最新上海市高一数学下学期期中
上海市2023-2024学年高一下学期期中考试 数学(A卷)含答案
2023学年第二学期高一年级数学期中A 卷（答案在最后）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.函数|cos |y x =的最小正周期为________.2.若π02α-<<，则点()cot ,cos αα在第__________象限．3.已知平面上,A B 两点的坐标分别是()()65,21,,,P 为直线AB 上一点，且13AP PB =，则点P 的坐标为__________.4.若2AB AC AB AC ==-=，则AB AC =+ ________．5.若α为第二象限角，sin cos 2αα=，则sin α=______．6.已知平面向量a 与b 的夹角为3π，若||1a = ，(1,2)b = ，则a 在b 上的投影向量的坐标为______.7.在ABC 中，tan tan A,B 是方程2670x x -+=的两个根，则tan C =______．8.已知()()sin f x x ωϕ=+，其中0,02πωϕ>≤<，满足以下三个条件：（1）函数()y f x =的最小正周期为π；（2）函数()y f x =的图象关为直线π4x =对称；（3）函数()y f x =在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上是严格减函数.则函数()y f x =的表达式为()f x =__________.9.窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为10，点P 在其边上运动，则121⋅A A A P的取值范围是__________.10.已知()()sin f x x ω=，其中0ω>.若函数()y f x =在区间ππ,36-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围为__________.11.设()()2sin 4π4π,R,48,x a x a a f x a x a x a x ⎧-<⎪∈=⎨++-≥⎪⎩若函数()y f x =在区间()0,+∞内恰有7个零点，则a 的取值范围是__________.12.若,a b均为单位向量，下列结论中正确的是_______（填写你认为所有正确结论的序号）（1）若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅≤- ，且1c = ，则a b c +-的取值范围为11,⎤-⎦；（2）若0a b ⋅=且()()a cbc -⋅≤-，且2c =，则a b c +- 的取值范围为22⎢⎥⎣⎦；（3）若12a c ⋅= 且12a c a c λ+≥- 对任意实数λ恒成立，则a b c b ++-（4）若12a c ⋅=且12a c a c λ+≥- 对任意实数λ恒成立，则1122a b b c ++-的最小值为二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第1314-题每题4分，第1516-题每题5分13.下列说法错误的是（）A.若a b ∥，b c ∥，则a c∥B.若a b = ，b c =，则a c=C.若a 与b 是非零向量且a b ∥，则a 与b的方向相同或者相反D.若a ，b都是单位向量，则a b= 14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，其中a =，b =，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（）A.π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭D.π2π0,,π33⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.设n 是正整数，集合2π|cos ,Z k A x x k n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭．当2024n =时，集合A 元素的个数为（）A.1012B.1013C.2023D.202416.对于实数x ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]2.13,2.12-=-=.已知()sin sin f x x x =+，()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列3个命题4，真命题的个数为（）（1）函数()y g x =是周期函数；（2）函数()y g x =的图象关于直线2x π=对称；（3）方程()()f x g x x ⋅=有2个实数根.A.0B.1C.2D.3三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题17.已知2a =，3b = ，()5a b b -⋅=- .（1）若ka b -与2a b +垂直，求实数k 的值；（2）若ka b - 与2a kb - 方向相反，求实数k 的值.18.已知向量)()2,cos ,1,2cos a x x b x =-=．设()f x a b =⋅ ．（1）求函数()y f x =的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，得到函数()y g x =的图象，直接写出函数()y g x =的表达式；（3）求关于x 的方程()20f x +=在区间[]0,π上的解集．19.简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为52米．设筒车上的桨个盛水简P 到水面的距离为y （单位：米）（在水面下则y 为负数）．若以盛水简P 刚浮出水面时开始计算时间，则y 与时少t （单位：秒）之少的关系为()sin y A t K ωϕ=++，其中π0,0,2A ωϕ>><．（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）当()40,50t ∈时，判断盛水筒P 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．20.如图所示，已知3,5OA OB == ，OA 与OB 的夹角为2π3，点C 是ABO 的外接圆优孤AB 上的一个动点（含端点,A B ），记OA 与OC的夹角为θ，并设OC xOA yOB =+ ，其中,x y 为实数．（1）求ABO 外接圆的直径；（2）试将OC表示为θ的函数()y f θ=，并指出该函数的定义域；（3）求OC 为直径时，x y +的值．21.对于定义域为R 的函数()y g x =，若存在常数0T >，使得()()sin y g x =是以T 为周期的周期函数，则称()y g x =为“正弦周期函数”，且称T 为其“正弦周期”.（1）判断函数cos 2xy x =+是否为“正弦周期函数”，并说明理由；（2）已知()y g x =是定义在R 上的严格增函数，值域为R ，且()y g x =是以T 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若()()π9π0,22g g T ==，且存在()00,x T ∈，使得()05π2g x =，求()2g T 的值；（3）已知()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在0a >和0A >，使得对任意x ∈R ，都有()()h x a Ah x +=，证明：()y h x =是周期函数.2023学年第二学期高一年级数学期中A 卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.函数|cos |y x =的最小正周期为________.【答案】π【解析】【分析】利用图像及三角函数最小正周期的知识求解即可.【详解】|cos |y x =的图像如图所示，由图像可知|cos |y x =的最小正周期为π，故答案为：π2.若π02α-<<，则点()cot ,cos αα在第__________象限．【答案】二【解析】【分析】由α的范围确定cot ,cos αα正负，即可判断点所在象限.【详解】π02α-<<,cot 0,cos 0αα∴<>,∴点()cot ,cos αα在第二象限.故答案为：二.【点睛】本题考查根据角的范围判断三角函数正负，属于基础题.3.已知平面上,A B 两点的坐标分别是()()65,21,,,P 为直线AB 上一点，且13AP PB =，则点P 的坐标为__________.【答案】()5,4【解析】【分析】设(),P x y ，再根据向量的坐标公式与13AP PB =求解即可.【详解】设(),P x y ，由13AP PB = ，即3AP PB =，可得()()36,52,1x y x y --=--，即31823151x x y y -=-⎧⎨-=-⎩，解得54x y =⎧⎨=⎩，即()5,4P .故答案为：()5,44.若2AB AC AB AC ==-=，则AB AC =+________．【答案】【解析】【分析】根据已知条件可判定ABC 是边长为2的正三角形，再由向量加法的几何意义可解.【详解】因为AB AC CB -=，则2AB AC CB === ，所以ABC 是边长为2的正三角形，所以AB AC +为△ABC 的边BC 上的中线长的2倍，所以AB AC +=．故答案为：5.若α为第二象限角，sin cos 2αα=，则sin α=______．【答案】12##0.5【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式得到关于sin α的方程，解得即可.【详解】sin cos 2αα= ，2sin 12sin αα∴=-，解得1sin 2α=或sin 1α=-αQ 为第二象限角，1sin 2α∴=.故答案为：126.已知平面向量a与b的夹角为3π，若||1a =，(1,2)b =，则a在b上的投影向量的坐标为______.【答案】,105⎛ ⎝⎭【解析】【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解.【详解】向量a 在向量b上的投影向量是()π1cos 11,2,3210105b a b ⎛⋅⋅=⋅⋅== ⎝⎭.故答案为：55,105⎛⎫⎪⎪⎝⎭.7.在ABC 中，tan tan A,B 是方程2670x x -+=的两个根，则tan C =______．【答案】1【解析】【分析】利用韦达定理、诱导公式及和角的正切计算即得.【详解】方程2670x x -+=中，264780∆=-⨯=>，则tan tan 6tan tan 7A B ,A B +==，在ABC 中，tan tan 6tan tan[π()]tan()11tan tan 17A B C A B A B A B +=-+=-+=-=-=--.故答案为：18.已知()()sin f x x ωϕ=+，其中0,02πωϕ>≤<，满足以下三个条件：（1）函数()y f x =的最小正周期为π；（2）函数()y f x =的图象关为直线π4x =对称；（3）函数()y f x =在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上是严格减函数.则函数()y f x =的表达式为()f x =__________.【答案】sin2x -【解析】【分析】对于①：根据周期性可得2ω=；对于②：根据对称性可得0ϕ=或πϕ=；对于③：结合正弦函数单调性分析求解.【详解】对于①：因为0ω>，由题意可得：2π2πω==，则()()sin 2f x x ϕ=+；对于②：可得ππ2π,42k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π,k k ϕ=∈Z ，且0πϕ≤<2，可得0ϕ=或πϕ=，则()sin2f x x =或()()sin 2πsin 2f x x x =+=-；对于③：因为π04,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π20,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，可知sin 2y x =在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，可知()sin2f x x =不合题意，()sin2f x x =-符合题意；综上所述：()sin2f x x =-.故答案为：sin2x -.9.窗花足贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为10，点P 在其边上运动，则121⋅A A A P 的取值范围是__________.【答案】⎡-+⎣【解析】【分析】作出图形，由图可得点P 在34A A 上运动，121⋅ A A A P 取的最大值，当P 在78A A 上运动，121⋅A A A P取的最小值，求得相应最值即可.【详解】分别过3A ，8A 作12A A 的垂线，垂足为M ，N ，且1A N =110A M =+因为点P 在正八边形上运动，所以1A P 在12A A上的投影向量的起点为1A ，终点在线段MN 上移动，则当点P 在34A A 上运动，121⋅A A A P 取的最大值，为12110(10100A A A M ⋅=⨯+=+ ，则当点P 在78A A 上运动，121⋅A A A P 取的最小值，为12110A A A N -⋅=-⨯-所以121⋅A A A P 的取值范围是⎡-+⎣故答案为：⎡-+⎣10.已知()()sin f x x ω=，其中0ω>.若函数()y f x =在区间ππ,36-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围为__________.【答案】932,⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据()y f x =在区间ππ,36-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个最大值点和一个最小值点，可得3πππ23ω-<-≤-，求解ω即可．【详解】()sin f x x ω=，由6,ππ3x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，得ππ,36x ωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若函数()y f x =在区间ππ[,]36-上有且只有一个最大值点和一个最小值点，则只需3πππ23ω-<-≤-，解得932ω≤<．故答案为：932,⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.设()()2sin 4π4π,R,48,x a x aa f x a x a x a x ⎧-<⎪∈=⎨++-≥⎪⎩若函数()y f x =在区间()0,+∞内恰有7个零点，则a 的取值范围是__________.【答案】4387,,23254⎡⎤⎧⎫⎛⎤⋃⋃⎨⎬ ⎢⎥⎥⎣⎦⎩⎭⎝⎦【解析】【分析】先根据三角函数图象变换判断当0a ≤时不成立，再分析当0a >时，函数248,a y x a x ax=++-≥的零点个数分别为0，1，2时，根据三角函数的图象变换，讨论()sin 4π4π,y x a x a =-<的零点个数即可.【详解】由题意，当0a ≤时，()sin 4π4π,y x a x a =-<在()0,∞+内无零点，又248,a y x a x ax=++-≥不可能有7个零点，故当0a ≤时不满足题意；由基本不等式248858a y x a a a x =++-≥-=-，当且仅当24a x x=，即2x a =时取等号，最小值为58a -.①当580a ->时，即85a >时，248,a y x a x a x=++-≥无零点，则当0a >时，()()sin 4π4πsin4π,y x a x a x a =-=-<有7个零点，此时()()4ππ,Z x a k k -=∈，即(),Z ,4kx a k x a =+∈<，故零点分别为1,2,...,7k =---时取得.故704804a a -⎧+>⎪⎪⎨-⎪+≤⎪⎩，解得724a <≤；②当580a -=，即85a =时，248,a y x a x a x=++-≥有一个零点165x =.此时()sin4π,y x a x a =-<有6个零点，即()()4ππ,Z x a k k -=∈，即(),Z ,4kx a k x a =+∈<，故零点分别为1,2,...,6k =---时取得.此时604704a a -⎧+>⎪⎪⎨-⎪+≤⎪⎩，解得3724a <≤.又85a =满足3724a <≤，故满足条件题意；③当580a -<，即85a <时，由对勾函数的性质可得()248a g x x a x=++-在()2,a ∞+上有1个零点，又()68g a a =-，则1.当680a -≥，即43a ≥时，()248a g x x a x =++-在[),2a a 上有1个零点，故()248,a g x x a x a x=++-≥有2个零点，此时()sin4π,y x a x a =-<有5个零点，即()()4ππ,Z x a k k -=∈，即(),Z ,4kx a k x a =+∈<，故零点分别为1,2,...,5k =---时取得.此时504604a a -⎧+>⎪⎪⎨-⎪+≤⎪⎩，解得5342a <≤，综上有4332a ≤≤2.当680a -<，即403a <<时，()248a g x x a x =++-在[),2a a 上无零点，故()248,a g x x a x a x=++-≥有1个零点，此时()sin4π,y x a x a =-<有6个零点，即3724a <≤，不满足403a <<；综上有724a <≤或85a =或4332a ≤≤.故答案为：4387,,23254⎡⎤⎧⎫⎛⎤⋃⋃⎨⎬ ⎢⎥⎥⎣⎦⎩⎭⎝⎦12.若,a b均为单位向量，下列结论中正确的是_______（填写你认为所有正确结论的序号）（1）若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅≤- ，且1c = ，则a b c +- 的取值范围为211,⎤-⎦；（2）若0a b ⋅= 且()()0a c b c -⋅≤-，且2c = ，则a b c +-的取值范围为2⎢⎥⎣⎦；（3）若12a c ⋅= 且12a c a c λ+≥- 对任意实数λ恒成立，则a b c b ++-（4）若12a c ⋅= 且12a c a c λ+≥- 对任意实数λ恒成立，则1122ab bc ++- 的【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用向量关系作出几何图形，可知=a b c CD +-，从而利用数形结合求得；（2）与（1）比较仅改变了22c = ，同理利用数形结合去求出26,26CD ∈⎣⎦；（3）要利用模的平方等于向量的平方进行计算，从而转到到一元二次不等式恒成立，即可以求出1c =，并求出与a 夹角为60︒，从而确定两向量的位置关系，再分析+=+a b c b EB BC EC +-≥ ,即可求得最小值;（4）关键是作出图形后，利用FB DE =转化为几何关系求最小值.【详解】由0a b ⋅= 且,a b 均为单位向量，作图：=,,1,1a OA b OB OA OB OA OB ===⊥ ，，因为()()0a c b c -⋅-≤，即0CA CB ≤⋅ ，所以点C 在以AB 为直径的圆上或内部，又因为1c =，所以点C 又在点O 为圆心的单位圆上，即点C 在圆O 的劣弧AB 上，又由=a b c OD OC CD +--=，所以由图可得1,1CD ⎤∈⎦ ，故（1）正确；由于22c =与（1）不同，假设点O 为圆心半径为22圆与以AB 为直径的圆相交于点,M N ，则点C 在圆O 的劣弧MN 上，由图可知以AB 为直径的圆也是以OD 为直径的圆，所以OM MD ⊥，由22OM =，可得2216=222MD OD OM -=-=，所以由图可得26,26CD ∈⎣⎦，故（2）正确；由12a c a c λ+≥-平方得：22222124a a c c a a c λλ+⋅+≥-⋅+ ，又因为12a c ⋅=，所以得：22211024c c λλ++-≥ ，上式是关于λ的一元二次不等式，由于对任意实数λ恒成立，所以()22242211Δ=14211024c c c c c ⎛⎫--=-+=-≤ ⎪⎝⎭，即()221=0c - ，所以1c = ，由12a c ⋅= ，可得1cos 2ab AOC a b ⋅∠==⋅，又因为0,180AOC ︒∠∈（），所以=60AOC ︒∠，此时,，a b c均为单位向量，如图：由=,==a OA b OB c OC OE OA a =-=- ，，，可知()==a b b a EB +-- ，c =b BC- 而因为点B 是单位圆上的动点，所以+E EC BC B ≥，此时由=18060120EOC ︒︒︒∠-=，可得：EC所以+a b c b +-≥(3)正确；由=,==a OA b OB c OC OE OA a =-=- ，，，作一个同心圆且半径为12，分别交,OB OE 于点,D F 则11=22a b b c OB OF OD OC FB CD ++--+-=+，由于三角形OBE 是等腰三角形，,D F 分别为,OB OE 的中点，可得FB DE =，所以=FB CD DE DC CE ++≥ ，而EC 1122a b b c ++-≥，故（4）正确；故答案为：（1），（2），（3），（4）.【点睛】方法点睛：关键把定向量转化为定点，把动向量转化为动点，最后研究向量的模转化为动点到定点的距离问题，再利用几何中的不等式关系就可以得到结果.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第1314-题每题4分，第1516-题每题5分13.下列说法错误的是（）A.若a b ∥，b c ∥，则a c∥B.若a b = ，b c =，则a c=C.若a 与b 是非零向量且a b ∥，则a 与b的方向相同或者相反D.若a ，b都是单位向量，则a b= 【答案】A 【解析】【分析】举特例否定选项A ；由向量相等定义判断选项B ；由向量平行定义判断选项C ；由单位向量定义判断选项D.【详解】A.若0,0,0,a b c a c ≠=≠⊥，满足a b ∥，b c∥，但是不满足a c∥，所以该选项错误；B ．由向量相等定义可知，若a b = ，b c = ，则a c =，所以该选项正确；C ．若a 与b 是非零向量且a b∥，则a 与b的方向相同或者相反，所以该选项正确；D ．若a ，b都是单位向量，则a b = ，所以该选项正确．故选：A14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，其中a =，b =，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（）A.π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D.π2π0,,π33⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即2cos 20c A -+=有两个不相等的正根，则Δ0A >⎧⎪⎨>⎪⎩，即可求出cos A 的范围，再求出角A 的范围.法二：根据正弦定理得到sin B =，即可求出sin A 的取值范围，再结合a 、b 的关系求出A 的范围.【详解】法一：因为a =b =，要使三角形有且只有两个，即c 会出现两个符合题意的值，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即(2222cos c A =+-⨯，依题意可得关于c的方程2cos 20c A -+=有两个不相等的正根，则()2Δ420A A ⎧=-⨯>⎪⎨⎪>⎩，解得1cos 2A >，又()0,πA ∈，解得π03A <<，综上可得π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.法二：由正弦定理sin sin a b A B =，所以sin sin b A B a ===所以01<<，则0sin 2A <<，由a b <且()0,πA ∈，所以π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以由30sin 2A <<，解得π03A <<，综上可得π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：A15.设n 是正整数，集合2π|cos ,Z k A x x k n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭．当2024n =时，集合A 元素的个数为（）A.1012B.1013C.2023D.2024【答案】B 【解析】【分析】分析得当01012k ≤≤且Z k ∈时，πcos 1012k x =恰好取到半个周期的值，即1013个不同的值．【详解】2ππcoscos ,Z 20241012k k x k ==∈，当01012k ≤≤且Z k ∈时，πcos 1012k x =恰好取到半个周期内的值，且πcos 1012k x =单调递减，所以πcos1012k x =在半个周期内有1013个不同的值，再根据对称性得πcos1012k x =在1个周期内有1013个不同的值，由集合中元素的互异性得，集合A 中的元素个数为1013，故选：B ．16.对于实数x ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]2.13,2.12-=-=.已知()sin sin f x x x =+，()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则下列3个命题4，真命题的个数为（）（1）函数()y g x =是周期函数；（2）函数()y g x =的图象关于直线2x π=对称；（3）方程()()f x g x x ⋅=有2个实数根.A.0 B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】由题意可得()f x 、()g x 均为偶函数，作出两函数的图象，可判断（1），（2）；分π2π+2x k =，π5π2π+2π+66k x k ≤≤，且π2π+2x k ≠及π2π2π+6k x k ≤<或5π2π+2π+2π6k x k <<，Z k ∈求解（3）．【详解】函数()f x 的定义域为R ，因为()sin |||sin()|sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()y f x =为偶函数，当0πx ≤≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，当π2πx <≤时，()sin sin 0f x x x =-=，当2π3πx <≤时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，⋯⋯因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图像如下图所示：因为()[()][()]()g x f x f x g x -=-==，所以()g x 为偶函数，由()[()]g x f x =可知，在[0x ∈,)∞+内，当π2π+2x k =，Z k ∈时，()2g x =，当π5π2π+2π+66k x k ≤≤，且π2π+2x k ≠，Z k ∈时，()1g x =，当π2π2π+6k x k ≤<或5π2π+2π+2π6k x k <<，Z k ∈时，()0g x =，则函数()g x 的图像如下图所示：显然()g x 不是周期函数，故（1）错误；()g x 的图像不关于直线π2x =对称，故（2）错误；因为当π2π+2x k =，Z k ∈时，()2g x =，()2f x =所以()()4f x g x x x ⋅=⇔=；不存在Z k ∈，使π2π+42x k ==，故无解；当π5π2π+2π+66k x k ≤≤，且π2π+2x k ≠，Z k ∈时，()1g x =，所以()()()2sin sin 2xf xg x x f x x x x x ⋅=⇔=⇔=⇔=；如图所示，此时有一个解；当π2π2π+6k x k ≤<或5π2π+2π+2π6k x k <<，Z k ∈时，()0g x =，所以()()0f x g x x x ⋅=⇔=；综上，方程()()f x g x x ⋅=有2个实数根，故（3）正确．故选：B ．【点睛】方法点睛：求函数()y f x =零点个数的常用方法：(1)直接法：令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题17.已知2a =，3b = ，()5a b b -⋅=- .（1）若ka b -与2a b +垂直，求实数k 的值；（2）若ka b - 与2a kb - 方向相反，求实数k 的值.【答案】（1）1712（2）【解析】【分析】（1）首先求出a b ⋅ ，依题意可得()()20ka b a b -⋅+=，根据数量积的运算计算可得；（2）首先判断a 与b不共线，依题意()()20ka b t a kb t -=-< ，根据平面向量基本定理得到方程，解得即可.【小问1详解】因为2a = ，3b = ，()5a b b -⋅=-，所以()25a b b a b b -⋅=⋅-=- ，即235a b ⋅-=- ，所以4a b ⋅= ，又ka b - 与2a b + 垂直，所以()()20ka b a b -⋅+= ，即()22220ka k a b b +-⋅-= ，即()22222430k k ⨯+-⨯-=，解得1712=k .【小问2详解】因为2a = ，3b = 且4a b ⋅= ，所以42cos ,233a b a b a b ⋅===⨯⋅，所以a 与b不共线，又ka b - 与2a kb - 方向相反，则()()20ka b t a kb t -=-< ，即21k t kt =⎧⎨-=-⎩，解得22t k ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去）或22t k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以k =18.已知向量)()2,cos ,1,2cos a x x b x =-=．设()f x a b =⋅ ．（1）求函数()y f x =的表达式，并写出该函数图象对称轴的方程；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，得到函数()y g x =的图象，直接写出函数()y g x =的表达式；（3）求关于x 的方程()20f x +=在区间[]0,π上的解集．【答案】（1）()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；ππ,Z 62k x k =+∈（2）()π2sin 216g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（3）π5π{,}26【解析】【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算公式，降幂公式及辅助角公式求得()f x ，再用整体法求出对称轴方程；（2）由()π()6g x f x =-代入计算即可；（3）由()20f x +=得π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合[]0,πx ∈求解即可．【小问1详解】2π()222cos 2sin 216f x x x x ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，令ππ2π62x k +=+，得对称轴为直线ππ,Z 62k x k =+∈．【小问2详解】()ππ2sin 2136ππ()2sin 2166g x f x x x ⎛⎝⎛⎫=--==-- ⎪⎝-+⎭⎭⎫ ⎪．【小问3详解】由()20f x +=得π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由于ππ13π[0,π],2[,]666x x ∈+∈，所以π7π266x +=或11π6，故所求解集为π5π{,}26．另解：由π1sin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得ππ22π66x k +=-或()5π2πZ 6k k -∈，解得ππ6x k =-或ππ2k -，又[]0,πx ∈，所以5π6x =或π2，所求解集为π5π{,}26．19.简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为52米．设筒车上的桨个盛水简P 到水面的距离为y （单位：米）（在水面下则y 为负数）．若以盛水简P 刚浮出水面时开始计算时间，则y 与时少t （单位：秒）之少的关系为()sin y A t K ωϕ=++，其中π0,0,2A ωϕ>><．（1）求,,,A K ωϕ的值；（2）当()40,50t ∈时，判断盛水筒P 的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由．【答案】（1）5A =，52K =，π30ω=，π6ϕ=-（2）处于向下的运动状态，理由见解析【解析】【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解；（2）结合（1）可得ππ55sin 3062y t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[)0,t ∞∈+，从而根据t 的取值范围可得ππ306t -的取值范围，即可判断y 单调性，进而即可得到盛水筒P 的运动状态．【小问1详解】如图，设筒车与水面的交点为M ，N ，连接OM ，过点P 作PB MN ⊥于点B ，过点O 分别作OD MN ⊥于点D ，OC PB ⊥于点C ，则5A OM ==，52K OD ==，因为筒车转一周需要1分钟，所以2ππ6030ω==，故π30MOP t ∠=，在Rt OMD 中，512sin 52OD OMD OM ∠===，所以π6COM OMD ∠∠==，即π6ϕ=-．【小问2详解】盛水筒P 处于向下运动的状态，结合（1）可得ππ55sin 3062y t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[)0,t ∞∈+，则当()40,50t ∈时，ππ7π3π,30662t ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，此时y 单调递减，所以盛水筒P 处于向下运动的状态．20.如图所示，已知3,5OA OB == ，OA 与OB 的夹角为2π3，点C 是ABO 的外接圆优孤AB 上的一个动点（含端点,A B ），记OA 与OC的夹角为θ，并设OC xOA yOB =+ ，其中,x y 为实数．（1）求ABO 外接圆的直径；（2）试将OC表示为θ的函数()y f θ=，并指出该函数的定义域；（3）求OC 为直径时，x y +的值．【答案】（1）3（2）()2sin 3cos ,0,33f πθθθθ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦（3）18845【解析】【分析】（1）在AOB 中，由余弦定理得7AB =，再由正弦定理即可求出外接圆直径；（2）由正弦定理及同角三角函数的平方关系得cos OCA ∠，结合两角和的正弦公式得出sin OAC ∠，由正弦定理即可得出()y fθ=；（3）法一：由正弦定理及同角三角函数的平方关系得出OD ，结合由向量的共线定理即可求解；法二：连接BC ，由2OC OA OA ⋅= ，2OC OB OB ⋅= ，列出方程求解即可．【小问1详解】在AOB 中，由余弦定理得，2222cos 49AB OA OB OA OB AOB =+-∠=，解得7AB =，由正弦定理得，sin 332ABAOB==∠，所以ABO外接圆的直径为3．【小问2详解】连接AC ，由意可知，2π[0,]3θ∈，在AOC中，由正弦定理2sin 3OAR OCA==∠，则sin 14OCA ∠=，又π0,2OCA ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则13cos 14OCA ∠=，于是()sin sin sin cos cos sin OAC OCA OCA OCA θθθ∠=∠+=∠+∠13cos sin 1414θθ=+，由正弦定理得，132sin cos sin sin 3cos 314143OC R OAC θθθθ⎛⎫=∠=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以1332π()sin 3cos ,[0,]33OC f θθθθ==+∈．【小问3详解】法一：设AB 与OC 交于点D ，当OC 为直径时，π2OAC ∠=，此时13sin cos ,cos sin 1414OCA OCA θθ=∠==∠=，又由正弦定理可得11sin ,cos 21414OB BAO BAO R∠==∠==，于是47sin sin()sin cos cos sin 49ADO BAO BAO BAO θθθ∠=+∠=⋅∠+⋅∠=，因此由正弦定理得sin sin 94OA OD BAO ODA=⋅∠=∠，而由向量的共线定理可得存在()0,1λ∈，使得()1OD OA OB λλ=+- ，且2||R OC OD OD =⋅，故22188[(1)],45R R OC xOA yOB OA OB x y OD OD λλ=+=+-+== ，法二：连接BC ，由题可知，22159,25,2OA OB OA OB ==⋅=- ，由于此时OA AC ⊥ ，2OC OA OA ⋅= ，即215992xOA yOB OA x y +⋅=-= ，同理，由OB BC ⊥ 得，2OC OB OB ⋅= ，即21525252xOA OB yOB x y ⋅+=-+= ，解得2292615x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此18845x y +=．21.对于定义域为R 的函数()y g x =，若存在常数0T >，使得()()sin y g x =是以T 为周期的周期函数，则称()y g x =为“正弦周期函数”，且称T 为其“正弦周期”.（1）判断函数cos 2xy x =+是否为“正弦周期函数”，并说明理由；（2）已知()y g x =是定义在R 上的严格增函数，值域为R ，且()y g x =是以T 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若()()π9π0,22g g T ==，且存在()00,x T ∈，使得()05π2g x =，求()2g T 的值；（3）已知()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在0a >和0A >，使得对任意x ∈R ，都有()()h x a Ah x +=，证明：()y h x =是周期函数.【答案】（1）是，理由见解析（2）()17π22g T =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得到()()()()sin 4πsin g x g x +=，即可判断cos2xy x =+为“正弦周期函数”；（2）由题意条件得到()()()()0sin sin 21g x T g T +==，故()()0ππ2π,22π22g x T m g T t +=+=+，,Z m t ∈，由函数单调性得到不等式，求出3,4m t ≥≥，再证明5t ≥不合要求，从而得到4t =，并求出()17π22g T =；（3）法1：1A =，满足要求，若01A <<，则对任意0R x ∈，存在正整数n ，使得()01nA h x ≤且()01n A h x T +≤，得到()()()()00sin sin nnA h x T A h x +=，()()h x T h x +=，若1A >，同理可证明，得到结论；法2：反证法，假设()y h x =不是周期函数，则()()h x T h x +=与()()h x a h x +=均不恒成立，存在0R x ∈，使得()()00h x T h x +≠，再利用题目条件推出()()00h x T h x +=，故假设不成立，证明出结论.【小问1详解】()cos 2x g x x =+，则()4π4π4πcos cos 4π22x xg x x x ++=++=++，故()()()()sin 4πsin cos 4πsin cos sin 22x x g x x x g x ⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos2xy x =+是正弦周期函数.【小问2详解】存在()00,x T ∈，使得()05π2g x =，故()()05πsin sin12g x ==，因为()y g x =是以T 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，所以()()()()00sin sin 1g x T g x +==，又()9π2g T =，()()sin 1g T =，所以()()()()0sin sin 1g x T g T +==，又()()()()sin 2sin g T g T =，则()()()()0sin sin 21g x T g T +==，故()()0ππ2π,22π22g x T m g T t +=+=+，,Z m t ∈，因为()00,x T ∈，所以()0,2x T T T +∈，且()y g x =严格增，由于()()π9π0,22g g T ==，()05π2g x =，故π9πππ2π,2π2π2222m t m +>+>+，解得2,m t m >>，则整数3,4m t ≥≥，下证4t =.若不然，5t ≥，则()π21π22π22g T t =+≥，由()y g x =的值域为R 知，存在()12,,2x x T T ∈，12x x ≠，使得()113π2g x =，()217π2g x =，则()()()()()()()()1212sin sin sin sin 1g x g x g x T g x T ==-=-=，120x T x T T <-<-<，由()y g x =严格单调递增可知()()()()12π9π022g g x T g x T g T =<-<-<=，又()()()()12sin sin 1g x T g x T -=-=，故120x T x T x -=-=，这与12x x ≠矛盾.故4t =，综上所述，()17π22g T =；【小问3详解】法1：若1A =，则由()()h x a h x +=可知()y h x =为周期函数.若01A <<，则对任意0R x ∈，存在正整数n ，使得()01n A h x ≤且()01nA h x T +≤.因为()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且()()h x a Ah x +=，所以()()()()()()()()0000sin sin sin sin nnA h x T h x na T h x na A h x +=++=+=，故()()00h x T h x +=，所以()()h x T h x +=，若1A >，则同理可证（取n 为负整数即可）.综上，得证.法2：假设()y h x =不是周期函数，则()()h x T h x +=与()()h x a h x +=均不恒成立.显然1A ≠.因为()()h x T h x +=不恒成立，所以存在0R x ∈，使得()()00h x T h x +≠，因为()()0,11,A ∈+∞ ，所以存在Z n ∈，使得()01n A h x <且()01nA h x T +<，其中若1A >，取n 为负整数；若01A <<，取n 为正整数.因为()y h x =是以T 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且()()h x a Ah x +=，由正弦周期性得()()()()()()()()0000sin sin sin sin nnA h x T h x na T h x na A h x +=++=+=，即()()()()00sin sin nnA h x T A h x +=，所以()()00h x T h x +=，矛盾，假设不成立，综上，()y h x =是周期函数.【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。
2022-2023学年上海市高一下学期期中数学试题(含解析)
2022-2023学年上海市高一下学期期中数学试题一、填空题1．函数()sin 2f x x =的最小正周期是______.【正确答案】π【分析】根据正弦型函数的周期公式求解即可.【详解】()sin 2f x x =的最小正周期是2ππ2=.故π2．已知()()0,1,2,1a b ==，则2b a ⋅= __________.【正确答案】2【分析】根据平面向量线性运算和数量积的坐标表示求解即可.【详解】因为()()0,1,2,1a b ==，所以()()24,20,140212b a ⋅=⋅=⨯+⨯= .故2.3．函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是______．【正确答案】22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈【分析】结合函数函数cos y x =的单调递增区间得到22,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，进而可求出结果.【详解】因为函数cos y x =的单调递增区间为[]2,2,k k k Z πππ-∈，所以22,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，即222,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，故22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.4．扇形OAB 的半径为1，圆心角所对的 AB 长为2，则该扇形的面积是__________.【正确答案】1【分析】根据扇形的面积公式求解即可.【详解】因为扇形OAB 的半径为1，圆心角所对的 AB 长为2，所以扇形的面积为1121122S lr ==⨯⨯=.故1.5．若点O 是ABC 所在平面内的一点，且满足|||()()|OB OC OB OA OC OA -=-+- ，则ABC 的形状为__________.【正确答案】直角三角形【分析】利用向量的线性运算和向量的中线公式得到2CB AD = ，从而得到AD DB DC ==，进而得到角间的关系，再利用三角形内角和为180︒即可求出结果.【详解】如图，取BC 中点D ，因为()()OB OC OB OA OC OA -=-+-，所以22CB AB AC AD AD =+== ，即AD DB DC ==，所以DAB DBA ∠=∠，DAC DCA ∠=∠，所以BAC ABC ACB ∠=∠+∠，又三角形内角和为180︒，所以90BAC ∠=︒，所以ABC 为直角三角形，故直角三角形.6．已知点()()()π3π3,0,0,3,cos ,sin ,,22A B C ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1AB BC ⋅=- ，则22sin sin21tan ααα+=+__________.【正确答案】559-【分析】结合平面向量的坐标运算可得8sin cos 3αα-=，进而可得552sin cos 9αα=-，结合二倍角公式及同角三角函数关系化简22sin sin21tan ααα++即可求解.【详解】因为()()()3,0,0,3,cos ,sin A B C αα，所以()3,3AB =-，()cos ,sin 3BC αα=- ，所以()3cos 3sin 31AB BC αα⋅=-+-=- ，即8sin cos 3αα-=，所以()264sin cos 12sin cos 9αααα-=-=，即552sin cos 9αα=-，所以()()22sin sin cos 2sin cos sin cos 2sin sin2552sin cos 1tan 1tan cos sin 9ααααααααααααααα+++====-+++.故答案为.559-7．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，如果存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有()()()112023f x f x f x ≤≤+成立，则ω的最小值为__________.【正确答案】2023π/12023π【分析】先化简函数()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后由正弦函数性质求解．【详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意()1f x 是函数()f x 的最小值，()12023f x +是函数()f x 的最大值．由0ω>，ω最小，则函数周期最大，所以112π202322T ω≥=⨯，即π2023ω≥．故π2023．8．在ABC 中，60A =︒，1b =sin sin sin a b cA B C++=++_______．【分析】利用三角形的面积公式求得c ，利用余弦定理求得a ，结合正弦定理求得正确答案.【详解】依题意1sin 2ABC S bc A =，1142c c ⨯⨯==，由余弦定理得22214214cos 6013a =+-⨯⨯⨯︒=，a =，由正弦定理得sin sin sin sin 32a b c a A B C A ++===++.故39．已知a 、b 满足4a = ，b 在a方向上的数量投影为2-，则3a b - 的最小值为______．【正确答案】10【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】设a 、b 的夹角为([0,])θθπ∈，因为b 在a方向上的数量投影为2-，所以cos 2b θ⋅=- ，因此(,]2πθπ∈，因此cos [1,0)θ∈-，所以2b ≥ ，3a b -=== ，因此有3a b -= 2b ≥ ，所以当2b =时，3a b - 10=，故1010．若O 是正六边形123456A A A A A A 的中心，{}1,2,3,4,5,6,,,i Q OA i a b c Q ==∈ ，且,,a b c互不相同，要使得()0c a b += ，则有序向量组(),,a b c的个数为____________【正确答案】48按照a ，b的夹角为π和3π两种情况讨论，再求和即可得解.【详解】①如左图，这样的a ，b 有6对，且a ，b可交换，此时c 有2种情况，∴有序向量组(),,a b c个数为62224⨯⨯=个；②如右图，这样的a ，b 有3对，且a ，b可交换，此时c 有4种情况，∴有序向量组(),,a b c个数为32424⨯⨯=个.综上所述，总数为242448+=个.故答案为.48本题考查了分类加法和分布乘法的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.二、单选题11．已知θ是第一象限角，那么（）A ．2θ是第一、二象限角B ．2θ是第一、三象限角C ．2θ是第三、四象限角D ．2θ是第二、四象限角【正确答案】B【分析】由θ是第一象限角，可得36090360k k θ⋅︒<<︒+⋅︒，Z k ∈，进而得到180451802k k θ⋅︒<<︒+⋅︒，Z k ∈，进而求解.【详解】因为θ是第一象限角，所以36090360k k θ⋅︒<<︒+⋅︒，Z k ∈，所以180451802k k θ⋅︒<<︒+⋅︒，Z k ∈，当k 为偶数时，2θ是第一象限角，当k 为奇数时，2θ是第三象限角，综上所述，2θ第一、三象限角.故选：B.12．已知a ，b 是平面内夹角为90︒的两个单位向量，若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=，则c的最大值为A ．1B CD ．2【正确答案】B【详解】试题分析：由已知0a b ⋅=，2()()()c a c b c a b c a b -⋅-=-+⋅+⋅ 2()c a b c=-+⋅ 2cos c a b c θ=-+⋅0=，（θ是a b +与c 的夹角），∴cos c a b a b θ=+≤+ ，而a b += c 的最大值．向量的数量积，向量的模．13．设()y f t =是某地区平均气温y （摄氏度）关于时间t （月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数()y f t =近似满足()sin y A x B =++ωϕ.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（）A ．π2π15sin 11.363y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．ππ15sin 11.363y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．ππ15sin 11.363y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．ππ15sin 11.366y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】结合题意和函数图象，结合三角函数的性质求解即可.【详解】由题意，2π12T ω==，即π6ω=.由图可知，26.33.7A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得15A =，11.3B =，此时π15sin 11.56y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将点()1, 3.7-代入解析式，可得π3.715sin 11.56ϕ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=-+，Z k ∈，即2π2π3k ϕ=-+，取0k =，2π3ϕ=-，所以π2π15sin 11.363y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故选：A.14．设a ，b ，c为非零不共线向量，若()()1a tc t b a c t R -+-≥-∈ 则（）A ．()()a b a c+⊥- B ．()()a b b c+⊥+ C ．()()b c a b -⊥+ D ．()()a cbc -⊥+【正确答案】D【分析】()()()()11a tc t b a c t c b a c -+-=-+-+≥- ，化简得到()()204c b a c ⎡⎤+∆-⎦=⋅≤⎣ ，故()()0c b a c +⋅-= ，得到答案.【详解】()()()()11a tc t b a c t c b a c -+-=-+-+≥- ，故()()()221a c t c ba c -+-+≥-，化简整理得到：()()()()()221210t c bt c b a c -++-+⋅-≥，即()()()()()()()()2222220c b t c b c b a c t c b c b a c +-+++⋅-++++⋅-≥ ，()()204c b a c ⎡⎤+∆-⎦=⋅≤⎣ ，故()()0c b a c +⋅-= ，故()()a cbc -⊥+ .故选：D.本题考查了根据向量模求向量的关系，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题15．（1）已知单位向量a 、b 的夹角为45，ka b - 与a 垂直，求k ；（2）已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,cλ=，若()//2c a b + ，求λ.【正确答案】（1；（2）12【分析】（1）根据数量积的定义求出a b ⋅，依题意可得()0ka b a -⋅= ，根据数量积的运算律计算可得；（2）首先求出2a b +，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】（1）因为单位向量a 、b 的夹角为45 ，所以cos 1451a b a b ⋅=⋅=⨯=又ka b - 与a 垂直，所以()0ka b a -⋅= ，即20ka b a -⋅= ，即2102k ⨯-=，解得2k =；（2）因为()1,2a = ，()2,2b =- ，所以()()()221,22,24,2a b +=+-=，又()1,cλ=且()//2c a b + ，所以412λ=⨯，解得12λ=.16．ABC 的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A =，2a b ==．(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【正确答案】(1)4c =【分析】（1）先由sin 0A A +=求得23A π=，再由余弦定理求得c 即可；（2）先由余弦定理求得cos 7C =，再求出AD ，最后由面积公式求解即可.【详解】（1）因为sin 0A A =，所以tan (0,)=∈A A π，所以23A π=．在ABC 中，由余弦定理得222844cos3c c π=+-，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去），4c =．（2）因为2,4b a c ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==，又AD AC ⊥，即ACD 是直角三角形，所以cos AC DC C =，则===DC AD 又23A π=，则2326DAB πππ∠=-=，所以ABD △的面积为1sin 26S AB AD π=⋅⋅=．17．已知函数()2π2cos sin sin cos 3f x x x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(2)若()f x a =在[]0,2πx ∈上有四个不同的根，求a 的取值范围及四个根之和.【正确答案】(1)函数()f x 的最小值2-，此时x 的值为5ππ,12x k k =-∈Z (2)答案见解析【分析】（1）利用三角恒等变换整理得()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数性质运算求解；（2）以π23x +为整体，结合正弦函数分析运算.【详解】（1）∵()22π12cos sin sin cos 2cos sin sin cos 32f x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)222sin cos cos sin sin 2cos 2x x x x x x=-=π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ22π,32x k k +=-∈Z ，解得5ππ,12x k k =-∈Z ，故函数()f x 的最小值2-，此时x 的值为5ππ,12x k k =-∈Z .（2）由（1）可知：()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵[]0,2πx ∈，则ππ13π2333,x ⎡⎤∈⎢⎣⎦+，[]πsin 21,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故()[]2,2f x ∈-，且()()02πf f ==，结合正弦函数可得：若()f x a =在[]0,2πx ∈上有四个不同的根，则a 的取值范围为()2-U，设()f x a =在[]0,2πx ∈上的四个不同的根由小到大依次为1234,,,x x x x ，当(a ∈-时，则1234ππππ223π,227π3333x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得12347π19π,66x x x x +=+=，故12347π19π13π663x x x x +++==；当()2a ∈时，则1234ππππ22π,225π3333x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得1234π13π,66x x x x +=+=，故1234π13π7π663x x x x +++=+=；综上所述：当(a ∈-时，四个根之和为13π3；当)2a ∈时，四个根之和为17π3.18．如图，直角梯形ABCD 中，,,2,1,(0),AB CD AB BC AB CD BC a a P ⊥===>∥为线段AD（不含端点）上一个动点，设,AP x AD PB PC y =⋅=，对于函数()y f x =.(1)当2a =时，求函数()f x 的值域；(2)是否存在0a >，使得函数()f x 有最小值0.【正确答案】(1)4,45⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2)存在，a =【分析】（1）以B 为原点，AB ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，结合平面向量线性运算和数量积的坐标表示可得()()()()22214401f x a x a x x =+-++<<，当2a =时，()()258401f x x x x =-+<<，结合二次函数的性质即可求解；（2）由（1）知，()()()()22214401f x a x ax x =+-++<<，结合对称轴()22421a x a+=+及二次函数的性质即可求解.【详解】（1）如图，以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，所以()0,0B ，()2,0A -，()0,C a ，()1,D a -，所以()2,0AB = ，()0,BC a = ，()1,AD a =，因为(),AP xAD x xa ==，所以()2,PB AB AP x xa =-=-- ，()2,PC PB BC x a xa =+=--，所以()()()()()()2222214401f x x xa a xa a C x B P a x P x ==---=+-<⋅++< ，当2a =时，()()258401f x x x x =-+<<，对称轴为45x =，所以函数()f x 在40,5⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在4,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，而45x =时，()45f x =；0x =时，()4f x =；1x =时，()1f x =.所以函数()f x 的值域为4,45⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）由（1）知，()()()()22214401f x a x a x x =+-++<<，对称轴为()22421a x a +=+，当()224121a a +≥+，即0a <≤时，函数()f x 在()0,1上单调递减，此时()f x 没有最小值，不符合题意；当()224121a a +<+，即a >()f x 在()2240,21a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭上单调递减，在()224,121a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭上单调递增，此时()()()()222min224802141a a f x f a a a ⎛⎫+ ==-= ⎪++⎝⎭，即a =所以存在a =()f x 有最小值0.19．我们学习了平面向量的基本定理：如果1e 、2e 是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量a ，都可唯一地表示成1e 、2e 的线性组合，即存在唯一的一对实数λ、μ，使得12a e e λμ=+ .(1)类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理；(2)已知空间向量,,OA OB OC 都是单位向量，且,,OA OB OA OC OB ⊥⊥ 与OC 的夹角为60 ，若P 为空间任意一点，且1OP = ，满足OP OC OP OB OP OA ⋅≤⋅≤⋅ ，求OP OC ⋅ 的最大值.【正确答案】(1)答案见解析7【分析】（1）结合题意类比推理即可求解；（2）建立空间直角坐标系O xyz -，可得()0,0,1A ，()0,1,0B ，1,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，可得2221x y z ++=.12y +的最大值，再利用线性规划求解最值即可.【详解】（1）类比平面向量基本定理，如果1e 、2e 、3e 是不共面的向量，那么对空间中的任意向量a ，存在唯一的一对实数λ、μ、ν，使得123e a e e λνμ=++.（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1A ，()0,1,0B ，1,022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.设(),,P x y z ，则2221x y z ++=.因为OP OC OP OB OP OA ⋅≤⋅≤⋅ 12x y y z +≤≤，平方得22223144x xy y y z +≤≤，结合2221x y z ++=，得()22210x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩①，因为12y O P OC =⋅+ ，所以问题转化为在①条件下求122x y +的最大值.由()0x y-≤，得xy⎧≤⎪-≥或xy⎧≥⎪-≤，102x y+=，并平移，由图可知当平移后的直线经过点A时，122x y+取得最大值.由2221x yy⎧+=⎪-=，可得A⎝⎭，所以max112227277x y⎫+=+=⎪⎪⎝⎭，即OP OC⋅的最大值为7.。
2023年上海中学高一下期中数学试卷及答案
上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．2.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．3.若tan 2θ=-，则2cos2sin21cos θθθ-=+______．4.已知π1πcos (0332αα⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则()sin πα+=________________．5.函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是________6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =________7.已知函数2()cos 2cos (0)222x x x f x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.8.若函数()2sin 0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是________.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，已知b =，45A ∠=，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)10.定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin210x x θ++<为对偶不等式，且θ=______．11.设()202320222021f x x x =++，若不等式()()22sin cos 1cos f x a x a f x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______．12.若不等式2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，则实数k 的最小值为______．二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t =，s的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.2t =，s的最小值为3π14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角θ的面度数为512π，则cos 2θ=（）A.4B.4C.14D.14-15.将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（）．A.9B.275C.3D.1116.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca的值等于A.12-B.12C.1- D.1三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin tan 12cos CA C=-，1b =.（1）求a 的值；（2）若c =，求ABC 外接圆的面积.19.设a 为常数，函数()()sin2cos 2π21f x a x x =+-+（x ∈R ）．（1）设a =，求函数()y f x =的单调区间及周期T ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．20.已知A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1）用θ及R 表示1S 和2S ；（2）求12S S 的最小值．21.对于函数()f x （x D ∈），若存在非零常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 函数”，若对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则称函数()f x 为“严格T 函数”．（1）求证：()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”；（2）若函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，求k 的取值范围；（3）对于定义域为R 的函数()f x ，()00f =．函数()sin f x 是奇函数，且对任意的正实数T ，()sin f x 均是“严格T 函数”．若()π2f a =，()π2f b =-，求a b +的值上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．【答案】2rad 【解析】【分析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，根据题意，由24R l +=，112lR =求解.【详解】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，则24R l +=．①由扇形的面积公式12S lR =，得112lR =．②由①②得1R =，2l =，∴2rad lRα==．∴扇形的圆心角为2rad ．故答案为：2rad2.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．【答案】34-【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan θ的值．【详解】解：角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-=，3y ∴=-，则3tan 44y θ==-，故答案为34-．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.若tan 2θ=-，则2cos2sin21cos θθθ-=+______．【答案】16【解析】【分析】利用正余的倍角公式，将2cos2sin21cos θθθ-+转化成齐次式即可求出结果.【详解】因为2222222cos2sin2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 1cos 2cos sin 2tan θθθθθθθθθθθθ-----==+++，又tan 2θ=-，所以2cos2sin214411cos 246θθθ--+==++.故答案为：16.4.已知π1πcos (0332αα⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则()sin πα+=________________．【答案】3226-【解析】【分析】根据同角关系式，诱导公式及两角差的正弦公式即得.【详解】π02α<<，ππ5ππ,sin 03363αα⎛⎫∴<+<+> ⎪⎝⎭，所以π22sin 33α⎛⎫+==⎪⎝⎭，则()ππsin πsin sin 33ααα⎡⎤⎛⎫+=-=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦221133232⎛=-⨯-⨯= ⎝⎭3226-.故答案为：3226-.5.函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是________【答案】π【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数sin 21y x =+，根据最小正周期等于2πω求出结果.【详解】函数()222sin cos sin cos 2sin cos sin 21y x x x x x x x =+=++=+，∴函数的最小正周期为22ππ=故答案为：π.6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =________【答案】43【解析】【分析】根据面积公式得到1sin 2S ac B =⋅,根据余弦定理得到2222cos a c b ac B +-=⋅,对等式进行整理,即可得到tan B 的值【详解】由三角形面积公式可得1sin 2S ac B =⋅,由余弦定理可得2222cos a c b ac B+-=⋅ 2221()3S a c b =+-,11sin 2cos 23ac B ac B ∴⋅=⋅⋅又0a > ,0c >,12sin cos 23B B ∴=,2sin 431cos 32B B ∴==,即4tan 3B =故答案为43【点睛】本题考查解三角形的问题,考查三角形面积公式,余弦定理的应用,考查正切公式7.已知函数2()cos 2cos (0)222x x x f x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.【答案】(3,2]--【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为23π求得()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后将0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，转化为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象，利用数形结合法求解.【详解】函数2()cos 2cos 222x x x f x ωωω=+，cos 1x x ωω=++，2sin 16x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的周期为，所以2323πωπ==，()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，所以0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象如图所示：由图象可知：23k ≤-<，即2k -3<≤-，所以实数k 的取值范围是(3,2]--，故答案为：(3,2]--【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．8.若函数()2sin 0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是________.【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据x 的范围可确定x ω的范围，由正弦型函数最值可确定x ω所满足的不等关系，解不等式组可求得ω的范围.【详解】当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，,34x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由题意可知：32223222242k k k k ππππωπππππωπ⎧-+<-≤-+⎪⎪⎨⎪-+≤<+⎪⎩，Z k ∈，解得：3966222828k k k kωω⎧-≤<-⎪⎨⎪-+≤<+⎩，Z k ∈，0ω> ，9602280k k ⎧->⎪∴⎨⎪+>⎩，解得：4143k -<<，又Z k ∈，0k ∴=，392222ωω⎧≤<⎪∴⎨⎪-≤<⎩，322ω∴≤<，即ω的取值范围为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，已知b =，45A ∠= ，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得{}22sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合{})2⎡⋃+∞⎣，即可确定一个a的可能取值是【详解】解：由已知及正弦定理sin sin a b A B=22sin 2B =，可得{}22sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合为：{})2⎡⋃+∞⎣．可得a 的可能取值是故答案为．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin210x x θ++<为对偶不等式，且θ=______．【答案】()ππZ 26k k θ=-∈【解析】【分析】根据题意利用韦达定理可得,2a b ab θ+==，且112sin 2a bθ+=-，结合三角恒等变换化简可求得πsin 203θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求得答案.【详解】依题意可知,a b 为2cos220x θ-+=的两根，11,a b为224sin210x x θ++=的两根，需满足2248cos 280,16sin 280θθ'∆=->∆=->，即215sin 226θ<<，故,2a b ab θ+==，且112sin 2a bθ+=-，故11a b a b ab++=，则2sin 22θθ-=，π2sin 202sin 20,3θθθ⎛⎫+=∴+= ⎪⎝⎭，()()πππ2πZ ,Z 326k k k k θθ+=∈∴=-∈，经验证满足215sin 226θ<<故答案为：()ππZ 26k k θ=-∈11.设()202320222021f x xx =++，若不等式()()22sin cos 1cos f x a x a f x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(][),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数，利用奇偶性、单调性将不等式转化恒成立问题，利用换元法结合二次函数的性质求解即可.【详解】令()()202320212022g x f x xx =-=+，由()g x 定义域为R ，且()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数，且2023222,0y x y x ==在R 单调递增，所以()g x 在R 单调递增，所以不等式()()22sin cos 1cos f x a x af x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，()()22sin cos 20211cos 2021f x a x a f x ⇔++-≥+-，()()22sin cos 1cos g x a x a g x ⇔++≥+，22sin cos 1cos x a x a x ⇔++≥+，即221cos cos 1cos x a x a x ⇔-++≥+，()22cos 1cos 0x a x a ⇔+--≤在R 恒成立，设[]cos ,1,1t x t =∈-，则问题转化为：()2210t a t a +--≤在[]1,1t ∈-上恒成立，又因为()22Δ140a a =-+>，所以()()()()2222221110201110a a a a a a a a ⎧⎧-≥-+-⨯--≤⎪⇒⎨⎨+-≥+-⨯-≤⎪⎩⎩，解得：2a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围是：(][),21,-∞-+∞ .故答案为：(][),21,-∞-+∞ .12.若不等式2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，则实数k 的最小值为______．【答案】144【解析】【分析】利用正弦定理角化边，可得223kb ac bc +>恒成立，化简为223bc ac k b -⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，将223bc acb-化为二次函数性形式，结合二次函数性质即可求得答案.【详解】由2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，可得223kb ac bc +>，即223bc ac k b -⎛⎫>⎪⎝⎭恒成立，又因为ABC 中，a b c +>，则()()()222232323b a c b a a b bc ac b b b --+-=<22222311144a a a b b b ⎛⎫⎛⎫=-+⋅+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当11a b =时，211144a b ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭取得最大值144，即223144bc ac b -<，故144k ≥，即实数k 的最小值为144，故答案为：144二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（） A.12t =，s 的最小值为6πB.32t =，s的最小值为6π C.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角θ的面度数为512π，则cos 2θ=（）A.624 B.624C.314D.314-【答案】B 【解析】【分析】设角θ所在的扇形的半径为r ，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得θ，利用两角和的余弦公式即可求解cos2θ的值．【详解】解：设角θ所在的扇形的半径为r ，由扇形的面积公式可得21||2S r θ=⋅，则215||212S r πθ==，可得5coscos cos cos cos sin sin 212464646θπππππππ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭122224=-⨯=.故选：B.15.将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（）．A.9B.275C.3D.11【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数图象的平移求得()g x 的解析式，根据已知求得1π34x +的最大值和2π34x +的最小值，即可求得1x 的最大值以及2x 的最小值，即得答案.【详解】将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像,即()π2sin 314g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()[3,1]g x ∈-，故由()()129g x g x ⋅=可得()()123,3g x g x =-=-，则12ππsin 31,sin 3144x x ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]12,0,4πx x ∈，故12ππ49πππ49π,3,344444,4x x ⎡⎤⎡⎤+∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以需1π34x +取到最大值23π2，2π34x +取到最小值3π2，即1x 取到最大值15π4，2x 取到最小值5π12，此时12x x 取最大值，即12x x 最大值为15π95412π=，故选：A16.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca的值等于A.12-B.12C.1- D.1【答案】C 【解析】【详解】解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f （x ）+f （x-c ）=2，于是取a=b=12，c=π，则对任意的x ∈R ，f （x ）+f （x-c ）=1，由此得cos b ca=-1，选C 三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.【答案】232()433f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意，根据,B C 是半周期内的两个相邻的零点，求得4w =，进而求得3A =和23πφ=-，即可得到函数的解析式；【详解】（1）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是半周期内的两个相邻的零点，则2,,2236T T w πππ=-∴=∴=0321230sin A Asin πφπφπφπφ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪=⎧⎪⎪⎛⎫+=⇒⎨⎨⎪=-⎝⎭⎪⎪⎩⎪-<<⎪⎩所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是一周期内的两个不相邻的零点，则2,,4362T T w πππ=-∴=∴=()2023331203sin A Asin πφπφππφφ⎧⎛⎫+= ⎪⎧⎪⎝⎭=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪-<<=-⎪⎪⎩⎪⎩所以函数()2sin 433f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，及三角函数的解析式的求解，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin tan 12cos CA C=-，1b =.（1）求a 的值；（2）若c =，求ABC 外接圆的面积.【答案】（1）2a =，（2）73π.【解析】【分析】（1）由2sin tan 12cos CA C=-,根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式可得sin 2sin A B =，再由正弦定理可得2a b =，问题得以解决；（2）由（1）可得2a =，先由余弦定理求出cos C ，再求出C 的值，再由正弦定理求出外接圆的半径，问题得以解决.【小问1详解】因为2sin tan 12cos CA C=-，所以sin 2sin cos 12cos A CA C=-，所以sin (12cos )2cos sin A C A C -=，所以sin 2sin cos 2cos sin 2sin()A A C A C A C =+=+，因为πA C B +=-，所以sin()sin(π)sin A C B B +=-=，所以sin 2sin A B =由正弦定理得2a b =.因为1b =，所以2a =.【小问2详解】因为c =2a =，1b =，所以由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即714212cos C =+-⨯⨯，即1cos 2C =-，因为()0,πC ∈所以2π3C =，设ABC 的外接圆半径为R，则22πsin 3R=，解得213R =，所以ABC 的外接圆面积为27ππ3R =.19.设a 为常数，函数()()sin2cos 2π21f x a x x =+-+（x ∈R ）．（1）设a =，求函数()y f x =的单调区间及周期T ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．【答案】（1）增区间ππ[π,π36Z ],k k k -+∈，减区间为 π2π[63π+,πZ k k k +∈；π（2）[0,2]【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得()π2sin(216f x x =++，结合正弦函数性质即可求得答案；（2）根据函数的奇偶性求得a 的值，结合余弦函数性质可求得答案.【小问1详解】因为a =()πcos212sin(2)16f x x x x =++=++，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，解得ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈，即函数()y f x =的单调增区间为ππ[π,π36],Z k k k -+∈；令ππ3π2π+22π,Z 262k x k k ≤+≤+∈，解得π2ππ+π,Z 63k x k k ≤≤+∈，函数()y f x =的单调减区间为π2π[π+,π],Z 63k k k +∈函数的周期为2ππ2T ==.【小问2详解】函数()y f x =为偶函数，则()()f x f x -=，即sin(2)cos(22)1ππsin2cos(22)1a x x a x x -+++=+-+，即sin2cos21sin2cos21a x x a x x -++=++，即sin20a x =，由于x ∈R ，则0a =，故()()cos 2π21cos 21f x x x =-+=+，由于cos 2[1,1]x ∈-，故()[0,2]f x ∈.20.已知A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1）用θ及R 表示1S 和2S ；（2）求12S S 的最小值．【答案】（1）()21sin cos 2sin cos S R θθθθ=+-，22sin 2S R θ=；（21-【解析】【分析】（1）先利用θ及R 表示出,AC BC 的长，即可表示出2S ，进而设AB 的中点为O ，连接,MO NO ，表示出ME 的长，结合三角形面积公式即可表示出1S ；（2）利用（1）的结论可得12S S 的表达式，结合三角函数sin cos ,sin cos θθθθ+之间的关系化简，并利用函数单调性，即可求得答案.【小问1详解】因为π,(0,]2ABC θθ∠=∈，故2sin 2cos ,AC R BC R θθ==，所以22212sin cos sin 22S AC BC R R θθθ=⋅==，设AB 的中点为O ，连接,MO NO ，则,MO AC NO BC ⊥⊥,设MO 交AC 于点E ，则()cos 1cos 2BCME MO OE R R R R θθ=-=-=-=-，则()21||||sin 1cos 2AMC S AC ME R θθ=⋅=- ，同理求得()2cos 1sin BNC S R θθ=- ，故()()()2221sin 1cos cos 1sin sin cos 2sin cos S R R Rθθθθθθθθ=-+-=+-.【小问2详解】由（1）的结论可得()2122sin cos 2sin cos sin cos 12sin cos 2sin cos R S S R θθθθθθθθθθ+-+==-，令πsin cos ,0,2t θθθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则(π)4t θ=+∈，故22sin cos 1t θθ=-，所以12211111S t S t t t=-=---，由于(t ∈，1y t t =-在(上单调递增，则12(0,]2t t-∈，故1111t t-≥-，即12S S1-.21.对于函数()f x （x D ∈），若存在非零常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 函数”，若对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则称函数()f x 为“严格T 函数”．（1）求证：()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”；（2）若函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，求k 的取值范围；（3）对于定义域为R 的函数()f x ，()00f =．函数()sin f x 是奇函数，且对任意的正实数T ，()sin f x 均是“严格T 函数”．若()π2f a =，()π2f b =-，求a b +的值【答案】（1）证明见解析（2）[2,)π+∞（3）0【解析】【分析】（1）取非零常数2πT =，证明函数满足()()f x T f x +≥即可；（2）根据函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，可推出22ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，化简为cos 22πk x ≥-，结合余弦函数性质可得答案；（3）由“严格T 函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合()sin f x 是奇函数，利用其对称性即可求得答案.【小问1详解】证明：取非零常数2πT =，则对任意的x ∈R ，都有()2πsin(2π)sinx f x x +=+=，因为sin sin x x ≥，即()()f x T f x +≥成立，故()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”.【小问2详解】函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，R D =，则()π2f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即22ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得cos 22πk x ≥-，而cos 2[1,1]x ∈-，故π21,2πk k ≥∴≥，即k 的取值范围为[2,)π+∞；【小问3详解】因为对于任意x ∈R ，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则()f x 在R 上为单调增函数，令()()sin g x f x =，x ∈R ，由题意知()()sin g x f x =为奇函数，因为()π2f a =，()π2f b =-，所以()sin(())1,()sin(())1g a f a g b f b ====-，所以()()0g a g b +=，则0a b +=.【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题.。
上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题
上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．M有最小值，N有最大值B．M有最大值，N有最小值C．M有最大值，N有最大值D．M有最小值，N有最小值．π2【分析】根据正弦型函数的周期【详解】因为()sinf x læ=çèπæö（3）1122111222a x a x xb x b x x l l +=ìí+=î，可得()()111222,,0x a b x a b l l -+-=．因为12,x x 都不为0，从而向量()11,a b l -与()22,a b l -平行，所以存在实数l 满足()()1221a b a b l l --=，即()21212210a b a b a b l l -++-=．要使l 存在且唯一，则1212a a b b ､､､应满足：()21221Δ40a b a b =-+=．当()f x l l =r r 时，f 有唯一的特征值，且||f l =‖‖．具体证明为：由f 的定义可知：()()1212,,f x x x x l =，所以l 为特征值．此时2112,0,0,b a a b l l ====满足：()2122140a b a b -+=，所以有唯一的特征值．在22121x x +=的条件下()()22212x x l l l +=，从而有||f l =‖‖．【点睛】关键点点睛：新定义题型，考查数乘向量的坐标运算，相等向量的坐标的关系，考查运算求解能力与转化能力，学生的阅读理解能力是解本题的关键.。
上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
8. 已知 是第四象限角，且 sin( ) 3，则 tan( )
45
4
9. 无穷数列{a }由 k 个不同的数组成， S 为{a }的前 n项和，若对任意 n N * ， S {1,3}，
n
n
n
n
则 k 的最大值为
10. 在锐角 ABC中，若 sin A 3sin BsinC ，则 tan AtanB tanC 的最小值是
1； 2
（1）若 tan 1 ，求 f ( ) 的值； 2
（2）求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间；
19. 设 ABC的三个内角 A、 B 、 C 对边分别是 a 、 b 、 c ，且满足 acosC 1 c b ； 2
（1）求角 A 的大小； （2）若 a 1，求 ABC的周长 l 的取值范围；
使得 f (m) g (m) ，则 a b
二. 选择题
13. 若 MP 和 OM 分别是角 7 的正弦线和余弦线，则（ ） 6
A. MP OM 0
B. OM 0 MP
4
C. OM MP 0
D. MP 0 OM
14. 已知, (0, ) ，则下列不等式一定成立的是（ ） 2
11. 已知 f (x) asin3 x b 3 x cos3 x 4 （ a, b R ），
且 f (sin10) 5，则 f (cos100)
12. 设 a 、 b 均为大于 1 的自然数，函数 f ( x) a(b sin x) ， g ( x) b cos x ，若存在实数 m ，
A. 11
B. 9
C. 7
D. 5
三. 简答题 15. 在 ABC 中， a2 c2 b2 2ac ； （1）求 B 的大小； （2）求 cos A 2 cosC 的最大值；
上海市2023-2024学年高一下学期期中考试数学模拟试题(含答案)
上海市2023-2024学年高一下学期期中考试数学模拟试题一、填空题：（本题共有12个小题，每小题4分，满分48分）1．不等式的解集为 ．301x x +>-2．函数的最小正周期是，则.sin (0)3y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭πω=3．已知集合，，且．则实数的取值范围为 {}25P x x =-≤≤{}121Q x k x k =-≤≤-P Q ⊆k ．4．已知向量，，则在的方向上的数量投影为 ．()1,2a =r ()0,4b = b a 5．若，则的最小值是．1x >11x x +-6．已知向量的夹角为，，若，则实数x 的值为 ,a b 60︒||1,||2a b == (2)()a b xa b +⊥- ．7．已知α为锐角，且cos(α＋)＝，则sinα＝．4π358．函数，R 的单调递增区间为23()cos sin 22f x x x =+x ∈9．已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ．()sin 22y x ϕ=+0ϕ>ϕ10．已知方程在上有实数解，则实数的取值范围是．sin 3cos 1x x m +=+[]0,πx ∈m 11．已知菱形ABCD 的边长为2，，点E ，F 分在边BC ，CD 上，，120BAD ∠=︒BE BC λ= ．若，则的最小值为 ．DF DC μ= 23λμ+=AE AF ⋅ 12．设，函数.若在上单调递增，R ω∈()2π2sin ,0,6314,0,22x x f x x x x ωω⎧⎛⎫+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪++<⎪⎩()g x x ω=()f x 1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是 .()f x ()g x ω二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）13．在中，是为等腰三角形的ABC ∆sin sin A B =ABC ∆A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)求的最大值及此时的值；OA OQ S ⋅+ θ0θ(2)设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值．B 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭AOB α∠=()0tan αθ+19．在中，角所对的边分别为，且ABC ,,A B C ,,a b c 2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ (1)若成等比数列，求角的大小；,,a b c C (2)若，且，求的面积．1b =2221sin sin sin 2B A C -=ABC 20．已知函数，其中．ππ()4sin cos 11212f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0ω>(1)若，求的对称中心；()()1212min π(),2f x f x f x x x ≤≤-=()f x (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一24ω<<()f x π6()g x π3x =()g x 个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值；()g x [,]m n ,R m n ∈m n <n m -(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存π()cos 22(0)6h x a x a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦在，使得成立，求实数a 的取值范围．2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =1．或{3x x <-1}x >【分析】由题可得，进而即得.(1)(3)0x x -+>【详解】由，得，301x x +>-(1)(3)0x x -+>所以或，3x <-1x >故不等式得解集为或．{3x x <-1}x >故或．{3x x <-1}x >2．2【分析】根据周期的计算公式，代入周期即可得到的值.2T ωπ=ω【详解】因为，所以.2T ωπ=222T ππωπ===故答案为.2本题考查三角函数的周期公式的运用，难度较易.知道其中一个量即可求解另一个量.2T ωπ=3．3k ≥【分析】利用建立不等关系，求解即可.P Q ⊆【详解】因为，所以，解得.P Q ⊆21512k k -≥⎧⎨-≤-⎩3k ≥故3k ≥4．##855855【分析】利用数量投影的定义可求答案.【详解】向量，，在的方向上的数量投影为.()1,2a =r ()0,4b = b a 88555a b a ⋅== 故8555．3【分析】，利用基本不等式可得最值．111111x x x x +=-++--【详解】∵，1x >∴，()111112113111x x x x x x +=-++≥-⨯+=---当且仅当即时取等号，111x x -=-2x =∴时取得最小值3.2x =11x x +-故3．6．3【分析】根据得到，然后结合平面向量的数量积的概(2)()a b xa b +⊥- (2)()0a b xa b +⋅-= 念以及运算律得到，解方程即可.()221121122202x x ⨯+-⨯⨯⨯-⨯=【详解】因为，则，(2)()a b xa b +⊥- (2)()0a b xa b +⋅-= 所以，22220xa a b xa b b -⋅+⋅-= ，()222120xa x a b b +-⋅-= ，()2221cos 6020x a x a b b +-⋅⋅-= ，()221121122202x x ⨯+-⨯⨯⨯-⨯=解得，3x =故3.7．210【详解】．222432sin sin sin cos 44242425510ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦点睛：本题考查三角恒等关系的应用．本题中整体思想的应用，将转化成，然α44ππα⎛⎫+- ⎪⎝⎭后正弦的和差展开后，求得，代入计算即可．本题关键就是考查三角函数中的整sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭体思想应用，遵循角度统一原则．8．，[,k ]36k ππππ-+k ∈Z【详解】因为,()23cos sin22f x x x =+1cos 231sin 2sin(2)2262x x x π+=+=++∴单调递增区间为，222,(),262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈[,k ]36k ππππ-+k ∈Z函数的性质sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>(1).max min =+y A B y A B =-，(2)周期2π.T ω=(3)由 求对称轴ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z (4)由求增区间;ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 由求减区间π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 9．##4π14π【分析】利用三角函数的性质即可求解.【详解】因为函数是偶函数，()sin 22y x ϕ=+所以，解得，π2π,Z 2k k ϕ=+∈ππ,Z 24k k ϕ=+∈又，0ϕ>所以当时，的最小值是.0k =ϕπ4故答案为.π4ϕ=10．31,1⎡⎤--⎣⎦【分析】先化简函数结合其值域可求答案.sin 3cos y x x =+【详解】，πsin 3cos 2sin 3y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为，所以，，[]0,πx ∈ππ4π,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π3sin ,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，sin 3cos 3,2y x x ⎡⎤=+∈-⎣⎦【分析】利用在上单调递增可得，函数与的图象有三个交()f x 1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭1243ω≤≤()f x ()g x 点，可转化为方程在上有两个不同的实数根可得答案.23610x x ω++=(),0x ∈-∞【详解】当时，，π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ππππ,6626ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭x 因为在上单调递增，()f x 1π,32⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，解得，()π0ππ2624133π12sin 62ω⎧+≤⎪⎪⎪-≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩1243ω≤≤又函数与的图象有三个交点，()f x ()g x 所以在上函数与的图象有两个交点，(),0x ∈-∞()f x ()g x 即方程在上有两个不同的实数根，231422x x x ωω++=(),0x ∈-∞即方程在上有两个不同的实数根，23610x x ω++=(),0x ∈-∞所以，解得，22Δ3612003060102ωωω⎧=->⎪⎪-<⎨⎪⨯+⨯+>⎪⎩33ω>当时，令，0x ≥()()π2sin 6ωω⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭f x g x x x 由时，，0x =()()10f x g x -=>当时，，π5π66ω+=x 7π3ω=x 此时，，()()7π203-=-<f x g x 结合图象，所以时，函数与的图象只有一个交点，0x ≥()f x ()g x 综上所述，.32,33ω⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦关键点点睛：解题的关键点是转化为方程根.13．A【详解】因为中，ABC ∆sin sin A =当时，若，则，不满足，不合题意.11,,13k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭()1,0x ∈-()0f x <()>f x x 故选：C16．D【详解】由 则点()()1OA m OB m OC OA OC m OB OC CA mCB =⋅+-⋅⇒-=⋅-⇒=⋅ 必共线，故A 正确；、、A B C 由平面向量基本定理可知B 正确；由 可知为的外心，由可知为的(0)OA OB OC r r ===> O ABC ∆0OA OB OC ++=O ABC ∆重心，故为的中心，即是等边三角形，故C 正确；O ABC ∆ABC ∆存在四个向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直,D 错误故选D.17．或63m n =⎧⎨=⎩332m n =⎧⎪⎨=⎪⎩【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解.【详解】因为向量，，，()2,OA m =- (),1OB n = ()5,1OC =- 所以，,()2,1AB OB OA n m =-=+- ()7,1AC OC OA m =-=-- 因为，，三点共线，A B C 所以平行，,AB AC 所以，即，()()()21710n m m +⨯---⨯-=590m n mn ---=将代入中，得或.2m n =590m n mn ---=63m n =⎧⎨=⎩332m n =⎧⎪⎨=⎪⎩18．(1)最大值是，此时.21+0π4θ=(2)17-【分析】（1）根据三角函数定义可得点坐标，根据向量数量积可得，根据向量加法P OA OQ ⋅ 几何意义得四边形为平行四边形，可得求解析式，根据配角公式将函数化OAQP OA OQ S ⋅+ 为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最大值以及对应自变量；（2）由三角函数定义可得的正切值，结合两角和的正切公式可得．α()0tan αθ+【详解】（1）由题意知的坐标分别为，．,A P ()1,0()cos ,sin θθ，()()1,0cos ,sin OQ OA OP θθ=+=+ ()1cos ,sin θθ=+.()()1,01cos ,sin 1cos OA OQ θθθ∴⋅=⋅+=+ 由题意可知.sin S θ=，.πsin cos 12sin 14OA OQ S θθθ⎛⎫∴⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ()0πθ<<所以，故时，ππ5π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πππ,424θθ+==πsin 14θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的最大值是，此时.OA OQ S ∴⋅+ 21+0π4θ=（2），，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭ AOB α∠=.4tan 3α∴=-.()041πtan 113tan tan 441tan 713ααθαα-++⎛⎫∴+=+===- ⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭19．(1)π3(2)1110【分析】（1）根据题意，利用数量积的定义化简得到，再由余弦cos cos 2cos cb A ca B ba C +=定理得到，结合，求得，即可求解；2222a b c +=2b ac =a b c ==（2）由（1）知，根据题意，利用正弦定理可得，联立方程组求得2222a b c +=22212b a c -=的值，结合余弦定理求得，得到，利用面积公式，即可求解.,,a b c 35cos 10A =55sin 10A =【详解】（1）因为，2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ 根据向量的数量积的定义，可得，cos cos 2cos cb A ca B ba C +=由余弦定理可得，整理得，2222222222222b c a a c b a b c +-+-+-+=2222a b c +=因为成等比数列， 所以，解得,,a b c 2b ac =a b c==所以为等边三角形，所以.ABC π3C =（2）解：由（1）知，2222a b c +=又由，根据正弦定理可得，2221sin sin sin 2B A C -=22212b a c -=联立方程组，解得，25c b =因为，所以，，1b =255c =155a =由余弦定理可得，所以，22235cos 210b c a A bc +-==55sin 1cos 10A A =-=所以的面积为.ABC 11255511sin 12251010S bc A ==⨯⨯⨯=20．(1)()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,(2)10π9(3)[)2,0-【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，整体代入法ω求的对称中心；()f x （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点()g x π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭24ω<<3ω=()g x 个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小35T n m T <-<n m -,m n ()g x n m -值；（3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦()h x ()g x 构造不等式示结果.【详解】（1）函数，πππ()4sin cos 12sin 2112126f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭若，则与是相邻的最小值点和最大值点，()()1212min π(),2f x f x f x x x ≤≤-=1x 2x 的最小正周期为，由，解得，得，()f x 2ππ2⨯=2ππ2ω=1ω=π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令，解得，此时，()π2πZ 6x k k +=∈()ππZ 122k x k =-+∈()1f x =所以的对称中心为.()f x ()ππ1Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,（2），()πππ122sin 212sin 2π16666g x f x x x ωωω⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，π2π12ππ2sin π12sin 1033636g ωωω-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以或ππ1sin 362ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()ππ7π2πZ 366k k ω+=+∈()ππ11π2πZ 366k k ω+=+∈解得或，又， 得，()36Z k k ω=+∈()56Z k k ω=+∈24ω<<3ω=所以，函数最小正周期，()52sin 6π16g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3π2π6T ==令，即，解得或，()0g x =51sin 6π62x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()11ππZ 93k x k =+∈()22πZ 3k x k =∈若在上恰好有8个零点，则，()g x [,]m n 35T n m T <-<要使最小，则恰好为的零点，n m -,m n ()g x 的最小值为.n m -ππ10π3399⨯+=（3）由（2）知，，()52sin 6π16g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭设在上的值域为，在上的值域为，()h x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ()g x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B若对任意，存在，使得成立，则，1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =A B ⊆当， ，，则，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π5π2π6,663x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦[]5πsin 61,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭[]1,3B =-当，，，则，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πππ2,663x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦π1cos 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3,2A a a ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦由可得，又，解得，A B ⊆1332a a -≥-⎧⎪⎨-≤⎪⎩a<020a -≤<所以实数a 的取值范围为.[)2,0-方法点睛：1. 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点；()g x [,]m n n m -,m n ()g x 2.，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域1π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =()h x ()g x 的子集.。
上海市高一下学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．设点是角终边上的一点，且满足条件，则实数__． ()P y α2sin 3α=y =【答案】2【分析】结合正弦三角函数的定义即可列式求解.【详解】由题意得，所以．2sin 03y α==>2y =故答案为：2.2．若，则与垂直的单位向量的坐标为_______________. (2,2)a =-a【答案】或 (【详解】试题分析：与垂直的单位向量的坐标为则解得或,故答案为或. (【解析】（1）数量积判断两个平面向量的垂直关系；（2）单位向量.3写成的形式，其中，则__． sin -x x ()2sin x ϕ+02ϕπ≤<ϕ=【答案】23π【分析】结合三角恒等变换公式的逆运用即可求解.【详解】， 12π2π2πsin 2sin 2sin cos sin cos 2sin 2333x x x x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭所以． 23ϕπ=故答案为：. 23π4．已知，则__．5sin()3sin 0αβα++=tan cot 22ββα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】##-0.2514-【分析】根据已知等式进行凑角，利用和差公式展开结合商数关系式即可得所求.【详解】解：因为，所以，5sin()3sin 0αβα++=5sin 3sin 02222ββββαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦所以，则， 8sin cos 2cos sin 02222ββββαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos sincos 2222820sin cos cos sin 2222ββββααββββαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以．1tan cot 224ββα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭故答案为：.14-5．若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量__．()y f x =a ()12y f x =+-a =【答案】()1,2--【分析】根据函数的平移方向和大小可得答案.【详解】函数的图象平移后，得到函数的图象, ()y f x =()12y f x =+-则要向左平移1个单位，向下平移2个单位故 ()1,2a =-- 故答案为：.()1,2--6．已知在所在平面内，，则是的__心．P ABC PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅P ABC 【答案】垂【分析】根据给定等式，利用向量数量积的运算法则，结合垂直关系的向量表示推理作答.【详解】由得：，即，则PA PB PB PC ⋅=⋅ )0(PA PB PB PC PB PA PC PB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅= PB CA ⊥， PB CA ⊥由同理可得：，PB PC PC PA ⋅=⋅PC AB ⊥所以是的垂心. P ABC 故答案为：垂7．函数的严格减区间是__．()f x =【答案】．()π2π,2πZ 6k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【分析】结合函数的定义域和复合函数的单调性即可求解. 【详解】令，则2cos 3u x =-()f x=欲求的减区间，则求的减区间 ()f x =2cos 3u x =-由题意得定义域为cos x ≥()ππ2π,2πZ 66x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦所以的减区间为2cos 3u x =-()π2π,2πZ 6k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以函数的严格减区间是.()f x =()π2π,2πZ 6k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：.()π2π,2πZ 6k k k ⎡⎤+∈⎢⎣⎦8．已知，，则向量在向量方向上的投影是__________． 6,3a b == 12a b ⋅=- a b【答案】.4-【分析】根据题意，结合向量投影公式直接计算即可.【详解】解：根据投影公式，向量在向量方向上的投影是. a b 12||cos ,43||a b a a b b ⋅-===- 故答案为：．4-9．已知两个不相等的非零向量、，两组向量、、、和、、、均由2个a b 1x 2x 3x 4x 1y 2y 3y 4y a和2个排列而成，记，则最多有__个不同的值． b11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅ S 【答案】3【分析】由题意分析即可得的各种取值情况，即可得符合条件的个数.S S 【详解】解：由题意可知， 有三个值，11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅分别为、、S a a a a b b b b =⋅+⋅+⋅+⋅ 2222a b =+S a a b b a b a b =⋅+⋅+⋅+⋅ 222a b a b =++⋅ ． S a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅+⋅ 4a b =⋅ 故最多有3个不同的值． 故答案为：3.10．设，函数，若方程有且只有两个不相等的0a >()2(1)sin(),(0,1)f x x x ax x =+-∈()21f x x =-实数根，则a 的取值范围是_________ 【答案】 1119(,]66ππ【分析】问题可转化为在上的图象与直线仅有两个交点，作出函数图象，观察sin y t =(0,)a 12y =-图象即可得解．【详解】由题意得，在上仅有两个不同的解， 212(1)sin()x x x ax --=-(0,1)即在上仅有两个不同的解， 12(1)sin()x x ax -=-(0,1)即在上仅有两个不同的解，1sin()2ax =-(0,1)设，则在上的图象与直线仅有两个交点，(0,)t ax a =∈sin y t =(0,)a 12y =-作出及直线的图象如下图所示，sin y t =12y =-由图象可知，． 111966a ππ<…故答案为：． 1119(,66ππ【点睛】方法与易错点点睛：转化为在上的图象与直线仅有两个交点是解题的sin y t =(0,)a 12y =-关键，易错点：结果的开闭区间要注意. 11．如图，已知是半径为2圆心角为的一段圆弧上的一点，若，则的值P 3πAB 2AB BC = PC PA ⋅域是__________.【答案】5⎡⎤-⎣⎦【分析】建立平面直角坐标系，将向量的数量积求最值转换成求三角函数的最值即可．【详解】以圆心为原点，平行的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，AB x AB y则，，设，， (A -C (2cos ,2sin )P θθ233ππθ……则(22cos PC PA θ⋅=-2sin )(12cos θθ⋅--2sin )52cos θθθ=--，且，5)θα=-+0tan α<=06πα∴<<， ∴536ππθα<+<在，上递增，在，上递减， sin()y θα=+ (3π]2π[2π56π当时，的最小值为∴2πθα=-PC PA ⋅ 5-当时，的最大值为，23πθ=PC PA ⋅ 2252cos 033ππ--=则， [5PC PA ⋅∈-0]故答案为：，．[5-0]【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用向量的坐标运算，数量积的坐标运算，将问题转化为三角函数求值域问题，是解题的关键，属于中档题.12．在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且，xOy ,a b1a b == 12a b ⋅=- （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式(),1,(,1)c m m d n n =-=- ,m n ∈R a b,m n 成立，则实数的最大值为___________． a c b d T -+-≥T【答案】1【分析】由转化为求的最小值，转化为求的最大值，再由a c b d T -+-≥a cb d -+- AE BF +梯形中位线转化为求的最大值得解.MN 【详解】设，，则点、在单位圆上，点、在直线a OAb OB ==，,c OC d OD ==r u u u r u r u u u r A B C D 上，的夹角为．如图所示． 10x y +-=a b，23π根据、的任意性，即求点、到直线距离之和的最小值， m n A B 10x y +-=即 （点、分别是点、在直线上的射影点）； AE BF +E F A B 10x y +-=同时根据的存在性，问题转化为求的最大值．,a bAE AF +设的中点为，设点、在直线上射影点分别为、， AB M M O 10x y +-=N 'O则22(')AE BF MN MO OO +=≤+1212==（当且仅当点、、依次在一条直线上时，等号成立． M O 'O所以，即所求实数的最大值是 1T ≤T 1+故答案为：1【点睛】关键点睛：把向量模长最值转化为点到直线的距离.二、单选题13．若在中，是的（ ）条件 ABC ""A B >"sin sin "A B >A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要 D ．既非充分又非必要【答案】C【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得A B >a b >sin sin a bA B=．sin sin A B >若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知． sin sin A B >sin sin a bA B=a b >A B >所以，“”是“”的充要条件． A B >sin sin A B >故选：C ．14．下列等式中不恒成立的是（ ） A ．B ．a b b a ⋅=⋅ ()a b a b λλ⋅=⋅C ．D ．222()a b a b ⋅=⋅ 22||()()a b a b a b -=+⋅- 【答案】C【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的运算律，准确化简，即可求解。
2022-2023学年上海市闵行区高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市闵行区高一下学期期中数学试题一、填空题1．函数2log y x =的定义域是_________．【答案】()0,+∞【分析】根据对数函数的概念即可求解.【详解】由题意知，函数2log y x =的定义域为(0,)+∞.故答案为：(0,)+∞.2．函数2sin 34y x =+的最小正周期是_________．【答案】23π/23π【分析】根据公式2πT ω=计算直接得出结果.【详解】由题意知，函数2sin 34y x =+的最小正周期为2π3T =.故答案为：2π3.3．已知集合{}{}21,20,R A B x x x a x ==++=∈，且A B ⊆，则实数a 的值是_________．【答案】-3【分析】根据A B ⊆得出1x =是方程220x x a ++=的解，将1x =代入方程220x x a ++=中进行计算，即可得出结果.【详解】因为{}1A =，{}220B x x x a =++=，A B ⊆，所以1x =是方程220x x a ++=的解，即21210a +⨯+=，解得3a =-.经检验，3a =-符合题意，所以3a =-.故答案为：3-.4．扇形OAB 所在圆的半径长为1， AB 所对的圆心角AOB ∠大小为π3，则扇形OAB 的面积为_________．【答案】6π/16π【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式直接计算作答.【详解】依题意，扇形OAB 的面积21ππ1236S =⨯⨯=.故答案为：π6.5．指数函数(1)x y a =-在区间[0,2]上的最大值为4，则实数a 的值是_________．【答案】3【分析】确定a 的取值范围，再分类求出最大值作答.【详解】指数函数(1)x y a =-中，10a ->且11a -≠，即1a >且2a ≠，当12a <<时，函数(1)x y a =-在[0,2]上单调递减，当0x =时，max 1y =，不符合题意，当2a >时，函数(1)x y a =-在[0,2]上单调递增，当2x =时，2max (1)4y a =-=，解得3a =，所以实数a 的值是3.故答案为：3.6．函数πsin 2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调减区间是_________．【答案】[]2π,π2,Zk k k π+∈【分析】根据正弦函数的单调性即可求解.【详解】由ππ3π2π2π,Z 222k x k k +≤+≤+∈，得2ππ2π,Z k x k k ≤≤+∈，所以函数πsin 2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调减区间为[]2π,π2π,Z k k k +∈.故答案为：[]2π,π2π,Z k k k +∈.7．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()12f x x =-，则当0x <时，()y f x =的表达式为_________．【答案】12x --/21x --【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出0x <时的解析式作答.【详解】()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()12f x x =-，则当0x <时，0x ->，()()[12()]12f x f x x x =--=---=--，所以当0x <时，()y f x =的表达式为()12f x x =--.故答案为：12x--8．方程|3||4|1x x -+-=的解集是_________．【答案】[]3,4【分析】分类讨论x 的范围即可求出答案.【详解】当4x ≥时，|3||4|34271x x x x x -+-=-+-=-=，所以4x =；当34x <<时，|3||4|341x x x x -+-=--+=，所以34x <<；当3x ≤时，|3||4|34271x x x x x -+-=-+-+=-+=，所以3x =，所以综上所述：方程|1||3|2x x -+-=的解集为[]3,4.故答案为：[3,4].9．对任意实数x ，定义[]x 表示小于等于x 的最大整数，例如[1.8]1,[1.8]2=-=-，则方程2[]10x x --=的解的个数是_________．【答案】1【分析】根据[]x 的意义列出不等式，求出x 的取值范围，并分段求出[]x 即可求解作答.【详解】方程2[]10x x --=，化为21[]x x -=，而[]x x ≤，所以21x x -≤，所以210x x --≤，解得151522x -+≤≤.当1502x -≤<时，[]1x =-，又21[]x x -=，则20x =，解得0x =，无解；当01x ≤<时，[]0x =，又21[]x x -=，则21x =，解得1x =±，无解；当1512x +≤≤时，[]1x =，又21[]x x -=，则22x =，解得2x =±，因此2x =，所以方程2[]10x x --=的解为2x =，即方程解的个数有1个.故答案为：1.10．某河道水上游览航线一经开放就受到公众喜爱，其中有一条航线是：从码头A 出发顺流而下到码头B ，然后不做停留原路返回到码头A （不计调头时间）．假设游船在静水中的船速恒定不变，且整个航程中途不做停靠，以下结论正确的是_________（填序号）．①水流速度越大整个航程所需时间越长；②水流速度越大整个航程所需时间越短；③水流速度大小不会影响整个航程所需时间．【答案】1【分析】设AB 的距离为S ，游船在静水中的速度为v ，水流的速度为v '，求出整个航程所需的时间即可求解.【详解】设码头A 到码头B 的距离为S ，游船在静水中的速度为v ，水流的速度为v '，则A 到B 为顺流，所需的时间为1S t v v ='+，原路返回码头A 所需的时间为2S t v v ='-，整个航程所需的时间为12222S S Sv t t t v v v v v v =+=+='''+--，所以当水流的速度v '越大，整个航程所需的时间t 越长，故①正确，②③错误.故答案为：①.11．已知函数()y f x =的表达式是4||()4x f x x =+，若(0,π)α∈，且(sin )(cos )f f αα<成立，则α的取值范围是_________．【答案】π3π(0,)(,π)44【分析】判断函数()y f x =的奇偶性和单调性，再利用此性质脱去法则“f ”，并解三角不等式作答.【详解】函数4||()4x f x x =+的定义域为R ，4||()()()4x f x x x f --=-+=，即()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，4()4x f x x =+，函数4,4x y x y ==在[0,)+∞上都是增函数，因此()f x 在[0,)+∞上单调递增，而(sin )(cos )(|sin |)(|cos |)f f f f αααα<⇔<，因此|sin ||cos |αα<，即22sin cos αα<，整理得cos 20α>，又(0,π)α∈，即2(0,2π)α∈，于是π022α<<或3π22π2α<<，解得π04α<<或3ππ4α<<，所以α的取值范围是π3π(0,)(,π)44.故答案为：π3π(0,)(,π)4412．已知函数()y f x =的表达式是()cos 2sin f x x a x =+，若对于任意x ∈R 都满足π()()2f x f ≤，则实数a 的取值范围是_________．【答案】[4,)+∞【分析】把函数()f x 化成关于sin x 的二次型函数，再换元利用二次函数取最大值的条件求出a 的范围作答.【详解】依题意，2()2sin sin 1f x x a x =-++，x ∈R ，令sin [1,1]t x =∈-，对于任意x ∈R 都满足π()()2f x f ≤，则有max π()()2f x f =，即当π2x =，sin 1x =时，函数()f x 取得最大值，于是函数221y t at =-++，[1,1]t ∈-在1t =时取得最大值，因此14a ≥，解得4a ≥，所以实数a 的取值范围是[4,)+∞.故答案为：[4,)+∞【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[]1,1-或其子区间上的最值求解.二、单选题13．“a b >”是“22a b >”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】D【解析】22||||a b a b >⇔>，与a b >没有关联，取特值，利用充分和必要条件的定义进行判断.【详解】当0,1a b ==-时，满足a b >，但22a b >不成立，当2,1a b =-=-时，满足22a b >，但a b >不成立，∴“a b >”是“22a b >”的既非充分又非必要条件.故选:D.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解题的关键，属于基础题.14．函数ln x y x =的示意图是（）A ．B ．C．D．【答案】A【分析】由()f x 为奇函数，排除B ，D ，又因为102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，即可得出正确答案.【详解】函数ln x y x =的定义域为}{0x x ≠，令()ln x f x x =，由()()ln ln x x f x f x x x --==-=--，所以()f x 为奇函数，排除B ，D.又因为1ln1122ln 01222f ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，所以排除C.故选：A.15．在ABC 中，若()sin sin sin 2C B A A +-=，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.【详解】因为()()sin sin πsin C A B A B =-+=+⎡⎤⎣⎦，由()sin sin sin 2C B A A +-=可得：()()sin sin sin 2A B B A A ++-=，即sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos A B A B B A B A A A ++-=，所以sin cos sin cos B A A A =，所以()cos sin sin 0A A B -=，所以cos 0A =或sin sin A B =，因为0πA <<，0πB <<，所以π2B =或A B =，所以ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形，故选：D.16．已知对任意正数a 、b 、c ，当1a b c ++=时，都有222a b c m ++<成立，则实数m 的取值范围是（）．A ．3[32,)+∞B ．3(32,)+∞C ．[4,)+∞D ．(4,)+∞【答案】C【分析】根据给定条件，把222a b c ++化为12222bab a -++，并将它视为a 的函数，利用对勾函数的性质求得11122222a b b b b a ---<++++，再构造函数2()212b b h b =++，利用对勾函数求解作答.【详解】由1a bc ++=，0,0,0a b c >>>，得1c a b =--，01a b <+<，于是01,01a b b <<-<<，11222)2222(ba b ab a b a f a ---=++=++，令12(1,2)a b t -=∈，函数12()2bb g t t t-=++在12(1,2)b -上递减，在112(2,2)b b --上递增，显然11(1)(2)221b b b g g --==++，因此11122222222a b b b b c a a b ---=<++++++，令函数12()221212b b b b h b -=++=++，01b <<，令2(1,2)b u =∈，2()1u u uϕ=++在(1,2)上单调递减，在(2,2)上单调递增，而(1)(2)4ϕϕ==，即12214b b -++<，于是4222a b c +<+，因为对任意正数a 、b 、c ，当1a b c ++=时，都有222a b c m ++<成立，则4m ≥，所以实数m 的取值范围是[4,)+∞.故选：C【点睛】思路点睛：涉及多变量函数，结合给定条件采用消元、以其中的某个变量为自变量，另外的变量为参数，依次推理求解即可.三、解答题17．已知集合{}21,R A x x x =-≤∈，30,R 1x B x x x ⎧⎫-=<∈⎨⎬+⎩⎭，求A B ⋂．【答案】[1,3).【分析】解含绝对值符号的不等式化简集合A ，解分式不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】依题意，解不等式|2|1x -≤，得121x -≤-≤，解得13x ≤≤，则[1,3]A =，解不等式301x x -<+，得(3)(1)0x x -+<，解得13x -<<，则(1,3)B =-，所以[1,3)A B = .18．已知4cos ,(0,π)5θθ=-∈，求下列各式的值：(1)πsin()tan(π)2θθ-⋅+；(2)1sin 21cos 2θθ-+．【答案】(1)35；(2)4932.【分析】（1）利用平方关系求出sin θ，再利用诱导公式及商数关系计算作答.（2）利用（1）中信息，结合二倍角的正余弦公式求解作答.【详解】（1）因为4cos ,(0,π)5θθ=-∈，则π(,π)2θ∈，2243sin 1cos 1()55θθ=-=--=，所以πsin 3sin()tan(π)cos tan cos sin 2cos 5θθθθθθθθ-⋅+==⋅==.（2）由（1）知，34sin ,cos 55θθ==-，所以223412()1sin 212sin cos 495541cos 22cos 322()5θθθθθ-⨯⨯---===+⨯-19．如图，四边形ABCD 中，27π2,1,cos ,73AB BC ACB D ==∠=∠=．(1)求线段AC 的长；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】(1)7AC =；(2)934.【分析】（1）在ABC 中，由余弦定理计算即可求解；（2）设,AD m CD n ==，在ACD 中，由余弦定理和基本不等式计算可得7mn ≤，结合三角形的面积公式计算即可求解.【详解】（1）在ABC 中，由余弦定理得222cos 2AC BC AB ACB AC BC+-∠=⋅，即222271272AC AC+-=，由0AC >解得7AC =，所以7AC =；（2）设,AD m CD n ==，在ACD 中，由余弦定理，得222222cos 3AC m n mn m n mn mn π=+-=+-≥，当且仅当m n =时等号成立，此时27mn AC ≤=，所以11373sin 723224ACD S mn π=≤⨯⨯= .又27cos 7ACB ∠=，0πACB <∠<，所以222721sin 1cos 1()77ACB ACB ∠=-∠=-=，所以11213sin 712272ABC S AC BC ACB =⋅∠=⨯⨯⨯= ，故四边形ABCD 的面积的最大值为73393424+=.20．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y （单位：米）与时间x （单位：时）的大致关系：假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．(1)请运用函数模型ππsin()0,0,,R 22y A x h A h ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<<∈ ⎪⎝⎭，根据以上数据写出水深y 与时间x 的函数的近似表达式；(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．①求该船可以进港的时间段；②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．【答案】(1)ππ3sin()8,[0,24]66y x x =++∈；(2)①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.【分析】（1）根据给定的图形，求出函数模型中的各个参数作答.（2）①根据给定条件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函数关系，数形结合求解作答.【详解】（1）观察图形知，2115A =-，解得3A =，11582h +==，2π142ω=-，解得π6ω=，显然函数π3sin()86y x ϕ=++的图象过点(2,11)，即πsin()13ϕ+=，又ππ22ϕ-<<，因此π6ϕ=，所以函数表达式为ππ3sin()8,[0,24]66y x x =++∈.（2）①依题意，ππ3sin()86 3.566024x x ⎧++≥+⎪⎨⎪≤≤⎩，整理得ππ1sin()662024x x ⎧+≥⎪⎨⎪≤≤⎩，即有πππ5π2π2π(Z)6666024k x k k x ⎧+≤+≤+∈⎪⎨⎪≤≤⎩，即12412(Z)024k x k k x ≤≤+∈⎧⎨≤≤⎩，解得04x ≤≤或1216x ≤≤，所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货，设自0点起卸货x 小时后，该船符合安全条例的最小水深为0.36 3.5y x =-++，如图，函数0.36 3.5y x =-++与ππ3sin()866y x =++的图像交于点(5,8)，即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，令ππ3sin()8 4.5 3.566x ++≥+，即ππsin()066x +≥，ππ2π2ππ(Z)66k x k k ≤+≤+∈，解得121125()k x k k -≤≤+∈Z ，显然1117x ≤≤，该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.【点睛】思路点睛：给定sin 0,0()()()f A xx A ωϕω>=>＋的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A ，求出周期定ω，由图象上特殊点求ϕ.21．已知函数()y F x =与()y f x =的定义域为R ，若对任意区间[],R u v ⊆，存在[,]p u v ∈且[,]q u v ∈，使()()()()F u F v f p f q u v-≤≤-，则()y f x =是()y F x =的生成函数．(1)求证：()2f x x =是2()3F x x =-的生成函数；(2)若2()2f x x =+是()y F x =的生成函数，判断并证明()y F x =的单调性；(3)若()y f x =是()y F x =的生成函数，实数0a ≠，求()y F ax b =+的一个生成函数．【答案】(1)证明见解析；(2)函数()F x 在R 上单调递增；(3)()y af ax b =+.【分析】（1）由生成函数的定义，判断是否满足()()()()F u F v f p f q u v -≤≤-，即可证明；（2）由题意可得22()()22F u F v p q u v-+≤≤+-，由2(2)()0q u v +-<可得()()F u F v <，结合单调函数的定义即可求解；（3）,R u v ∀∈，且u v <，设,m au b n av b =+=+，则()m n a u v -=-，由生成函数的定义可得()()()()F au b F av b F m F n a u v m n+-+-=⋅--，分两种情况0,0a a ><讨论即可.【详解】（1）,R u v ∀∈，且u v <，2222()()(3)(3)F u F v u v u v u v u v u v u v-+-+-===+---，由u v <，得22u u v v <+<，则,()2,,()2p u f p u q v f q v ∃==∃==满足()()()()F u F v f p f q u v -≤≤-，所以()2f x x =是2()3F x x =-的生成函数；（2）因为2()2f x x =+是()y F x =的生成函数，所以对任意区间[,]R,[,]u v p u v ⊆∃∈且[,]q u v ∈，使()()()()F u F v f p f q u v -≤≤-，即22()()22F u F v p q u v-+≤≤+-，由0u v u v <⇒-<，得22(2)()()()(2)()q u v F u F v p u v +-≤-≤+-，又2(2)()0p u v +-<，所以()()0F u F v -<，即()()F u F v <，所以函数()y F x =在R 上单调递增；（3）,R u v ∀∈，且u v <，设,m au b n av b =+=+，则()m n a u v -=-，()()()()F au b F av b F m F n a u v m n+-+-=⋅--，当0a >时，([,])y ax b x u v =+∈的值域为[,]m n ，对任意区间[,]R,[,]m n p u v ⊆∃∈且[,]q u v ∈，使[,]ap b m n +∈且[,]aq b m n +∈，满足()()()()F m F n f ap b f aq b m n -+≤≤+-，即()()()()F m F n af ap b a af aq b m n-+≤⋅≤+-，此时()y af ax b =+是()y F x =的一个生成函数.同理，当0a <时，([,])y ax b x u v =+∈的值域为[],n m ，对任意区间[,]R,[,]n m p u v ⊆∃∈且[,]q u v ∈，使[,]ap b n m +∈且[,]aq b n m +∈，满足()()()()F m F n f aq b f ap b m n -+≤≤+-，即()()()()F m F n af ap b a af aq b m n-+≤⋅≤+-，此时()y af ax b =+也是()y F x =的一个生成函数.综上：()y af ax b =+是()y F x =的一个生成函数.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解新定义“生成函数”的性质，以学习过的函数相关的知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题.。
上海市进才中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题
上海市进才中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心16．若非零不共线的向量,a br r 满足||||a b b +=r r r ，则（ ）．A ．|2||2|a a b >+r r r B ．|2||2|a a b <+r r r C ．|2||2|b a b >+r r r D ．|2||2|b a b <+r r r（1）当π12q=时，求四边形ABCD（2）若要在景区内铺设一条由线段时，观光道路的总长l最长，并求出【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角函数的性质解决点的问题，并代入向量的坐标表示，第三问的关键两个函数的最值同时取得，从而转化为求函数BP PF ×uuu r uuu r的最小值.21．(1)(1，1，1，1)，(1-，1-，1，1)，(1-，1，1-，1)，(1-，1，1，1)-(2)证明见解析(3)证明见解析.【分析】（1）由n 维信号向量的定义可写出4个两两垂直的4维信号向量；（2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量123446,,,,,y y y y y y u u r uu r uu r uu r uu r uu r，根据题意不妨设()()121,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1y y ==---u u r uu r ，利用130y y ×=r r ，可得3y r有3个分量为1-，进而可得3y r的前3个分量中有r 个1-，则后3个分量中有3r -个1-，*N r Î，由题意可得()()()()2317710y y r r r r ×=×-+-+-+×-=uu r uu r，可证结论；（3）任取,{12,}i j k ÎL ，，，计算内积ijx x ×ur uu r，2222123kS x x x x =++++ur uu r u u r uu r L ，设12,,,k x x x ur uur uu r L 的第k 个分量之和为i c ，利用2222222221232024123m S c c c c c c c c k m =++++³++++=L L ，可得结论.【详解】（1）依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为：(1,1,1,1），(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--，(1,1,1,1)--．（2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量123446,,,,,y y y y y y u u r uu r uu r uu r uu r uu r，因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，所以不妨设()()121,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1y y ==---u u r uu r，。
2022-2023学年上海市徐汇区高一下册期中考试数学试题(含解析)
2022-2023学年上海市徐汇区高一下册期中考试数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）在答题纸上填写相应结果1．函数y＝sin2x的最小正周期是．2．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为．3．已知2sin x﹣1＝0，则x取值集合为．（答案用反正弦表示）4．已知tanθ＝2，则＝．5．若△ABC是边长为2的等边三角形，则在的数量投影为．6．若函数y＝3sin（2x+φ）（0＜φ＜π）为偶函数，则φ＝．7．在△ABC中，已知A＝，AB＝3，AC＝2，则△ABC的外接圆半径R ＝．8．关于x的方程cos2x+sin x﹣a＝0有实数解，则实数a的取值范围是．9．函数的图象如下，求它的解析式．10．函数的图像在[0，m]上恰好有一个点纵坐标为1，则实数m的取值范围是．11．对于函数f（x）＝2x sin2x，有以下4个结论：①函数y＝f（x）的图像是中心对称图形；②任取x∈R，f（x）≤2x恒成立；③函数y＝f（x）的图像与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；④函数y＝f（x）与直线y＝2x的图像有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等．其中正确的结论序号为．12．已知平面向量，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是．二、选择题（每题4分，共16分）在答题纸上填涂相应结果13．“，k∈Z”是“tanα＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形15．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．C．D．16．已知a，b，α，β∈R，满足sinα+cosβ＝a，cosα+sinβ＝b，0＜a2+b2≤4，有以下2个结论：①存在常数a，对任意的实数b∈R，使得sin（α+β）的值是一个常数；②存在常数b，对任意的实数a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一个常数．下列说法正确的是（）A．结论①、②都成立B．结论①成立、②不成立C．结论①不成立、②成立D．结论①、②都不成立三、解答题（共46分，6+8+6+10+12＝42）在答题纸上填写结果17．（6分）已知．（1）若与的夹角为120°，求；（2）若与垂直，求与的夹角．18．（8分）已知，，tanα＝7，．（Ⅰ）求cos（α﹣β）的值；（Ⅱ）求tan（α﹣2β）的值，并确定α﹣2β的大小．19．（6分）如图，在直角坐标系中，角α的顶点是原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，设A（x1，y1）、B（x2，y2），分别过A、B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，若S1＝2S2，求α的值．20．（10分）如图，折线A﹣B﹣C为海岸线，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝78°，∠BDA＝54°．（1）求BC的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（以上答案都精确到0.001km）21．（12分）已知．（1）将f（x）化成；（2）求函数y＝f（x）在区间上的单调减区间；（3）将函数y＝f（x）的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，求实数a的取值范围．【答案】一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）在答题纸上填写相应结果1．函数y＝sin2x的最小正周期是π．【分析】由条件根据函数y＝A sin（ωx+φ）的周期为，可得结论．解：函数y＝sin2x的最小正周期是＝π，故π．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y＝A sin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．2．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为．【分析】根据扇形的面积公式直接进行求解即可．解：设扇形的弧长为l，则S＝×6×l＝，得l＝，故．【点评】本题主要考查扇形面积公式的应用，熟记扇形的面积公式是解决本题的关键．比较基础．3．已知2sin x﹣1＝0，则x取值集合为．（答案用反正弦表示）【分析】先找到一个周期内sin x＝的角，然后根据终边相同的角的表达式可得．解：2sin x﹣1＝0，则sin x＝，x＝，故．【点评】本题考查三角函数的特殊值问题，属于基础题．4．已知tanθ＝2，则＝1．【分析】先用诱导公式化简，再利用同角关系即可求值．解：sin（π﹣θ）＝sinθ，cos（π﹣θ）＝﹣cosθ，又tanθ＝2，则＝＝tanθ﹣1＝2﹣1＝1．故1．【点评】本题考查诱导公式，同角三角关系式，属于基础题．5．若△ABC是边长为2的等边三角形，则在的数量投影为1．【分析】可先画出图形，根据投影的计算公式进行计算即可．解：如图：∵的夹角为60°，∴在方向上的投影为：．故1．【点评】本题考查考查向量投影的定义，属基础题．6．若函数y＝3sin（2x+φ）（0＜φ＜π）为偶函数，则φ＝．【分析】利用正弦函数的奇偶性可得φ＝kπ+（k∈Z），再结合0＜φ＜π可得答案．解：若函数y＝3sin（2x+φ）为偶函数，则φ＝kπ+（k∈Z），又0＜φ＜π，故φ＝．故．【点评】本题考查正弦函数的奇偶性及其应用，属于基础题．7．在△ABC中，已知A＝，AB＝3，AC＝2，则△ABC的外接圆半径R＝．【分析】先利用余弦定理求得BC的长，再由正弦定理，得解．解：由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC cos A＝9+4﹣2×3×2×＝7，所BC＝，由正弦定理知，2R＝＝＝，所以R＝．故．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．关于x的方程cos2x+sin x﹣a＝0有实数解，则实数a的取值范围是[﹣1，]．【分析】方程变形表示出a，利用同角三角函数间基本关系化简，配方后利用二次函数的性质及正弦函数的值域确定出a的范围即可．解：方程cos2x+sin x﹣a＝0，变形得：a＝cos2x+sin x＝﹣sin2x+sin x+1＝﹣（sin x﹣）2+，∵﹣1≤sin x≤1，∴a的范围为[﹣1，]．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．9．函数的图象如下，求它的解析式f（x）＝．【分析】根据最高点可确定，利用周期，将代入即可求解．解：由图象最高点可知，由点和，可得周期，此时，将代入得，由于，所以取，故，故．【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．10．函数的图像在[0，m]上恰好有一个点纵坐标为1，则实数m的取值范围是[，）．【分析】令，画出函数y＝sin X的图象，由图象得出实数m的取值范围．解：令，则函数y＝sin X的图象如下图所示，要使得函数的图像在[0，m]上恰好有一个点纵坐标为1，则，解得，故．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．11．对于函数f（x）＝2x sin2x，有以下4个结论：①函数y＝f（x）的图像是中心对称图形；②任取x∈R，f（x）≤2x恒成立；③函数y＝f（x）的图像与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；④函数y＝f（x）与直线y＝2x的图像有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等．其中正确的结论序号为①③．【分析】根据题意，依次分析4个结论是否正确，即可得答案．解：根据题意，依次分析4个结论：对于①，f（x）＝2x sin2x，其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣2x sin2x＝﹣f（x），f（x）为奇函数，其图像是中心对称图形，①正确；对于②，f（x）≤2x即2x sin2x≤2x，即或x＝0或，其解集不是R，②错误；对于③，若f（x）＝2x sin2x＝0，则x＝0或sin x＝0，解可得x＝kπ，k∈Z，则函数y＝f （x）的图像与x轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，③正确；对于④，若f（x）＝2x sin2x＝2x，则x＝0或sin x＝±1，解可得x＝0或x＝kπ+，k∈Z，函数y＝f（x）与直线y＝2x的图像有无穷多个交点，但两相邻交点间的距离不一定相等，④错误；故选：【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及不等式的性质以及应用，属于基础题．12．已知平面向量，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是．【分析】首先利用向量的模的运算，建立如图所示的关系式，进一步利用向量的数量积运算和三角函数的关系式的变换，整理成二次函数的关系式，进一步求出最大值．解：如图，设，若对任意实数x，y都有﹣x成立，则B，C在以MA为直径的圆上，过O作OD∥AC，交MC于E，交圆于D，，在OD上的射影最长为，＝，设∠AMC＝θ，则|AC|＝2sinθ，|OE|＝sinθ，|DE|＝1﹣|OE|＝1﹣sinθ，∴＝，则当时，有最大值，最大值为．故．【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积，向量的数量积运算，三角函数的关系式的变换，二次函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．二、选择题（每题4分，共16分）在答题纸上填涂相应结果13．“，k∈Z”是“tanα＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由充分必要性条件的判断依次对三角函数值判断即可．解：当，k∈Z时，tanα＝tan（+2kπ）＝；当a＝时，tanα＝，而不满足，k∈Z；故“，k∈Z”是“tanα＝”的充分非必要条件；故选：A．【点评】本题考查了三角函数的值及充分必要性条件判断，属于基础题．14．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】直接利用向量的线性运算和向量的数量积及向量的模的应用求出结果．解：在△ABC中，若，则，故，即BC＝AC，所以△ABC为等腰三角形．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15．在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据，∴A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．解：∵，∴A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．16．已知a，b，α，β∈R，满足sinα+cosβ＝a，cosα+sinβ＝b，0＜a2+b2≤4，有以下2个结论：①存在常数a，对任意的实数b∈R，使得sin（α+β）的值是一个常数；②存在常数b，对任意的实数a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一个常数．下列说法正确的是（）A．结论①、②都成立B．结论①成立、②不成立C．结论①不成立、②成立D．结论①、②都不成立【分析】通过已知的关系式，同角函数关系，两角和差公式，和差化积公式分别把sin（α+β）、cos（α﹣β）分别表示出来，观察即可．解：b2﹣a2＝cos2α﹣sin2α+sin2β﹣cos2β+2cosαsinβ﹣2sinαcosβ＝cos2α﹣cos2β﹣2sin（α﹣β），则有b2﹣a2＝﹣2sin（α+β）sin（α﹣β）﹣2sin（α﹣β），当b＝0时，sin（α﹣β）＝1为常数，则cos（α﹣β）＝0为常数，即存在常数b＝0，对任意的实数a∈R，使得cos（α﹣β）的值是一个常数，②成立；a2+b2＝2+2（sinαcosβ+cosαsinβ），即的取值相互影响，不存在常数a，对任意的实数b∈R，使得sin（α+β）的值是一个常数，①不成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数公式，属于中档题．三、解答题（共46分，6+8+6+10+12＝42）在答题纸上填写结果17．（6分）已知．（1）若与的夹角为120°，求；（2）若与垂直，求与的夹角．【分析】（1）由向量的模长公式可得|+|＝＝，代入已知数据计算可得；（2）设与的夹角为θ，由垂直可得（﹣）•＝＝0，代入数据解得cosθ可得．解：（1）∵与的夹角为60°，||＝1，||＝2，∴|+|＝＝＝＝；（2）设与的夹角为θ，∵﹣与垂直，∴（﹣）•＝＝0，∴12﹣1×2cosθ＝0，解得cosθ＝∴与的夹角为60°．【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．18．（8分）已知，，tanα＝7，．（Ⅰ）求cos（α﹣β）的值；（Ⅱ）求tan（α﹣2β）的值，并确定α﹣2β的大小．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα，cosβ的值，进而利用两角差的余弦公式即可求解．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知tanβ的值，利用二倍角的正切公式可求tan2β的值，利用两角差的正切公式可求tan（α﹣2β）＝﹣1，结合0＜α﹣2β＜，即可求解α﹣2β的值．解：（Ⅰ）因为，tanα＝7，所以sinα＝，cosα＝，又，，所以cosβ＝＝，所以cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝×﹣×＝﹣；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，tanβ＝＝，所以tan2β＝＝﹣，所以tan（α﹣2β）＝＝﹣1，因为0＜α﹣2β＜，所以α﹣2β＝．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式，二倍角的正切公式，两角差的正切公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．19．（6分）如图，在直角坐标系中，角α的顶点是原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，设A（x1，y1）、B（x2，y2），分别过A、B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记△AOC 的面积为S1，△BOD的面积为S2，若S1＝2S2，求α的值．【分析】依题意得x1＝cosα，，y1＝sinα，，分别求得S1和S2的解析式，再由S1＝2S2求得cos2α＝0，根据α的范围，求得α的值．解：由三角函数定义，得x1＝cosα，，y1＝sinα，．所以，，依题意S1＝2S2得，即，整理得cos2α＝0．因为，所以，所以，即．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，属于基础题．20．（10分）如图，折线A﹣B﹣C为海岸线，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝78°，∠BDA＝54°．（1）求BC的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（以上答案都精确到0.001km）【分析】（1）由题意可求∠BCD＝80°，由正弦定理即可求BC的值；（2）在△ABD中，由正弦定理可得sin∠BAD≈0.7928，可得∠BAD≈52.45°，∠ABD ＝73.55°，过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，解三角形即可求解．解：（1）在△BCD中，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝78°，则∠BCD＝80°，由正弦定理＝，可得BC＝＝＝≈14.911km，所以BC的长度是14.911km．（2）在△ABD中，∠BDA＝54°，BD＝39.2km，AB＝40km，由正弦定理＝，可得sin∠BAD＝＝＝≈0.7928，于是得∠BAD≈52.45°，则∠ABD＝73.55°，过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，如图，因此，DE＝BD sin∠ABD＝39.2×sin73.55°＝39.2×0.9591≈37.595（km），DF＝BD sin∠CBD＝39.2×sin78°＝39.2×0.9781≈38.343（km），显然37.595＜38.343，所以D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离是37.595km．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．21．（12分）已知．（1）将f（x）化成；（2）求函数y＝f（x）在区间上的单调减区间；（3）将函数y＝f（x）的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y＝g（x）的图像，若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意，利用查三角恒等变换，化简函数的解析式，可得结论．（2）由题意，利用正弦函数的单调性，得出结论．（3）由题意，利用正弦函数的最大值，得出结论．解：（1）∵＝4sin x（cos x﹣sin x）＝sin2x﹣2•＝sin2x+cos2x﹣+＝2sin（2x+）．（2）对于f（x）＝2sin（2x+），令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ+≤2x+≤kπ+，k∈Z，可得函数y＝f（x）的单调减区间为[kπ+，≤kπ+]，k∈Z，故函数y＝f（x）在区间上的单调减区间为[，]．（3）将函数y＝f（x）＝2sin（2x+）的图像向右移动个单位，可得y＝2sin2x的图像；再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的a（0＜a＜1）倍得到y＝g（x）＝2sin x 的图像，若y＝g（x）在区间[﹣1，1]上至少有100个最大值，根据当＝200π﹣时，g（x）在区间[﹣1，1]上正好有100个最大值，∴≥200π﹣，求得0＜a≤，故实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性和最大值，属于中档题．。
上海市上海师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
上师大附中2023学年第二学期高一年级数学期中2024.05一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．向量()3,4m =-的单位向量为________（用坐标表示）.2．△ABC 中，已知120A =︒，45B =︒，2AC =，则边BC 的长为________.3．已知向量()1,1a = ，()3,5b = ，则b 在a方向上的投影为________（用坐标表示）.4．设1e ，2e 是不平行向量，若124e e - 与12ke e +平行，则实数k 的值为________.5．已知△ABC 三边上的高分别为A h 、B h 、C h ，且::4:5:6A B C h h h =，则此三角形最大角的余弦值为________.6．函数tan 2y x =，,66ππx ⎡⎤∈-⎢⎣⎦的最大值为________.7．在△ABC 中，2AB =，3AC =，3AB AC ⋅=-，则△ABC 的面积为________.8．若函数()cos f x x =，[]0,2x π∈与()tan g x x =的图象交于M 、N 两点，则OM ON +=________.9．如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形ABCD 的边长为4，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为________.10．设函数()sin f x x =，若对于任意2,3ππ⎡⎤α∈⎢⎥⎣⎦，都存在[]0,m β∈，使得()()0f f α+β=，则m 的最小值为________.11．若存在实数ϕ，使函数()()1(0)2f x cos x =ω+ϕ-ω>在[],3x ππ∈上有且仅有2个零点，ω的取值范围为________.12．已知平面向量a 、b ，且2a b == ，2a b ⋅= ，向量c满足22c a b a b --=- ，则当()c b R -λλ∈取最小值时λ的值为________.二、选择题（13~14每题4分，15~16每题5分，共18分，每题有且仅有一个答案正确）13．函数tan y x =是（）.A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π2的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数14．已知1e 、2e是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（）.A．121122e e +B．121233e e +C．123144e e +D．121655e e -+15．设集合2462 sin sin sin sin ,,02023202320232023ππkπA x x k Z k ⎧⎫π==++++∈>⎨⎬⎩⎭，则集合A 的元素个数为（）.A．1012B．1013C．2024D．202516．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0A 、()0,1B 、()1,1C -、()1,0D -、()0,1E -、()1,1F -．有一封闭图形ABCDEF ，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC 、CD 、EF 、FA ．角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，α的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P ，点P 纵坐标y 关于α的函数记为()y f =α，则有关函数()y f =α图象的说法正确的是（）.A．关于直线4πα=成轴对称，关于坐标原点成中心对称B．关于直线34πα=成轴对称，且以2π为周期C．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心D．夹在1y =±之间，且关于点(),0π成中心对称三、解答题（共78分）17．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A -，()2,1B -，(),2C m ．（1）若2m =，求△ABC 的面积S ；（2）是否存在实数m ，使得A 、B 、C 三点能构成直角三角形？若存在，求m 的取值集合；若不存在，请说明理由．18．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）已知函数()y f x =，()2213πf x sin x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求函数()y f x =的最小正周期和单调增区间；（2）若不等式()1f x t +<在0,4πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数t 的取值范围．19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB 分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为23π，动点P 在扇形的弧上，点Q 在OB 上，且∥PQ OA ．（1）当50OQ =米时，求PQ 的长；（2）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区△OPQ 的面积尽可能的大．设AOP ∠=θ，求△OPQ 面积的最大值．20．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）在△ABC 中，120CAB ∠=︒．（1）如图1，若点P 为△ABC 的重心，试用AB 、AC 表示AP ；（2）如图2，若点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧 BC 上运动（包含B 、C 两个端点），且1AB AC ==，设(),AP AB AC R =λ+μλμ∈，求λμ的取值范围；（3）如图3，若点P 为△ABC 外接圆的圆心，设(),AP m AB nAC m n R =+∈，求m n +的最小值．21.（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）已知向量33,22x x a cos sin ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，,22x x b cos sin ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()f x a b m a b =⋅-+ ，m R ∈．（1）若0m =，求6πf ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）用x 表示a b + ，若,34ππx ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，()f x 的最小值为4-，求实数m 的值；（3）设n 为正整数，函数()y f x =在区间()0,nπ上恰有2024个零点，请求出所有满足条件的n 的值及相应m 的取值范围．参考答案一、填空题2.;3.;5.;6.;8.π;11.15,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.311．若存在实数ϕ，使函数()()1(0)2f x cos x =ω+ϕ-ω>在[],3x ππ∈上有且仅有2个零点，ω的取值范围为________.【答案】15,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为()()1(0)2f x cos x =ω+ϕ-ω>,由()0f x =,得到()12cos x ω+ϕ=,所以()23x k k Z πω+ϕ=+π∈或()23x k k Z πω+ϕ=-+π∈,所以()()2233k k x k Z x k Z ππ-ϕ+π--ϕ+π=∈=∈ωω或又因为存在实数ϕ,使函数()f x 在[]3x ,∈ππ上有且仅有2个零点,所以7522332k k ππ-ϕ+π-ϕ+π-≤πωω且1122332k k ππ-ϕ+π-ϕ+π->πωω,即232π≤πω且1032π>πω,解得1533≤ω<.故答案为:1533,⎡⎫⎪⎢⎣⎭.12．已知平面向量a 、b ，且2a b == ，2a b ⋅= ，向量c满足22c a b a b --=- ，则当()c b R -λλ∈取最小值时λ的值为________.【答案】3【解析】设,a b的夹角为[],0,θθ∈π因为2,2a b a b ==⋅= ,由公式a b a b cos ⋅=⋅⋅θ 所以12cos θ=,解得3πθ=因为()()a b a b a b -=-⋅-22a a ab b b =⋅-⋅+⋅= ()()a b a b a b +=+⋅+223a a ab b b =⋅+⋅+⋅= ,243a b += 则由题,向量c满足22c a b a b --=- ,如图所示:设(),,2,OA a OB b OE a b ===+ OC c = 则(),2BA a b EC c a b=-=-+所以()22EC c a b =-+=,故C 在E 为圆心，2为半径的圆上若OD b =λ ,则DC c b =-λ由图象可知，当且仅当,,E C D 三点共线且ED OD⊥时,||DC 最小，即()c b R -λλ∈ 取得最小值,此时,666EOD OD OE cos ππ∠==⋅= 又2,b OD b ==λ,解得3λ=.二、选择题13.14.D15.A16.C15．设集合2462 sin sin sin sin ,,02023202320232023ππkπA x x k Z k ⎧⎫π==++++∈>⎨⎬⎩⎭，则集合A 的元素个数为（）.A．1012B．1013C．2024D．2025【答案】A【解析】根据题意可知,当01011,k k Z <∈时,()202023k ,π∈π,此时()2012023k sin ,π∈;又因为2023为奇数,2k 为偶数,且22023k π中的任意两组角都不关于2π对称,所以22023k sinπ的取值各不相同,因此当01011,k k Z <∈时集合A 中x 的取值会随着k 的增大而增大,所以当1011k =时，集合A 中有1011个元素;当1012k =时，易知2420232023x sinsin ππ=++⋯2022202420232023sin sin ππ++242022202320232023sin sin sinπππ=++⋯+2023sin π⎛⎫+π+ ⎪⎝⎭242022202320232023=sinsin sin πππ++⋯+2023sin π-，又易知202220232023sin sinππ=,所以可得2420232023x sin sin ππ=++⋯2022202420232023sin sin ππ++22023sinπ=4202020232023sin sin ππ++⋯+即1012k =时x 的取值与1010k =时的取值相同,与0k =时的取值不相同,根据集合元素的互异性可知,1012k =时并没有增加集合中的元素个数,以此类推可得当1012k时，集合A 中的元素个数并没有随着k 的增大而增加,所以可得集合A 的元素个数为1012个.故选：B .16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0A 、()0,1B 、()1,1C -、()1,0D -、()0,1E -、()1,1F -．有一封闭图形ABCDEF ，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为1的圆弧，二、四象限的部分为线段BC 、CD 、EF 、FA ．角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，α的终边与该封闭图形ABCDEF 交于点P ，点P 纵坐标y 关于α的函数记为()y f =α，则有关函数()y f =α图象的说法正确的是（）.A．关于直线4πα=成轴对称，关于坐标原点成中心对称B．关于直线34πα=成轴对称，且以2π为周期C．以2π为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心D．夹在1y =±之间，且关于点(),0π成中心对称【答案】C【解析】由题意可知,()y f =α的最小正周期为2π且当()0,;2f sin παα=α时 当()3,1;24f ππ<αα=时 当()3,;4f tan π<απα=-α时 当()3,;2f sin ππ<αα=α时 当()37,1;24f ππ<αα=-时当()72,,4f tan π<απα=α时 作出()f α的图像，如图所示:由图像要知,函数()y f =α的图像既没有对称轴,也没有对称中心.故选：C .三．解答题17.（1）（2）43,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭18.（1）（2）19.（1）80(2)220．（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）在△ABC 中，120CAB ∠=︒．（1）如图1，若点P 为△ABC 的重心，试用AB 、AC 表示AP；（2）如图2，若点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧 BC 上运动（包含B 、C 两个端点），且1AB AC ==，设(),AP AB AC R =λ+μλμ∈，求λμ的取值范围；（3）如图3，若点P 为△ABC 外接圆的圆心，设(),AP m AB nAC m n R =+∈，求m n +的最小值．【答案】（1）1133AP AB AC =+ （2）[]01,（3）2【解析】(1)延长AO 交BC 于D ,则D 是BC 中点,所以()2211133233AP AD AB AC AB AC ==⋅+=+ (2)以A 为原点,建立如图所示坐标系,则()10B ,,1322C ,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,设()P cos ,sin θθ,203,π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦,因为AP AB AC =λ+μ ,所以()()131022cos ,sin ,,⎛⎫θθ=λ+μ- ⎪ ⎪⎝⎭所以33233cos sin ⎧λ=θ+θ⎪⎪⎨⎪μ=θ⎪⎩,所以()22333231sin cos sin 2sin sin 21cos 2333333⎛⎫λμ=θθ+θ=θ+θ=θ+-θ ⎪ ⎪⎝⎭()1213sin 2cos 21sin 23363π⎛⎫=θ-θ++θ-+ ⎪⎝⎭因为203,π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦,所以72666,πππ⎡⎤θ-∈-⎢⎥⎣⎦,则[]21201;363sin ,π⎛⎫λμ=θ-+∈ ⎪⎝⎭(3)因为120CAB ∠= ,所以120CPB ∠= 由()AP m AB nAC m,n R =+∈ 可得()()AP m AP PC n AP PB =+++ 即()1m n AP mPC nPB --=+ ,平方可得()2222221m n AP m PC n PB --=+ 2mnPC PB+⋅即()222221||m n AP m PC n PB --=+ 2120mn PC PB cos +⋅所以()2221m n m n mn --=+-,整理可得3122mn m n +=+,由平行四边形法则可知1m n +>,令m n t +=,则21,13t mn t -=>,由基本不等式可得()24m n mn + ,即22134t t - ,解得2t 或23t ,所以2t ,则2m n + ,即m n +的最小值为2.21．【答案】（1）（2）（3）。
上海市上海中学高一数学下学期期中试题(含解析)
上海市上海中学高一数学下学期期中试题（含解析）一、填空题(每题3分,共36分)1.函数的最小正周期是_________.【答案】【解析】【分析】直接由周期公式得解。
【详解】函数的最小正周期是：故填：【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题。
2.已知点P 在角的终边上,则_______.【答案】0【解析】【分析】求出到原点的距离，利用三角函数定义得解。
【详解】设到原点的距离，则所以，，所以【点睛】本题主要考查了三角函数定义，考查计算能力，属于基础题。
3.已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为__________．【答案】【解析】由题意或，则圆心角是，应填答案。
4.在△ABC中,若则△ABC为_______(填“锐角”或直角”或“钝角”)三角形.【答案】钝角【解析】【分析】整理得，利用可得，问题得解。
【详解】因为，所以，又,所以，所以所以为钝角，故填：钝角【点睛】本题主要考查了三角恒等变换及转化思想，属于基础题。
5.若则______.【答案】【解析】【分析】直接由三角函数的诱导公式得解。
【详解】因，又所以【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，考查观察能力及计算能力，属于基础题。
6.若则化简_______.【答案】0【解析】【分析】由正弦、余弦的二倍角公式升幂去根号，问题得解。
【详解】由题可得：，，因为所以，所以所以【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了三角函数的性质及计算能力，属于中档题。
7.已知则_______.【答案】【解析】【分析】将整理成，问题得解。
【详解】因为.将代入上式可得：【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及正、余弦的二次齐次式变形，考查化简能力及计算能力，属于中档题。
8.方程的实数根的个数是______.【答案】6【解析】如下图，由于函数y＝lg|x|是偶函数，所以它的图象关于y轴对称．9.若则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由整理可得：，由此可得，对消元可得：，令，把问题转化成函数，值域问题，从而得解。
上海高一下学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．终边落在轴负半轴的角的集合为______. x α【答案】.{|2ππ,Z}x x k k =+∈【分析】根据终边相同角的表示方法，即可求解.【详解】根据终边相同角的表示方法，可得终边轴负半轴的角的集合为. x α{|2ππ,Z}x x k k =+∈故答案为：. {|2ππ,Z}x x k k =+∈2．已知,则________tan 2α=2cos 2(sin cos )ααα=-【答案】3-【分析】先根据二倍角余弦公式化简，再利用弦化切，代入切的值计算得结果.【详解】2222cos 2cos sin cos sin 1tan 123(sin cos )(sin cos )cos sin 1tan 12ααααααααααααα-+++=====------故答案为：3-【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及切化弦方法，考查基本分析求解能力，属基础题.3．已知，，则=_____1tan()62πα+=tan(36πβ-=tan()αβ+【答案】7-【分析】,然后由两角和的正切公式可得.()()66ππαβαβ+=++-【详解】根据两角和的正切公式可得:tan()tan[()(66ππαβαβ+=++-tan()tan()661tan()tan()66ππαβππαβ++-=-+-. 1321132+=-⨯7=-故答案为:.7-【点睛】本题考查了两角和的正切公式,属于基础题.解题关键是将拆成两个已知角αβ+之和.66ππαβ++-4．若，则的取值范围是______. 2cos 1mx m =+m 【答案】1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过讨论的取值范围，即可得出，进而求出的取值范围. cos x 1mm +m 【详解】由题意，R x ∈，而， 2cos 1mx m =+1cos 1x -≤≤则， 2111mm -≤≤+当时，解得或； 211mm ≥-+1m <-13m ≥-当时，解得， 211mm ≤+11m -<≤综上：.1,13m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：.1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5．一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______． 【答案】2rad 【分析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为，根据题意，由，求解.α24R l +=112lR =【详解】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为， α则．①24R l +=由扇形的面积公式，得．②12S lR =112lR =由①②得，， 1R =2l =∴． 2rad lRα==∴扇形的圆心角为． 2rad 故答案为： 2rad6．方程的解集为______.)()lglg cos x x =-【答案】5π2π,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】根据题意，由对数函数的单调性化简，再结合三角函数的运算，即可得到结果.【详解】在上単调递增，由，lg y x = ()0,∞+∴)()lg lg cos x x =-，即，所以，，cos x x =-tan x =5ππ6x k =+k ∈Z 又，，，，sin 0x >cos 0x ->π2π2ππ2k x k ∴+<<+k ∈Z 即是第二象限角，即解集为.x 5π2π,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 故答案为: .5π2π,6x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z7．在内，使成立的的取值范围为____________ ()0,2πsin cos x x ≤x 【答案】50,,244πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】把不等式变形为,不等式的左边用辅助角公式变形为正弦型函数的形式,运用sin cos 0x x -≤正弦型函数的正负性,.可以求出的取值范围.x【详解】,即sin cos sin cos 0)0222()44x x x x x k x k k Z ππππππ≤⇒-≤⇒-≤⇒+≤-≤+∈,又因为,所以.5922()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈()0,2x π∈50,,244x πππ⎛⎤⎡⎫∈⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭故答案为50,,244πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【点睛】本题考查了三角不等式的解法,应用辅助角公式是解题的关键.本题还可以在同一直角坐标系内画出函数,的图象,运用数形结合思想可以解出, 还可以画出单位圆,sin cos y x y x ==、()0,2x π∈利用正弦线和余弦线的知识也可以解答出来. 8．若，则函数的最大值为_________ ．42x ππ<<3tan 2tan y x x =【答案】-8【详解】试题分析：设2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴2tan t x =当且仅当时成立()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----2t =【解析】函数单调性与最值9．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经xOy θx 过点，且（），定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正()00,P x y OP r =0r >00sos y x rθ+=sos θ余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是______.（填上所有正确的序号）sos y θ=①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线⎡⎣3π4x =对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 2π【答案】①④【分析】利用三角函数的定义得到，，0cos x r x =0sin y r x =，再逐项判断. 00πsos sin cos 4y x y x x x x r +⎛⎫===+=+ ⎪⎝⎭【详解】对于①：由三角函数的定义可知，，0cos x r x =0sin y r x =，故①正确； 00πsos sin cos 4y x y x x x x r +⎛⎫⎡∴===+=+∈ ⎪⎣⎝⎭对于②：由于，，πsos 4y x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭()π00104f ⎛⎫∴=+=≠ ⎪⎝⎭函数关于原点对称是错误的，故②错误；∴对于③：当时， 3π4x =3π3πππ0444f ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象关于对称是错误的，故③错误： ∴3π4x =对于④：由于，函数为周期函数，且最小正周期为，故④正确，πsos 4y x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴2π综上，故正确的是①④. 故答案为：①④10．函数的值域为________.()()224sin164xf x x x x π=-+-≤≤【答案】[]3,29【分析】分析函数在区间的单调性，利用单调性得出函数的最大值和最小()y f x =[]1,6()y f x =值，由此可得出函数的值域.()()16y f x x =≤≤【详解】设，，作出函数在区间上的图象如下图所()22g x x x =-()4sin4xh x π=-()y g x =[]1,6示：可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ()y g x =[]1,2[]2,6当时，，由，得，由，得，所以，16x ≤≤3442x πππ≤≤442x πππ≤≤12x ≤≤3242x πππ≤≤26x ≤≤函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，()y h x =[]1,2[]2,6则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，()()()f x g x h x =+[]1,2[]2,6所以，， ()()2min 222224sin34f x f π==-⨯+-=又， ()211214sin54f π=-⨯+-=()2666264sin 294f π=-⨯+-=，，()()16f f <()()max 629f x f ∴==因此，函数的值域为.()()224sin164xf x x x x π=-+-≤≤[]3,29故答案为.[]3,29【点睛】本题考查函数值域的求解，将函数分拆成两个简单函数来分析单调性，进而分析原函数的单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．已知，则的取值范围是______. 223sin 2sin 5sin αβα+=22sin sin αβ+【答案】{}130,29⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【分析】根据题意得到，求得或，结合22530sin sin sin 122βαα≤=-≤20sin 3α≤≤sin 1α=，即可求解.22251sin sin sin sin 22αβαα+=-【详解】因为，可得，223sin 2sin 5sin αβα+=22530sin sin sin 122βαα≤=-≤解得或， 20sin 3α≤≤sin 1α=又由22251sin sin sin sin 22αβαα+=-因为，或，所以.20sin 3α≤≤sin 1α={}25113sin sin 0,2229αα⎡⎤-∈⋃⎢⎥⎣⎦故答案为：.{}130,29⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦12．已知函数，（），若函数在区间内没有()2sincoscos 22f x x x x ωωω=-0ω>R x ∈()f x ()π,2π零点，则的取值范围为_______.ω【答案】1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先由二倍角公式和辅助角公式得到，再令，得到()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0f x =，，根据函数在区间内没有零点，得到，然后ππ4k x ωω=+Z k ∈()f x ()π,2π()πππ,2π4k x ωω=+∉由，得到k 的范围，然后将函数在区间内没有零点，转化为在()πππ,2π4k ωω+∈()f x ()π,2π内没有整数求解.11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭【详解】解：，()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由，得，即，. ()0f x =ππ4x k ω-=ππ4k x ωω=+Z k ∈函数在区间内没有零点，()f x ()π,2π，若. ()πππ,2π4k x ωω∴=+∉()πππ,2π4k ωω+∈则， 11244k ωω-<<-若函数在区间内没有零点，等价于在内没有整数，()f x ()π,2π11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭则，即， 12π2πππ2ω⋅≥-=01ω<≤若内有整数，.11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭则当时，由，得，即0k =110244ωω-<<-1418ωω⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩1184ω<<若当时，由，得，即，此时.1k =111244ωω-<<-5458ωω⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩5584ω<<518ω<≤当时，由，得，即此时超出范围.2k =112244ωω-<<-9498ωω⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩9984ω<<ω即若内有整数，则或.11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭1184ω<<518ω<≤则若内没有整数，则或，11,244ωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭108ω<≤1548ω≤≤故答案为：.1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、单选题13．若在中，是的（ ）条件 ABC A ""A B >"sin sin "A B >A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要 D ．既非充分又非必要【答案】C【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得A B >a b >sin sin a bA B=．sin sin A B >若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知． sin sin A B >sin sin a bA B=a b >A B >所以，“”是“”的充要条件． A B >sin sin A B >故选：C ．14．已知知 △ABC 内接于单位圆.则长为sin A 、sin B 、sin C 的三条线段（ ） . A ．能构成一个三角形， 其面积大于△ABC 面积的 12B ．能构成一个三角形， 其面积等于△ABC 面积的 12C ．能构成一个三角形， 其面积小于△ABC 面积的 12D ．不一定能构成三角形 【答案】C【详解】由正弦定理得，故以sin A 、sin B 、sin C 组成的三角形与△ABC 2sin sin sin a b c A B C===相似， 其面积为△ABC 面积的, 选C. 1415．把时，下列关于辅助角的表述中，不正确的是sin cos (0)a b ab θθ+≠)θϕ+ϕ（ ）A ．辅助角一定同时满足ϕsin ϕ=cos ϕ=B ．满足条件的辅助角一定是方程的解 ϕtan bx a=C ．满足方程的角一定都是符合条件的辅助角 tan bx a=x ϕD ．在平面直角坐标系中，满足条件的辅助角的终边都重合 ϕ【答案】C【分析】首先利用辅助角公式对式子化简，得到辅助角的正弦值、余弦值.选项A 、B 可直接代入来说明是正确的；选项C 通过所求解的不确定性来说明是错误的；选项D 根据三角函数的定义来说明是正确的. 【详解】因为sin cos a b θθ+θθ⎫=+⎪⎭， ()θϕ=+其中，.cos ϕ=sin ϕ=0ab ≠选项A ：由上述解答知，选项A 正确.选项B ：因为，所以满足条件的辅助角一定是方程的解，故选项B 正sin tan cos b a ϕϕϕ==ϕtan bx a=确.选项C ：因为由可以得到，但也可以得到，tan b x a =sin cos x x⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin cos x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以满足方程的角不一定都是符合条件的辅助角，故选项C 不正确. tan bx a=x ϕ选项D ：因为当一个角的正弦值、余弦值都确定时，它与单位圆的交点就确定了，所以当两个角的正弦值、余弦值都相等时，它们与单位圆的交点必在同一点，所以它们的终边相同，故选项D 正确. 故选：C.16．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角，，所ABC A A B C 对的边分别为，，.已知，______，求角.”经推断破损处的条件为三角形一a b c a 45B =︒A 边的长度，且答案提示.在同学的相互讨论中，甲同学认为应该填写的条件为：“”；60A =︒b =乙同学认为应该填写条件为“，则下列判断正确的是（ ） c =A ．甲正确，乙不正确 B ．甲不正确，乙正确 C ．甲、乙都正确 D ．甲、乙都不正确【答案】B【分析】根据，，得到，再利用正弦定理求得边b ，c ，验证即可. 60A =︒45B =︒75C =︒【详解】可得，， 60A =︒ 45B =︒，75C ∴=︒又 ()sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒+︒=︒︒+︒︒=由正弦定理得，sin sin a b A B=， sin45sin 75b c==︒︒解得，bc =若条件为，b ==sin A =或，答案不唯一，不符合题意，60A ∴=︒120A =︒若条件为c =，解得2=sin A=或，60A ∴=︒120A =︒，，答案唯一，符合题意，c a > 60A ∴=︒故答案为 c =故选：B.三、解答题17．已知.1tan 43πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求的值；tan θ（2）求的值.sin 2sin()sin cos 22πθπθθθ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.12-15【解析】（1）化，然后利用两角差的正切公式可得答案；tan tan 44ππθθ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）先利用二倍角公式、诱导公式化简，然后弦化切可得答案.【详解】（1）； tan tan 44tan tan 441tan tan44ππθππθθππθ⎛⎫+- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-=⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭111312113-==-+⨯（2）sin 2sin()sin cos 22πθπθθθ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭222sin cos sin cos cos sin θθθθθθ=-+-.222222sin cos cos sin tan 1tan 1sin cos tan 15θθθθθθθθθ+-+-===++18．在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足ABC A a b c A B C .()2cos cos b A C =(1)求的大小；A (2)现给出三个条件：（1）；（2）；（3）.试从中选出两个可以确定的2a =π4B ==c ABC A 条件写出你的选择，并以此为依据求的面积.（需写出所有可行的方案） ABC A 【答案】(1)； π6(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果.（2）根据题意，分别选（1）（3），（1）（2），（2）（3），结合正弦定理与余弦定理以及三角形的面积公式即可得到结果.【详解】（1）因为，结合正弦定理可得，()2cos cos b A C =，()2sin cos cos B C A A C =化简可得，2sin cos cos cos B A C A A C =即，又，()2sin cos B A A C B =+=sin 0B ≠得，即.cos A =[]0,πA ∈π6A =（2）①②③①若选择（1）（3），由余弦定理可得，，即 2222cosa b c bc A =+-)2242b b =+-解得，则， 2b=c =1sin 2S bc A ∴==②若选择（1）（2）由正弦定理可得，2sin 1sin sin sin 2a b a b B A BA=⇒===又， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A BA B =+=+==1sin 12S ab C ∴==③若选择（2）（3），则, ππ7πππ6412C A B =--=--=由正弦定理可得，sin sin sin sin c b c CC B b B =⇒=且， c bsin sin CB=≠所以这样的三角形不存在.19．如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段EF FGBC是函数，的图象，图象的最高点为.边界的sin()(0,0,(0,))y A x A ωφωφπ=+>>∈[4,0]x ∈-(1,2)B -中间部分为长1千米的直线段，且.游乐场的后部分边界是以为圆心的一段圆弧. CD //CD EF O A DE(1)求曲线段的函数表达式；FGBC (2)如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线ODE OMPQ EF上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区OD P A DEPOE θ∠=面积的最大值及此时的值.OMPQ θ【答案】（1），，；（2） 22sin(63y x ππ=+[4x ∈-0]6πθ=【分析】（1）由题意可得，，代入点求，从而求解析式；（2）作图求得2A =12T =φ12226OMPQ S OM PP cos sin πθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 【详解】（1）由已知条件，得，2A =又，，． 34T =212T ωπ==∴6π=ω又当时，有，． =1x -2sin()26y πϕ=-+=23πϕ∴=曲线段的解析式为，，． ∴FGBC 22sin()63y x ππ=+[4x ∈-0]（2）如图，，，，OC 1CD =2OD ∴=6COD π∠=作轴于点，在中，， 1PP x ⊥1P1Rt OPP ∆1sin 2sin PP OP θθ==在中，， OMP ∆sin120sin(60)OP OMθ=︒︒-． ∴sin(60)sin(60)2cos sin120OP OM θθθθ⋅︒-=︒-=︒122OMPQ S OM PP cos sin θθθ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭A24sin cos 2sin 22θθθθθ==． )6πθ=+(0,)3πθ∈当时，即 262ππθ+=6πθ=【点睛】本题主要考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了学生的作图能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．20．己知函数（，）的周期为，图像的一个对称中心为，()()sin f x x ωϕ=+0ω>0πϕ<<ππ,04⎛⎫ ⎪⎝⎭将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移()f x 个单位长度后得到函数的图象. π2()g x (1)求函数的解析式；()f x (2)若与在轴右侧的前三个交点分别为、、，求的面积的值；()y f x =()y g x =y A B C ABC A S (3)当，求实数与正整数，使在恰有2023个零点.1a ≥a n ()()()F x f x ag x =+()0,πn 【答案】(1)()cos2f x x =(2) 2πS =(3)，.1a =1349n =【分析】（1）由周期为求得，再根据图象的一个对称中心为求得； πωπ,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ϕ（2）利用伸缩变换和平移变换得到，再令得到A ，B ，C ，然后利用三角形面()g x ()()0f x g x -=积公式求解；（3）由，得到，设或（），再分，()0F x =22sin sin 10x a x --=1sin x t =2sin x t =12t t ≠()11,1t ∈-，求解.11t =-11t =【详解】（1）解：，2ππ2T ωω==⇒=当时，（）， π4x =ππsin 0π22k ϕϕ⎛⎫+=⇒+= ⎪⎝⎭Z k ∈取； ()ππsin 2cos222f x x x ϕ⎛⎫=⇒=+= ⎪⎝⎭（2）将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），()f x得到，cos y x =再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数， π2()πcos sin 2g x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭由，得，即，cos2sin x x =21-2sin sin x x =22sin sin 10x x +-=解得或. 1sin 2x =1-得、、， π1,62A ⎛⎫ ⎪⎝⎭5π1,62B ⎛⎫ ⎪⎝⎭3π,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 12π3π2322S ∴=⋅⋅=（3）由，.()2cos2sin 2sin sin 1F x x a x x a x =+=-++()0πx n ∈,令，对称轴， 22sin sin 10x a x --=1sin 44a x =≥不妨设或（），显然，，1sin x t =2sin x t =12t t ≠10t ≠20t ≠若，则在上必有偶数个零点，得或，()1sin 1,1x t =∈-()F x ()0,πn 1sin 1x t ==1-当，则（舍去）；11t =-1a =-当，则，此时在上有3个零点， 11t =2112a t =⇒=-()F x ()0,2π故， 20222113493n =⨯+=综上所述，，.1a =1349n =21．已知函数，（其中，）()sin sin cos cos cos 2k k k f x kx x kx x x =+-*N k ∈R x ∈(1)当时，求函数的严格递增区间；1k =()f x (2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）； 1k =()()()2f x g x a f x =+π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦0a >(3)若函数为常值函数，求的值.()f x k 【答案】(1)，； ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦Z k ∈(2) ()max 9469,494a g x a a <≤=⎪>⎪+⎩(3).3k =【分析】（1）当时，化简为，再由1k =()sin sin cos cos cos21cos2f x x x x x x x =+-=-，，求解即可；2π22ππk x k ≤≤+Z k ∈（2）由（1）得， 从而，令，先求得()22sin f x x =()()()2242sin 4sin f x x g x a f x a x ==++22sin t x =，则转化为求，的最大值，分和两种情况求解30,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()1g x h t a t t==+30,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦90,4a ⎛∈⎤ ⎥⎝⎦94a >即可；（3）由函数为常值函数，采用赋值法求得的值，再代入验证即可.()f x k 【详解】（1）当时，1k =()sin sin cos cos cos21cos2f x x x x x x x =+-=-由，，得，. 2π22ππk x k ≤≤+Z k ∈πππ2k x k ≤≤+Z k ∈故的严格递增区间为，. ()f x ππ,π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2）由（1）可知，当时，，1k =()21cos 22sin f x x x =-=则， ()()()2242sin 4sin f x x g x a f x a x==++令，当时，则，所以， 22sin t x =π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦2π20,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1cos 2,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭则，即. 31cos 20,2x ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦30,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是， ()()1g x h ta t t ==+30,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦①当时，90,4a ⎛∈⎤ ⎥⎝⎦()1h t a t t =≤=+t =②当时，在上递减，则在上是增函数，则当时，最大值为94a >a y t t =+30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦()h t 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦32t =， 649a +综上所述，()max 9469,494a g x a a <≤=⎪>⎪+⎩（3）由函数为常值函数，令，则原式，()f x 0x =0=令，则原式（为正整数）； π2x =()πsin10412k k k n =--=⇒=-n 令，则原式，即， πx k =π2πcos cos 0k k k k=--=π2πcos =cos k k k k -因为（为正整数），即为正奇数，所以， 41k n =-n k π2πcos =cos k k-即，则， π2πcos cos 0k k +=2ππ2cos cos 10k k+-=解得或， πcos1k =-π1cos 2k =又因为（为正整数），所以.41k n =-n 3k =当时，原式为3k =333223sin3sin cos3cos cos 2sin3sin sin cos3cos cos cos 2x x x x x x x x x x x x +-=+-()()223sin3sin 1cos cos3cos 1sin cos 2x x x x x x x =-+--223sin3sin cos3cos sin3sin cos cos3cos sin cos 2x x x x x x x x x x x =+---()3cos2sin cos sin3cos cos3sin cos 2x x x x x x x x =-+-323cos2sin cos sin4cos 2cos2sin 2cos2cos 2x x x x x x x x x =--=--.()2333cos21sin 2cos 2cos 2cos 20x x x x x =--=-=所以当时，函数为常值函数.3k =()f x 【点睛】关键点睛：第三问的关键是抓住函数为常值函数，因此可以采用赋值法先确定的()f x k 值，再代入验证即可.。
上海高一下学期期中数学试卷试题(解析版)
一、填空题1．扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为___________. 【答案】4【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．【详解】根据扇形的面积公式得，．1142422S lr ==⨯⨯=故答案为：4 2．已知，且是第二象限角，则___________． 4sin 5α=αcos α=【答案】 35-【详解】∵是第二象限角， α∴． cos 0α<又， 4sin 5α=∴．3cos 5α===-答案：35-3．在中，，，，那么的面积等于______． ABC A 2a =1b =π3C =ABC A【分析】由三角形面积公式即可求【详解】由三角形面积公式得. 11sin 2122ABC S ab C ==⨯⨯A4．已知向量，，则与共线，则实数_________．()2,3a =-r ()3,2b λ= a bλ=【答案】94-【分析】根据向量平行得到，解得答案.2233λ⨯=-⨯【详解】向量，，与共线，则，解得.()2,3a =-r ()3,2b λ= a b2233λ⨯=-⨯94λ=-故答案为：94-5．已知，，则满足条件的__________（用反三角记号表示）1cos 3x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x =【答案】1πarccos 3-【分析】根据反三角函数求解即可.【详解】因为，，所以.1cos 3x =-π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11cos πarccos 33x arc ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故答案为：1πarccos 3-6．已知，则在上的数量投影为__________．()()1,2,3,2a b ==- a b【分析】根据题意，由向量的数量投影的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，设与的夹角为， ()()1,2,3,2a b ==- a bθ则在上的数量投影为a b cos a b a b a a a bb θ⋅⋅=⨯===故答案为7．设是两个单位向量，向量，且，则的夹角为______. ,m n 2a m n =-()2,1a = ,m n【答案】/90︒2π【分析】利用向量数量积的定义和运算律求解即可.【详解】由()2,1a = =又因为是两个单位向量，所以， ,m ncos ,cos ,m n m n m n m n ⋅== 所以，()2222244a m n m m n n =-=-⋅+解得，即的夹角为，cos ,0m n = ,m n90︒故答案为：90︒8．函数_________ y =【答案】 522,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域． 【详解】由题意知，， 11sin 0sin 22x x -≥⇒≥即， 522,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以的定义域为： ()f x 522,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦故答案为： 522,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 9．已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数，都有()3sin2xf x =1x 2x x ，则的最小值为______．()()()12f x f x f x ≤≤12x x -【答案】2π【解析】根据存在实数，，使得对任意的实数，都有，得到1x 2x x ()()()12f x f x f x ≤≤分别是函数的最小值和最大值，则一定是半个周期的整数倍，再求出函()()12,f x f x ()f x 12x x -数的最小正周期即可. ()3sin2xf x =【详解】因为存在实数，，使得对任意的实数，都有， 1x 2x x ()()()12f x f x f x ≤≤所以分别是函数的最小值和最大值， ()()12,f x f x ()f x 所以一定是半个周期的整数倍， 12x x -又函数的最小正周期是， ()3sin 2xf x =4T π=所以， 1222x n n x Tπ=⨯=-所以的最小值为 12x x -2π故答案为：2π【点睛】本题主要考查三角函数的周期性的求法及应用以及最值问题，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.10．已知函数，且，则___．()()πsin 20π6f x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭()()()13f f αβαβ==≠αβ+=【答案】/ 43π43π【分析】利用正弦函数的的对称性可得，由此求得的值． ππ3π222662αβ+++=⋅αβ+【详解】∵函数，()()πsin 20π6f x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，ππ13π2,666x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦（）， ()()13f f αβ==αβ≠则由正弦函数的对称性可得：， ππ3π222662αβ+++=⋅所以， 4π3αβ+=故答案为：. 4π311．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得，，，，则A 、B 35m CD =135ADB ∠= 15BDC DCA ∠=∠= 120ACB ∠= 两点的距离为___________m ．【答案】【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得. BCD △BD ABD △AB 【详解】因为，，所以，，所135ADB ∠= 15BDC DCA ∠=∠= 150ADC ∠= 15DAC DCA ∠=∠= 以，35AD CD ==又因为，所以，，120ACB ∠= 135BCD ∠= 30CBD ∠=在中，由正弦定理得，解得BCD △sin BD BCD ∠sin CDCBD=∠3512=BD =在中，由余弦定理得，ABD △2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以，解得．(22235235AB ⎛=+-⨯⨯ ⎝m AB =故答案为：12．已知满足，当，，若函数()f x ()(8)f x f x =+[0,8)x ∈()[)[)π4sin ,0,4428,4,8x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈⎩在上恰有八个不同的零点，则实数的取值范围为_____.2()()()1g x f x af x a =+--[8,8]x ∈-a 【答案】(9,5)--【分析】根据函数的周期性，作出函数在上的图象，将函数的零点个数问题转化为函数的[8,8]x ∈-图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.【详解】由题意知满足，故是以8为周期的函数，()f x ()(8)f x f x =+()f x结合，作出函数在上的图象，如图示： ()[)[)π4sin ,0,4428,4,8x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎪-∈⎩[8,8]x ∈-因为，[][]2()()()1()1()(1)g x f x af x a f x f x a =+--=-++故时，即或，()0g x =()1f x =()(1)f x a =-+则在上恰有八个不同的零点，即等价于的图象和直线有八个不()g x [8,8]x ∈-()f x 1,(1)y y a ==-+同的交点，由图象可知，和的图象有6个不同的交点，1y =()f x 则和的图象需有2个不同的交点，即， (1)y a =-+()f x 4(1)8a <-+<故，95a -<<-则实数的取值范围为， a (9,5)--故答案为：(9,5)--【点睛】方法点睛：根据函数的周期以及解析式，可作出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，列出不等式，即可求解.二、单选题13．下列说法正确是（ ） A ．角60和角600是终边相同的角o o B ．第三象限角的集合为 3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣C ．终边在轴上角的集合为 y ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣D ．第二象限角大于第一象限角 【答案】C【分析】根据终终边相同角的表示，可以判断A 错误，C 正确；根据象限角的表示可以判断B 错误；举特例可以判断D 错误.【详解】，与终边不相，故A 错误；600360240︒=︒+︒60︒第三象限角的集合为，故B 错误； 3ππ2π2π,Z 2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭∣终边在轴上角的集合为， y π3π2π,Z 2π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣即， ππ2π,Z (21)π,Z 22n n n n αααα⎧⎫⎧⎫=+∈=++∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭ ∣∣即，故C 正确； ππ,Z 2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭∣是第二象限角，第一象限角，，120︒390︒120390︒<︒故D 错误； 故选：C.14．函数的图像向左平移个单位得到下列哪个函数（ ）πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4A ． B ．πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin 24y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．D ．πcos 24y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭πcos 24y x ⎛⎫ ⎪⎝+⎭=【答案】D【分析】根据相位平移,结合诱导公式即可求解.【详解】的图像向左平移个单位得到，πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4()πππsin 2cos 2444f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：D15．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若(m)y (s)t sin()(0,π)y t ωϕωϕ=+><该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且1t 2t ()31230t t t t <<<122t t +=，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）235t t +=A ．B ．C ．1D ．1s 32s 3s 4s 3【答案】C【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解. 2π3ω=2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭t【详解】因为，，，所以，又，所以， 122t t +=235t t +=31t t T -=3T =2πT ω=2π3ω=则，由可得，2πsin 3y t ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0.5y >2πsin 0.53t ϕ⎛⎫+> ⎪⎝⎭所以， π2π5π2π2π,Z 636k t k k ϕ+<+<+∈所以，故，135333,Z 42π42πk t k k ϕϕ+-<<-+∈531333142π42πk k ϕϕ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为1s ． 故选：C.16．已知，给出下述四个结论:()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ①是偶函数; ②在上为减函数;()y f x =()y f x =3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭③在上为增函数; ④的最大值为. ()y f x =(,2)ππ()y f x =其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．①③④C ．①②③D ．①④【答案】D【分析】利用偶函数的定义即可判断①；利用举反例即可判断②和③；分四个范围对进行化()f x 简，然后利用三角函数的性质进行求值域，即可得到时的最值，结合偶函数即可判断 0x ≥【详解】解：对于①，易得的定义域为，关于原点对称，()f x R 因为()()()sin |||sin |cos |||cos |sin |||sin |cos |||cos |f x x x x x x x x x -=-+-+-+-=+-++，所以是偶函数，故正确；()sin |||sin |cos |||cos |x x x x f x =+++=()y f x =对于②和③，因为， 55555sin |||sin |cos |||cos |044444f πππππ⎛⎫=+++=+=⎪⎝⎭， 7777711sin sin cos cos 06666622f πππππ⎛⎫=+++=-+= ⎪⎝⎭且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错753642ππππ<<<()y f x =3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭(,2)ππ误；对于④，当时，22,N 2k x k k πππ≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x，()sin sin cos cos 2sin cos 4x x x x x x x π⎛⎫=+++=+=+ ⎪⎝⎭因为，所以， 22,N 2k x k k πππ≤<+∈322,N 444k x k k πππππ+≤+<+∈，所以； sin 14x π⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭()2f x ≤≤当时，22,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，sin sin cos cos 2sin x x x x x =++-=因为，22,N 2k x k k ππππ+≤<+∈所以，所以； 0sin 1x <≤0()2f x <≤当时，322,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ；sin sin cos cos 0x x x x =-+-=当时，3222,N 2k x k k ππππ+≤<+∈()sin |||sin |cos |||cos |=+++f x x x x x ，sin sin cos cos 2cos x x x x x =-++=因为， 3222,N 2k x k k ππππ+≤<+∈所以，所以，0cos 1x ≤<0()2f x ≤<所以，综上所述，当时，的最大值为为偶函数，所以当时，的0x ≥()f x ()f x 0x<()f x 最大值也为，故的最大值为④正确； ()y f x =故选：D【点睛】方法点睛：利用四个象限对进行讨论，根据三角函数符号去掉绝对值，然后利用()y f x =三角函数的性质进行求解值域三、解答题17．已知.sin(π)cos 2()3πcos tan(π2π)f ααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)已知，求的值.162πf α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) ()cos f αα=-(2)12-【分析】（1）直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系化简； （2）直接利用倍角公式求解.【详解】（1）；sin(π)cos sin sin sin sin 2()cos sin 3πsin tan sin cos tan(π)co 2πs f ααααααααααααααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭====--⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭（2）由（1）得，1cos 662ππf αα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1cos 62πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.2211cos 22cos 1213226ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．已知单位向量，，与的夹角为.1e 2e 1e 2e π3(1)求证；()1222e e e -⊥(2)若，，且，求的值. 12m e e λ=+ 1232n e e =-m n = λ【答案】(1)证明见解析 (2)或. 2λ=3λ=-【分析】(1)利用向量数量积的运算即可证明； (2)根据向量的模和数量积的计算公式即可求解.【详解】（1）因为，与的夹角为， 121== e e 1e 2e 3π所以，()222122122122π1222cos 2111032e e e e e e e e e -⋅=⋅-=-=⨯⨯⨯-= 所以.()1222e e e -⊥（2）由得，m n = ()()22121232e e e e λ+=- 即.()()221122921230e e e e λλ-++⋅-=因为，与的夹角为，121== e e 1e 2e π3所以，，22121e e == 12π111cos 32e e ⋅=⨯⨯= 所以，()()21912123102λλ-⨯++⨯-⨯=即.所以或.260λλ+-=2λ=3λ=-19．已知向量.()()()cos ,sin2,2cos ,1,m x x n x f x m n ==-=⋅(1)求函数的最小正周期和严格増区间，()f x(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.()f x ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x 【答案】(1)最小正周期为；严格增区间为πT =5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈(2)故时，；当时，取得最小值，最小值为.π8x =-()f x 1+3π8x =()f x 1【分析】（1）首先根据平面向量数量积运算公式求出的解析式，然后通过三角函数恒等变换()f x 公式将其化简整理成余弦型函数，最后根据余弦型函数图像求解其周期与增区间. （2）直接根据三角函数的图像及其性质求解上的最大值与最小值即可.ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】（1）已知向量，，()cos ,sin 2m x x = ()2cos ,1n x =-所以.()2π2cos sin 21cos 2sin 2214f x m n x x x x x ⎛⎫=⋅=-=+-=++ ⎪⎝⎭ 故函数的最小正周期为； ()f x 2ππ2T ==由，解得：，， π2ππ22π4k x k -≤+≤5ππππ88-≤≤-k x k Z k ∈故函数的严格增区间为.()f x 5πππ,π88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k k ()Z k ∈（2）由于，得.ππ,82x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5π20,44x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故当，即时，；π204x +=π8x =-()f x 1+当，即时，取得最小值，最小值为. π2π4x +=3π8x =()f x 120．在中，角的对边分别为，已知. ABC A ,,A B C ,,a b c sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+(1)求角的大小；B (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 2a =ABC A ABC A 【答案】(1) π3B =(2) (3+【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； A 【详解】（1）由正弦定理，， sin sin sin a b c A B C==由sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+可得，22cos cos a ac B bc A b ac ++=+由余弦定理，2222222cos ,2cos ac B a c b bc A b c a =+-=+-则，则，222a cb ac +-=2221cos 22a cb B ac +-==因为，所以； 0πB <<π3B =（2）由为锐角三角形，，可得， ABC A π3B =ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由正弦定理，则， sin sin sin a b cA B C ==22πsin sin 3cA A==⎛⎫-⎪⎝⎭则， 2π2sin 31sin A b cA ⎛⎫-⎪⎝⎭====则的周长为ABC A 22cos cos 12333sin 2sin cos 22A A a b c A A A +++===由，则，因为ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,2124A⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2π2tanπ12tan π61tan 12==-，解得或（舍去），2ππtan101212+-=πtan 212=πtan 212=-所以，则周长范围是. ()tan22A∈(3+21．已知函数，，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总()y f x =x D ∈存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的P 级递减周期函数，周期()()f x T P f x +<⋅()f x 为T ；若恒有成立，则称函数是D 上的P 级周期函数，周期为T .()()f x T P f x +=⋅()f x (1)判断函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？()23f x x =+(2)已知，是上的P 级周期函数，且是上的严格增函数，当2T π=()y f x =[)0,∞+()y f x =[)0,∞+时，.求当时，函数的解析式，并求实0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()sin 1f x x =+())()*,1N 22x n n n ππ⎡∈+∈⎢⎣()y f x =数P 的取值范围；(3)是否存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数？请证明你()1cos 2xf x kx ⎫⎛=⋅ ⎪⎝⎭的结论.【答案】(1)是，理由见解析；⎝⎭⎣⎦(3)存在，. 2,Z m k m Tπ=∈【分析】（1）利用P 级递减周期函数定义，计算验证作答.（2）根据给定条件，利用P 级周期函数定义，依次计算时解析式，根据规律写出结论作1,2,3n =答.（3）假定存在符合题意的k 值，利用P 级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答.【详解】（1）依题意，函数定义域是R ，()23f x x =+， 22222()(1)2(3)[(1)3]22(1)10f x f x x x x x x -+=+-++=-+=-+>即，成立，R x ∀∈(1)2()f x f x +<所以函数是R 上的周期为1的2级递减周期函数. ()f x （2）因，是上的P 级周期函数，则，即2T π=()y f x =[)0,∞+(()2f x P f x π+=⋅()()2f x P f x π=⋅-，而当时，，当时，，，[0,)2x π∈()sin 1f x x =+[,)2x ππ∈[0,)22x ππ-∈()sin 12f x P x π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，，则， 3[,)2x ππ∈[,)22x πππ-∈()()2sin 12f x Pfx P x ππ⎛⎫⎡⎤=-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭当时，，则， 3[,2)2x ππ∈3[,)22x πππ-∈()33sin 122f x Pf x P x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦……当时，，则，[,(1))22x n n ππ∈+[(1),)222x n n πππ-∈-()sin 122n f x Pf x P x n ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦并且有：当时，，当时，，当时，[0,)2x π∈[1,2)y ∈[,)2x ππ∈[,2)y P P ∈3,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭22[,2)y P P ∈，……，当时，，[,(1))22x n n ππ∈+[,2)n n y P P ∈因是上的严格增函数，则有，解得，()y f x =[)0,∞+22312222n nP P P P P P P-≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩ 2P ≥⎝⎭⎣⎦（3）假定存在非零实数k ，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，1()()cos 2xf x kx =⋅即，恒有成立，则，恒有成R x ∀∈()()f x T T f x +=⋅R x ∀∈()11cos cos 22x Txkx kT T kx +⎛⎫⎛⎫⋅+=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭立，即，恒有成立，当时，，则，，R x ∀∈()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅0k ≠x ∈R R kx ∈R kx kT +∈于是得，，要使恒成立，则有cos [1,1]kx ∈-()[]cos 1,1kx kT +∈-()cos 2cos Tkx kT T kx +=⋅⋅21T T ⋅=±，当，即时，由函数与的图象存在交点知，方程有解，21T T ⋅=12TT=2x y =1y x=12TT=此时恒成立，则，即， ()cos cos kx kT kx +=2,Z kT m m π=∈2,Z m k m Tπ=∈当，即时，由函数与的图象没有交点知，方程无解，21T T ⋅=-12TT =-2x y =1y x =-12TT=-所以存在，符合题意，其中满足. 2,Z m k m Tπ=∈T 21T T ⋅=【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
上海市高一下学期期中数学试题试卷(解析版)
一、填空题1．两个非零平面向量的夹角的取值范围是____________． 【答案】[0,π]【分析】根据平面向量的夹角的定义即可得夹角的取值范围. 【详解】由题意两个非零平面向量的夹角的取值范围是， [0,π]故答案为：[0,π]2．函数的最小正周期为___________．πtan 53x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】3π【分析】根据正切函数的周期公式即可求得答案.【详解】由题意函数的最小正周期为，πtan 53x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π3π1||3=-故答案为：3π3．若，且的坐标为____________．a b A (2,1),||a b =-=b 【答案】或(4,2)-(4,2)-【分析】根据向量共线设，再结合向量的模求解即可. (2,)b λλ=-【详解】由，可设，则，a b A b aλ=(2,)b λλ=- 由， ||b =22(2)()20λλ+-=解得，故或，2λ=±(4,2)b =- (4,2)b =-故答案为：或(4,2)-(4,2)-4．已知，点D 满足，若，则_________．ABC A 23BD DC =(,R)AD AB AC λμλμ=+∈ μ=【答案】35【分析】由平面向量基本定理结合可得，即可求出的值.23BD DC =(,R)AD AB AC λμλμ=+∈ μ【详解】由，得，23BD DC = 52BC CD =-所以， ()52AC AB AD AC -=-- 即，3522AC AB AD -=-所以，所以，，2355AD AB AC =+ 2=5λ35μ=故．35μ=故答案为：.355．若方程的两根为与，则___________．23570x x +-=tan αtan βsin()cos()αβαβ+=-【答案】54【分析】根据两角和差的正余弦公式化简后转化为正切函数即可得解.【详解】由题意，， 57tan tan tan tan 33αβαβ+=-⋅=-，5sin()sin cos cos sin tan tan 537cos()cos cos sin sin 1tan tan 413αβαβαβαβαβαβαβαβ-+++====-++-故答案为：546．若，且与的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是__________．(2,1),(,3)a b t =-=a b 【答案】()3,66,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【分析】由已知得且不共线，结合向量的坐标运算可得出关于的不等式组，由此可解0a b ⋅<,a b t 得实数的取值范围.t 【详解】因为，，且与的夹角为钝角， ()2,1a =- (),3b t = a b所以且不共线，0a b ⋅<,a b 则，()()2,1,3230230t t t ⎧-⋅=-<⎨--⨯≠⎩解得且，即.32t <6t ≠-()3,66,2t ⎛⎫∈-∞-⋃- ⎪⎝⎭故答案为：.()3,66,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭7．若，点D 在第一象限且，则实数的取值范围是(4,2),(3,5),(5,1)A B C AD AB AC λ=+λ____________． 【答案】(3,5)-【分析】根据向量的坐标运算结合已知可求得点D 的坐标，根据其在第一象限即可求得答案. 【详解】由题意得，设，),(1,3)(1,1AB AC =-=-(,)D m n 由可得，AD AB AC λ=+(4,2)1,3)(1,3)(1,1)(m n λλλ---=--=+-则，故，4123m n λλ-=-⎧⎨-=-⎩35m n λλ=+⎧⎨=-⎩故D 点坐标为，由于D 在第一象限，3,5)(λλ+-故， 30,3550m n λλλ=+>⎧∴-<<⎨=->⎩即实数的取值范围是， λ(3,5)-故答案为：(3,5)-8．定义在上的函数的图像与的图像的交点为P ，则点P 到x 轴的π0,2⎛⎫⎪⎝⎭23cos2y x =+y x =距离为____________． 【答案】3【分析】设交点，则，联立和，变形整理即可00(,)P x y 00y x =0023cos 2y x =+00y x =求得答案.【详解】由题意设交点，则00(,)P x y 00y x =因为，则，0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0y ∈令，即， 0023co n s 2i x x +=200506sin x x -=+所以，即，20002n in )95x x -=+0020259y y +-=解得（负值舍去）， 03y =即点P 到x 轴的距离为3， 故答案为：39．在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是1ABCDEF P AD BP ⋅___________． 【答案】[]1,3-【分析】利用数量积的几何意义去求的取值范围即可解决.AD BP ⋅【详解】正六边形中，过点作于，ABCDEF B BB AD '⊥B '则，，，2AD = 1cos 602AB AB '==13222B D AD AB ''=-=-= ，cos ,AD BP AD BP AD BP ⋅=⋅ 由图可知，在方向上的投影的取值范围是， BP AD cos ,BD BP AD ,B A B D ⎡⎤''-⎣⎦ 所以，，cos ,AD B A AD BP AD BP AD B D ''-⋅≤⋅≤⋅即，故的取值范围为. 1cos ,3AD BP AD BP -≤⋅≤ AD BP ⋅[]1,3-故答案为：. []1,3-10．若，则的取值范围是_______________． 1cos sin 2αβ+=sin sin αβ+【答案】1122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】根据已知条件，结合辅助角公式，化简得到，利用正弦函π1sin sin 42αβα+=-+数的性质，即可求解.【详解】由，可得， 1cos sin 2αβ+=1π1sin sin sin cos 242αβααα+=-+=-+因为， []πsin(1,14α-∈-π)4α⎡-∈⎣.π1114222α⎡⎤-+∈+⎢⎥⎣⎦故答案为：.1122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦11．如图，在中，，为中点，为上一点，且满足，若ABC A 3BAC π∠=D AB P CD 13t AC AB AP =+，则的最小值为__________.ABC A AP【分析】设，由，可得：,AB AC m n == 1sin 2BA AB A C C ⋅⋅∠= 6mn =再由，可得：，则1233t AC AB t AC A AP D =++= 13t =AP == 后由可得解.222m n mn +≥【详解】设,AB AC m n ==ABC A1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠ 12mn ==6mn ∴=为中点，D AB 2AB AD ∴=1233t AC AB t AC AD AP +==+∴ 又C 、P 、Q 三点共线，，即213t ∴+=13t =1133AP AC AB ∴=+则()2222911112=3399APAC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+AP ∴=≥当且仅当.m n ==【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12．在中，，且的取值范围是__________． ABC A 222a c b ac +-=b =2a c +【答案】【分析】运用余弦定理先求出，再利用正弦定理求出关于的表达式，作恒等变换，B ∠2a c +A ∠根据正弦函数的性质求出的值域.2a c +【详解】，()2222221π,cos ,0,π,223a cb ac b ac B B B ac +-+-=∴==∈= 由正弦定理得，。
上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
()3.若 a 2 > b > a > 1，则 log ,log a,log b 的大小顺序是.b a6.若方程 log (ax 2 - 2 x + 2)= 2 在 ⎢ , 2⎥ 内有解，则实数 a 的取值范围是 ⎣ 2 ⎦ = -1，则 =.f sin ⎪=.,sin α = - ,α ∈ π π ⎪高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1.已知 log 7 ⎡⎣log 3 (log 2 x )⎤⎦ = 0 ，那么 x 等于.2.lg 3 - lg 9 + 1 lg 27 + lg8 - lg 10002lg 0.3lg1.2= .bb a 4.函数 y = log (x 2 - 6 x + 17 )的值域是 . 125．函数 y = x 2 - 2ax - 3 在区间 [1,2 ]上存在反函数的充要条件是.2 ⎡ 1 ⎤.7.已知一个扇形的周长为 6，该扇形的中心角为 1 弧度，则该扇形的面积是.8.已知点 P (sin θ - cos θ ,tan θ ) 在第一象限，则在 [0,2π ]内θ 的取值范围是9.已知 sin (3π + θ ) = 1，求4.cos (π + θ ) cos (θ - 2π )cos θ ⎡⎣cos (π + θ )-1⎤⎦ + cos (θ + 2π )cos (π + θ )+ cos (-θ ) =.10.已知 tan α sin α - 3cos αtan α - 1 sin α + cos α11.求值： sin 4 α + cos 4 α - 1 sin 6 α + cos 6 α - 1= .12.函数 f (x )满足 f (cos x ) = 1 x (0 ≤ x ≤ π ) ，则 2⎛ ⎝4π ⎫ 3 ⎭13.若 cos (α - β ) = 5 4 ⎛ - , ⎫, β ∈ (0,π )，则 cos β =13 5 ⎝ 2 2 ⎭14.若 sin α + sin β + sin γ = 0,cos α + cos β + cos γ = 0 ，则 cos (α - β ) =..16．函数 y = lg- 1⎪ 的图象关于 2D. 32 > 02 < 12 > cos 21.已知 sin α + cos α = ，其值：二、选择题：15．已知 x 2+ y 2= 1, x > 0, y > 0 ，且 log (1 + x ) = m ,loga1a1 - x= n ，则 log y 等于aA. m + nB. m - nC. 1(m + n ) D. 1(m - n )2 2⎛ 2 ⎫ ⎝ 1 + x⎭A. x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D.直线 y = x 对称17．已知 g (x ) = log x + 1 (a > 0, a ≠ 1)，在 (-1,0 ) 上有 g (x ) > 0 ，则 f (x ) = a x +1 在 aA. (-∞,0 )上递增B. (-∞,0 )上递减C. (-∞, -1)上递增D. (-∞, -1)上递减18．已知sinα1 - cos2 α= cos α1 - sin2 α，则 α 的终边在A. 第一象限B.第二象限C. 第一或第三象限D.第二或第四象限19．锐角 α 终边上一点 A 的坐标为 (2sin3, -2cos3 )，则角 α 的弧度数为A. π - 3B. 3 - πC. 3 -20．如果 θ 是第一象限角，那么恒有π2A. sin θB. tanθC. sinθθ 2 D. sin θ 2 < cos θ2三、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.13（1） sin α cos α ；（2） sin 3 α + cos 3 α（3） sin 5 α + cos 5 α .(t an α -cot α ) sin α = - ，求 log（2）如果 sin α = sin β ，且 tan α = tan β ，求 csc α 的值.22.已知 f (x ) = a ⋅ 2x - 1(a ∈ R )是 R 上的奇函数.2x + 1（1）求 a 的值；（2）求 f (x )的反函数；（3）对任意 k ∈ (0, +∞)的解不等式 f -1 (x ) > log 21 + x k.23.已知 α 是锐角.（1）如果 log 34 tan α cos β 的值；7 18 422.已知函数 f (x ) = log (x - 3a )(a > 0, a ≠ 1)，当点 P (x, y ) 是函数图象上的点时，点aQ (x - 2a, - y )是函数 y = g (x )的图象上的点.（1）写出函数 y = g (x )的解析式；（2）当 x ∈[a + 2, a + 3]时，恒有 f (x )- g (x ) ≤ 1，试确定 a 的取值范围.4. 求函数 f ( x ) = sin(-2 x +) 的单调递减区间5. 若锐角 α 、 β 满足 cos α = 3， cos(α + β ) = - ，则 cos β =8. 若函数 f ( x ) = 2sin ω x （ 0 < ω < 1）在区间 [0, ] 上的最大值是 2 ，则 ω =上海市高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 半径为 2，圆心角为 300°的圆弧长为2. 函数 y =| tan x | 的对称轴是3. 在平面直角坐标系中，已知角 θ 的顶点在坐标原点，始边为 x 轴正半轴重合，终边在直线 y = 3x 上，则 sin 2θ =π35 5 136. 已知函数 f ( x ) = lg(tan x -1) + 9 - x 2 ，则 f ( x ) 的定义域是7. 若长度为 x 2 + 4 、 4x 、 x 2 + 6 的三条线段可以构成一个锐角三角形，则 x 的取值范围是π39. 如图所示，在塔底 B 处测得山顶 C 的仰角为 60°，在山顶 C 测得塔顶 A 的俯角为 45°，已知塔高 AB = 20 米，则山高 DC =米10. 函数 y = sin x + cos x的值域为1 + sin x cos x11. 已知 f ( x ) = a sin 3 x + b 3 x ⋅ cos 3 x + 4 （ a, b ∈ R ），且 f (sin10 ︒) = 5 ，则 f (cos100 ︒) =12. 设 a 、 b 均为大于 1 的自然数，函数 f ( x ) = a(b + sin x) ， g ( x ) = b + cos x ，若存在实数 m ，使得 f (m ) = g (m ) ，则 a + b =二. 选择题13. 若 MP 和 O M 分别是角 7π的正弦线和余弦线，则（ ）6A. MP < OM < 0B. OM > 0 > MP14. 已知 α , β ∈ (0, ) ，则下列不等式一定成立的是（）析式为 y = 2sin(2 x + ) ；② 该函数图像关于点 ( ,0) 对称；③ 该函数在 [0, ] 上是增函数；④ 若函数 y = f ( x ) + a 在 [0, ] 上的最小值为3 ，则 a = 2 3 ；2 2+ C. OM < MP < 0D. MP > 0 > O Mπ2A. sin(α + β ) < sin α + sin βB. sin(α + β ) > sin α + sin βC. cos(α + β ) < sin α + sin βD. cos(α + β ) > cos α + cos β15. 把函数 y = sin 2 x 的图像沿 x 轴向左平移 π个单位，纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标6不变）后得到函数 y = f ( x ) 的图像，对于函数 y = f ( x ) 有以下四个判断：① 该函数的解πππ6 3 6π2其中正确的判断有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个16. 定义在区间 [-3π ,3π ] 上的函数 y = sin | 2 x | 与 y = cos x 的图像的交点个数为（）A. 12 个B. 14 个C. 16 个D. 18 个三. 简答题17. 已知 cos(2θ - 3π ) = 7，且θ 是第四象限角；25（1）求 cos θ 和 sin θ 的值；π3πcos( - θ ) sin(θ - )（2）求 的值；tan θ[cos(π + θ ) - 1] tan(π - θ )cos( -θ )19. 设 ∆ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 对边分别是 a 、 b 、 c ，且满足 a cos C + c = b ；18. 已知函数 f ( x ) = cos x(sin x + cos x) + 12；（1）若 tan α = 1，求 f (α ) 的值；2（2）求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间；12（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 1 ，求 ∆ABC 的周长 l 的取值范围；20. 函数 y = f ( x ) 满足 f ( x + 3) = f (1- x) ，且对于 x , x ∈ (2, +∞) ，有 1 2成立，若 f (cos 2 θ + 2m 2 + 2) < f (sin θ + m 2 - 3m - 2) 对 θ ∈ R 恒成立；（1）判断 y = f ( x ) 的单调性和对称性；（2）求 m 的取值范围；f ( x ) - f ( x )1 2 x - x 1 2> 021. 已知函数 f ( x ) 、 g ( x ) 满足关系 g ( x ) = f ( x ) ⋅ f ( x + ) ；π2（1）设 f ( x ) = cos x + sin x ，求 g ( x ) 的解析式；（2）当 f ( x ) =| sin x | + cos x 时，存在 x , x ∈ R ，对任意 x ∈ R ， g ( x ) ≤ g ( x ) ≤ g ( x ) 恒成立，求1 212| x - x | 的最小值；1 2π 2. x = , k ∈ Z 3. 4. [k π - , k π + ], k ∈ Z6. (- , - ) U ( , )7. ( , )8. 1 152 317.（1） cos θ = ， sin θ = - ；（2） ；；（2）最小正周期 T = π ，单调增区间： [k π - , k π + ], k ∈ Z ；参考答案一. 填空题1.5.10 k π 3 π 5π3 2 5 12 1233 3π π π π 3 65 4 2 4 2 49. 30 + 10 310. [-1,1]`11. 312. 4二. 选择题13. C14. A 15. B 16. B三. 简答题3 4 95 5 418.（1） 17 3π π10 8 819.（1） π 3；（2） l ∈ (2,3] ；20.（1）对称轴 x = 2 ，单调减区间 (-∞, 2) ，单调增区间 (2, +∞ ) ；（2） m ∈ ( 3 - 42 , 3 + 42) ；6 621.（1） g ( x ) = cos 2 x ；（2） 2π ；2. cos 23π5. 在 ∆ABC 中， ∠A =2π， a = 3c ，则 = 8. 已知 θ 是第四象限角，且 sin(θ + ) = - ，则 tan(θ - ) =， sin(α - β ) = - ， α , β ∈ (0, ) ，则 β = （ ）B. C. D.A. y = 2sin(2 x - )B. y = 2sin(2 x - )C. y = 2sin(2 x + )D. y = 2sin(2 x + )上海市高一第二学期期中考试数学卷一. 填空题1. 弧度数为 3 的角的终边落在第象限3π - sin 2=883. 若函数 f ( x ) = a sin x + 3cos x 的最大值为 5，则常数 a =4. 已知 {a } 为等差数列， S 为其前 n 项和，若 a = 8 ， a + a = 0 ，则 S =n n1468a3 b6.函数 y = sin x - 3 cos x 的图像可由函数 y = 3 sin x + cos x 的图像至少向右平移个单位长度得到7. 方程 3sin x = 1 + cos2 x 的解集为π 3 π4 5 49. 无穷数列 {a } 由 k 个不同的数组成， S 为 {a } 的前 n 项和，若对任意 n ∈ N * ， S ∈{1,3} ， n nnn则 k 的最大值为10. 在锐角 ∆ABC 中，若 sin A = 3sin B s in C ，则 tan A t an B tan C 的最小值是二. 选择题11. 已知 sin α =10 5 π 10 5 2A. 5π π π π 12 3 4 612. 函数 y = A s in(ω x + ϕ ) 的部分图像如图所示，则（）ππ63ππ6313. “ sin α < 0 ”是“ α 为第三、四象限角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2），x=-4为f(x)的零点，x=4为y=f(x)的图像的对称轴，且f(x)在(,)单调，则ω的最大值为（）-=，S=63；a a a17.已知函数f(x)=4tan x sin(-x)cos(x-)-3；,]上的单调性与最值；18.已知方程arctan+arctan(2-x)=a；（1）若a=π，求arccos的值；14.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)（ω>0，|ϕ|≤ππππ5π836A.11B.9C.7D.5三.简答题15.在∆ABC中，a2+c2=b2+2ac；（1）求∠B的大小；（2）求cos A+2cos C的最大值；16.已知{a}是等比数列，前n项和为S（n∈N*），且n n（1）求{a}的通项公式；n 1121236（2）若对任意的n∈N*，b是log a和log an2n2n+1的等差中项，求数列{(-1)n b2}的前2n项和；nππ23（1）求f(x)的定义域与最小正周期；（2）求f(x)在区间[-ππ44x2x42（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；1. 二2. -23. ±44. 85. 36. 7. {x | x = k π + (-1)k ⋅ }, k ∈ Z8.9. 410. 122 , k ∈ Z } ， T = π ；, ] ，单调递减： [- ； （2） [arctan ,arctan ] ；（3）19 ；（3）若方程在区间 [5,15] 上有两个相异的解 α 、 β ，求 α + β 的最大值；参考答案一. 填空题π22π4 63二. 选择题11. C12. A 13. B 14. B三. 简答题15.（1） π；（2）1 ；416.（1） a = 2n -1 (n ∈ N * ) ；（2） T = 2n 2 ；n2n17.（1）定义域 {x | x ≠ k π + π（2）单调递增： [- π π π π , - 12 4 4 12]，最大值为 1，最小值为 -2 ；18.（1） π 或 π 1 13 -2 10 - 6 2 10 - 611。
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上海市2015-2016学年高一数学下学期期中试题（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第__________象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________．3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+____________．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ___________．5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____________三角形.6． 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是_____________． 7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________．8． 设锐角βα、满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=__________．9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________． 10． 设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是____________． 11． 某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为____________．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为___________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸第11题的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( )15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3co s(co s πx x……………………………… ( ) A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ= ………………( ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=． （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积． 第20题C第19题21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，AD =米，记BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．第21题金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：刘雪孝 审核人：龚伟杰）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第_____三_____象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为____2_____． 3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+______41______．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ____10103_______． 5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____等腰_____三角形.6．已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是___()2sin()6f x x π=π+_________．7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___11{,}412ππ_____．8．设锐角βα、满足sin αβ==αβ+=_____4π_____． 9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___89_____．10．设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是_____]2,4[ππ-_______．11．某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为______sin αα+______．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为____0____．第11题二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( D )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( D )15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3co s(co s πx x ……………………………… ( C ) A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ=………………( D ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．解：54)2cos(-=+απ18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=． （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．解：)32sin(2)(π-=x x f（1）π=T ，单调递增区间Z k k k ∈+-],125,12[ππππ ………………5分 （2）当125π=x 时，2)(max =x f ；当0=x 时，3)(m in -=x f ………………5分 19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．解：（1）34tan 2cos 12sin ==+ααα ………………4分 （2）∵B （cos （α+），sin （α+）），C （1，0），∴|BC|2=[cos （α+）﹣1]2+sin 2（α+）=2﹣2cos （α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴﹣≤cos（α+）≤， ∴1≤2﹣2cos （α+）≤3，∴1≤|BC|≤． ………………10分20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积． 解：（1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=． 第20题C第19题又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45==． ………………………6分（2）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠==∠．所以11sin 5722ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅=． …………………12分 21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，AD =米，记BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．解：（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于 BE=10tan θ≤10，AF=≤10，而且≤tan θ≤，θ∈[，]，∴L=++，θ∈[，]．即L=10×，θ∈[，]． ………………………6分第21题（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=，由于θ∈[，]，∴sinθ+cosθ=t=sin（θ+）∈[，]．由于L=在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即θ=或θ=时，L取得最大值为 20（+1）米．………………………6分。