2015届高考数学总复习第五章 第二节等差数列及其前n项和课件 理
高中数学课件第五章第二节《等差数列及其前n项和》
的思想解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换 作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示 已知和未知是常用方法.
[特别警示] 因为 ＝ n＋a1－ ，故数列{ }是 等差数列.
(2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，
Sn为其前n项和，满足
，S7＝7.
则a6＝
.
解析：∵{an}是等差数列，设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6， 则a6＝a3＋3d＝7＋6＝13. 答案：13
5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，
则S7∶S3等于
.
解析：
＝2.
答案：2∶1
6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对 任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上. (1)求c，an； (2)若kn＝ ，求数列{kn}的前n项和Tn.
个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定 义的表达式为 an＋1－an＝d(n∈N*) .
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公 式为an＝ a1＋(n－1)d .
[思考探究1] 已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n
项an能否用am与d表示？ 提示：可以.an＝am＋(n－m)d.
C.
D.2
解析：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1， 则a1＝1，又由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－ . 答案：B
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，
则S7等于
()
A.13
B.35
2015届高考数学(理科)一轮复习：6.2《等差数列及其前n项和》ppt课件
.
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因为数列{an}是等差数列, 所以由等差数列的性质得 a3+a8=a5+a6=a4+a7=10.所以 3 a5+a7=a5+2a5+a7=a5+a4+a6+a7=2×10=20. 20
解析
关闭
答案
第六章
6.2
等差数列及其前n项和 -12-
考点一 等差数列的判定与证明
【例 1】 已知数列{an}的通项公式 an=pn2+qn(p,q∈R,且 p,q 为常数). (1)当 p 和 q 满足什么条件时,数列{an}是等差数列? (2)求证:对任意实数 p 和 q,数列{an+1-an}是等差数列.
d
想一想从函数的角度来认识等差数列的前 n 项和,你有何发现? 答案:Sn=na1+ (n-1)d 可变形为 Sn= dn + ������1 ������ 2 1 2
2������ 2来自n,令2d=A,a1-2=B,
1
������
则 Sn=An2+Bn(A 为常数),并且有如下结论:数列{an}是等差数列 ⇔Sn=An2+Bn(A,B 为常数).
(3)通项公式:如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么通项公式为 an=
a1+(n-1)d .
第六章
6.2
等差数列及其前n项和 -4-
2.等差数列的前 n 项和
已知条件 选用公式 首项 a1,末项 an Sn=
n(a1 +an ) 2
首项 a1 和公差 d Sn=na1+
n(n-1) 2
������ ������2
B.
高考数学(理)总复习讲义： 等差数列及其前n项和
第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d ❶(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ❷.(2)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2❸. ,d ＞0⇔{a n }为递增数列， d ＝0⇔{a n }为常数列， d ＜0⇔{a n }为递减数列．当d ≠0时，等差数列{an }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． 当d ≠0时，等差数列{an }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． [熟记常用结论]1．若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . 2．若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . 3．若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．4．若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．5．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. 6．若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质．(1)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选B 设公差为d .∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5， 又∵a 4＝7，∴d ＝2.故选B.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．－2D ．3解析：选C ∵S 3＝6＝32(a 1＋a 3)，且a 3＝a 1＋2d ，a 1＝4，∴d ＝－2，故选C.4．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________． 解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：4875．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________．解析：∵a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37， ∴m ＝37. 答案：37考点一等差数列基本量的运算[基础自学过关][题组练透]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 3．(2019·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1＞0，则S 20＝( )A ．420B ．340C ．－420D ．－340解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12，得d ＝±2，由a 1＞0，a 2＝0，可知d ＜0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×192×(－2)＝－340.4．(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 4＜S 3B ．S 4＝S 3C ．S 4＞S 1D ．S 4＝S 1解析：选B 设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B.[名师微点]等差数列基本运算的常见类型及解题策略(1)求公差d 或项数n .在求解时，一般要运用方程思想． (2)求通项．a 1和d 是等差数列的两个基本元素．(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．(4)求前n 项和．利用等差数列的前n 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． [提醒] 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．考点二等差数列的判定与证明[师生共研过关][典例精析]若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1， 因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1). 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.[变式发散]1．(变设问)本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由． 解：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)． 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1).又a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ·⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1)，所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．2．(变条件)将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”变为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0， 所以S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0， 即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0， 因为S n ≠0，所以1S n－1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知1S n ＝n 2，所以S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n (n －1).当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n (n －1)，n ≥2. [解题技法]等差数列的判定与证明方法[提醒] 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[过关训练]1．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n，设b n ＝a n －2n3n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式．证明：因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n3n ＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n 3n ＋1＝1， 所以{b n }为等差数列， 又b 1＝a 1－23＝0，所以b n ＝n －1， 所以a n ＝(n －1)·3n ＋2n .2．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，所以b n ＋1－b n ＝13，所以数列{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1， 知b n ＝13n ＋23，所以a n －1＝3n ＋2，所以a n ＝n ＋5n ＋2.考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关][典例精析](1)(2018·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则S 13＝( )A ．58B ．54C ．56D ．52(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390D ．540(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.[解析] (1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根， ∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×82＝52.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和， 则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， ∴2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4， ∴S 2 019＝4×2 019＝8 076.[答案] (1)D (2)A (3)8 076[解题技法]一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具． [过关训练]1．(2019·聊城模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝104，a 6＝5，则数列{a n }的公差为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d . 因为S 13＝104，所以13(a 1＋a 13)2＝104，所以13a 7＝104，解得a 7＝8.因为a 6＝5，所以d ＝a 7－a 6＝8－5＝3.2．(2018·宁德二检)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝( ) A ．33 B ．16 C ．13D ．12解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 3＋a 5＝14，所以a 2＋a 6＝14，又a 2a 6＝33，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 6＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13；当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13. 综上，a 1a 7＝13，故选C.3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 11b 11＝________.解析：由等差数列前n 项和的性质， 得a 11b 11＝S 21T 21＝2×213×21＋1＝2132.答案：2132考点四等差数列前n 项和的最值问题[师生共研过关][典例精析]在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．[解析] 法一 通项法 设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－2(n ＋1)＋15≤0，解得132≤n ≤152.因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝7×(13－2×7＋15)2＝49.法二 二次函数法 设等差数列{a n }的公差为d .由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.所以S n ＝n (13＋15－2n )2＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. [答案] 49[解题技法]求数列前n 项和的最值的方法(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0来确定；②若a 1＜0，d ＞0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来确定．(2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．(3)不等式组法：借助S n 最大时，有⎩⎪⎨⎪⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n 的值和对应S n 的值(即S n 的最值)．[过关训练]1．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8D ．S 15解析：选C 由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8＞0，S 16＝8(a 8＋a 9)＜0，所以a 8＞0，a 9＜0，则d ＝a 9－a 8＜0，所以在数列{a n }中，当n ＜9时，a n ＞0，当n ≥9时，a n ＜0， 所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.2．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值． 解：(1)设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16， 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．－12解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝14.2．(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 3．(2018·泉州期末)等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A ．99B ．66C ．144D ．297解析：选A 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝2a 4，a 3＋a 9＝2a 6，又∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39，3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，∴a 4＋a 6＝22，∴数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×222＝99. 4．(2019·广州五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 019的值为( )A ．2 020B ．4 032C ．5 041D ．3 019 解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a m ＝a 1＋(m －1)d ＝4，S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋(m ＋m ＋1)d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，∴a 2 019＝2×2 019－6＝4 032.故选B.5．(2019·长春质检)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d ＞0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 由d ＞0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2＜0，a 9＝d 2＞0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝______. 解析：S 11S 5＝112(a 1＋a 11)52(a 1＋a 5)＝11a 65a 3＝225. 答案：225 7．等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝________.解析：设公差为d ，∵S 99－S 77＝2，∴9－12d －7－12d ＝2， ∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0. 答案：08．(2018·广元统考)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a n n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4， 又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，①所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ，② ①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n ＝4n 2n ＝4n ， 则⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 构成以4为首项，4为公差的等差数列． 所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝(4＋4n )n 2＝2n 2＋2n . 答案：2n 2＋2n9．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.10．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n;(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 037解析：选C 因为a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，所以d ＜0，a 2 018＞0，a 2 019＜0，所以S 4 036＝4 036(a 1＋a 4 036)2＝4 036(a 2 018＋a 2 019)2＞0，S 4 037＝4 037(a 1＋a 4 037)2＝4 037·a 2 019＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 036. 2．(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( )A ．－10B ．－12C ．－9D ．－13解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n ＜0，当n ≥3时，a n ＞0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n ＞0，当n ≥8时，a n ＜0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12.3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n－10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与方程交汇]若等差数列{a n }中的a 3，a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则log 14a 1 011＝________.解析：因为a 3和a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 3＋a 2 019＝4.又a 3，a 1 011，a 2 019成等差数列，所以2a 1 011＝a 3＋a 2 019，即a 1 011＝2，所以log 14a 1 011＝－12. 答案：－125．[与不等式恒成立交汇]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25.(1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．解：(1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25， ∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式a n ＝3n －4.(2)由题意知S n ＝－n ＋3n (n －1)2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)n k ＜n ＋1＋9n对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，k ＞－⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n 恒成立； 当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9n恒成立． 又∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n在n ＝3上取最小值7， 当n 为偶数时，n ＋1＋9n 在n ＝4上取最小值294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，294.。
高考数学一轮复习课件5.2等差数列
• (1)(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中， 已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝ ()
•A．58 D．176
B．88
C．143
•(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6 项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n ＞6)，则a9＋a10＝
【尝试解答】 (1)S11＝11（a12＋a11）＝11（a42＋a8）＝ 88.
法二 同法一得d＝－53.
又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)先求an，再利用
an≥0
aห้องสมุดไป่ตู้＋1≤0
或
an≤0
an＋1≥
0
求出其正负转折
•【思路点拨】 (1)由S2＝a3求{an}的公差d， 进而代入求a2与Sn； •(2)易求d＝－2，从而可求an；求出Sn后，根 据方程Sk＝－35，求k值．
【尝试解答】 (1)由 S2＝a3，得 a1＋a2＝a3，
∴d＝a3－a2＝a1＝12，
因此 a2＝a1＋d＝1，Sn＝n42＋n4.
【答案】
【解析】 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节 容量为a9，且数列{an}为等差数列．
则aa71＋＋aa82＋＋aa93＝＋3aa4＝1＋42a11＋d＝6d4＝. 3，
解之得a1＝1232，d＝676，故a5＝a1＋4d＝6676.
【答案】
67 66
(新课标)高考数学总复习-第二节 等差数列及其前n项和课件 理 新人教A版
4．数列{an}为等差数列，公差 d＝－2，Sn 为其前 n 项和， 若 S10＝S11，则 a1＝________.
解析：由题意知 10a1＋10×2 9d＝11a1＋11×2 10d， 又∵d＝－2，∴10a1－90＝11a1－110，∴a1＝20.
答案：20
[典题 1] (1)在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则 a5
2．已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满 足 a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列bn满足 bn＝nS＋n c，是否存在非零实数 c 使得{bn} 为等差数列？若存在，求出 c 的值；若不存在，请说明理由．
(5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m ∈N*)是公差为 md 的等差数列．
(6)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (7)S2n－1＝(2n－1)an. (8)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d； 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数
叫做等差数列的公差，通常用字母 d
表示，定义表达式为
an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2) 或 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) ．
(2)等差中项
若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，
a＋b
且有 A＝ 2 .
(8)等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，取出数列中的所有奇 数项，组成一个新的数列，一定还是等差数列．( )
答 案 ： (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)× (7)√ (8)√
高考北师大版数学(理)一轮复习课件：第五章 第二节 等差数列及其前n项和
(2)由(1)得 a1＝－4d，故 an＝(n－5)d， Sn＝n（n－2 9）d． 由 a1>0 知 d<0，故 Sn≥an 等价于 n2－11n＋10≤0，解得 1≤n≤10．所以 n 的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
等差数列运算中方程思想的应用 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公 式或前n项和公式转化为方程(组)求解． (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
等差数列的判定与证明方法 (1)定义法：对于任意自然数 n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N＋)为同一常数 ⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立⇔{an}是等差数列． (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q 为常数)对任意的正整数 n 都成立⇔{an} 是等差数列． (4)前 n 项和公式法：验证 Sn＝An2＋Bn(A，B 是常数)对任意的正整数 n 都成立⇔{an}是等差数列．
(2)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝n（a12＋an）＝__n_a_1_＋__n_（__n_－ 2__1_）__d__(其中 n∈N＋，a1 为首项，d 为公差，
an 为第 n 项)．
要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不 是等差数列．
等差数列的公差 d 的取值范围是( D )
A．d＞785
B．d＜235
C．785＜d＜235
D．785＜d≤235
解析：由题意可得aa190≤＞11，，即221155＋＋98dd＞≤11，，解得785＜d≤235．
第5章 第2节第二节 等差数列及其前n项和
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第五章 数 列
(2)解：由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 即an＋1－an＝2n－1. ∴an－an－1＝2(n－1)－1 ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋ a1 ＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1] －(n－1)＋a1 nn－1 ＝2· －(n－1)＋a1＝n2－2n＋2 2 又a1＝1满足上式∴数列{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.
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第五章 数 列
5．在等差数列{an}中，2a3＋a9＝3，则数列{an}的前9项 和S9＝________.
解析：9 设数列{an}的公差为d，由2a3＋a9＝3可得3a1＋ a1＋a9· 9 2a5· 9 12d＝3，即a1＋4d＝a5＝1，得S9＝ ＝ 2 ＝9. 2
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(3)等差数列{an}的单调性是由公差d的符号决定的．(
(4)若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数， 则该数列不是等差数列，它从第2项起成等差数列．( π (5)若△ABC的角A、B、C成等差数列，则B＝3.( ) )
)
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第五章 数 列
(2)解：结论：存在λ＝4满足题意． 由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，
高考数学一轮复习第五章数列推理与证明第2讲等差数列课件理
考点(kǎo di等ǎn)差1数列的基本(jīběn)运算 例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)记 Sn为等差数列(děnɡ chā shù liè){an}的前n项 和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
第十一页，共四十三页。
解析：方法一，设公差为 d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1 ＋7d＝列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
第2讲 等差数列(děnɡ chā shù liè)
第一页，共四十三页。
1.理解(lǐjiě)等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
第二页，共四十三页。
1.等差数列的定义
7.等差数列的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
a1<0，d>0，则Sn存在(cúnzài)最_小_____值.
第六页，共四十三页。
1.(2015 年重庆(zhònɡ qìnɡ))在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6 ＝( B )
A.－1
第七页，共四十三页。
第十六页，共四十三页。
考点(kǎo diǎ等n) 差2 数列的基本性质(xìngzhì)及应用 例2：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40 ＝( ) A. 思路点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据 (gēnjù)题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n项和公式求S40； 思路2，设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A， B，从而得Sn，进而得S40；
高考数学总复习 第5章 第2讲 等差数列及其前n项和课件 理 新人教A版
第五页，共53页。
3. 利用Sn的图象(túxiànɡ)确定其最值时，最高点不一定是最 大值，最低点不一定是最小值.
[解析] (1)本题考查等差数列的基础量运算． 设{an}的公差为 d，由 S2＝a3 可得 d＝a1＝12，故 a2＝a1 ＋d＝1，Sn＝na1＋nn－2 1d＝14n(n＋1)． (2)设等差数列的公差为 d，由于数列是递增数列，所以 d>0，a3＝a1＋2d＝1＋2d，a2＝a1＋d＝1＋d，代入已知条件： a3＝a22－4 得：1＋2d＝(1＋d)2－4，解得 d2＝4，所以 d＝2(d ＝－2 舍去)，所以 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. [答案] (1)1 14n(n＋1) (2)2n－1
第十二页，共53页。
(3)d>0⇔{an}是递增数列，Sn 有最小值；d<0⇔{an}是递 减数列，Sn 有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列．
(4)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd. (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (6)S2n－1＝(2n－1)an. (7)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝n2d. 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
常数． [解]
证明：由题设知 an＋1＝ aan＋2n＋bbnn2＝
1＋bann ＝ 1＋bann2
bn＋1 ，所以bn＋1＝
1＋abnn2
an＋1
1＋bann2，从而abnn＋＋112－bann2＝1(n
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：5.2等差数列及其前n项和
md
(4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. nd (6)若 n 为偶数，则 S 偶－S 奇＝ ； 2 若 n 为奇数，则 S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．
•
• • • • • •
• 对点演练 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若 am＝8，则m为 • ( ) A．12 B． 8 C．6 D．4 解析：∵a3＋a13＝2a8，a6＋a10＝2a8， ∴a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，∴a8＝8， ∴m＝8. 答案：B
针对训练 3．(1)(2013· 重庆)若 2，a，b，c,9 成等差数列， 则 c－a＝________. (2)(2013· 辽宁)下面是关于公差 d＞0 的等差数列{an}的四个命 题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；
an p3：数列 n 是递增数列；
5 5 65 ∴an＝20＋(n－1)× －3 ＝－3n＋ 3 .
∴a13＝0，即当 n≤12 时，an＞0，n≥14 时，an＜0， 12×11 5 ＋ 2 ×－3＝130.
∴当 n＝12 或 13 时， Sn 取得最大值， 且最大值为 S13＝S12＝12×20
－3n＋7，n＝1，2， 故|an|＝|3n－7|＝ 3n－7，n≥3.
记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn.
当 n＝1 时，S1＝|a1|＝4；当 n＝2 时，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 当 n≥3 时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7) n－2[2＋3n－7] 3 2 11 ＝5＋ ＝ n － n＋10. 2 2 2 当 n＝2 时，满足此式． 4，n＝1， 综上，Sn＝3 2 11 n － 2 n＋10，n≥2. 2
高考数学一轮总复习第五章数列2等差数列课件高三全册数学课件
(3)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为 d1，d2，则 pan＋1＋ qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与 n 值无 关的常数)，即数列{pan＋qbn}也是等差数列．
钱．( C )
5
3
A.3
B.2
4
5
C.3
D.4
第二十三页，共四十八页。
解析：设甲、乙、丙、丁、戊分别为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d，由题意可得：
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d， 联立解得 a＝1，d＝－16. ∴这个问题中，甲所得为 1－2×(－16)＝43(钱)． 故选 C.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2
＝3a1，则SS150＝____4____.
第十六页，共四十八页。
【解析】 (1)解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，
∵Sa45＝ ＝05， ，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得da＝1＝2－，3，
(1)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则 a10＝ 18 .
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－5，S9＝27，则公
差 d＝ 2 .
(3)在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8
＝ 180 . (4)在等差数列{an}中，S6＝4，S18＝24，则 S12＝ 12 .
【全程复习方略】(广东专用)高考数学 第五章 第二节 等差数列及其前n项和名师课件 理 新人教A版
2
2
2
(3)设公差为d，则(a1+2d)2=a1(a1+3d)，即
a12+4a1d+4d2=a12+3a1d，解得a1=-4d(舍去d=0).
S3 S2 a3
4d 2d
=2.
S5 S3 a4 a5 4d 3d 4d 4d
答案:2
【互动探究】本例题(2)中条件不变，则Sn=__________.
根据不同的已知选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使
用公式Sn=na1+
nn
1
d
，若已知通项公式，则使用公式
2
Sn= n(a1 an ) ．
2
【变式备选】(2012·广州模拟)已知等差数列{an}中,
a5=1,a3=a2+2,则S11=________.
【解析】由a3=a2+2，得公差d=a3-a2=2.由a5=a1+4×2=1，得 a1=-7，所以S11=11×(-7)+ 1110 ×2=33.
3． 2 -1与 2 +1的等差中项是______.
【解析】 2 -1与 2 +1的等差中项为 ( 2 1) ( 2 1) 2 .
2
答案: 2
4．在等差数列{an}中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式 为_________.
【解析】∵a5=a1+4d,a12=a1+11d,
(5)错误．根据等差数列的前n项和公式，Sn=na1+ n n 1 d
2
= d n2+(a1- d )n，显然只有公差d≠0时才是n的常数项为0的二
2
2
次函数，否则不是(甚至也不是n的一次函数，即a1=d=0时)．
高中数学一轮专题复习：等差数列及其前n项和课件
∵a7＋a10=a8＋a9<0 ∴a9<0
∴等差数列{an}的前8项都为正，第9项开始为负
∴当n=8时，{an}的前n项和最大
题型四、等差数列的判定与证明
例6：若数列{an}前n项和为Sn，且an+2SnSn-1＝0(n≥2)，
a1
=
1 2
.（ 1）求证：数列
1 Sn
是等差数列；(2)求数列an
an = a1 + (n－1)d
an = am + (n－m)d
一、基础知识梳理 3.等差数列的前n项和公式
①Sn
n(a1 2
an )
(Sn，a1，n，an知三求一)
代入an a1 n 1d
②Sn
na1
n(n 1) 2
d
(Sn，a1, n, d知三求一)
一、基础知识梳理
4.等差数列的性质
角度二：求前n项和 变式2：在等差数列{an}中：a3+a7-a10=-1，a11-a4=21，
则数列{an}的前8项和S8=( D )
A.50 B.70 C.120 D.100
解析：设数列{an}的公差为d，则 a11-a4= 7d=21，∴d=3
∵a3+a7-a10=（a1+2d）+（a1+6d）-（a1+9d）=a1-d =a1-3=-1
解析：由{an}是等差数列，得 S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 即S9－S6＝2S6－3S3 ＝2×36－3×9＝45 即 S9－S6＝a7＋a8＋a9 ＝45
题型三、等差数列前n项和的最值问题
例5：（1）在等差数列{an}中，a1＝20，前n项和为Sn，且 S10＝S15，则Sn取最大值时，n的值为( )
2015届高考数学总复习 第五章 第二节等差数列及其前n项和课时精练 理
第二节 等差数列及其前n 项和1．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由等差中项的性质知a 3＝a 1＋a 52＝5.又∵a 4＝7，∴d ＝a 4－a 3＝2.故选B. 答案：B2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7解析：S 4－S 2－S 2＝4d ＝12⇒d ＝3.故选B. 答案：B3．(2013·深圳一模)等差数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2则a 4的值为A ．18 B ．15 C ．12 D ．20解析：由题意可得 a 1＝3，a 2＝8，a 3＝13，故此等差数列的公差为5，故a 4＝a 3＋d ＝18，故选A.答案：A4．(2013·揭阳一模)已知等差数列{a n }满足，a 1＞0，5a 8＝8a 13，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为( )A ．20B ．21C ．22D ．23解析：设数列的公差为d ，由5a 8＝8a 13得5(a 1＋7d )＝8(a 1＋12d )，解得d ＝－361a 1，由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－361a 1≥0，可得n ≤643＝2113， 所以数列{a n }前21项都是正数，以后各项都是负数， 故S n 取最大值时，n 的值为21，故选B. 答案：B5．(2013·韶关三模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P(n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，a 1＋4d2＝55，解得a 1＝3，d ＝4.∴直线的斜率为a n ＋2－a nn ＋2－n＝4，故答案选A.答案：A6．等差数列{a n }中，已知a 1＝－6，a n ＝0，公差d ∈N *，则n (n ≥3)的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．8解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝0，∴ d ＝6n －1.又d ∈N *，∴n (n ≥3)的最大值为7.故选A. 答案：A7．设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π，则[f (a 3)]2－a 1a 5＝( )A ．0 B. π216 C.π28 D.13π216解析：f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝(2a 1－cos a 1)＋(2a 2－cos a 2)＋…＋(2a 5－cos a 5)＝5π，即2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(cos a 1＋cos a 2＋…＋cos a 5)＝5π，而{a n }是公差为π8的等差数列，代入2(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(cos a 1＋cos a 2＋…＋cos a 5)＝5π，即10a 3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫a 3－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－π8＋cos a 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋π8＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋π4＝10a 3－2cos π4＋2cos π8＋1cos a 3＝5π， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π4＋2cos π8＋1cos a 3不是π的倍数， ∴10a 3＝5π.∴a 3＝π2.∴[f (a 3)]2－a 1a 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－02－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝13π216.故选D.答案：D8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝∫30(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30解析：S 10＝∫30(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|30＝3＋32－0－02＝12，由S 10，S 20－S 10，S 30－S 20为等差数列，解得S 30＝15. 答案： A9．(2013·广东卷)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.解析：依题意2a 1＋9d ＝10，所以3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋a 1＋6d ＝4a 1＋18d ＝20.或3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20.答案：2010．(2013·重庆卷)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.解析：因为a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S 8＝a 1＋a 82＝4×(1＋15)＝64.答案：6411．(2013·洛阳统考)在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且S 2 011＝2 011，a 1 007＝－3，则S 2 012＝________.解析：∵S 2 011＝2 011，∴a 1＋a 2 0112＝2 011.得a 1＋a 2 011＝2.又∵a 1＋a 2 011＝2a 1 006，∴a 1 006＝1. 又∵a 1 007＝－3，∴S 2 012＝a 1＋a 2 0122＝a 1 006＋a 1 0072＝－2＝－2 012.答案：－2 01212．将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，若a ij ＝2 009，则i ＋j ＝________________.1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …解析：由2n －1＝2 009，求得n ＝1 005，由此可知将正奇数按从小到大的顺序排列，2 009 位于第1 005个，而数表自上而下，每行所放的奇数个数，恰好与行数相等，设2 009位于第i 行，则1＋2＋3＋…＋i ≥1 005，且1＋2＋3＋…＋ (i －1)≤1 005，于是得i ＋i2≥1 005且i i －2≤1 005⇒i (1＋i )≥2 010，i (i －1)≤2 010，并注意到i ∈N *，所以i＝45，而j ＝1 005－＋2＝1 005－22×45＝1 005－990＝15，故i ＋j ＝45＋15＝60.答案：6013．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n 3－a n，n ∈N *，且a 1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)若存在一个常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，求λ的值； (3)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)a 2＝1＋a 13－a 1＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝12.(2)若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，则有2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ，将a 1，a 2，a 3代入，解得λ＝1.(3)由a n ＋1＝1＋a n 3－a n ，得a n ＋1－1＝1＋a n 3－a n －1＝2a n －23－a n ＝a n －2－a n －，取倒数1a n ＋1－1＝1a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝－12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，1a n －1＝1a 1－1＋(n －1)d ＝－1－12(n －1)＝－12n －12，整理得a n ＝n －1n ＋1，n ∈N *.14．(2013·梅州二模)f (x )对任意x ∈R 都有f (x )＋f (1－x )＝12.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12和f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n (n ∈N *)的值；(2)数列{a n }满足：a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，数列{a n }是等差数列吗？请给予证明；(3)令b n ＝44a n －1，T n ＝b 21＋b 22＋b 23＋…＋b 2n ，S n ＝32－16n.试比较T n 与S n 的大小．解析：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.令x ＝1n ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＝12. (2)a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，又a n ＝f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f (0)，两式相加2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋[f (1)＋f (0)]＝n ＋12，所以a n ＝n ＋14，n ∈N *.又a n ＋1－a n ＝n ＋1＋14－n ＋14＝14.故数列{a n }是等差数列．(3)b n ＝44a n －1＝4n，T n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋132＋…＋1n 2≤16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋11×2＋12×3＋…＋1n n －＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＝32－16n＝S n .所以T n ≤S n .。
高考理科数学总复习第五章 第二节 等差数列及其前n项和
的项数m使得Sn取得最
即时应用
1．已知在等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＝15，则 a1＋a2＋a3＋… ＋a9＝___4_5____.
因为{an}为等差数列，a4＋a5＋a6＝15，所以3a5＝15，解得a5＝ 5，a1＋a2＋a3＋…＋a9＝a1＋2a9×9＝2a52×9＝9a5＝9×5＝45.
主干知识 自主排查
1．等差数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫 做等差数列的 公差 ，公差通常用字母 d 表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)，或 an－an－1 ＝d(n≥2，d 为常数)． (2)若 a，Aa，＋bb成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项， 且 A＝ 2 .
4．等差数列的前 n 项和公式与函数的关系
Sn＝d2n2＋a1－d2n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)． 5．等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则 Sn 存在最 大 值；若 a1＜0， d＞0，则 Sn 存在最 小 值．
方法技巧
等差数列的判定与证明方法
即时应用
1．设数列{an}的通项公式为 an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋… ＋|a15|＝__1_3_0____.
由 an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8 为首项，2 为公差的等差 数列，又由 an＝2n－10≥0，得 n≥5，∴当 n≤5 时，an≤0， 当 n＞5 时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4) ＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
等差数列的前n项求和公式ppt课件
由等差数列的性质 即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
Sn=n(a1+an)/2
5
如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，Sn也可 以用首项a1和公差d表示，即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以，等差数列的前n项求和公式是
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
S
n
n a1 a n 2
或
S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54？
等差数列-10，-6，-2， 2，…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
8a 52 d n 2 14n nn 1 d S na d
a
n 1
13 d 0 d 0 2
2
2
解2： S3 S11
即 n=7
a1 0
由等差数列构成的函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
12
an 例8.等差数列 的前项n和S n，且a3 12 ，S12 0, S13 0
高一数学必修5等差数列前n项和性质及应用2PPT课件
例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n1
求a5 和 an
b5
bn
.
Tn 4n 27
a 5 6 4 an 14n 6 b 5 6 3 bn 8n 23
2: 若数列{an}的前ｎ项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。
3、设等差数列{an}的前ｎ项和为Sn， 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大，
1、 设Sn=an2+bn, 则有： 9250 0265a4a5b8b。
Sn
d 2
n2
(a1
d )n的二次函数配方法求得最值时的n的取值； 2
②是当ad100时，Sn有最大值，并利用aann1 00求得n值；
当ad100时，Sn有最小值，并利用aann1 00求得n值.
高 一 数 学 必 修5等差 数列前 n项和 性质及 应用2P PT课件
高 一 数 学 必 修5等差 数列前 n项和 性质及 应用2P PT课件
解之得：
a b
2 9
，∴Sn=3n2+n。
2、是。
简单提示：利用公式： a an 1 S S1 nSn1
(n1) (n2)
3、（1）
274d，3（2）S6最大。
4. 已知数列{an}是正数数列，且
Sn1 8(an2)2(nN) (1)求证{an}是等差数列 ；
(2)若bn=1 2an-30， 则 数 列 {bn}的 前 n项 和 有 最 什 么 值 ， 并 求 该 最 值 ； （ 3） 求 数 列 {bn}的 前 n项 和 Tn
等差数列前n项和公式PPT课件
sn
(a1
an)n 2
（补成平行四边形）
.
11
例1． 某长跑运动员7天里每天的训 练量（单位：m）是：
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，
记为｛an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),那么: am+ an = ap+aq
.
2
问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的 主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令 人叫绝。
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
n(n- 1) 根据等差数列前n项和公式： sn=na1+ 2 d
×4=54成立
整 理 后 ,得 n 2-6 n -2 7=0
解得 n1=9, n２=－3(舍去) 因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是 54.
.
14
小结：
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二
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第二节 等差数列及其前n项和
等差数列基本量的计算 【例1】 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
思路点拨：先运用等差数列的通项公式求出公差，进而 求得通项公式及前n项和公式，再将n用k代换，得到关于k的 方程，解方程即可求得项数k. 自主解答：
(2)等差数列{an}的公差为 ，且前100项和S100＝145， 则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为________．
解析：(1)依题意有7a1＋21d＝21,11a1＋55d＝121，解
得a1＝－9，d＝4.故选B.
(2)(法一)(a2＋a4＋a6＋…＋a100)－(a1＋a3＋a5＋…＋a99) ＝50d＝25. 因为S100＝145，所以 a1＋a3＋a5＋…＋a99＝ ＝60.
解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d.由 a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，
解得d＝－2.
从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n，
所以Sn＝ ＝2n－n2. 由Sk＝－35可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7为所求．
等差数列的前n项和的求解 【例 3】 (1) 已知 {an} 为等差数列，前 10 项的和 S10 ＝ 100 ，
前100项的和S100＝10，求前110项的和S110.
(2)(2013· 浙江卷 ) 在公差为 d 的等差数列 {an} 中，已知 a1 ＝ 10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列． ①求d，an； ②若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
变式探究
3．(1)(2012· 海南嘉积中学期末)等差数列{an}的通项公式为
an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列 A．70 B．75 C．100 的前10项和为( D．120 )
(法三)∵S100－S10＝ ∴a11＋a100＝－2，
＝－90，
(2)①由题意5a3· a1＝(2a2＋2)2， 即d2－3d－4＝0.
故d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.
②设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由①得d＝－1， an＝－n＋11.则 当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－ 当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝ ＋110； 综上所述， |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝
去掉，将求数列的前n项和转化为求数列的前n项和的问题．
解析：(1)(法一)设的首项为a1，公差为d，则
∴S110＝110a1＋ ×110×109d＝－110. (法二)∵为等差数列，故可设Sn＝An2＋Bn，则
解得110A＋B＝－1.
∴S110＝1102A＋110B＝110(110A＋B)＝－110.
思路点拨：对于(1)，常用的思路有三条．思路一：运用方 程的思想，将题目条件应用公式表示成关于首项 a1 与公差 d 的 两个方程；思路二：运用前 n项和公式 Sn＝An2＋Bn去求(先求 出待定系数A，B)；思路三：巧妙运用前n项和、等差数列的性 质(下标和的性质)，可化繁为简． 对于(2)，易知{an}为等差数列，先求出通项an，然后再由 通项an判断哪些项为正，哪些项为负，进而可将的绝对值符号
该数列前11项的和为________．
自主解答：
解析：(1)∵a4＋a12＝a6＋a10＝2a8，
由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120得5a8＝120，
∴a8＝24，于是2a10－a12＝2(a8＋2d)－(a8＋4d)＝a8＝24.
(2)由a4＋2a6＋a8＝12，得4a6＝12，∴a6＝3. ∴S11＝
点评：解决等差数列的问题时，通常考虑两类方法：
(1)基本量法，即运用条件转化成关于a1和d的方程；
(2)巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简．
变式探究 1．(1)(2012· 唐山三模)等差数列{an}的前n项和为Sn，已
知S7＝21，S11＝121，则该数列的公差d＝( A．5 B．4 C．3 ) D．2
(法二)由100a1＋
＝145得a1＝－
＝60.
所以a1＋a3＋a5＋…＋a99＝－ 答案：(1)B (2)60
等差数列性质的运用 【例 2】 (1) 在等差数列 {an} 中，若 a4 ＋ a6 ＋ a8 ＋ a10 ＋
a12＝120，则2a10－a12的值为________． (2)已知数列 {an} 是等差数列，若a4＋2a6＋a8＝12，则
点评：(1)解决等差(比 )数列的问题时，通常考虑两类 方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d(q)的方程；
②巧妙运用等差(比)数列的性质(如下标和的性质、子数列
的性质、和的性质)，可化繁为简． (2)数列{|an|} 求和问题先由an的正负去掉绝对值符号， 然后分类讨论转化成{an}的求和问题．
(2) 在等差数列 {an} 中， S4 ＝ 1 ， S8 ＝ 4 ，则 a17 ＋ a18 ＋ a19 ＋
A．7B．8C．9源自D．10解析：(1)由于S17＝
×17＝17a9＝51，所以a9＝3.
根据等差数列的性质a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11 ＋a13＝a9＝3，故选A. (2)S4，S8－S4，S12－S8，…，成等差数列，首项S4，公 差为2. a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16是此等差数列的第5项， ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S4＋(5－1)×2＝9.故选C. 答案：(1)A (2)C
答案：(1)24 (2)33
＝11×3＝33.
点评： 本题根据题设条件巧妙运用了等差数列的下标和
性质，通项公式的变式，使解答过程很简捷．
变式探究
2．(1)(2013· 江门模拟)等差数列{an}前17项和S17＝51，则 a5－a7＋a9－a11＋a13等于( A．3 a20＝( ) B．6 ) C．17 D．51