初二数学竞赛讲座余式定理及其应用

1)除后的余式为px2 + qx + r，则p2 - q2 + r2
=
。
• 2、如果以x²-5x+6除多项式f(X)得余式2x-5 ，则f（3）=？
• 3.如果以2x²-3x-2除多项式f(X)与g(X)，分 别得到余式2x+3与4x-1，则以2x+1除f（x ）-g（x）的余式为?
课后练习
• 4 、求以(x + 1)2除x12的余式
初二数学竞赛讲座 余式定理及其应用
高中数学教师欧阳文丰
知识要点
• 1、f x的意义：已知多项式 f x，若把x 用 c
代入所得到的值，即称为 f x在 x=c 的多项 式值，用 f c表示。
• 2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：
设多项式 f x除以gx所得的商式为qx ，余
• （2）设f(x)=2x2+kx+10除以2x–1余5，求k 的值；
• （3）设f(x)=x4−2x3+4x2+ax+3有一因式为 x-3，求a
典型例题讲解
• 例题3、 若3x3 hx2 5x k 恰好能被 x 3 整除，被 x 1除余数为4，求 h, k，并将多
项式 3x3 hx2 5x k 进行因式分解。
变式练习：1、设f(x)以x-1除之，余式为8， 以x2+x+1除之的余式为7x+16，求x3-1除之 的余式为多少?
2、设多项式p(X）=x³+3x²+ax+b与 q(X)=x4+x³+ax²+2x+b有公因式x+3，则求p(X) 与q(X)的最大公因式？
典型例题讲解
例题4、f(x)和g x都是多项式，已知f ( 1) 2, g( 1) 5，
• 5、设f (x)除以(x - 1)2的余式是x + 2，除以
(x - 2)2的余式是3x + 4，则f (x)除以(x - 1)(x
- 2)2的余式是
。
• 6、如果以2x²-3x-2除多项式f(X)与g(X)，分 别得到余式2x+3与4x-1，则以2x+1除f（x ）-g（x）的余式为?
变式练习：计算： （1）125 7 124 58123 16 122 46012 200
（2）115 4 114 72 113 56 112 1511 7
课后练习
• 1.设多项式h (x)被x2 - 1除后的余式为3x + 4
，并且已知h (x)有因式x。若h (x)被x(x2 -
式为 rx ，则：f x = gx×qx + rx
知识要点
• 3、余式定理 若f（x）是一个多项式，c是 一个常数，则f（x）除以x-c的余式为f（c）
*Baidu Nhomakorabea明
推论：多项式f（x）除以ax-b的余式为f（b/a） [观察f（x）除以ax-b与f（x）除以x-
b/a的余式]
典型例题讲解
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则以2x 1除f (x)g(x)之余式是什么？
变式练习：f (x)除以x2 1之余式为3x 2, 且g(x)除以 x2 2x 3之余式为5x 2，则以x 1去除 (x+3)f(x)+(5x2 1)g(x)的余式是什么？
典型例题讲解
• 例题5、设 f (x) x5 6x4 4x3 25 x2 30 x 6 ，求f (7)。
1.求多项式2x³-x²+3x+5除以x²-x+3的余式
2.以x2–3x–4除多项式f(x)与g(x)，分别得余式 3x+2与–4x+7， 求以x–4除f(x)+g(x) 所得的 余式。
变式练习
• 1、（1）已知 f (x) 2x3 3x 1 ， 求f(x)除以
(x 1)、2x 1 所得的余式；