）＝，x∈[0，1]，设t＝2x，则1≤t≤2，y＝t+，又由t＝2x在[0，1]上为增函数，y＝t+在[1，2]上为增函数，则g（x）＝在区间[0，1]上为增函数，则有2≤g（x）≤，若＝a在区间[0，1]上只有一个实根，必有2≤a≤，即a的取值范围为[2，]．21．已知（1）求g（x）＝f（2x﹣）的递增区间；（2）若函数在的最大值为2，求实数a的值．【解答】解：，（1），令，解得，∴函数g（x）的递增区间为；（2）＝2sin2x+2a sin x﹣2a cos x﹣a＝﹣2（sin x﹣cos x）2+2a（sin x﹣cos x）﹣a+2，令，则，令，由题意知，m（t）max＝2，而二次函数m（t）一定是在或t＝1或处取得最大值，①若在处取得最大值2，则，解得，此时对称轴为，不符合；②若在t＝1处取得最大值2，则﹣2+2a+1＝2，解得，此时对称轴为，不符合；③若在处取得最大值2，则，解得，经验证此时符合．故实数a的值为．22．已知函数f（x）＝ax2+4x+2．（1）若f（x）在区间[﹣1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a＜0时，|f（x）|≤4对x∈[0，m]（m＞0）恒成立，求m的最大值．【解答】解：（1）当a＝0时，显然成立；当a≠0，f（x）＝ax2+4x+2的对称轴为x＝﹣，当a＞0时，﹣≤﹣1，即0＜a≤2，当a＜0时，﹣≥2，即﹣1≤a＜0，综上，故a∈[﹣1，2]，（2）a＜0，f（x）＝a（x+）2+2﹣，对称轴为x＝﹣＞0，当2﹣时，即﹣2＜a＜0，|f（x）|≤4对x∈[0，m]（m＞0）恒成立，m为am2+4m+2＝4的较小的根，即m＝＝＜1，当2﹣≤4时，即a≤﹣2，|f（x）|≤4对x∈[0，m]（m＞0）恒成立，m的最大值，应为am2+4m+2＝﹣4的较大的根，即m＝＝≤3，综上，故m＝3．。