2018-2019学年上海市黄浦区高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市黄浦区高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知角A 、B 是ABC △的内角，则“A B <”是“sin sin A B <”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【详解】在三角形中，根据大边对大角原则，若A B <，则a b <，由正弦定理sin sin a b A B=得sin sin A B <，充分条件成立；若sin sin A B <，由sin sin a bA B=可得a b <，根据大边对大角原则，则A B <，必要条件成立；故在三角形中，“A B <”是“sin sin A B <”的充要条件 故选：C 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，三角形大边对大角原则应谨记，属于基础题2．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果22tan tan a Ab B=，则ABC△的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．直角三角形【答案】C【解析】结合正弦定理和三角恒等变换及三角函数的诱导公式化简即可求得结果 【详解】利用正弦定理得22sin sin cos sin sin cos AB ABBA =，化简得sin cos sin cos A AB B =，即11sin 2sin 222A B =，则22A B =或22A B π+=，解得A B =或2A B π+= 故ABC △的形状是等腰三角形或直角三角形 故选：C 【点睛】本题考查根据正弦定理和三角恒等变化，三角函数的诱导公式化简求值，属于中档题 3．要得到函数2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需要将函数2sin 25y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向右平移25π个长度单位 B ．向左平移25π个长度单位 C ．向右平移5π个长度单位 D ．向左平移5π个长度单位 【答案】D【解析】根据()sin y A x ωϕ=+的图像变换规律求解即可 【详解】设平移量为θ，则由2sin 22sin 22sin 22sin 25101010y x x y x x ππππθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-→=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，满足：10105x x πππθθ-+=+⇒=，故由2sin 25y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移5π个长度单位可得到2sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图像变换规律，属于基础题4．已知函数sin()y A x ωϕ=+，x ∈R （0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图像如图所示，则A 、ω、ϕ的一个数值可以是（ ）A．44A πωπϕ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩B．123A ωπϕ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩C．144A ωπϕ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩D．43A πωπϕ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩【答案】A【解析】从图像易判断A =再由图像判断出函数周期，根据2T πω=，将(1,代入即可求得 【详解】根据正弦函数图像的性质可得A =13184T T =-⇒=，284T ππωω==⇒=，又因为图像过(3sin()4πϕ+，即sin()14πϕ+=，0ϕπ<<，解得4πϕ=故选：A 【点睛】本题考查三角函数图像与性质的应用，函数图像的识别，属于中档题二、填空题5．8-和2的等差中项的值是______. 【答案】3-【解析】根据等差中项性质求解即可 【详解】设等差中项为x ，则2826x =-+=-，解得3x =- 故答案为：3- 【点睛】本题考查等差中项的求解，属于基础题 6．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，21a =-，5112a =-，则该等差数列的公差的值是______. 【答案】32-【解析】根据等差数列的通项公式()n m a a n m d =+-即可求解 【详解】 52119331222a a d d -==-+=-⇒=- 故答案为：32- 【点睛】本题考查等差通项基本量的求解，属于基础题 7．已知等比数列{}()*n b n N ∈中，38b=-，664b =，则该等比数列的公比的值是______. 【答案】2-【解析】根据等比通项公式n mn m a a q -=⋅即可求解【详解】63382b q q b==-⇒=-故答案为：2- 【点睛】本题考查等比数列公比的求解，属于基础题 8．方程2sin 10x +=的解集是______. 【答案】2,6x k k Z ππ=-+∈或52,6x k k Z ππ=-+∈ 【解析】根据三角函数的性质求解即可 【详解】12sin 10sin 2x x +=⇒=-，如图所示：则2,23x k k Z πππ=-±+∈故答案为：2,6x k k Z ππ=-+∈或52,6x k k Z ππ=-+∈ 【点睛】本题考查由三角函数值求解对应自变量取值范围，结合图形求解能够避免错解，属于基础题9．已知1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是______. 【答案】13【解析】根据两角差的正切公式即可求解 【详解】1tantan 1142tan 1431tan tan 142παπαπα--⎛⎫-=== ⎪⎝⎭++ 故答案为：13【点睛】本题考查两角差的正切公式的用法，属于基础题10．化简：3cos cos(2)sin sin()22παπβπαπβ⎛⎫⎛⎫----+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.（要求将结果写成最简形式） 【答案】()sin αβ-【解析】结合诱导公式化简，再结合两角差正弦公式分析即可 【详解】3cos cos(2)sin sin()22παπβπαπβ⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()sin cos cos sin sin αβαβαβ=---=-故答案为：()sin αβ- 【点睛】本题考查三角函数的化简，诱导公式的使用，属于基础题 11．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【答案】3π 【解析】先结合212S r α=求出r ，再由l r α=求解即可 【详解】由2162S r r α=⇒=，则6183l r ππα==⨯=故答案为：3π 【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式的使用，属于基础题12．某海域中有一个小岛B （如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的A 处出发由西向东直线航行，在A 处望见小岛B 位于北偏东75°，渔船继续航行8海里到达C 处，此时望见小岛B 位于北偏东60°，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险？答：______.（填写“有”、“无”、“无法判断”三者之一）【答案】无【解析】可过B 作AC 的延长线的垂线，垂足为D ，结合角度关系可判断ABC △为等腰三角形，再通过BCD 的边角关系即可求解BD ，判断BD 与3.8的大小关系即可 【详解】如图，过B 作AC 的延长线的垂线，垂足为D ，在ABC △中，9060=150ACB ∠=︒+︒︒，907515BAC ∠=︒-︒=︒，则1801501515ABC ∠=︒-︒-︒=︒，所以ABC △为等腰三角形。

8AC BC ==，又9060=30BCD ∠=︒-︒︒，所以sin304BD BC =︒=，4 3.8>，所以渔船没有触礁的危险 故答案为：无 【点睛】本题考查三角函数在生活中的实际应用，属于基础题13．已知函数2()cos 2sin f x x a x b =-++，x ∈R （常数a 、b R ∈），若当且仅当sin x a =时，函数()f x 取得最大值1，则实数b 的数值为______.【答案】-1【解析】先将函数转化成同名三角函数，再结合二次函数性质进行求解即可 【详解】()222()cos 2sin 1sin 2sin sin 2sin 1f x x a x b x a x b x a x b =-++=--++=++-令[]sin ,1,1t x t =∈-，()221f t t at b =++-，对称轴为t a =-；当0a >时，1t =时函数值最大，1a =，解得1b =-；当0a =时，对称轴为0t =，函数在1t =±时取到最大值，与题设矛盾； 当0a <时，1t =-时函数值最大，1a =-，解得1b =-； 故b 的数值为：-1 故答案为：-1 【点睛】本题考查换元法在三角函数中的应用，分类讨论求解函数最值，属于中档题14．数列{}()*n a n N ∈满足：135a =，111112,0211,2n n n n n a a a a a ----⎧<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩()2n ≥，则59a =______.【答案】25【解析】可通过赋值法依次进行推导，找出数列的周期，进而求解 【详解】由135a =，111112,0211,2n n n n n a a a a a ----⎧<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩()2n ≥，当2n =时，21215a a =-=；当3n =时，32425a a ==；当4n =时，43115a a =-=； 当5n =时，54225a a ==；当6n =时，65425a a ==，当 故数列从2a 开始，以3为周期 故5922=5a a =故答案为：25【点睛】本题考查数列的递推公式，能根据递推公式找出数列的规律是解题的关键，属于中档题 15．观察下列等式： （1）cos3cos87sin 48sin132︒︒+=︒︒（2）()cos 13cos103sin 32sin148-︒︒+=︒︒；（3）cos13cos77sin 58sin122︒︒+=︒︒（4）()cos 31cos121sin166sin14-︒︒+=︒︒，…… 请你根据给定等式的共同特征，并接着写出一个具有这个共同特征的等式（要求与已知等式不重复），这个等式可以是__________________.（答案不唯一） 【答案】cos30cos 602sin 40sin140︒+=︒︒【解析】观察式子特点可知，分子上两余弦的角的和是90︒，分母上两个正弦的角的和是180︒，据此规律即可写出式子 【详解】观察式子规律可总结出一般规律：()()cos 90cos sin sin 180ααββ︒-+=︒- 可赋值30,40αβ=︒=︒，得cos30cos 602sin 40sin140︒+=︒︒故答案为：cos30cos 602sin 40sin140︒+=︒︒【点睛】本题考查归纳推理能力，能找出余角关系和补角关系是解题的关键，属于基础题 16．已知公式3cos34cos 3cos θθθ=-，R θ∈，借助这个公式，我们可以求函数3()4320,2f x x x x ⎛⎫⎡=--∈ ⎪⎢ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域，则该函数的值域是______. 【答案】[]3,2--【解析】根据题意，可令cos 62x ππθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，，结合3cos34cos 3cos θθθ=-，再进行整体代换即可求解 【详解】令cos 62x ππθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，，则2x ⎡∈⎢⎣⎦，()33()432cos 4cos 3cos 2cos32f x x x f θθθθ=--⇔=--=-，62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则3322ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，[]cos31,0θ∈-，[]cos323,2θ-∈--，则函数值域为[]3,2--故答案为：[]3,2-- 【点睛】本题考查3倍角公式的使用，函数的转化思想，属于中档题三、解答题17．已知n S 是等差数列{}()*n a n N ∈的前n 项和，且35a=，1631a =.（1）求通项公式n a ；（2）若841k S a =，求正整数k 的值. 【答案】（1）2n 1-（2）41【解析】（1）根据通项公式先求出公差d ，再求n a 即可；（2）先表示出n S ，求出841a 的具体值，根据841k S a =求k 即可 【详解】（1）由35a =，1631a =，可得16313262a a d d -==⇒=， 则()()33523=2n 1n a a n d n =+-=+--（2）841284111681a =⨯-=，11a =，则()()1121168122k k a a k k k S ++-===，解得41k = 【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n 项和公式的用法，属于基础题18．已知集合{2,3,4,6,8,15,17}X =，数列{}()*n a n N ∈是公比为(1)q q >的等比数列，且等比数列的前三项满足123a a a X ∈、、. （1）求通项公式n a ；（2）若n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，记123n A S S S S =++++，试用等比数列求和公式化简A （用含n 的式子表示） 【答案】（1）2n （2）2224n n +--【解析】（1）观察式子特点可知，只有2,4,8三项符合等比数列特征，再根据题设条件求解即可；（2）根据等比数列通项公式表示出n S ，再采用分组求和法化简A 的表达式即可 【详解】（1）由题可知，只有2,4,8三项符合等比数列特征，又1q >，故1232,4,8a a a ===，故12,2q a ==，2nn a =；（2）()111221n n n a q S q+-==--，212334+122222222n n A S S S S =-==++++++--+-()2412222412n n n n +--=---，所以2224n A n +=--【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法，等比数列前n 项和公式的用法，分组求和法的应用，属于中档题19．已知A 、B 、C 是ABC △的内角，且5AC =，6AB =. （1）若9cos 16B =，求ABC △的外接圆的面积： （2）若BC x =，且ABC △为钝角三角形，求正实数x 的取值范围. 【答案】（1）647π（2）()U【解析】（1）根据同角三角函数基本关系先求得sin B ，再由正弦定理求得R 即可； （2）因,A C 大小不能确定，故钝角不能确定，结合三角形三边关系和余弦定理特点即可判断 【详解】（1）由9cos sin 1616B B =⇒==，又2sin AC R B ===，即R =故外接圆的面积为：2646477S R πππ==⨯= （2）5AC =，6AB =，BC x =，根据三边关系有111x <<，当A 为钝角时，可得cos 0A <，即222560x +-<，解得x11x <； 当C 为钝角时，可得cos 0C <，即222560x +-<，解得x <1x <； 综上可得x的范围是()U【点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦定理和三角形中形状的判断的关系，属于中档题 20．已知角α、2αβ-的顶点在平面直角坐标系的原点，始边与x 轴正半轴重合，且角α的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）的交点A 位于第二象限，角2αβ-的终边和单位圆的交点B 位于第三象限，若点A 的横坐标为35A x =-，点B 的纵坐标为513B y =-.（1）求sin2α、cos2α的值；（2）若0βπ<<，求β的值.（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）2425-；725-（2）204cos 325arc β= 【解析】（1）可根据单位圆定义求出sin ,cos αα，再由二倍角正弦公式即可求解； （2）先求出()sin 2,αβ-()cos 2,αβ-由()cos cos 22βααβ=--⎡⎤⎣⎦可求得cos β，结合反三角函数即可求得β 【详解】（1）由题可知：3cos 5α=-，4sin 5α=，4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯--=- ⎪⎝⎭；（2）由()()512sin 2cos 21313αβαβ-=-⇒-=-，()cos cos 22βααβ=--⎡⎤⎣⎦ ()()()712245204cos2cos 2sin 2sin 225132513325ααβααβ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-⨯-+⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又0βπ<<，204cos 325arc β= 【点睛】本题考查单位圆的定义，二倍角公式的应用，两角差余弦公式的用法，属于中档题 21．已知函数()cos 2cos 1f x x x x =++，x ∈R .（1）把()f x 表示为sin()(0,0,0)A x B A ωϕωϕπ++>><<的形式，并写出函数()f x 的最小正周期、值域；（2）求函数()f x 的单调递增区间：（3）定义：对于任意实数1x 、2x ，{}11212221,,max ,,.x x x x x x x x ≥⎧=⎨>⎩若若设()sin ,cos }g x x a x =，x ∈R （常数0a >），若对于任意1x R ∈，总存在2x R ∈，使得()()12g x f x =恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）π；[]1,3-（2）,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦（3）⎛⎝⎦【解析】（1）结合二倍角正弦公式和辅助角公式即可化简；（2）结合（1）中所求表达式，正弦型函数单调增区间的通式即可求解；（3）根据题意可得，()()()()min min max max ,g x f x g x f x ≥≤，求出()g x 的值域，列出关于a 的不等式组，即可求解 【详解】（1）()cos 2cos 1cos 2212sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=++=+=++ ⎪⎝⎭，222T πππω===，值域为[]1,3-； （2）令22,2622x k k πππππ⎡⎤+-++⎢⎥⎣⎦∈，k Z ∈解得,36x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为,36x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈;（3）若对于任意1x R ∈，总存在2x R ∈，使得()()12g x f x =恒成立，则(){}(){}y y g x y y f x =⊆=，}sin sin cos ()maxsin ,cos cos ,cos sin x x a xg x x a x a xa x x ≥==>⎪⎩，sin cos x a x ≥，即72,266x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()sin g x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，当cos sin a x x >，即52,266x k k ππππ⎛⎤∈-++ ⎥⎝⎦时，()cos ,g x a x a ⎛⎤=∈ ⎥ ⎝⎦， 故()g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以013a >⎧⎪⎪≥-⎨≤，解得a ⎛∈ ⎝⎦， 所以实数a的取值范围是⎛ ⎝⎦【点睛】本题考查三角函数的化简和三角函数的性质应用，函数恒成立问题的转化，属于中档题。