无限长单位脉冲响应IIR

第5章 无限长单位脉冲响应（IIR ） 数字滤波器的设计方法

5.1 基本概念

5.1.1 选频滤波器的分类

可分为低通、高通、带通、带阻和全通

满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于|ω|<π的范围。 5.1.2 滤波器的技术指标

在通带内，幅度响应以最大误差±δ1逼近于1，即

1111 δδωω+<≤-≤）（jw P e H

在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即

2 ,δπωω≤≤≤）（jw S e H

1

)

()

ω

j e H (

π

1 δ

阻带

过渡带

ω

π

2 δ

通带

11δ+11δ-s

w p w

N 为奇数时实轴上有极点，N 为偶数时实轴上没有极点。要称为稳定的滤波器)s (H a 表示为：

∏=-Ω=

N

k k N C

a )

s s ()s (H 1

方法2:

,s s p A A P 、、由模拟ΩΩc ,Ω→N c ,Ω→N

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ΩΩ+=Ω-Ω=ΩN

a P j H A 2c p 2p )(11

lg 10)(lg 10 －＝在 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ΩΩ+=Ω-Ω=ΩN a P j H A 2c S 2

S )(11

lg 10)(lg 10 －＝在 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ΩΩ--=)(lg 2])110()110(lg[s p 10

10s

p A A N N

A s

c s 210

1

10

-Ω=

Ω（通带指标改善）或 N

A P

c P 210

1

10

-Ω=

Ω（阻带指标改善）

方法3: )()(s H s H a aN →

N

N N aN s

s a s a s a s H ++++=

--1122111

)( c

aN a s s s H s H Ω'=

→)()( 例 1 导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数， 设Ωc ＝2 rad/s 。

解 幅度平方函数是

6

2)

2/(11

|)(|Ω+=

Ωj H 令Ω2=-s 2即s =j Ω，则有

)

2/(11

)()(66s s H s H a a -=

-

π

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+=612212k j k e

s k =1, 2, …, 6

会产生频率混叠，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。

5.5 用双线性变换法设计IIR 数字滤波器

5.5.1. 变换原理

)2

tan(2

1T T Ω=Ω

T s e z 1=

平面映射：平面1S S →)2

(2

1T tg T Ω⋅=

Ω 通过欧拉公式，可得：

222

2

11112T j T

j T j

T

j

e

e e

e .T j Ω-ΩΩ-Ω+-=

Ω 11s ΩΩ=j j s ＝令

T

S T

S e e T S 1111.2--+-=

T S e Z Z S 11=→平面的映射：平面

5.5.2.逼近情况

1

1112--+-⋅=Z Z T S

S T

S T S T S T Z -+=-+

=222121 双线性变换

1

1

11.2s )1--+-==z z T e Z jw

时，代入

)2

tan(211.2s Ω==+-=j w

T j e e T jw

jw 则： 平面单位圆平面虚轴映射到说明：z s

s 2s 2

j s )2-+=ΩT

T Z 代入＋＝将σ j 2j 2

Ω--Ω+=σσT

T Z ＋则 222

2)2()2(Ω+-Ω++=σσT

T Z 0 1z =σ＝ 0 1z >>σ 0 1z <<σ 说明：稳定的模拟滤波器双线性变换后仍是的数字滤波器

5.5.3优缺点

优点：避免了频响的混叠失真

缺点：频率非线性幅频响应分段常数型 5.5.4 模拟滤波器数字化方法

直接代入法

一.数字化方法 间接代入法

表格法

1.直接代入法

1

1

11)()(--+-==z z s s H z H

2.间接代入法

)2

tan(2c c C

c w T C Ω=Ω'Ω=

二、模拟低通滤波器到数字高通滤波器频率之间的关系

1

1

11---+=Z

Z C S jw e Z =Ω= ,j s 令：上式

)2cot(w C -=Ω )2

cot(w

C -=Ω

πω=→=Ω0 0=→∞=Ωω

例6：设计一个巴特沃思高通数字滤波器，其通带截止频率为c f ＝3kHz,阻带截止频率

kHz f st 2=，通带衰减不大于3dB ，阻带衰减不小于14 Db,采样频率kHz f s 10=。

解：1)数字频率：

π

=π=π=π=402602.T f w .T f w st st c c

2)求C ： 因归一化376121.w

tan C ,c c c =Ω=Ω＝

3)低通原型st Ω：89412

.w

cot C st st ==Ω

4)求阶数：14110202-≤ΩΩ+-=Ω])(lg[j (H lg N

c

st st a N=2.4909314 取N=3

5)3

13

21113

2055693.0420116.05717848.01)

331(099079.011)()(2211

)(-------+++-+-=

-+==+++=

z z z z z z z z c s s H z H s s s s H a a

5.6.3 模拟低通滤波器变为数字带通滤波器 一.模拟低通到数字带通的变换 低通→带通

)

(112Ω-ΩΩΩ+Ω→h h

c

s s s