数理方程第4讲-课件
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数理方程第4讲
题的解是惟一的. 如果不具有这个条件, 外
问题的解可能不惟一, 例如, 在单位球面
外求调和函数, 在边界上满足 u| =1, 容易看
出, u1(x, y, z) 1及u2 (x, y, z)
1
都
x2 y2 z2
在单位球外满足拉普拉斯方程, 并且在单位
球面 上满足上述边界条件.
对于二维拉氏方程, 外问题在无穷远点的条
u|=f.
(4.4)
11
(4) 牛曼外问题 在光滑的闭曲面上给定连
续函数 f, 要找出这样一个函数 u(x,y,z), 它
在闭曲面的外部区域内调和, 在
上连续, 在无穷远处满足条件(4.3), 而且它
在上任一点的法向导数 u 存在, 并满足
n
u f ,
(4.5)
n
这里n是边界曲面的内法向矢量.
u|=f.
(4.1)
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问
题, 或简称狄氏问题.
5
§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问 题. 拉普拉斯方程的连续解, 也就是说, 具有二阶 连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函 数, 称为调和函数. 所以, 狄氏问题也可以换一
种说法: 在区域内找一个调和函数, 它在边 界上的值为已知.
7
以上两个边值问题都是在边界上给定某些
边界条件, 在区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称为内问题. 在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题 的另一种提法. 例如, 当确定某物体外部的稳
恒温度场时, 就归结为在区域的外部求调和 函数u, 使满足边界条件u| = f, 这里是的
边界, f 表示物体表面的温度分布. 像这样的定 解问题称为拉普拉斯方程的外问题.
东南大学版《数理方程》课件
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 xy x y
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x atቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2 u2 u2 2 a f ( x, t ), x , t 0 2 t 2 x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t 利用齐次化原理，若 满足：
数理方程4
解法一 叠加原理
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
解法二
本征函数法（直接将初始条件按本征函数系展开）
an l
2
t 1 t u ( x, t ) [ f 0 ( )d 0 ] [ f n (t )e 0 2 0 n 1
3.4、齐次泛定方程的非齐次边界问 题
思路：将非齐次边界化为齐次边界 例1、一个矩形金属槽，槽的一边 y b 电位较高为 U ，其它三边
y 0, x 0, x a 连在一起，电位为 u 0 。求槽内电位 u ( x, y )
分布，也即定解问题：
南京邮电大学、理学院
数理方法
y
u xx u yy 0 u u x 0 u0， x a u0 u u y 0 u0， y b U
齐次泛定方程
（1）
齐次边界条件
（3） （2） （4） 非齐次泛定方程
非齐次边界条件
南京邮电大学、理学院
数理方法
u x 0 0 边界条件： u x l 0 u x 边界条件： u x
x 0 x l
本征值为: 本征函数为: 本征值为:
n , l
南京邮电大学、理学院
数理方法
例1、用冲量定理法求解定解问题
ut a 2u xx A sin t u x x 0 0 u x x l 0 u t 0 0
解得：
u ( x, t )
A
(1 cos t )
南京邮电大学、理学院
数理方法 其他解法: 格林函数法；特解法
数理方法
南京邮电大学、理学院
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
解法二
本征函数法（直接将初始条件按本征函数系展开）
an l
2
t 1 t u ( x, t ) [ f 0 ( )d 0 ] [ f n (t )e 0 2 0 n 1
3.4、齐次泛定方程的非齐次边界问 题
思路：将非齐次边界化为齐次边界 例1、一个矩形金属槽，槽的一边 y b 电位较高为 U ，其它三边
y 0, x 0, x a 连在一起，电位为 u 0 。求槽内电位 u ( x, y )
分布，也即定解问题：
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数理方法
y
u xx u yy 0 u u x 0 u0， x a u0 u u y 0 u0， y b U
齐次泛定方程
（1）
齐次边界条件
（3） （2） （4） 非齐次泛定方程
非齐次边界条件
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数理方法
u x 0 0 边界条件： u x l 0 u x 边界条件： u x
x 0 x l
本征值为: 本征函数为: 本征值为:
n , l
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数理方法
例1、用冲量定理法求解定解问题
ut a 2u xx A sin t u x x 0 0 u x x l 0 u t 0 0
解得：
u ( x, t )
A
(1 cos t )
南京邮电大学、理学院
数理方法 其他解法: 格林函数法；特解法
数理方法
南京邮电大学、理学院
数理方程课件
详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数理方程-精PPT文档38页
是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
谢谢！
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
谢谢！
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
数理方程课件四
∂ 2 u ∂ 2u ∂ξ 2 ∂ 2 u ∂ ξ ∂ η ∂ 2 u ∂ η 2 ∂ u ∂ 2ξ ∂ u ∂ 2η = ( ) +2 + ( ) + + 2 2 2 2 ∂y ∂ξ ∂y ∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y 2
浙江大学数学系 华中科技大学数学系 3
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u a11 2 + 2a12 + a22 2 + b1 + b2 + cu = 0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y （1） ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u * ∂u * ∂u * * * * + a22 2 + b1 + b2 +c u = 0 a11 2 + 2a12 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η ∂ξ ∂η （2）
（4）
的特解，则关系式 ϕ ( x, y ) = C 是常微分方程
a11 ( dy ) 2 − 2 a12 dxdy + a 22 ( dx ) 2 = 0
的一般积分。反之亦然。
（5）
由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微 分方程（5）的一般积分。
浙江大学数学系 华中科技大学数学系 7
称常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程。 特征方程。 特征方程
2 a 12 − a 11 a 22 a 11
右端为两相异 的实函数
它们的一般积分为 ϕ ( x, y ) = C ,
ξ = ϕ ( x , y ) 由此令 η = ψ ( x , y )
ψ ( x, y ) = C
，方程（1）可改写为 双曲型方程的 第一标准型
∂ 2u ∂u ∂u = A + B + Cu ∂ξ∂η ∂ξ ∂η
浙江大学数学系 华中科技大学数学系 3
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u a11 2 + 2a12 + a22 2 + b1 + b2 + cu = 0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y （1） ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u * ∂u * ∂u * * * * + a22 2 + b1 + b2 +c u = 0 a11 2 + 2a12 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η ∂ξ ∂η （2）
（4）
的特解，则关系式 ϕ ( x, y ) = C 是常微分方程
a11 ( dy ) 2 − 2 a12 dxdy + a 22 ( dx ) 2 = 0
的一般积分。反之亦然。
（5）
由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微 分方程（5）的一般积分。
浙江大学数学系 华中科技大学数学系 7
称常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程。 特征方程。 特征方程
2 a 12 − a 11 a 22 a 11
右端为两相异 的实函数
它们的一般积分为 ϕ ( x, y ) = C ,
ξ = ϕ ( x , y ) 由此令 η = ψ ( x , y )
ψ ( x, y ) = C
，方程（1）可改写为 双曲型方程的 第一标准型
∂ 2u ∂u ∂u = A + B + Cu ∂ξ∂η ∂ξ ∂η
【公开课】解一元一次方程(第4课时)课件人教教版数学七年级上册
温故旧知练一练 1.解下面一元一次方程.
5x－4(x－1)＝3＋2(x－3).
规则：
1.先独立思考再作答，正确回答 +2分 2.认真倾听 +1分 3.质疑 +2分
回顾
解一元一次方程步骤： ① 去括号； ② 移项； ③ 合并同类项； ④ 系数化为1.
温故旧知练一练
1.解下列方程.
5x－4(x－1)＝3＋2(x－3).
课堂总结
解方程 的步骤
1
去分母
2
去括号
3
移项
4
合并同 类项
5
系数化1
方程两边同乘以所有分母的最小公倍数； 乘时不要遗漏方程中不含分母的项； 去掉分母后，分子上的多项式要用括号括起来.
跟同学一起讨论出一个系数 是分数的方程的具体情境，并求 出方程的解．
探究去分母化简方程
教材例题
例1 如图5.2-1，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山50 km， 距绿水70 km．某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿 水三地的时间如表5.2-1所示．王家庄距翠湖的路程有多远?
解：设王家庄距翠湖的路程为x km， 则王家庄距青山的路程为(x－50) km， 王家庄距绿水的路程为(x＋70) km． 由表可知，汽车从王家庄到青山的行驶时间为3h， 从王家庄到绿水的行驶时间为5h.
教材练习
运用新知显身手
解：设这个数是x，它的三分之二是 ，它 的一半是 ，它的七分之一是 ，它的全 部是x． 根据加起来总共是33，列得方程，
教材练习
运用新知显身手
运用新知显身手
教材练习
3.一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向匀速行 驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客 车比卡车早1h经过B地．求A，B两地相距的路程．
华科数理方程课件第4章
同理可得 1 r u nd S 1 u nd S 4 ( u n)因此有
又因为 l i0m u [ u u 1 n M (1 r 0) 1 r l i m u n 0 ] 4d (1 S 4 unu ) 4 01 于( u 是u n () M )0
u (M 0 ) 4 [ u (M ) n (r M 0)M r M 0M n]dM S
4.1.4 调和函数的性质
上性有质一1.阶设连u续(x偏, y,导z)数是，区则域 内und的S调和0,函其数中， 它 在 ,n
是 的外法线方向。证明: 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。
对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就
格林函数法以统一的方式处理各类数学物理方程，既可以 研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又可以研究 无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广泛。这里主要介绍 用格林函数求解拉普拉斯方程的边值问题。
1
2021/3/6
数学物理方程与特殊函数
为了利用格林公式，我们在 内挖去 M 0的球形邻
域 K , 是其球面. 在区域 K内及其边界
上， v 1 是任意可导的。 r
4
2021/3/6
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
在第二格林公式中, 取u为调和函数, 假定它在
上有一阶连续偏导数, 而取v 1 , 在区域 K 上应
因用 在此公球式面 得u n 上( 1 r ) K d 1 ( u n / r1 r S 1 2 1 r u u d 1 ) r d /r S r1 V 2 r1 u 2 4 [ u 1 2 n 2 ( 1 r ) 4 u 1 r u n ] dS
又因为 l i0m u [ u u 1 n M (1 r 0) 1 r l i m u n 0 ] 4d (1 S 4 unu ) 4 01 于( u 是u n () M )0
u (M 0 ) 4 [ u (M ) n (r M 0)M r M 0M n]dM S
4.1.4 调和函数的性质
上性有质一1.阶设连u续(x偏, y,导z)数是，区则域 内und的S调和0,函其数中， 它 在 ,n
是 的外法线方向。证明: 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。
对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就
格林函数法以统一的方式处理各类数学物理方程，既可以 研究常微分方程，又可以研究偏微分方程；既可以研究齐次方 程又可以研究非齐次方程；既可以研究有界问题，又可以研究 无界问题。它的内容十分丰富，应用极其广泛。这里主要介绍 用格林函数求解拉普拉斯方程的边值问题。
1
2021/3/6
数学物理方程与特殊函数
为了利用格林公式，我们在 内挖去 M 0的球形邻
域 K , 是其球面. 在区域 K内及其边界
上， v 1 是任意可导的。 r
4
2021/3/6
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
在第二格林公式中, 取u为调和函数, 假定它在
上有一阶连续偏导数, 而取v 1 , 在区域 K 上应
因用 在此公球式面 得u n 上( 1 r ) K d 1 ( u n / r1 r S 1 2 1 r u u d 1 ) r d /r S r1 V 2 r1 u 2 4 [ u 1 2 n 2 ( 1 r ) 4 u 1 r u n ] dS
数理方程4
Nanjing University of Posts and Telecommunications
式中第一个方程由自然边界条件 Φ (ϕ
+ 2π ) = Φ (ϕ ) 构成本征值和本征函数
λ = m (m = 0,1,2,⋯) Φ(ϕ) = Acos mϕ + Bsin mϕ
2
第二个方程可以改写为
解：设分离变量形式的试探解
u (r ,θ , ϕ ) = R(r )Y (θ , ϕ )
代入方程得到
Nanjing University of Posts and Telecommunications
∂ ∂Y Y ∂ 2 ∂R R r + 2 sin θ 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ
d 2R dR 2 x +x − ( x 2 + n 2 ) R = 0 n阶虚宗量贝塞尔方程 dx 2 dx
Nanjing University of Posts and Telecommunications
三、亥姆霍兹方程 (a)、三维波动方程为: (a)、三维波动方程为: utt 设分离变量解为: 设分离变量解为:
二、贝塞尔方程的导出
拉普拉斯方程： 在柱坐标系下解 拉普拉斯方程： ∇
2
u = 0
1 ∂ ∂u 1 ∂ 2 u ∂ 2 u ρ + 2 =0 ∂ρ + 2 2 ρ ∂ρ ∂z ρ ∂ϕ
分离变量得 u( ρ , ϕ , z) = R( ρ )Φ(ϕ )Z ( z)
ρ 2 d 2 R ρ dR ρ 2 d 2 Z R d ρ 2 + R d ρ + Z dz 2 = λ λ = n 2 , n = 0,1,2,⋅ ⋅ ⋅ Φ′′ + λΦ = 0 ⇒ Φ n = an cos nϕ + bn sin nϕ Nanjing University of Posts and Telecommunications
式中第一个方程由自然边界条件 Φ (ϕ
+ 2π ) = Φ (ϕ ) 构成本征值和本征函数
λ = m (m = 0,1,2,⋯) Φ(ϕ) = Acos mϕ + Bsin mϕ
2
第二个方程可以改写为
解：设分离变量形式的试探解
u (r ,θ , ϕ ) = R(r )Y (θ , ϕ )
代入方程得到
Nanjing University of Posts and Telecommunications
∂ ∂Y Y ∂ 2 ∂R R r + 2 sin θ 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ
d 2R dR 2 x +x − ( x 2 + n 2 ) R = 0 n阶虚宗量贝塞尔方程 dx 2 dx
Nanjing University of Posts and Telecommunications
三、亥姆霍兹方程 (a)、三维波动方程为: (a)、三维波动方程为: utt 设分离变量解为: 设分离变量解为:
二、贝塞尔方程的导出
拉普拉斯方程： 在柱坐标系下解 拉普拉斯方程： ∇
2
u = 0
1 ∂ ∂u 1 ∂ 2 u ∂ 2 u ρ + 2 =0 ∂ρ + 2 2 ρ ∂ρ ∂z ρ ∂ϕ
分离变量得 u( ρ , ϕ , z) = R( ρ )Φ(ϕ )Z ( z)
ρ 2 d 2 R ρ dR ρ 2 d 2 Z R d ρ 2 + R d ρ + Z dz 2 = λ λ = n 2 , n = 0,1,2,⋅ ⋅ ⋅ Φ′′ + λΦ = 0 ⇒ Φ n = an cos nϕ + bn sin nϕ Nanjing University of Posts and Telecommunications
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其中dV是体积元素, n是 的外法向矢量, dS是 上的面积元素.
13
设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在+ 上具有一阶连 续偏导数, 在 内具有连续的所有二阶偏导数,
在(4.6)中令 Puv,Quv,Ruv, x y z
则有
(u2v)dV uxvxuyyvuzvzdV
unvdS,
14
(u2v)dV uxvxuyyvuzvzdV unvdS,
u|=f.
(4.1)
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问
题, 或简称狄氏问题.
4
§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问 题. 拉普拉斯方程的连续解, 也就是说, 具有二阶 连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函 数, 称为调和函数. 所以, 狄氏问题也可以换一
种说法: 在区域内找一个调和函数, 它在边 界上的值为已知.
题的解是惟一的. 如果不具有这个条件, 外
问题的解可能不惟一, 例如, 在单位球面
外求调和函数, 在边界上满足 u| =1, 容易看
出, u1(x, y, z) 1及u2 (x, y, z)
1
都
x2 y2 z2
在单位球外满足拉普拉斯方程, 并且在单位
球面 上满足上述边界条件.
对于二维拉氏方程, 外问题在无穷远点的条
5
(2) 第二边值问题 在某光滑的闭曲面上给
出连续函数 f, 要求寻找这样一个函数
u(x,y,z), 它在内部的区域中是调和函数,
在+上连续, 在上任一点处法向导数 u
n 存在, 并且等于已知函数 f 在该点的值:
u f ,
(4.2)
n
这里 n 是的外法向矢量.
第二边值问题也称牛曼(Neumann)问题.
在K内直至
边界上
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v
1 r
是任意次连续可
微的. 在公式(4.9)中取 u 为调和函数, 并假定
通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解. 有
的书中把三维拉普拉斯方程的基本解定义为
1 , 为表达清楚写成 1 , 而二维拉普
4 r
4 rMM0
拉斯方程的基本解为 1 ln 1 .
2 rMM0
18
由于v 1在内有奇异点
r
M0,
作一个以
M0
为中心, 以充分小的正数为半径的球面,
在内挖去所包围的球域 K得到区域K,
件可改为: 当 r时, |u(x,y)|有界.
9
(3) 狄氏外问题 在空间(x,y,z)的某一闭曲面
上给定连续函数f, 要找出这样一个函数
u(x,y,z), 它在的外部区域'内调和, 在'+
上连续, 当点(x,y,z)趋于无穷远时, u(x,y,z)满足
条件(4.3), 并且它在边界上取所给的函数值
下面重点讨论内问题, 所用的方法也可以用
于外问题.
11
§4.2 调和函数
12
设是以足够光滑的曲面为边界的有界区 域, P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是在+上连续的, 在内具有一阶连续偏导数的任意函数, 则成
立如下的高斯公式
P xQ yR zdV
[Pcos(n,x)Qcos(n,y)Rcos(n,z)]dS,(4.6)
(4.8)
(u 2 v v 2 u )d V u n v v u n d S (4 .9 )
(4.9)式称为第二格林公式.
16
(i) 调和函数的积分表达式 所谓调和函数的积分表达式, 就是用调和函数
及其在区域边界 上的法向导数沿 的积分 来表达调和函数在 内任一点的值. 设M0(x0,y0,z0)是 内某一固定点, 现在我们就
u|=f.
(4.4)
10
(4) 牛曼外问题 在光滑的闭曲面上给定连
续函数 f, 要找出这样一个函数 u(x,y,z), 它
在闭曲面的外部区域内调和, 在
上连续, 在无穷远处满足条件(4.3), 而且它
在上任一点的法向导数 u 存在, 并满足
n
u f ,
(4.5)
n
这里n是边界曲面的内法向矢量.
来求调和函数在这点的值. 为此, 构造一个函 数
1
1
v
(4 .1 0 )
r (x x 0 )2 (y y 0 )2 (z zo )2
17
v 1
1
(4 .1 0 )
r (x x 0 )2 (y y 0 )2 (z zo )2
函数 1 除点 r
M0 外处处满足拉普拉斯方程,
它
在研究三维拉普拉斯方程中起着重要作用,
或
(u 2v)dVu n vdS gradugradvdV
(4.7)
(4.7)式称为第一格林(Green)公式.
15
(u 2v)dVu n vdS gradugradvdV
(4.7) 在公式(4.7)中交换u,v的位置, 得
(v 2u)dVv u ndS gradvgradudV
将(4.7)与(4.8)式相减得到
7
由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上 给出的, 定解问题的解是否应加以一定的限 制? 基于在电学上总是假定在无穷远处的电 位为零, 所以在外问题中常常要求附加如下 条件:
l i m u ( x ,y ,z ) 0 ( r x 2 y 2 z 2 ) . ( 4 .3 )
r
8
从数学上讲, 补充了这个条件就能保证外问
6
以上两个边值问题都是在边界上给定某些
边界条件, 在区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称为内问题. 在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题 的另一种提法. 例如, 当确定某物体外部的稳
恒温度场时, 就归结为在区域的外部求调和 函数u, 使满足边界条件u| = f, 这里是的
边界, f 表示物体表面的温度分布. 像这样的定 解问题称为拉普拉斯方程的外问题.
数理方程第4讲
精品jing
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 §4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
2
在第一章, 已从稳恒温度场的温度分布问题推 导出了三维拉普拉斯方程
2ux2u2y2u2z2u2 0
作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯 方程, 它不能提初始条件. 至于边界条件, 如第 一章所述有三种类型, 应用得较多的是如下两 种边值问题.
3
(1) 第一边值问题 在空间(x,y,z)中某一区域
的边界上给定了连续函数 f, 要求这样一
个函数 u(x,y,z), 它在闭域+(或记作 )上
连续, 在内有二阶偏导数(这里关于函数 u 的光滑性假设, 可简记成u C1( ) C2( )) 且满足拉普拉斯方程, 在上与已知函数 f 相
重合, 即
13
设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在+ 上具有一阶连 续偏导数, 在 内具有连续的所有二阶偏导数,
在(4.6)中令 Puv,Quv,Ruv, x y z
则有
(u2v)dV uxvxuyyvuzvzdV
unvdS,
14
(u2v)dV uxvxuyyvuzvzdV unvdS,
u|=f.
(4.1)
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问
题, 或简称狄氏问题.
4
§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问 题. 拉普拉斯方程的连续解, 也就是说, 具有二阶 连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函 数, 称为调和函数. 所以, 狄氏问题也可以换一
种说法: 在区域内找一个调和函数, 它在边 界上的值为已知.
题的解是惟一的. 如果不具有这个条件, 外
问题的解可能不惟一, 例如, 在单位球面
外求调和函数, 在边界上满足 u| =1, 容易看
出, u1(x, y, z) 1及u2 (x, y, z)
1
都
x2 y2 z2
在单位球外满足拉普拉斯方程, 并且在单位
球面 上满足上述边界条件.
对于二维拉氏方程, 外问题在无穷远点的条
5
(2) 第二边值问题 在某光滑的闭曲面上给
出连续函数 f, 要求寻找这样一个函数
u(x,y,z), 它在内部的区域中是调和函数,
在+上连续, 在上任一点处法向导数 u
n 存在, 并且等于已知函数 f 在该点的值:
u f ,
(4.2)
n
这里 n 是的外法向矢量.
第二边值问题也称牛曼(Neumann)问题.
在K内直至
边界上
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v
1 r
是任意次连续可
微的. 在公式(4.9)中取 u 为调和函数, 并假定
通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解. 有
的书中把三维拉普拉斯方程的基本解定义为
1 , 为表达清楚写成 1 , 而二维拉普
4 r
4 rMM0
拉斯方程的基本解为 1 ln 1 .
2 rMM0
18
由于v 1在内有奇异点
r
M0,
作一个以
M0
为中心, 以充分小的正数为半径的球面,
在内挖去所包围的球域 K得到区域K,
件可改为: 当 r时, |u(x,y)|有界.
9
(3) 狄氏外问题 在空间(x,y,z)的某一闭曲面
上给定连续函数f, 要找出这样一个函数
u(x,y,z), 它在的外部区域'内调和, 在'+
上连续, 当点(x,y,z)趋于无穷远时, u(x,y,z)满足
条件(4.3), 并且它在边界上取所给的函数值
下面重点讨论内问题, 所用的方法也可以用
于外问题.
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§4.2 调和函数
12
设是以足够光滑的曲面为边界的有界区 域, P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是在+上连续的, 在内具有一阶连续偏导数的任意函数, 则成
立如下的高斯公式
P xQ yR zdV
[Pcos(n,x)Qcos(n,y)Rcos(n,z)]dS,(4.6)
(4.8)
(u 2 v v 2 u )d V u n v v u n d S (4 .9 )
(4.9)式称为第二格林公式.
16
(i) 调和函数的积分表达式 所谓调和函数的积分表达式, 就是用调和函数
及其在区域边界 上的法向导数沿 的积分 来表达调和函数在 内任一点的值. 设M0(x0,y0,z0)是 内某一固定点, 现在我们就
u|=f.
(4.4)
10
(4) 牛曼外问题 在光滑的闭曲面上给定连
续函数 f, 要找出这样一个函数 u(x,y,z), 它
在闭曲面的外部区域内调和, 在
上连续, 在无穷远处满足条件(4.3), 而且它
在上任一点的法向导数 u 存在, 并满足
n
u f ,
(4.5)
n
这里n是边界曲面的内法向矢量.
来求调和函数在这点的值. 为此, 构造一个函 数
1
1
v
(4 .1 0 )
r (x x 0 )2 (y y 0 )2 (z zo )2
17
v 1
1
(4 .1 0 )
r (x x 0 )2 (y y 0 )2 (z zo )2
函数 1 除点 r
M0 外处处满足拉普拉斯方程,
它
在研究三维拉普拉斯方程中起着重要作用,
或
(u 2v)dVu n vdS gradugradvdV
(4.7)
(4.7)式称为第一格林(Green)公式.
15
(u 2v)dVu n vdS gradugradvdV
(4.7) 在公式(4.7)中交换u,v的位置, 得
(v 2u)dVv u ndS gradvgradudV
将(4.7)与(4.8)式相减得到
7
由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上 给出的, 定解问题的解是否应加以一定的限 制? 基于在电学上总是假定在无穷远处的电 位为零, 所以在外问题中常常要求附加如下 条件:
l i m u ( x ,y ,z ) 0 ( r x 2 y 2 z 2 ) . ( 4 .3 )
r
8
从数学上讲, 补充了这个条件就能保证外问
6
以上两个边值问题都是在边界上给定某些
边界条件, 在区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称为内问题. 在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题 的另一种提法. 例如, 当确定某物体外部的稳
恒温度场时, 就归结为在区域的外部求调和 函数u, 使满足边界条件u| = f, 这里是的
边界, f 表示物体表面的温度分布. 像这样的定 解问题称为拉普拉斯方程的外问题.
数理方程第4讲
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第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 §4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
2
在第一章, 已从稳恒温度场的温度分布问题推 导出了三维拉普拉斯方程
2ux2u2y2u2z2u2 0
作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯 方程, 它不能提初始条件. 至于边界条件, 如第 一章所述有三种类型, 应用得较多的是如下两 种边值问题.
3
(1) 第一边值问题 在空间(x,y,z)中某一区域
的边界上给定了连续函数 f, 要求这样一
个函数 u(x,y,z), 它在闭域+(或记作 )上
连续, 在内有二阶偏导数(这里关于函数 u 的光滑性假设, 可简记成u C1( ) C2( )) 且满足拉普拉斯方程, 在上与已知函数 f 相
重合, 即