六年级下册数学试题-奥数专练：排列组合综合应用(含答案)全国通用

板块一：排列
两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同。

如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。

排列的基本问题是计算排列的总个数。

从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做P n m或A n m。

根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：
步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；
步骤2：从剩下的(n－1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n－1)种方法；
……
步骤m：从剩下的[n－(m－1)]个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n－(m－1)＝n－m＋1种方法；
由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n·(n－1)·(n－1)……(n－m＋1)，即P n m＝n(n－1)(n－1)……(n－m＋1)，这里，m≤n，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘。

板块二：组合
一般地，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关。

如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。

从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数。

记作C n m或
m
n
⎛⎫
⎪
⎝⎭。

接下来研究如何求组合数。

举个例子，从3个不同元素a，b，c的当中取出2个元素的组合数是多少？
由于从3个不同元素中取出2个的排列数可以求得，我们可以考察一下组合数与排列数的关系，从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的组合与排列的关系如下：
a，b a，b；b，a
b，c b，c；c，b
a，c a，c；c，a
从上面可以看出，每一个组合对应着2个排列。

因此，求从3个不同的元素中取出2个元素的排列数，可以分为以下两步：
第一步：考虑从3个不同元素中取出2个元素的组合，由组合数公式，有C32种取法；
排列组合综合应用
第二步：对每一个组合中的2个不同元素作全排列，有P 22种排法。

根据乘法原理，P 32＝C 32×P 22。

因此，组合数C 32＝P 32÷P 22＝(3×2)÷2＝3。

在数学中可以把a ÷b (b ≠0)记作a b ，其中a 叫做分子，b 叫做分母，所以22
3322P C P =
一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数P n m 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有C n m 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有P n m 种排法。

根据乘法原理，得到P n m ＝C n m ·P m m 。

因此，组合数 (1)(2)(1)(1)(2)321
m m
n n
m m nP n n n n m C P m m m ⋅-⋅--+==⋅-⋅-⋅⋅…………
这个公式就是组合数公式。

用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？
一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？
⑴把7盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位。

⑵串起其中4盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位。

(2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛)将A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位同学在操场排成一列，其中学生B 与C 必须相邻。

请问共有多少种不同的排列方法？
从4名男生，3名女生中选出3名代表。

⑴不同的选法共有多少种？
⑵“至少有一名女生”的不同选法共有多少种？
⑶“代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？
小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？
测试题
1．某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？
2．用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？
3．丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、姐姐一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？
4．学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭
其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？
5．在一次考试的选做题部分，要求在第一题的4个小题中选做3个小题，在第二题的3个小题中选做2个小题，在第三题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？
答案
1．解析：
把4个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的5名同学一块儿进行排列，
有6
6654321720
P=⨯⨯⨯⨯⨯=种排法。

然后在七个空档中排列3个男少先队员，有3
7765210
P=⨯⨯=种排法，
最后4个女少先队员内部进行排列，有4
4432124
P=⨯⨯⨯=种排法。

由乘法原理，这样的排法一共有720210243628800
⨯⨯=种。

2．解析：
由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；
十位上的数可以从剩下的5张中选一张，有5种选法；
百位上的数再从剩下的4张中选一张，有4种选法。

由乘法原理，一共可以组成35460
⨯⨯=个不同的偶数。

3．解析：
由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，
是一个全排列问题，且4
n=。

由全排列公式，共有4
4432124
P=⨯⨯⨯=种不同的站法。

4．解析：
要熄灭的是除两端以外的2盏灯，但不相邻。

可以看成有10盏灯，共有9个空位，
在这9个空位中找2个空位的方法数就是熄灭2盏灯的方法数，
那么熄灯的方法数有2
998
36 21
C
⨯
==
⨯
种。

5．【解析】
由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关，所以在三道题中选题都是组合问题。

第一题中，4个小题中选做3个，有3
4432
4 321
C
⨯⨯
==
⨯⨯
种选法；
第二题中，3个小题中选做2个，有2
332
3 21
C
⨯
==
⨯
种选法；
第三题中，2个小题中选做1个，有1
22
2 1
C==种选法；根据乘法原理，一共有43224
⨯⨯=种不同的选法。