指数式和对数式的运算知识分享

指数式和对数式的运

算

指数式和对数式的运算

一、 基础知识回顾：

1.n 次方根的含义：一般地，a x

n

=，那么x 叫做a 的 ，其中1>n 且*N n ∈，用符号

表示，式子 叫做根式，其中 叫根指数， 叫被开方数。

2.正分数指数幂的意义是 ；负分数指数幂的意义是 。重要关系：（1）

(

)

=n

n

a

;(2)n 为奇数时，

=n n

a ；n 为偶数时，

=n n

a

3.指数幂的运算性质：（1）=0

a （0≠a ） （2）=-n a （0≠a ）

(3)=•s r

a a

( ) (4) =s r a )( （ ）

（5）=r

ab )( （ ）。

4.对数的含义：b n a

=log ⇔ （ ）；特别的有：（1）=a a log ，

（2）=1log a 。 5.对数的运算法则：.0,0>>N M （1）=MN a log ；（2）=N

M

a

log （3）=n a

M log 。对数恒等式=N a a log 。

6.对数的换底公式：=b a log ;换底公式的变形形式：（1）a

b b a log 1log =

,

(2)=n a

b n

log

,(3)=n a b m log .

二、基础巩固练习：

1.,,R b a ∈下列各式总能成立的是（ ）。

A. b a b a +=⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

6

6

6

B.

()

228

2

2

8

b a b a

+=+

C.

b a b a -=-

4

4

4

4

D.

()b a b a +=+10

10

2.函数

)(22*∈=

N n x

y n

x n 的定义域是 ，值域是 。

3.设,25,45

==y x

则=-y x 25 。

4.,1)12(

log -=+x 则=x 。

5．已知,log ),0,0,0(,x b M b a M ab

M =≠>>=则=x （ ）

A.x -1

B.x +1

C.

x

1

D.1-x 6.已知方程03log 6log 222

=++x x 的两根为βα,，则=⎪⎭

⎫

⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛β

α

4141 。

三、例题与练习： 例1.（1）设

,3

12-+x x

（3）计算：;10271027).(++-a 5

252)

(3

3

-+

+b

同步练习：（1）探究a a a n

n

n

n

2=⎪⎭

⎫

⎝

⎛+时，实数a 与自然数)(*N n n ∈所满足的条件是什么？

（2）计算：[

]

2

101

.016)2(87)064.0(75.03

430

3

1-++-+⎪⎭

⎫

⎝⎛-----。

例2.(1)已知9,12==+xy y x 且y x <，求

2

12

12121y

x y x +-的值；

（2）设),(2

1,01

1n n a a x a --=>求n

x x )1(2++的值。

同步练习：（1）化简

a

a

a a -+-+-1311422；

（2）1111)1()23()32()21(----+++⋅⋅⋅⋅++++++

n n ；

（3）设3

2

,32

22

32

32

12

1++++=+--

-x x x x x x 求

的值。

例3.计算：（1）

8

.1lg 10lg 3lg 2lg -+；（2）6lg 21)6(lg 29lg 4lg 2

-+++;

(3)已知5.0log 10log 2,2log 555+=求a 的值。

同步练习：计算：（1）2

231

log

)

12(+-；（2）

2lg 3.0lg 2

1

1000

lg 8lg 27lg +-+；

（3）已知).,0(,,,,,222

+∞∈=+c b a c b a c b a 且满足

求证：.1)1(log )1(log 22=-++++b

c

a a c b

例4.（1）计算：;3

2

4

812

4)23

1

(lg log )13(lg log --+

（2）求⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--⨯2log 32

10log 2

1527

43727)33(4log 3log 的值。

同步练习：求下列各式的值：（1）16

1log 93

4

4127log 9log

⎪⎭

⎫

⎝⎛++；

（2）.32log )3log 27log 9log 3(log 9

2842n

n n •+⋅⋅⋅⋅+++

课后练习：1.若21,x x 是方程11212

+-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=x

x

的两个实数解，则=+21x x 。

2.化简⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛÷-65

613

12

12

13

231)3)((b a b a b a 的结果是（ ）。 A.6a B.a - C.a 9- D.a 9 3.已知==-

2

12

,3log x

x 则（ ）。

A.

31

B.321

C.3

31 D.

4

2

4. 已知

,log )(26x x f =则=)8(f 。

5. 已知==≠>>=a x b M b a M ab

M M log ,log ),0,0,0(则（ ）。

A.x -1

B.x +1

C.x

1

D.1-x 6计算：（1）36

3

3)4()2(b b a a ⨯•⨯

÷⨯ （2）22

)2(lg 2lg 2)

5(lg -+

7.已知===3lg ,5log ,9log 28

则b a （ ）