合肥二模理科数学试卷及答案

合肥市2017年高三第二次教学质量检测

数学试题（理）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.i 为虚数单位，若复数()()12mi i ++是纯，则实数m =（ ） A ．1 B ．1- C ．12

- D ．2

2.已知[)1,A =+∞，1

|212

B x x a ⎧⎫

=∈≤≤-⎨⎬⎩

⎭

R ，若A B φ≠I ，则实数a 的取值范围是

（ ）

A ．[)1,+∞

B ．1

,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦

C ．2,3

⎡⎫

+∞⎪⎢⎣⎭

D ．()1,+∞

3.已知变量x ，y 满足约束条件241x y x y y -≥⎧⎪

+≤⎨⎪≥-⎩

，

则目标函数2z x y =-的最小值为（ ） A ．1- B ．1 C ．3 D ．7

4.若输入4n =，执行如图所示的程序框图，输出的s =（ ） A ．10 B ．16 C.20 D ．35

5.若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线离心率为3，则此双

曲线的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B ．2

2

y x =±

C.2y x =± D ．12

y x =±

6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36S =，63S =，则10S =（ ） A ．110

B ．0 C.10- D ．15-

7.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积 为（ ）

A ．283

B ．

2823

C. 28 D ．226

3+

8.对函数()f x ，如果存在00x ≠使得()()00f x f x =--，则称()()00,x f x 与()()00,x f x --为函数图像的一组奇对称点.若()x f x e a =-（e 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(),1-∞

B ．()1,+∞ C.()e,+∞ D ．[)1,+∞

9.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ）

A ．0条

B ．1条 C.2条 D ．1条或2条

10.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定．．．所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ）

A ．3

B ．72

C.185

D ．4

11.锐角．．ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足

()()()

sin sin sin a b A B c b C -+=-，若a =22b c +的取值范围是（ ）

A ．(]3,6

B ．()3,5 C.(]5,6 D ．[]5,6

12.已知函数()ln x f x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．()0,e C.1,e e

⎛⎫

⎪⎝⎭

D ．(),e -∞

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.等比数列{}n a 满足0n a >，且284a a =，则

21222329log log log log a a a a ++++=L ．

14.不共线向量a r ，b r 满足a b =r r ，且()2a a b ⊥-r r r ，则a r 与b r

的夹角为 ．

15.在4

11x x ⎛⎫

-- ⎪

⎝

⎭的展开式中，常数项为 ．

16.已知关于x 的方程()1cos sin 2t x t x t +-=+在()0,π上有实根，则实数t 的最大值是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知()

sin a =x x r

，()cos ,cos b x x =-r

，函数()f x a b =⋅+r r

. （Ⅰ）求函数()y f x =图像的对称轴方程；

（Ⅱ）若方程()13

f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，求()12cos x x -的值.

18. 某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人.在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人.

（Ⅰ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；

（Ⅱ）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？

附：

()

()()()()

2

2

n ab bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++.

19. 矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 为AD 中点，沿BE 将ABE ∆折起至PBE ∆，如右图所示，点P 在面BCDE 的射影O 落在BE 上.

（Ⅰ）求证：BP CE ⊥；

（Ⅱ）求二面角B PC D --的余弦值.

20. 如图，抛物线E ：()220y px p =>与圆O ：228x y +=相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点()00,P x y 作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点M . （Ⅰ）求p 的值；

（Ⅱ）求动点M 的轨迹方程.