数理方程第4讲-课件
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其中dV是体积元素, n是 的外法向矢量, dS是 上的面积元素.
13
设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在+ 上具有一阶连 续偏导数, 在 内具有连续的所有二阶偏导数,
在(4.6)中令 Puv,Quv,Ruv, x y z
则有
(u2v)dV uxvxuyyvuzvzdV
unvdS,
14
(u2v)dV uxvxuyyvuzvzdV unvdS,
u|=f.
(4.1)
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问
题, 或简称狄氏问题.
4
§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问 题. 拉普拉斯方程的连续解, 也就是说, 具有二阶 连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函 数, 称为调和函数. 所以, 狄氏问题也可以换一
种说法: 在区域内找一个调和函数, 它在边 界上的值为已知.
题的解是惟一的. 如果不具有这个条件, 外
问题的解可能不惟一, 例如, 在单位球面
外求调和函数, 在边界上满足 u| =1, 容易看
出, u1(x, y, z) 1及u2 (x, y, z)
1
都
x2 y2 z2
在单位球外满足拉普拉斯方程, 并且在单位
球面 上满足上述边界条件.
对于二维拉氏方程, 外问题在无穷远点的条
5
(2) 第二边值问题 在某光滑的闭曲面上给
出连续函数 f, 要求寻找这样一个函数
u(x,y,z), 它在内部的区域中是调和函数,
在+上连续, 在上任一点处法向导数 u
n 存在, 并且等于已知函数 f 在该点的值:
u f ,
(4.2)
n
这里 n 是的外法向矢量.
第二边值问题也称牛曼(Neumann)问题.
在K内直至
边界上
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v
1 r
是任意次连续可
微的. 在公式(4.9)中取 u 为调和函数, 并假定
通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解. 有
的书中把三维拉普拉斯方程的基本解定义为
1 , 为表达清楚写成 1 , 而二维拉普
4 r
4 rMM0
拉斯方程的基本解为 1 ln 1 .
2 rMM0
18
由于v 1在内有奇异点
r
M0,
作一个以
M0
为中心, 以充分小的正数为半径的球面,
在内挖去所包围的球域 K得到区域K,
件可改为: 当 r时, |u(x,y)|有界.
9
(3) 狄氏外问题 在空间(x,y,z)的某一闭曲面
上给定连续函数f, 要找出这样一个函数
u(x,y,z), 它在的外部区域'内调和, 在'+
上连续, 当点(x,y,z)趋于无穷远时, u(x,y,z)满足
条件(4.3), 并且它在边界上取所给的函数值
下面重点讨论内问题, 所用的方法也可以用
于外问题.
11
§4.2 调和函数
12
设是以足够光滑的曲面为边界的有界区 域, P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是在+上连续的, 在内具有一阶连续偏导数的任意函数, 则成
立如下的高斯公式
P xQ yR zdV
[Pcos(n,x)Qcos(n,y)Rcos(n,z)]dS,(4.6)
(4.8)
(u 2 v v 2 u )d V u n v v u n d S (4 .9 )
(4.9)式称为第二格林公式.
16
(i) 调和函数的积分表达式 所谓调和函数的积分表达式, 就是用调和函数
及其在区域边界 上的法向导数沿 的积分 来表达调和函数在 内任一点的值. 设M0(x0,y0,z0)是 内某一固定点, 现在我们就
u|=f.
(4.4)
10
(4) 牛曼外问题 在光滑的闭曲面上给定连
续函数 f, 要找出这样一个函数 u(x,y,z), 它
在闭曲面的外部区域内调和, 在
上连续, 在无穷远处满足条件(4.3), 而且它
在上任一点的法向导数 u 存在, 并满足
n
u f ,
(4.5)
n
这里n是边界曲面的内法向矢量.
来求调和函数在这点的值. 为此, 构造一个函 数
1
1
v
(4 .1 0 )
r (x x 0 )2 (y y 0 )2 (z zo )2
17
v 1
1
(4 .1 0 )
r (x x 0 )2 (y y 0 )2 (z zo )2
函数 1 除点 r
M0 外处处满足拉普拉斯方程,
它
在研究三维拉普拉斯方程中起着重要作用,
或
(u 2v)dVu n vdS gradugradvdV
(4.7)
(4.7)式称为第一格林(Green)公式.
15
(u 2v)dVu n vdS gradugradvdV
(4.7) 在公式(4.7)中交换u,v的位置, 得
(v 2u)dVv u ndS gradvgradudV
将(4.7)与(4.8)式相减得到
7
由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上 给出的, 定解问题的解是否应加以一定的限 制? 基于在电学上总是假定在无穷远处的电 位为零, 所以在外问题中常常要求附加如下 条件:
l i m u ( x ,y ,z ) 0 ( r x 2 y 2 z 2 ) . ( 4 .3 )
r
8
从数学上讲, 补充了这个条件就能保证外问
6
以上两个边值问题都是在边界上给定某些
边界条件, 在区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称为内问题. 在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题 的另一种提法. 例如, 当确定某物体外部的稳
恒温度场时, 就归结为在区域的外部求调和 函数u, 使满足边界条件u| = f, 这里是的
边界, f 表示物体表面的温度分布. 像这样的定 解问题称为拉普拉斯方程的外问题.
数理方程第4讲
精品jing
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 §4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
2
在第一章, 已从稳恒温度场的温度分布问题推 导出了三维拉普拉斯方程
2ux2u2y2u2z2u2 0
作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯 方程, 它不能提初始条件. 至于边界条件, 如第 一章所述有三种类型, 应用得较多的是如下两 种边值问题.
3
(1) 第一边值问题 在空间(x,y,z)中某一区域
的边界上给定了连续函数 f, 要求这样一
个函数 u(x,y,z), 它在闭域+(或记作 )上
连续, 在内有二阶偏导数(这里关于函数 u 的光滑性假设, 可简记成u C1( ) C2( )) 且满足拉普拉斯方程, 在上与已知函数 f 相
重合, 即
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设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在+ 上具有一阶连 续偏导数, 在 内具有连续的所有二阶偏导数,
在(4.6)中令 Puv,Quv,Ruv, x y z
则有
(u2v)dV uxvxuyyvuzvzdV
unvdS,
14
(u2v)dV uxvxuyyvuzvzdV unvdS,
u|=f.
(4.1)
第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问
题, 或简称狄氏问题.
4
§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问 题. 拉普拉斯方程的连续解, 也就是说, 具有二阶 连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函 数, 称为调和函数. 所以, 狄氏问题也可以换一
种说法: 在区域内找一个调和函数, 它在边 界上的值为已知.
题的解是惟一的. 如果不具有这个条件, 外
问题的解可能不惟一, 例如, 在单位球面
外求调和函数, 在边界上满足 u| =1, 容易看
出, u1(x, y, z) 1及u2 (x, y, z)
1
都
x2 y2 z2
在单位球外满足拉普拉斯方程, 并且在单位
球面 上满足上述边界条件.
对于二维拉氏方程, 外问题在无穷远点的条
5
(2) 第二边值问题 在某光滑的闭曲面上给
出连续函数 f, 要求寻找这样一个函数
u(x,y,z), 它在内部的区域中是调和函数,
在+上连续, 在上任一点处法向导数 u
n 存在, 并且等于已知函数 f 在该点的值:
u f ,
(4.2)
n
这里 n 是的外法向矢量.
第二边值问题也称牛曼(Neumann)问题.
在K内直至
边界上
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v
1 r
是任意次连续可
微的. 在公式(4.9)中取 u 为调和函数, 并假定
通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解. 有
的书中把三维拉普拉斯方程的基本解定义为
1 , 为表达清楚写成 1 , 而二维拉普
4 r
4 rMM0
拉斯方程的基本解为 1 ln 1 .
2 rMM0
18
由于v 1在内有奇异点
r
M0,
作一个以
M0
为中心, 以充分小的正数为半径的球面,
在内挖去所包围的球域 K得到区域K,
件可改为: 当 r时, |u(x,y)|有界.
9
(3) 狄氏外问题 在空间(x,y,z)的某一闭曲面
上给定连续函数f, 要找出这样一个函数
u(x,y,z), 它在的外部区域'内调和, 在'+
上连续, 当点(x,y,z)趋于无穷远时, u(x,y,z)满足
条件(4.3), 并且它在边界上取所给的函数值
下面重点讨论内问题, 所用的方法也可以用
于外问题.
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§4.2 调和函数
12
设是以足够光滑的曲面为边界的有界区 域, P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是在+上连续的, 在内具有一阶连续偏导数的任意函数, 则成
立如下的高斯公式
P xQ yR zdV
[Pcos(n,x)Qcos(n,y)Rcos(n,z)]dS,(4.6)
(4.8)
(u 2 v v 2 u )d V u n v v u n d S (4 .9 )
(4.9)式称为第二格林公式.
16
(i) 调和函数的积分表达式 所谓调和函数的积分表达式, 就是用调和函数
及其在区域边界 上的法向导数沿 的积分 来表达调和函数在 内任一点的值. 设M0(x0,y0,z0)是 内某一固定点, 现在我们就
u|=f.
(4.4)
10
(4) 牛曼外问题 在光滑的闭曲面上给定连
续函数 f, 要找出这样一个函数 u(x,y,z), 它
在闭曲面的外部区域内调和, 在
上连续, 在无穷远处满足条件(4.3), 而且它
在上任一点的法向导数 u 存在, 并满足
n
u f ,
(4.5)
n
这里n是边界曲面的内法向矢量.
来求调和函数在这点的值. 为此, 构造一个函 数
1
1
v
(4 .1 0 )
r (x x 0 )2 (y y 0 )2 (z zo )2
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v 1
1
(4 .1 0 )
r (x x 0 )2 (y y 0 )2 (z zo )2
函数 1 除点 r
M0 外处处满足拉普拉斯方程,
它
在研究三维拉普拉斯方程中起着重要作用,
或
(u 2v)dVu n vdS gradugradvdV
(4.7)
(4.7)式称为第一格林(Green)公式.
15
(u 2v)dVu n vdS gradugradvdV
(4.7) 在公式(4.7)中交换u,v的位置, 得
(v 2u)dVv u ndS gradvgradudV
将(4.7)与(4.8)式相减得到
7
由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上 给出的, 定解问题的解是否应加以一定的限 制? 基于在电学上总是假定在无穷远处的电 位为零, 所以在外问题中常常要求附加如下 条件:
l i m u ( x ,y ,z ) 0 ( r x 2 y 2 z 2 ) . ( 4 .3 )
r
8
从数学上讲, 补充了这个条件就能保证外问
6
以上两个边值问题都是在边界上给定某些
边界条件, 在区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称为内问题. 在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题 的另一种提法. 例如, 当确定某物体外部的稳
恒温度场时, 就归结为在区域的外部求调和 函数u, 使满足边界条件u| = f, 这里是的
边界, f 表示物体表面的温度分布. 像这样的定 解问题称为拉普拉斯方程的外问题.
数理方程第4讲
精品jing
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 §4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
2
在第一章, 已从稳恒温度场的温度分布问题推 导出了三维拉普拉斯方程
2ux2u2y2u2z2u2 0
作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯 方程, 它不能提初始条件. 至于边界条件, 如第 一章所述有三种类型, 应用得较多的是如下两 种边值问题.
3
(1) 第一边值问题 在空间(x,y,z)中某一区域
的边界上给定了连续函数 f, 要求这样一
个函数 u(x,y,z), 它在闭域+(或记作 )上
连续, 在内有二阶偏导数(这里关于函数 u 的光滑性假设, 可简记成u C1( ) C2( )) 且满足拉普拉斯方程, 在上与已知函数 f 相
重合, 即