大学物理第六章振动和波

dv 2 a 0.05 cos t m/s 2 dt 3 2
dv 4 2 a 0.05 cos 0.493 m/s 2 dt 2 3 3
dx v 0.1 sin t m/s dt 3 2
k 2 令 m
微分方程的解
d x 2 x 0 2 dt
2
x Acos(t 0 )
这样的运动规律符合简谐函数形式，叫做简谐振动 (simple harmonic vibration ) 。
5
★简谐振动的运动方程
x Acos(t 0 )
三个重要的特征量
A — 振幅(amplitude) 离开平衡位置的最大位移
5 / 6 5 t s /2 3
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4. 简谐振动的能量
k
0vBiblioteka mxx振子动能
振子势能
2
1 2 1 Ek mv m 2 A2 sin 2 ( t 0 ) 2 2 1 2 1 2 Ep kx kA cos 2 ( t 0 ) 2 2
m k
y
A
t 0
xP A cos( t 0 )
矢量端点在 x 轴上的投 影点作简谐振动！
0
P
x
旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态
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例 一物体沿Ox轴作简谐振动，振幅为A＝0.2m，周期为T＝4s。 当t＝0时，物体的位移为0.1m，且向Ox轴负向运动。求： （1）振动的表达式； （2） t＝T/3时物体的位置、速度和加速度； （3）物体从x＝0.1m处向Ox轴正向运动，第一次回到平衡位置需
2
x0 Acos0
v0 Asin0
在0~2π内为多值函 数，注意取舍！
10
v0 arctg( ) x0
������0 ∈ [0,2������)或������0 ∈ [−������, ������)
2. 线性回复力 作用力的形式为F = kx ，k 为常系数。具有特点：
k
m F
x
x
0 k 为劲度系数(coefficient of stiffness)
小幅振动满足胡克定律：F
kx
物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡 位置，称为线性回复力。 由牛顿第二定律： kx
ma
4
即：
ma k x 0
d2 x k 或： 2 x 0 dt m
d2 y 物体m应用牛顿第二定律： m 2 mg T1 dt 滑轮应用转动定律： J T1R T2 R
绳子无质量且不可伸长： 绳子在滑轮上不打滑： 由上述四式化简，可得：
2 d y 2 (m J / R ) 2 ky dt
T2 k (a y)
d2 y R 2 dt
1 若将滑轮当做匀质圆盘，则： J MR 2 2
1 d2 y 故： (m M ) 2 ky 2 dt
令
k / (m M / 2)
d2 y 2 y0 2 dt
2
则：
表明物体m作简谐振动，周期 T

2 (m M / 2) / k
3. 旋转矢量图法 旋转矢量的模为A， t =0 时， 旋转矢量与 x 轴的夹角为0， 旋转矢量的角速度为 。
2）开始振动时的初始条件为木块的位移在负方向最大处 ������ = ������ cos(������������ + ������0 ) ������ = −������������ sin ������������ + ������0 − ������ − ������ = ������������������������(������0 ) 0 = ������������sin(������0 )
E p r Sx g
2
分析可知所有质元的总动能为： E 1 r lS dx k
2
2
dt
系统机械能守恒，则：
1 dx 2 rlS r Sx g Const. 2 dt
两边同时对时间求导，整理后得：
2
d2 x 2g x 0 2 dt l
要多少时间。
解
（1）.设位移表达式为:
x A cos( t 0 )
已知 A = 0.2 m , T = 4s
2 rad s 1 T 2
x 0.2cos(

2
t 0 ) m
20
由初始条件用旋转矢量法求初相 0
当 t = 0 时, 位移为 0.1m ，且向 x 轴负方向运动
������0 = ������
������ − ������ = ������
������ ������ + ������ ������
15
������ = ������ − ������ cos
例 如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在地面上，另一端
系一轻绳，绳子绕过匀质定滑轮连接一质量为m的物体，绳子在滑
d s mg sin m 2 dt d 2 mg sin ml 2 s l dt
在小幅振动时：
2
2
O

l T s
mg
sin
d g 0 2 dt l

g l
T 2
l g
12
例2：复摆(complex pendulum)
M mgl
1 1 2 2 2 kA cos (t 0 )dt kA 4 2
1 Ep T

T
0
简谐振动系统的势能和动能的平均值，皆等于总能量的一 半。
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例 如图所示，截面积为S的U型管，内装有密度为r、长度为l的液体 柱受到扰动后管内液体发生无阻力振荡，试分析液柱的运动。
解
由于液体不宜简化为一个质 点，而液体受到扰动后，在振动 过程中没有机械能损失，因此用 能量法来分析。 取U型管两边液体等高的位置 为坐标原点，向上为正建立坐标系 Ox。设t时刻，右面液面升高x，此 时左侧液面下降x，以U型管两边 液体等高的位置为势能零点，则此 时的势能为：
7
★振动的相位(phase)
x Acos( t 0 )
t 0 称为振动的 相位，t = 0 时刻的相位为初相
1、用“相位”描述物体的运动状态。 2、用“相位”来比较两个同频率简谐振动的“步调”。 ★振动曲线 x
A
o
-A T
t
8
★简谐振动的动力学方程
d x 2 x 0 2 dt
2
物体作简谐振动的动力学方程
判别简谐振动的依据：
1、运动表达式为������ = ������cos(������ ������ + ������0 ) ，其中 A 、 和 是常数。
2、作用力的形式为������ = −������������ ，k 为常系数。
d ������ 3、动力学方程可写成 2 + ������2 ������ = 0，2为常系数，其平 d������ 方根即为角频率。
1
简谐振动的描述
2 简谐振动的判断 3 同方向同频率简谐振动的合成 4 简谐波的描述 简谐波的叠加和波的干涉
5
2
第一节
简谐振动
振动一个物理量随时间 t 作周期性变化：
y( t ) y( t T )
“周期性”是这种运动形式的典型特征 机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。
3
1. 弹簧振子模型 弹簧振子(spring oscillator)的例子 一根轻弹簧连接 一个质点，置于 光滑水平面上。
dx 4 v 0.1 sin 0 dt 2 3 3
23
（3）物体从x＝0.1m处向Ox轴正向运动，第一次回到
平衡位置需要多少时间。 质点从 x = 0.1m 向 x 轴 正方向运动可知此时的相 位为-π/3。
第一次回到平衡位置时 的相位为π/2。 第一次回到平衡位置所 需要的时间：
d 2 mgl J 2 dt
o
d 2 2 dt
2
mgl 令 J
2
l
*C

mgl J
T 2π
J
mgl
mg
（C点为质心）
m cos(t )
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例3 一长方体木块静止浮于水中，其浸入水中部分高度为a。现 将其轻轻下压至浸入水中部分高度为b，如图所示，然后放手让 其进行自由振动。（1）若不计水的黏滞阻力，试证明木块是作 简谐振动。（2）从放手时刻开始计时，写出木块的振动方程
1 2 E Ek EP kA 2
——振子的总能量为常量！
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x
x A cos t
t
Ep Ek
E
1 2 E kA 2
t
1、简谐振动系统的机械能守恒。 2、简谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比。
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★势能和动能的平均值
1 Ek T

T
0
1 2 1 2 2 kA sin (t 0 )dt kA 4 2
大小与离开平衡位置的位移成正比，而方向永远指向平衡 位置。
这样的力叫做线性回复力（linear restore force）。 系统（概念更为广泛）在类似的线性回复力作用下，一定 是做简谐振动。
注意到系统总是在平衡位置附近做振动的，因此分析系统 的运动时选取平衡位置做坐标零点更为方便。
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例1：单摆(simple pendulum)
— 角频率 （或称圆频率）(angular frequency)
在 2π 秒时间内完成全振动的次数