要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函 (PPT 61张)

1 d x ( fd d r )p f2 ( f2d p d r f 1 2 [ 1 p 1 2 2)p 1 2] pD 1 [f2 d r d r (f ) d p ] 2 1f 1 2 2 1 2f 2 f 2 2f 1 p D
1 d x [ fd r fd ( f f f f) d p ] 2 2 1 1 1 1r 2 2 1 1 1 12 p D
1 r
1 r r ( pA) 1(r 1, r 2 , p) r2

r 同理,x2 r 1 r 2

1 r
( pA) 2 (r 1, r 2 , p)
1 r
用成本最小化求要素需求函数
m in { x 1 r1 x 2 r2 } s .t . f ( x 1 , x 2 ) q x 0, x 0 2 1
r1对x1的影响
令 d r d p 0 , 则 有 2
1 dx1 ( f22dr 1),即 pD dx1 1 f22 0 (D 0, f22 0) dr pD 1
r2对x1的影响
令 d r d p 0 , 则 有 1
d x 1 1 ( f ) 0 ( D 0 , 若 f 0 ) 1 2 1 2 d r D 2 p
§2.短期成本函数和长期成本函数
一、成本函数的定义
Cr (1,r ,q )m in ( rx rx 2 1 1 2 2) st .. f(x ,x q 1 2) * x r2 , q) 上述最小化问题的解 1 (r1 ,称为条件（产出量给定 时求要素需求）要素需求函数。则成本函数为：
拉氏函数为：
L( x1 , x2 ) r1 x1 r2 x2 [q f ( x1 , x2 ) L r1 f1 0 x1 L r2 f 2 0 x2
L q f ( x1 , x2 ) r1 f1 可解出要素的需求函数 从 f r2 2
可见，上式取决于f12的符号。 f12 是指x2增加后 对x1的边际产量的作用。f1为资本的边际产出。
p对x1的影响
令 d r d r 0 , 则 有 1 2
1 dx1 ( f12 f 2 f 22 f1 ) dp , 即 pD dx1 1 [ f12 f 2 f 22 f1 ] 0 dp pD 通 常 f12为 正 , D 0, f 22 0, f1 0, 于 是 有 : dx1 0 dp
生 产 函 数 q f ( x , x ) , r , r 为 要 素 价 格 ,0 x ,0 x , 成 本 函 数 为 : 1 2 1 2 1 2
C ( r ,,) x p r x ( r ,,) x p r x ( r ,,) x p 1 1
p f( x ,x ) r x rx b 1 2 1 1 2 2
p f r 0 , p f2 r 0 1 1 2 x x 1 2 即 p f r ,p f2 r 1 1 2
说明，利润最大化的条件为要素的使用要达到 其边际产量的价值=要素价格。
由上述条件可导出要素的需求Biblioteka Baidu数：
注意：在第1种方法中，一般要求生产函数是规 模报酬递减的。由成本最小化导出要素的需求函 数的方法更具有一般性。
二、要素价格变化对要素需求量的影响
定义： f ( xx ,2 ) 严 格 为 凹 , 如 果 1
f11 0, f22 0 f11 f12 f22 f21
2 f11 f22 f12 0
当生产函数严格为凹时，利润极大化问题有解。
p f 1 r1 0 p f 2 r2 0
求上式关于x1、x2、r1、r2和p的全微分，可得：
pf11dx1 pf12dx2 f1dp dr 1 0 pf21dx1 pf22dx2 f2dp dr2 0 pf11dx1 pf12dx2 f1dp dr 1 pf21dx1 pf22dx2 f2dp dr2
q A x x , 0 , 0 , 1 , x 0 , x 0 . 例： 1 2 1 2
求关于x1和x2需求函数：
解 : p f 1 p A x 1 1 x 2 r1 p f 2 p A x 1 x 2 1 r 2
xx ( r ,,) x p , xx ( r , x ,) p 1 1 11 2 2 22
后两式可写作：
p f f d x fd d r 1 1 p 1 2 1 1 p 1 p f p f d x fd p d r 2 1 2 2 2 2 2
用克莱姆法则解dx1和dx2,
2 Df f f 0 , 可 得 : 1 12 2 1 2

r1 x2 x1 r2
把 x2代 入 第 1个 式 了 ,有 :
r 1 p Ax1 x1 r 1 r 2 1 1 p1 r r x 1 2 1
1

令 1 r , 则
x1 r 1
第七章 要素需求函数、成本 函数、利润函数与供给函
本章要点
§1.要素需求函数 §2.短期成本函数和长期成本函数 §3.学习曲线与成本次可加性 §4.利润函数与供给函数
§1.要素需求函数
一、要素需求函数的推导
令 q f ( x , x ) , C r x xb 12 1 1r 2 2
p q C