2020秋高中数学人教A版选修2-2达标练习：第一章1.3-1.3.2函数的极值与导数含解析
人教A版选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数 学案
1．3.2函数的极值与导数预习课本P26～29，思考并完成下列问题(1)函数极值点、极值的定义是什么？(2)函数取得极值的必要条件是什么？(3)求可导函数极值的步骤有哪些？[新知初探]1．函数极值的概念(1)函数的极大值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．(2)函数的极小值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．[点睛]如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．(5)单调函数一定没有极值．2．求函数y ＝f (x )极值的方法一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法是： 解方程f ′(x )＝0. 当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值．[点睛] 一般来说，“f ′(x 0)＝0”是“函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y ＝f (x )在点x 0处可导，且在点x 0处取得极值，那么f ′(x 0)＝0；反之，若f ′(x 0)＝0，则点x 0不一定是函数y ＝f (x )的极值点．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1必有2个极值．( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合．( ) (3)函数f (x )＝1x 有极值．( )答案：(1)√ (2)√ (3)×2．下列四个函数：①y ＝x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝|x |；④y ＝2x ，其中在x ＝0处取得极小值的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③ 答案：B3．函数y ＝x 3－6x 的极大值为( ) A ．42 B ．3 2 C ．－3 2 D ．－4 2答案：A4. 函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0， π2上的极大值点为( ) A ．0 B.π6C.π3D.π2 答案：B[典例] [解] 函数的定义域为R ，f′(x)＝2x e－x＋x2·e－x·(－x)′＝2x e－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝4 e2.求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．[活学活用]求下列函数的极值点和极值．(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝3x＋3ln x.解：(1)f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：所以x＝－1是函数的极大值点，且f(x)极大值＝143，x＝3是函数的极小值点，且f(x)极小值＝－6.(2)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3x －3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：所以x ＝1极小值.[典例] 已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． [解] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)， ∵x ＝±1是函数的极值点．∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a＝0，①c3a ＝－1.②又∵f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1.③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)得f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．令f ′(x )>0，得x <－1或x >1； 令f ′(x )<0，得－1<x <1.∴函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－1,1)上是减函数． 因此，x ＝－1是函数的极大值点；x ＝1是函数的极小值点．已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[活学活用]已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1.(1)若函数的极大值点是－1，求a 的值；(2)若函数f (x )有一正一负两个极值点，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x 2－2x ＋a ， 由题意f ′(－1)＝1＋2＋a ＝0，解得a ＝－3，则f ′(x )＝x 2－2x －3，经验证可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值，故a ＝－3.(2)由题意，方程x 2－2x ＋a ＝0有一正一负两个根， 设为x 1，x 2，则x 1x 2＝a <0， 故a 的取值范围是(－∞，0).[y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．[解] 因为f (x )在x ＝－1处取得极值且f ′(x )＝3x 2－3a ， 所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，所以a ＝1. 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.作出f (x )的大致图象及直线y ＝m 如图所示：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合图象可知，m 的取值范围是(－3,1)．[一题多变]1．[变条件]若本例中条件改为“已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4”在x ＝43处取得极值，其他条件不变，求m 的取值范围．解：由题意可得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 由f ′⎝⎛⎭⎫43＝0，可得a ＝2，所以f (x )＝－x 3＋2x 2－4， 则f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝43，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，0)0 ⎝⎛⎭⎫0，43 43 ⎝⎛⎭⎫43，＋∞ f ′(x ) －0 ＋0 － f (x )－4－7627因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－4，－7627.2．[变条件]若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知：当m ＝－3或m ＝1时， 直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点； 当m <－3或m >1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象只有一个交点．(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．层级一 学业水平达标1．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是() A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：选D∵y′＝1－11＋x2·(1＋x2)′＝1－2x1＋x2＝(x－1)21＋x2≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值.2．函数f(x)＝32x2－ln x的极值点为()A．0,1，－1 B.3 3C．－33 D.33，－33解析：选B由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－1x＝3x2－1x，令f′(x)＝0，得x＝33⎝⎛⎭⎫x＝－33舍去.当x>33时，f′(x)>0；当0<x<33时，f′(x)<0.所以当x＝33时，f(x)取得极小值．从而f(x)的极小值点为x＝33，无极大值点，选B.3．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值解析：选C由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，即x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C.4．若函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，则a的值是()A．0 B．1C．5 D．6解析：选D∵f(x)＝2x3－3x2＋a，∴f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1，经判断易知极大值为f(0)＝a＝6，5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.427，0 B ．0，427C ．－427，0 D ．0，－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427，当x ＝1时f (x )取极小值0.6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，解方程f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝2处取得极小值． 答案：27．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a 处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值， ∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－28．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)①当x ＝32时，函数f (x )取得最小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数值取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，x ＝1，x ＝2是函数的两极值点， ∴②正确；又x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )＞0；x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0，∴x ＝1是极大值点，x ＝2是极小值点，故③④正确． 答案：① 9．求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值． 解：函数f (x )的定义域为R.f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：极小值当x ＝1时，函数有极大值，且f (x )极大值＝－1.10．设函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点．(1)求a 和b 的值； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx＝x e x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )，因为x ＝－2和x ＝1是f (x )的极值点， 所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝－1.(2)因为a ＝－13，b ＝－1，所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1. 因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增； 在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减．层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( )A ．1，－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1，－3解析：选A ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3.2．设函数f (x )＝e x sin x ，x ∈[0，π]，则( ) A ．x ＝π2为f (x )的极小值点B ．x ＝π2为f (x )的极大值点C ．x ＝3π4为f (x )的极小值点D ．x ＝3π4为f (x )的极大值点解析：选D ∵f (x )＝e x sin x ， ∴f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x ) ＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 由f ′(x )≤0，得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤0， ∴2k π＋π≤x ＋π4≤2k π＋2π(k ∈Z)，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z)，∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π4上单调递增， f (x )在⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减， ∴x ＝3π4为f (x )的极大值点．3．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－3,6)C ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，∵f (x )有极大值与极小值，∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6.4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R)有大于零的极值点，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1，＋∞) C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1e D ．⎝⎛⎭⎫－1e ，＋∞ 解析：选A ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .令y ′＝e x ＋a ＝0，则e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a )．又∵x ＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1.5．若函数f (x )＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于______．解析：f ′(x )＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4.当x ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f ′(x )＜0；x ∈(0,4)时，f ′(x )＞0，∴x ＝4时f (x )取到极大值．故－64＋96＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－196．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为______．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，则f ′(－1)f ′(1)<0，即(1－a )(5－a )<0，解得1<a <5，另外，当a ＝1时，函数f (x )＝x 3＋x 2－x －4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，当a ＝5时，函数f (x )＝x 3＋x 2－5x －4在区间(－1,1)没有极值点．故实数a 的范围为[1,5)．答案：[1,5)7．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．已知函数f (x )＝ax －ae x(a ∈R ，a ≠0)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x＋1e x，f′(x)＝x－2e x.由f′(x)＝0，得x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－1e2，函数f(x)无极大值．(2)F′(x)＝f′(x)＝a e x－(ax－a)e xe2x＝－a(x－2)e x.①当a<0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝ae2＋1>0，解得a>－e2，所以此时－e2<a<0；②当a>0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：当x>2时，F(x)＝a(x－1)e x＋1>1，当x<2时，令F(x)＝a(x－1)e x＋1<0，即a(x－1)＋e x<0，由于a(x－1)＋e x<a(x－1)＋e2，令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－e2 a，即x≤1－e2a时，F(x)<0，所以F(x)总存在零点，综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．。
高中数学人教A版选修2-2习题 第1章 导数及其应用1.3.3 Word版含答案
选修第一章一、选择题．(·潍坊高二检测)设函数()满足′()＋()＝，()＝，则＞时，()( )．有极大值，无极小值．有极小值，无极大值．既有极大值又有极小值．既无极大值也无极小值[答案][解析]∵函数()满足′()＋()＝，∴[()]′＝，令()＝()，则′()＝，()＝·()＝.由′()＋()＝，得′()＝，令φ()＝－()，则φ′()＝－′()＝.∴φ()在()上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，∴φ()的最小值为φ()＝－()＝.∴φ()≥.又＞，∴′()≥.∴()在(，＋∞)上单调递增．∴()既无极大值也无极小值．故选.．(·开滦二中高二检测)若函数()＝－＋在()内有极小值，则实数的取值范围是( ) ．() ．(－∞，)．(，＋∞) ．(，)[答案][解析]′()＝－，∵()在()内有极小值，∴在()内存在点，使得在(，)内′()<，在()内′()>，由′()＝得，＝>，∴(\\(>,()<，))∴<<.．函数()＝－ (<)( )．有最大值，无最小值．有最大值，也有最小值．无最大值，有最小值．既无最大值，也无最小值[答案][解析]′()＝－＝(－)(＋＋)．令′()＝，得＝.又∈(－)且∉(－)，∴该方程无解，故函数()在(－)上既无极值也无最值．故选.．已知上可导函数()的图象如图所示，则不等式(－－)′()>的解集为( )．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－∞，－)∪()．(－∞，－)∪(－)∪(，＋∞)．(－∞，－)∪(－)∪(，＋∞)[答案][解析]由()的图象知，在(－∞，－)上′()>，在(－)上′()<，在(，＋∞)上′()>，又－－>的解集为(－∞，－)∪(，＋∞)，－－<的解集为(－)．∴不等式(－－)′()>的解集为(－∞，－)∪(－)∪(，＋∞)．．若方程－＋＝在[]上有解，则实数的取值范围是( )．[－] ．[]．[－] ．(－∞，－)∪(，＋∞)[答案][解析]由题意方程－＋＝在[]上有解，则－＝－，∈[]，求实数的取值范围可转化为求函数的值域问题．令＝－，∈[]，则′＝－，令′>，解得>，因此函数在[]上单调递减，在[]上单调递增，又＝时，＝－；＝时，＝；＝，＝，∴函数＝－，∈[]的值域是[－]，故－∈[－]，∴∈[－]，故选.．已知定义在上的可导函数()的导函数为′()，满足′()＜()，且(＋)为偶函数，()＝，则不等式()＜的解集为( )．(－，＋∞) ．(，＋∞)．(，＋∞) ．(，＋∞)[答案][解析]∵＝(＋)为偶函数，∴＝(＋)的图象关于直线＝对称，∴＝()的图象关于直线＝对称，∴()＝()，又∵()＝，∴()＝，设()＝(∈)，则′()＝＝，又∵′()＜()，∴′()－()＜，∴′()＜，∴＝()在定义域上单调递减，。
人教a版数学【选修2-2】练习：1.3.2函数的极值与导数(含答案)
选修2-2 第一章 1.3 1.3.2一、选择题1．已知函数f (x )在点x 0处连续，下列命题中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值 [答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )的极值点，故A 错；由极值的定义可知C 正确，故应选C.2．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] y ′＝x 3－x 2＝x 2(x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表3．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0[答案] D[解析] y ′＝3ax 2＋2bx 由题设0和13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴a ＋2b ＝0.4．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9[答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．5．已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2[答案] A[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.∴ad ＝2. 6．(2013·辽宁实验中学期中)函数f (x )＝－x e x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定[答案] C[解析] f ′(x )＝(－x e x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1e x. 当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )． 二、填空题7．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[答案] 4x －y －3＝0[解析] y ′|x ＝1＝(3ln x ＋4)|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0. 8．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.9．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________. [答案] －23[解析] f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0.∴a ＝－23.三、解答题10．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由． [解析] (1)由f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0. 又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ∴a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1. [点评] 若函数f (x )在x 0处取得极值，则一定有f ′(x 0)＝0，因此我们可根据极值得到两个方程，再由f (1)＝－1得到一个方程，解上述方程组成的方程组可求出参数．一、选择题11．(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A ．e 2π(1－e 2012π)e 2π－1B ．e π(1－e 2012π)1－e 2πC ．e π(1－e 1006π)1－e 2πD ．e π(1－e 1006π)1－e π[答案] B[解析] f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z .∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2011π＝e π[1－(e 2π)1006]1－e 2π＝e π(1－e 2012π)1－e 2π，故选B.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427，0B ．0，427C ．－427，0D ．0，－427[答案] A[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.13．(2014·西川中学高二期中)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题14．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________________，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3，由韦达定理应有⎩⎨⎧－1＋3＝－2a3，－3＝b 3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－9.经检验a ＝－3，b ＝－9符合题意． 三、解答题15．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．16．(2014·三峡名校联盟联考)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2＋ax . (1)当a ＝－3时，求函数y ＝f (x )的极值点；(2)当a ＝－4时，求方程f (x )＋x 2＝0在(1，＋∞)上的根的个数． [解析] (1)f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f ′(x )＝1x ＋2x －3，令f ′(x )＝0，则x ＝1或x ＝12，由f ′(x )>0得0<x <12，或x >1，∴f (x )在(0，12)和(1，＋∞)上单调递增，在(12，1)上单调递减，∴f (x )的极大值点x ＝12，极小值点x ＝1.(2)当a ＝－4时，f (x )＋x 2＝0，即ln x ＋2x 2－4x ＝0， 设g (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则g ′(x )＝1x ＋4x －4＝4x 2－4x ＋1x ≥0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上有唯一实数根．17．(2014·温州八校联考)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a 、b ∈R )． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ， ∴f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a 3)．当a ＝0时，f ′(x )≤0函数f (x )没有单调递增区间； 当a >0时，令f ′(x )>0，得0<x <2a3，函数f (x )的单调递增区间为(0，23a )；当a <0时，令f ′(x )>0，得2a3<x <0， 函数f (x )的单调递增区间为(23a,0)．(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，x 、f ′(x )、f (x )的取值变化情况如下：∴f (x )极小值＝f (0)＝b ，f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，∵对任意a ∈[3,4]，f (x )在R 上都有三个零点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)<0，f (2a 3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b <0，4a 327＋b >0.得－4a 327<b <0.∵对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，∴b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.∴实数b 的取值范围是(－4,0)．。
高中数学人教A版选修2-2_第一章_导数及其应用_131_函数的单调性与导数(有答案)
高中数学人教A版选修2-2 第一章导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数（1）一、单选题1. 函数的单调递增区间是( )A. B. C.(1, 4) D.(0, 3)2. 已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A.f(b)>f(c)>f(d)B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a)D.f(c)>f(e)>f(d)3. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 若函数在区间(2, +∞)上为增函数，则实数的取值范围为（）A.(−∞, 2)B.(−∞, 2]C.D.5. 函数的定义域为，，对任意，，则的解集为()A. B. C. D.二、填空题函数f(x)＝1+x−sin x在(0, 2π)上的单调情况是________.函数的单调递增区间是________.已知函数，若函数在上为单调函数，则实数的取值范围是________.三、解答题已知函数(为常数，是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与轴平行.（1）求的值；（2）求的单调区间.已知函数在处取得极值．确定a的值；若，讨论的单调性．参考答案与试题解析高中数学人教A版选修2-2 第一章导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数（1）一、单选题1.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较函数与方程的综合运用复合函数的单调性【解析】求出函数y=f(x)的导数，在解出不等式f′(x)>0可得出所求函数的单调递增区间．【解答】∵f(x)=(x−3)e x，f′(x)=(x−2)e x，解不等式f′(x)>0，解得x>2因此，函数f(x)=(x−3)e x的单调递增区间是:2,+∞)，故选B．2.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性函数的图象变换【解析】由图象判断函数的单调性，利用单调性可得结果，【解答】导函数f′(x)的图象可得：f′(x)在(a,c)上为正数，f(x)在(a,c)上为增函数，所以√1)>>f(b)>f(a)故选C．3.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】重】【解答】此题暂无解答4.D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】f′(x)=6x2−6mx+6当x∈(2,+∞)时，f′(x)≥0恒成立，即x2−mx+1≥0恒成立，∴m≤x+1x恒成立．g(x)=x+1x,g′(x)=1−1x2…当x>2时，g′(x)>0，即g(x)在(2,+∞)上单调递增，m≤2+12=52故选：D．5.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】构造函数g(x)=f(x)−2x−4，利用导数判断出函数y=g(x)在R上的单调性，将不等式f(x)>2x+4转化为g(x)>g(−1)，利用函数y=g(x)的单调性即可求解．【解答】依题意可设g(x)=f(x)−2x−4，所以g′(x)=f′(x)−2>0所以函数y=g(x)在R上单调递增，又因为g(−1)=f(−1)+2−4=0所以要使g(x)=f(x)−2x−4>0，即g(x)>g(−1)，只需要x>−1，故选B．二、填空题【答案】单调递增【考点】利用导数研究函数的单调性正弦函数的单调性奇偶性与单调性的综合【解析】在(0,2π)上有f′(x)=1−cos x>0，所以f(x)在(0,2π)单调递增，故答案为单调递增．【解答】此题暂无解答【答案】(0, e)对数函数的单调区间函数奇偶性的判断函数零点的判定定理【解析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间．【解答】因为f (x )=ln x x ，则其定义域为(0,+∞) f ′(x )=1−ln xx 2，令f ′(x )>0即可得1−ln x >0，解得x <e结合函数定义域可知，函数f (x )的单调增区间为(0,e )故答案为：(0,e )【答案】27[（,．[13,+x ） 【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】分两种情况讨论：函数y =f (x )在区间[1,2]上为增函数或减函数，转化为f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在区间[1,2]上恒成立，利用参变量分离得出1a ≥4x −1x 或1a ≤4x −1x 在区间[1,2]上恒成立，然后利用单调性求出函数y =4x −1x 在区间[1,2]上的最大值和最小值，可求出实数α的取值范围．【解答】∵ f (x )=x a −2x 2+ln x ，f ′(x )=1a −4x +1x①当函数y =f (x )在区间[1,2]上单调递增，则不等式f ′(x )≥0在区间[1,2]上恒成立， 即1a −4x +1x ≥0，则1a ≥4x −1x ，由于函数y =4x −1x 在区间[1,2]上单调递增， y 加加=4×2−12=152∴ 1a ≥152，∴ a >0，解得0<a ≤215 ②当函数y =f (x )在区间[1,2]上单调递减，则不等式f ′(x )≤0在区间[1,2]上恒成立， 即1a −4x +1x ≤0，则1a ≤4x −1x ，由于函数y =4x −1x 在区间[1,2]上单调递增， y min =4×1−11=31a ≤3，．a >0，解得a ≥13因此，实数4的取值范围是(0,215]∪[13,+∞), 故答案为(0,215]∪[13,+∞)三、解答题【答案】（1）1；（2）单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】（1）利用导函数与函数切线的关系得到关于实数k 的方程，解方程可得k =（2）结合（1）的结论对函数的解析式进行求导可得f ′(x )=1x −ln x−k e x ，研究分子部分，令ℎ(x )=1x −ln x −k (x >0)，结合函数ℎ()的性质可得：f (x )的单调递增区间是(0,1)单调递减区间是(1,+∞)【解答】（1）由题意得f ′(x )=1x −ln x−k e x 又f ′(1)=1−k e =0，故k =1（2）由（1）知，f ′(x )=1x−ln x−k e x 设ℎ(x )=1x −ln x −k (x >0)，则ℎ(x )=−1x 2−1x <0 即ℎ(x )在(0,+∞)上是减函数，由ℎ(1)=0知，当0<x <1时，ℎ(x )>0，从而当x >1时，ℎ(x )<0，从而f ′(x )<0综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)单调递减区间是(1,+∞)【答案】（1）a =12 （2）g (x )在(−∞,−4)和(−1,0)内为减函数，在(−4,−1)和(0,+∞)内为增函数．【考点】已知函数极最值求参数问题【解析】（1）对f (x )求导得f ′(x )=3ax 2+2x因为f (x )在x =−43处取得极值，所以f ′(−43)=0 即3a ×169+2×(−43)=16a 3−83=0，解得a =12 （2）由（1）得g (x )=(12x 3+x 2)e x故g ′(x )=(32x 2+2x)e x +(12x 3+x 2)e x =(12x 3+52x 2+2x)e x =12x (x +1)(x +4)e x4g ′(x )=0，解得x =0,x =−1或x =−4当x <−4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数，当−4<x <−1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数，当−1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数，当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数，综上所知：(−x,−4)和(−1,0)是函数g(x)单调减区间，(−4,−1)和(0,+∞)是函数g(x)的单调增区间．【解答】此题暂无解答。
[精品]新人教A版选修2-2高中数学1.3.2 函数的极值与导数过关习题和答案
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选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是( ) A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值[答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有( )A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3[答案] D[解析] y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－1<x<1时，y′>0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0[答案] C[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] B[解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0<x<2，∴①②错误．6．函数f(x)＝x＋1x的极值情况是( )A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2 D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2 [答案] D[解析] f′(x)＝1－1x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] A[解析] 由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．8．已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则函数y 的极值情况是( ) A ．有极小值 B ．有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．无极值 [答案] D[解析] ∵y ′＝1－11＋x 2(x 2＋1)′ ＝1－2x x 2＋1＝(x －1)2x 2＋1令y ′＝0得x ＝1，当x >1时，y ′>0， 当x <1时，y ′>0， ∴函数无极值，故应选D.9．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意得，f (1)＝0，∴p ＋q ＝1①f ′(1)＝0，∴2p ＋q ＝3②由①②得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427，极小值f (1)＝0.10．下列函数中，x ＝0是极值点的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝cos 2x C ．y ＝tan x －x D ．y ＝1x[答案] B[解析] y ＝cos 2x ＝1＋cos2x2，y ′＝－sin2x ，x ＝0是y ′＝0的根且在x ＝0附近，y ′左正右负，∴x ＝0是函数的极大值点． 二、填空题11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为______，极小值为______．[答案] 1 －1[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2， 令y ′>0得－1<x <1，令y ′<0得x >1或x <－1， ∴当x ＝－1时，取极小值－1，当x ＝1时，取极大值1. 12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________．[答案] a ＋4 2 a －4 2[解析] y ′＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2)， 令y ′>0，得x >2或x <－2， 令y ′<0，得－2<x <2，∴当x＝－2时取极大值a＋42，当x＝2时取极小值a－4 2.13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.[答案] －3 －9[解析] y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有14．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] 令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，y＝f(x)的大致图象如图观察图象得－2<a<2时恰有三个不同的公共点．三、解答题15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：(2)由表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.16．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值．[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵x ＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f ′(x )＝0的根，即有又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1，此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .∴f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：数有极小值－1.17．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－1)上是增函数，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故f(x)在(－1,1)上是减函数．∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．(2)曲线方程为y ＝x 3－3x .点A (0,16)不在曲线上． 设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0. ∵f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)．注意到点A (0,16)在切线上，有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)．化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2. ∴切点为M (－2，－2)， 切线方程为9x －y ＋16＝0.18．(2010·北京文，18)设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根为1,4.(1)当a ＝3时，由(*)式得，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)解得a∈[1,9]，即a的取值范围[1,9]．。
2019-2020学年高中数学选修2-2人教版练习：第一章1.3-1.3.2函数的极值与导数Word
第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数高效演练知能提升A级基础巩固一、选择题1.函数f(x)的定义域为R，导函数f'x(的图象如图所示，贝間数f(x)( )A .无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点、两个极小极值点C .有两个极大值点、两个极小值点D .有四个极大值点、无极小值点解析：由导函数f'x(的图象可知，f l x)= 0有四个零点，根据极值的概念知，函数f(x)有两个极大值点、两个极小值点.答案：C2.函数f(x)= In x-x在区间(0, e)上的极大值为()A. - eB.- 1C. 1-e D . 01解析：函数f(x)的定义域为(0,+x), f' x) = x- 1•令f'x) = 0,得x= 1•当x€ (0, 1)时,f'(x)>0，当x€ (1, e)时，f'(x)v0，故 f (x) 在x= 1处取得极大值f(1) = In 1 —1= 0— 1 = - 1.答案：B3. 设函数f(x) = xe x,则()A. x= 1为f(x)的极大值点B. x= 1为f(x)的极小值点C. x=—1为f(x)的极大值点D. x=—1为f(x)的极小值点解析：f'x( = e x+ xe x= (1 + x)e x，令f'x( = 0,得x= —1,当x v —1 时，f'(x)v0;当x>— 1 时，f'(x)>0•所以x= — 1 为f(x)的极小值点.答案：D4. 若函数f(x) = x3+ ax2+ 3x—9在x= —3处取得极值，则a=( )A. 2B. 3C. 4D. 5解析：f刈=3x? +2ax+3,由题意得f( —3) = 0,即30 —6a = 0, 所以a= 5•验证知，符合题意，故选 D.答案：D5. 已知函数f(x) = x3+ ax2+ x+ 2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(一1,1 )内，贝^实数a的取值范围是()A. (0, 2]B. (0, 2)C. [ 3, 2)D. ( 3, 2)解析：由题意可知f'x(= 0的两个不同解都在区间(一1,1)内.因为f ( =3x2+ 2ax + 1 ,所以根据导函数图象可得f A=( 2a) 2-4X 3X 1>0,—2a1—1<----- <1 -f 6 ' 又a>0,解得V3va<2•故选D.I f'(—)= 3— 2a+ 1>0,f 1)= 3 + 2a+1>0,答案：D二、填空题-n6.函数f(x) = x+ 2cosx在0, 2上的极大值点为__________ .解析：f'x) = 1 —2sin x,令f'x(= 0 得x=；・当0v X Vn寸，F(x)>0；当X V 2时寸，f ]x)v 0.所以当x=6时，f(x)有极大值.答案：n7.函数f(x) = x3—3x2+ 1在x= _______ 取得极小值.解析：由f(x) = x3—3x2+1,得f' x = 3x2—6x= 3x(x —2).当x€ (0, 2)时，f'(x)v0, f(x)为减函数；当x€ ( — = , 0)和(2,+乂)时，f'(x)>0, f(x)为增函数.故当x= 2时，函数f(x)取得极小值.答案：28.若直线y= a与函数f(x)= x3—3x的图象有相异的三个公共点, 则a的取值范围是________ .解析：令f'X) = 3x2—3= 0,得x=±1，则极大值为f(—1)= 2, 极小值为f(1)= —2•如图，观察得一2<a<2时恰有三个不同的公共点.答案：(—2, 2)三、解答题9.设函数f(x) = x3—3ax + b(a^ 0).(1) 若曲线y= f(x)在点(2,f(2))处与直线y= 8相切，求a, b的值;(2) 求函数f(x)的单调区间与极值点.解：(1)由已知可得f'= 3x2—3a(aM0).因为曲线y= f(x)在点(2, f(2))处与直线y= 8相切，f 2)= 0, 「3 (4 —a)= 0,所以即I f (2)= 8, 18—6a+ b= 8,解得a=4, b= 24.(2)f 'x( = 3(x2—a)(az0).当a v 0时，f'(x)>0,函数f(x)在(一 = ,+=)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点.当a>0 时，由 f x(= 0,得x= ± a.当X € ( 一oo. 一a)时，f '(X)>0,函数f(x)单调递增；当x€ (- a, a)时，f'(x)v0,函数f(x)单调递减；当x€ ( a,+ =)时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=- a是f(x)的极大值点，x= a是f(x)的极小值点.10.若函数f(x) = ax3- bx+2,当x= 1时，函数f(x)取极值0.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若关于x的方程f(x)= k有三个零点，求实数k的取值范围. 解：(1)由题意可知f ( = 3ax2- b.ff (1)= 0, fa= 1,所以？If( 1)= 0, l b= 3.故所求的函数解析式为f(x) = x3- 3x + 2.⑵由(1)可知f(x) = 3x2-3= 3(x- 1)(x + 1).令f( x) = 0 得x= 1 或x=- 1,当x变化时，f((x), f(x)的变化情况如下表所示：因此，当x=- 1时，f(x)有极大值4, 当x= 1时，f(x)有极小值0, 故实数k的取值范围为(0, 4).B级能力提升1 11. 函数f(x) = 3X3—2(2b + 1)x2+ b(b+ 1)x 在(0, 2)内有极小值，则()A. 0v b v 1B. 0v b v2C. —1 v b v 1D. —1 v b v 2解析：f，x) = x2—(2b + 1)x + b(b+1) = (x—b)[x—(b+ 1)],令f X)=0,贝S x= b或x= b+ 1, x= b+ 1是极小值点，所以0v b+1 v2,得一1v b v 1.答案：C2. 函数f(x) = x3—3ax + b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x) 的单调递减区间是 ________ .解析：由题意，知f'x) = 3x2—3a,令f'x(= 0,得x=± a.易知当x=—a时，f(x)取极大值，当x= a时，f(x)取极小值.因为函数f(x) = x3—3ax + b(a>0)的极大值为6,极小值为2,所以f( a)= 2, f(—a) = 6,( J a) 3—3a a+ b= 2,即3I (—\a) + 3a\ a + b= 6,解得a= 1, b= 4.所以f'x( = 3x2—3,令F x)<0，解得一1<x<1.所以f(x)的单调递减区间是(一1, 1).答案：(—1, 1)3. 已知函数f(x)= e x(ax + b) —x2—4x,曲线y= f(x)在点(0,f(0)) 处的切线方程为y= 4x+ 4.(1) 求a, b的值；(2) 讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.解：⑴f'x) = e x(ax + a + b) —2x- 4.由已知得f(0) = 4, f'(0) = 4,故b= 4, a+ b= 8.从而a=4, b= 4.(2)由(1)知，f(x) = 4e x(x +1) —x2—4x,( 们f '(x) = 4^(x + 2) —2x—4= 4(x + 2)^e x—Q 丿.令f' x) = 0 得，x= —In 2 或x= — 2.从而当x€ (—x, —2)或x€ (—In 2, +*)时，f'(x)>0;当x€ (—2, In 2)时，f'(x)v 0.故f(x)在(—x,—2), (—In 2，+乂)上单调递增，在(—2,—In 2)上单调递减.当x= —2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f( —2)=4(1 —e- 2).。
最新版2020高中数学人教A版选修22习题：第一章导数及其应用 1.3.3
1.3.3函数的最大(小)值与导数课时过关·能力提升基础巩固1已知f(x)是[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是()A.f(x)的极值点一定是最值点B.f(x)的最值点一定是极值点C.f(x)在[a,b]上可能没有极值点D.f(x)在[a,b]上可能没有最值点解析根据函数的极值与最值的概念判断知选项A,B,D都不正确,只有选项C正确.答案C2若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为()A.-5B.7C.10D.-19解析f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x2-2x-3)=-3(x+1)(x-3).令f'(x)=0,得x=-1或x=3.f(-1)=1+3-9+a=a-5,f(-2)=8+12-18+a=a+2.由题意知f(-2)=f(x)max=2+a=2,∴a=0,∴f(x)min=f(-1)=a-5=-5.答案A3函数f(x)=x e-x在[0,4]上的最大值为()A.0B.C.D.解析f'(x)=-,令f'(x)=0,得x=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:所以f(x)的最大值为f(1)=.答案B4已知f(x)=2x3-6x2+a(a为常数)在[-2,2]上有最大值3,则此函数f(x)在[-2,2]上的最小值是()A.-37B.-29C.-5D.-8解析f'(x)=6x2-12x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.由f(-2)=-40+a,f(0)=a,f(2)=-8+a,则f(0)=a=3⇒f(-2)=-40+a=-37.故选A.答案A5若函数f(x)=x3+2ax2+1在区间[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为.解析f'(x)=3x2+4ax,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,所以当x∈[0,1]时,f'(x)≤0恒成立,即3x+4a≤0恒成立.所以a≤-x恒成立.故a≤-.答案--6函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是.解析f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x)=0,则x=-1或x=1(舍去).f(-1)=3,f(0)=1,f(-3)=-17,所以f(x)max=f(-1)=3,f(x)min=f(-3)=-17.答案3,-177求函数y=f(x)=x3-x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解先求导数,得y'=3x2-3x.令y'=0,即3x2-3x=0,解得x1=1,x2=0.因为f(-2)=-9,f(0)=5,f(1)=,f(2)=7,故y max=7,y min=-9.8已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R),(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围.解(1)f'(x)=3x2-2ax+b,∵函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,∴-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.-∴-∴-(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,f'(x)=3x2-6x-9.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,∴当x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54,要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可,当c≥0时,c+54<2c,∴c>54;当c<0时,c+54<-2c,∴c<-18,∴c∈(-∞,-18)∪(54,+∞).故c的取值范围为(-∞,-18)∪(54,+∞).能力提升1函数f(x)=e x-x(e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值是()A.1+B.1C.e+1D.e-1解析因为f(x)=e x-x,所以f'(x)=e x-1.令f'(x)=0,得x=0.且当x>0时,f'(x)=e x-1>0,当x<0时,f'(x)=e x-1<0,即函数f(x)在x=0处取得极小值,f(0)=1.又f(-1)=+1,f(1)=e-1,综合比较得函数f(x)=e x-x在区间[-1,1]上的最大值是e-1.故选D.答案D2函数f(x)=e x(sin x+cos x)在区间上的值域为()A. B.C.[1,]D.(1,)解析f'(x)=e x(sin x+cos x)+e x(cos x-sin x)=e x cos x,当0≤x≤时,f'(x)≥0,且只有在x=时,f'(x)=0,所以f(x)是上的增函数.即f(x)的最大值为f,f(x)的最小值为f(0)=.故f(x)在上的值域为.故应选A.答案A3对于R上的可导函数f(x),若满足(x-1)·f'(x)>0,则必有()A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)=2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)解析当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)内是增函数;当x<1时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,1)内是减函数,故当x=1时,f(x)取得最小值,即有f(0)>f(1),f(2)>f(1),得f(0)+f(2)>2f(1).答案D4若f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a的值为()A.2B.4C.6D.8解析①当-1≤x<0时,a≤-在[-1,0)内恒成立,而当-1≤x<0时,-'=->0,则y=为[-1,0)内的增函数,从而的最小值为4.于是a≤4.②当x=0时,f(x)≥0总成立.③当0<x≤1时,a≥-在(0,1]上恒成立,而y=的导数为y'=-,令y'=0⇒x=,不难判断y=在(0,1]上的最大值为4,所以a≥4.综上,a=4.答案B★5设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时,t的值为() A.1 B. C. D.解析当x=t时,|MN|=|f(t)-g(t)|=|t2-ln t|(t>0).令φ(t)=t2-ln t(t>0),所以φ'(t)=2t--.所以当t ∈时,φ(t )单调递减;当t ∈时,φ(t )单调递增.所以当t=时,φ(x )min =ln2>0,即|MN|min =φ(x )min .故|MN|取最小值时t=.答案D6已知两个和为48的正整数,若第一个数的立方与第二个数的平方之和最小,则这两个正整数分别为 . 解析设第一个数为x ,则第二个数为(48-x ),记y=x 3+(48-x )2=x 3+x 2-96x+2304(0<x<48),所以y'=3x 2+2x-96=(3x-16)(x+6).由y'=0,得x=或x=-6(舍去), 易知x=是函数在区间(0,48)内唯一的极小值点,也是最小值点. 但因为x 是正整数,所以x=5.所以所求的两个正整数分别为5与43. 答案5与437设函数f (x )=1+(1+a )x-x 2-x 3,其中a>0. (1)讨论f (x )在其定义域内的单调性;(2)当x ∈[0,1]时,求f (x )取得最大值和最小值时x 的值. 解(1)f (x )的定义域为(-∞,+∞),f'(x )=1+a-2x-3x 2.令f'(x )=0,得x 1=- -, x 2=-,x 1<x 2. 所以f'(x )=-3(x-x 1)(x-x 2). 当x<x 1或x>x 2时,f'(x )<0; 当x 1<x<x 2时,f'(x )>0.故f (x )在(-∞,x 1)和(x 2,+∞)内单调递减,在(x 1,x 2)内单调递增,即f (x )在 -- - 和 -内单调递减,在- --内单调递增.(2)因为a>0,所以x 1<0,x 2>0.①当a ≥4时,x 2≥1.由(1)知,f (x )在[0,1]上单调递增.所以f (x )在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.②当0<a<4时,x 2<1.由(1)知,f (x )在[0,x 2]上单调递增,在[x 2,1]上单调递减. 所以f (x )在x=x 2=-处取得最大值. 又f (0)=1,f (1)=a ,所以当0<a<1时,f (x )在x=1处取得最小值;当a=1时,f (x )在x=0处和x=1处同时取得最小值;当1<a<4时,f (x )在x=0处取得最小值. ★8已知函数f (x )=ln x-.(1)当a>0时,判断f (x )在定义域上的单调性; (2)若f (x )在[1,e]上的最小值为,求a 的值;(3)设g (x )=ln x-a ,若g (x )<x 2在(0,e]上恒成立,求a 的取值范围.分析(1)判定函数的单调性要注意函数的定义域;(2)根据函数的单调性与最值的关系求解,由于a 的取值未定,因此要分类讨论;(3)转化为最值问题来处理. 解(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f'(x )=.因为a>0,x>0,所以f'(x )>0,因此f (x )在(0,+∞)内是递增函数. (2)由(1)知f'(x )=. ①若a ≥-1,则x+a ≥0,从而f'(x )≥0(只有当a=-1,x=1时,f'(x )=0),即f'(x )≥0在[1,e]上恒成立,此时f (x )在[1,e]上为增函数.所以f (x )的最小值为f (1)=-a=,即a=-,不符合题意,舍去.②若a ≤-e,则x+a ≤0,从而f'(x )≤0(只有当a=-e,x=e 时,f'(x )=0),即f'(x )≤0在[1,e]上恒成立,此时f (x )在[1,e]上为减函数.所以f (x )的最小值为f (e)=1-,即a=-,不符合题意,舍去.③若-e <a<-1,由f'(x )=0,得x=-a ,当1<x<-a 时,f'(x )<0,即f (x )在(1,-a )内为减函数;当-a<x<e 时,f'(x )>0,即f (x )在(-a ,e)内为增函数,所以x=-a 是函数f (x )在(1,e)内的极小值点,也就是它的最小值点,因此f (x )的最小值为f (-a )=ln(-a )+1=,即a=- .综上,a=- .(3)g (x )<x 2即ln x-a<x 2,所以a>ln x-x 2,故g (x )<x 2在(0,e]上恒成立,也就是a>ln x-x 2在(0,e]上恒成立. 令h (x )=ln x-x 2,则h'(x )=-2x=-,由h'(x )=0及0<x ≤e,得x=. 当0<x<时,h'(x )>0;当<x ≤e 时,h'(x )<0,即h (x )在内为增函数,在上为减函数,所以当x=时,h (x )取得最大值为h=ln.所以当g (x )<x 2在(0,e]上恒成立时,a 的取值范围为-.。
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第一章导数及其应用1.3 1.3.2
答案
(2)由 f(x)＝x3－3x2－2 ′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
(2，＋∞) ＋
f(x)
极大值
极小值
由此可得： 当 0<a<1 时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值 f(0)＝－2，无极小值；
答案
拓展提升 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，应 注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法 求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数 法求解后必须验证根的合理性．
【跟踪训练 2】 已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f(x)在点 x＝0 处取得极值， 并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．
1．3.2 函数的极值与导数
课前自主预习
1．极值点与极值 (1)极小值与极小值点 如图，若 a 为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：
①f(a) □01 < f(x0)，f(x0)表示 f(x)在 x＝a 附近的函数值；
②f′(a)＝ □02 0 ； ③在 x＝a 附近的左侧，f′(x) □03 < 0，函数单调递 □04 减 ； 在 x＝a 附近的右侧，f′(x) □05 > 0，函数单调递 □06 增．
2．求函数 f(x)极值的方法与步骤
解方程 f′(x)＝0，当 f′(x)＝0 时，
(1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x) □13 > 0，右侧 f′(x) □14 <
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.1.3 含解析
1.1.3 导数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1已知函数y=f (x )的图象如图所示,则f'(x A )与f'(x B )的大小关系是( )A.f'(x A )>f'(x B )B.f'(x A )<f'(x B )C.f'(x A )=f'(x B )D.不能确定解析由题图知f (x )在点A ,B 处的切线斜率k A ,k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义,得f'(x A )<f'(x B ).答案B2已知曲线y=f (x )=12x 2-2上一点P (1,-32),则曲线在点P 处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.135°D.165° 解析∵y=12x 2-2,∴y'=lim Δx →012(x+Δx )2-2-(12x 2-2)Δx=lim Δx →012(Δx )2+x ·Δx Δx=lim Δx →0(x +12Δx)=x. ∴y'|x=1=1.∴曲线在点P (1,-32)处切线的斜率为1,即切线的倾斜角为45°.故选B.答案B3若曲线y=f (x )=x 2在点P 处的切线斜率为k ,则当k=2时点P 的坐标为( )A.(-2,-8)B.(-1,-1)C.(1,1)D.(-12,-18) 解析设点P 的坐标为(x 0,y 0),则k=f'(x 0)=lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=lim Δx→0(x0+Δx)2-x02Δx=limΔx→0(Δx+2·x0)=2x0,即2x0=2.所以x0=1,此时y0=x02=12=1.故点P的坐标为(1,1).故选C.答案C4已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为.解析设P(x0,2x02+4x0),则f'(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=lim Δx→02(Δx)2+4x0Δx+4ΔxΔx=4x0+4.∵f'(x0)=16,∴4x0+4=16.∴x0=3.故点P的坐标为(3,30).答案(3,30)5已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的图象如图所示:其对应导数的图象如图①②③:则曲线y=f'(x)对应图象;曲线y=g'(x)对应图象;曲线y=h'(x)对应图象.(只填序号)解析由导数的几何意义,知y=f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,则曲线y=f'(x)对应图象②;y=g(x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故曲线y=g'(x)对应图象③;y=h(x)上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故曲线y=h'(x)对应图象①.答案②③①6若曲线y=f(x)=2x2-4x+p与直线y=1相切,则p=.解析设切点坐标为(x0,1),∵f'(x0)=lim Δx→02(x0+Δx)2-4(x0+Δx)+p-(2x02-4x0+p)Δx=lim Δx →02(Δx )2+(4x 0-4)Δx Δx =lim Δx →0(2·Δx+4x 0-4)=4x 0-4, 由题意知4x 0-4=0,∴x 0=1,即切点坐标为(1,1).∴1=2-4+p.∴p=3.答案37若直线l 与曲线C 满足下列两个条件:(1)直线l 在点P (x 0,y 0)处与曲线C 相切;(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C.下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).①直线l :y=0在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=x 3②直线l :x=-1在点P (-1,0)处“切过”曲线C :y=(x+1)2③直线l :y=x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=sin x④直线l :y=x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=tan x⑤直线l :y=x-1在点P (1,0)处“切过”曲线C :y=ln x答案①③④8求证:函数f (x )=x+1x 图象上各点处的切线的斜率小于1.证明∵f'(x )=lim Δx →0f (x+Δx )-f (x )Δx =lim Δx →0(x+Δx+1x+Δx )-(x+1x )Δx =1-1x 2<1, ∴f (x )=x+1x 图象上各点处的切线的斜率小于1.9已知曲线y=f (x )=1t -x 上的两点P (2,-1),Q (-1,12). 求:(1)曲线在点P 、点Q 处的切线的斜率;(2)曲线在点P 、点Q 处的切线方程.分析由导数的几何意义,可知求曲线在点P 、点Q 处的切线斜率即求曲线在x=2,x=-1处的导数,求出斜率就易求切线方程了.解把P (2,-1)代入y=1t -x ,得t=1,即y=11-x . 所以y'=lim Δx →0f (x+Δx )-f (x )Δx =limΔx →011-(x+Δx )-11-x Δx =lim Δx →0Δx [1-(x+Δx )](1-x )Δx=lim Δx →01(1-x -Δx )(1-x )=1(1-x )2. (1)曲线在点P 处的切线斜率为y'|x=2=1(1-2)2=1, 曲线在点Q 处的切线斜率为y'|x=-1=14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,曲线在点Q 处的切线方程为y-12=14[x-(-1)],即x-4y+3=0. 能力提升1曲线y=x 3+11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标为( )A.-9B.-3C.9D.15解析由已知得切线的斜率k=y'|x=1=3,所以切线方程为y-12=3(x-1),即3x-y+9=0.令x=0,得y=9,所以切线与y 轴交点的纵坐标为9.答案C2下列说法正确的是( )A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点B.过曲线上一点作曲线的切线,这点一定是切点C.若f'(x 0)不存在,则曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处无切线D.若曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f'(x 0)不一定存在解析当切线平行(或重合)于y 轴时,切线斜率不存在,则f'(x 0)不存在.答案D★3已知a>0,f (x )=ax 2+bx+c ,曲线y=f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P 到曲线y=f (x )的对称轴的距离的取值范围是( )A.[0,1a ]B.[0,12a ] C.[0,|b 2a |] D.[0,|b -12a |] 解析f'(x )=lim Δx →0f (x+Δx )-f (x )Δx =lim Δx →0[a (x+Δx )2+b (x+Δx )+c ]-(ax 2+bx+c )Δx =lim Δx →02ax ·Δx+bΔx+a (Δx )2Δx =2ax+b. 因为曲线在点P (x 0,f (x 0))处的切线的倾斜角的取值范围为[0,π4],所以0≤2ax 0+b ≤1,又点P 到曲线y=f (x )的对称轴的距离为|x 0+b 2a |=|2ax 0+b |2a . 所以|x 0+b 2a |∈[0,12a]. 答案B 4已知曲线y=f (x )=13x 3上一点P (2,83),则f (x )在点P 处的切线的斜率为 ,在点P 处的切线方程为 .解析由导数的定义易得f'(x 0)=x 02,所以f (x )在(2,83)处的切线的斜率为4. 所以切线方程为y-83=4(x-2),即12x-3y-16=0.答案4 12x-3y-16=05如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图象,则f (2)+f'(2)= .解析由题意可得f (x )在点P 处的切线方程为x 4+y 4.5=1,其斜率k=-4.54=-98. 又点P (2,f (2))为切点,∴f'(2)=-98,且24+f (2)4.5=1,解得f (2)=94. ∴f (2)+f'(2)=98.答案986已知曲线y=f (x )=x 3在点(a ,a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为16,则a= .解析因为f'(a )=lim Δx →0(a+Δx )3-a 3Δx =3a 2, 所以曲线在点(a ,a 3)处的切线方程为y-a 3=3a 2(x-a ),切线与x 轴的交点坐标为(23a ,0).所以三角形的面积为12|a -23a|·|a 3|=16,解得a=±1.答案±1★7已知函数y=f (x )=x 2a -1(a>0)的图象在x=1处的切线为l ,求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值. 分析先求出f (x )在x=1处的切线l 的方程,再求得l 与两坐标轴围成的三角形的面积,利用不等式求面积的最小值.解∵Δy=(x+Δx )2a -1-x 2a +1=2x ·Δx+(Δx )2a , ∴Δy Δx =2x+Δx a. 当Δx 无限趋近于0时,Δy Δx 趋近于2x a, 即f'(x )=2x a .∴f'(1)=2a .又f (1)=1a-1, ∴f (x )在x=1处的切线l 的方程是y-1a +1=2a (x-1).令x=0,得y=-1a -1.令y=0,得x=a+12. ∴l 与两坐标轴围成的三角形的面积为S=12|-1a -1|·|a+12| =14(a +1a +2)≥14×(2+2)=1. 当且仅当a=1a ,即a=1时,直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小,且最小值为1.。
新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答(全)
第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9） 函数33()4Vr V π=(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=.车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33xy '=-； （6）21y x '=-.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、3213()34r V Vπ'=. 4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x x y x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++. 5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+，解得032x =. 6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-. 7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. 4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：注：图象形状不唯一.因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++.下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，（第3题）矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x xπ'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<. 令845()0c ac bc L x xb b +'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<.当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤.练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此04π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n l l n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm n ξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..。
数学选修2-2人教新课标A版1-3-2函数的极值与导数练习-1
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2) .
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
A．在区间 ，(1，e)内均有零点
B．在区间 ，(1，e)内均无零点
C．在区间 内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：选Df′(x)＝ － ＝ ，令f′(x)＝0，得x＝3，当0＜x＜3时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数．又因为f(1)＝ ＞0，f(e)＝ －1＜0，f ＝ ＋1＞0，所以y＝f(x)在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点．
答案：1
三、解答题
9．(新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8，从而得a＝4，b＝4.
A．b＜1 B．b＞1
C．0＜b＜1D．b＜
解析：选Cf′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0＜b＜1.当0＜x＜b时，f′(x)＜0；当b＜x＜1时，f′(x)＞0，符合题意，所以实数b的取值范围是0＜b＜1.
新人教A版选修2-2《1.3.3函数的最值与导数》同步练习及答案
选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数一、选择题1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0D ．以上都有可能[答案] A[解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A.2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋12x 2在[－1,1]上的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－1D.1312[答案] A[解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0.∴f (－1)＝512，f (0)＝0，f (1)＝1312∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A.3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.2227B ．2C ．－1D ．－4[答案] C[解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝13或x ＝－1当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝2227；当x ＝1时，y ＝2.所以函数的最小值为－1，故应选C.4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为4C ．最大值为13，最小值为1D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A[解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1，令y ′＝0，∴x ＝12，f (－3)＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，f (0)＝1.5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0D ．不存在[答案] A[解析] y ′＝12x －121－x ＝12·1－x －xx ·1－x由y ′＝0得x ＝12，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上y ′>0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上 y ′<0.∴x ＝12时y 极大＝2，又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2.6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 [答案] D[解析] f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1) ∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.7．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15B ．5,4C ．－4，－15D ．5，－16[答案] A[解析] y ′＝6x 2－6x －12＝6(x －2)(x ＋1)， 令y ′＝0，得x ＝2或x ＝－1(舍)． ∵f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4， ∴y max ＝5，y min ＝－15，故选A.8．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32[答案] C[解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意． 当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减， 最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．9．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数 [答案] B[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.10．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立 又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3 ∴a ≥－3，故应选B. 二、填空题11．函数y ＝x 32＋(1－x )32，0≤x ≤1的最小值为______．[答案]22由y ′>0得x >12，由y ′<0得x <12.此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为增函数，∴最小值在x ＝12时取得，y min ＝22.12．函数f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．[答案] 不存在；－2834[解析] f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝32；当x >32时，函数为增函数，当－2≤x ≤32时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f (－2)＝57，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2834，所以最小值为－2834.13．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． [答案]3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝－a (舍去) 当x >a 时，f ′(x )<0；当0<x <a 时，f ′(x )>0； 当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1.14．f (x )＝x 3－12x ＋8在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________. [答案] 32[解析] f ′(x )＝3x 2－12 由f ′(x )>0得x >2或x <－2， 由f ′(x )<0得－2<x <2.∴f (x )在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增． 又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，∴最大值M ＝24，最小值m ＝－8， ∴M －m ＝32. 三、解答题15．求下列函数的最值：(1)f (x )＝sin2x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤π2；(2)f (x )＝x ＋1－x 2.[解析] (1)f ′(x )＝2cos2x －1. 令f ′(x )＝0，得cos2x ＝12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴2x ∈[－π，π]， ∴2x ＝±π3，∴x ＝±π6.∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的两个极值分别为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32＋π6. 又f (x )在区间端点的取值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2. 比较以上函数值可得f (x )max ＝π2，f (x )min ＝－π2.(2)∵函数f (x )有意义，∴必须满足1－x 2≥0，即－1≤x ≤1， ∴函数f (x )的定义域为[－1,1]．f ′(x )＝1＋12(1－x 2)－12·(1－x 2)′＝1－x 1－x2. 令f ′(x )＝0，得x ＝22. ∴f (x )在[－1,1]上的极值为f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝22＋1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝ 2. 又f (x )在区间端点的函数值为f (1)＝1，f (－1)＝－1，比较以上函数值可得f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1.16．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值和最小值．[解析] f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞. f ′(x )＝2x ＋22x ＋3＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最小值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln2＋14.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 499<0， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 72＋116.17．(2010·安徽理，17)设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间及极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x>x 2－2ax ＋1.[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．[解析] (1)解：由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增故f (x )(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln 2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )．(2)证明：设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1. 18．已知函数f (x )＝4x 2－72－x ，x ∈[0,1]．(1)求f (x )的单调区间和值域；(2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3－3a 2x －2a ，x ∈[0,1]．若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．[解析] (1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝－4x 2＋16x －7(2－x )2＝－(2x －1)(2x －7)(2－x )2令f ′(x )＝0解得x ＝12或x ＝72.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ∈(0，2)时，f (x )是减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f (x )是增函数． 当x ∈[0,1]时，f (x )的值域为[－4，－3]． (2)g ′(x )＝3(x 2－a 2)．因为a ≥1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0.因此当x ∈(0,1)时，g (x )为减函数，从而当x ∈[0,1]时有g (x )∈[g (1)，g (0)]． 又g (1)＝1－2a －3a 2，g (0)＝－2a ，即x ∈[0,1]时有g (x )∈[1－2a －3a 2，－2a ]． 任给x 1∈[0,1]，f (x 1)∈[－4，－3]，存在x 0∈[0,1]使得g (x 0)＝f (x 1)成立， 则[1－2a －3a 2，－2a ]⊇[－4，－3]．即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a －3a 2≤－4，①－2a ≥－3.②解①式得a ≥1或a ≤－53；解②式得a ≤32.又a ≥1，故a 的取值范围为1≤a ≤32.。
人教版2020高中数学 第一章 1.3.1-1.3.2 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题作业 北师大版选修1-1
1.3.1-1.3.2 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x >2 解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A ．每一个二次函数的图像都开口向上B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( )A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos x D ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos x sin x＞cos x ，为真命题，故选D.5．已知正四面体A BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥ACC ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD 同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ， 故AD ⊥EF . 6．“对于任意的x ∈Z ，2x ＋1是整数”的逆命题是________． 答案：若2x ＋1是整数，则x ∈Z7．若对任意的x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)8．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}，log 2x ＋log x 2＜2；(3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10．不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．解：法一：因为Δ＝4m 2＋4＞0恒成立，所以设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2 .因为{x |1≤x ≤3}⊆{x |x 2－2mx －1＞0}＝{x |x ＞x 2或x ＜x 1}，所以方程x 2－2mx －1＝0的两根x 1，x 2都大于3或都小于1.因为x 1x 2＝－1＜0，所以两根都小于1.令y ＝x 2－2mx －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，f （1）＞0， 解得m ＜0.所以m 的取值范围为{m |m ＜0}．法二：因为1≤x ≤3，x 2－2mx －1＞0，所以m ＜x 2－12x ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x . 当x ∈[1，3]时，函数y ＝x －1x是增加的， 所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43，所以m ＜0. [B.能力提升]1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．存在x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)B ．存在x ∈R ，使f (x )≥f (x 0)C ．对任意x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)D ．对任意x ∈R ，使f (x )≥f (x 0) 解析：选C.由x 0＝－b2a(a >0)及抛物线的相关性质可得选项C 是错误的．2．有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：对任意的x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中假命题为( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4解析：选A.由于对任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故p 1是假命题； 当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z )时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．对于p 3：任意x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝2sin 2x 2＝|sin x |＝sin x 为真命题． 对于p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2为假命题，例如x ＝π，y ＝π2，满足sin x ＝cos y ＝0，而x ＋y ＝3π2. 3．命题“对任意x ∈R ，存在m ∈Z ，使m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，所以只需m 2－m ＜34，即－12＜m ＜32.所以当m ＝0或m ＝1时，对任意x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．答案：真4．已知定义在(－∞，3]上的减函数f (x )，使f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )对于任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由函数单调性得3≥a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x 对任意x ∈R 均成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3＋sin x ，a 2－a ≥sin x ＋cos 2x ＋1对任意x ∈R 均成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤（3＋sin x ）min ，a 2－a ≥（sin x ＋cos 2x ＋1）max ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a 2－a ≥94. 解得－2≤a ≤12－102. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12－102 5．若不等式t 2－2at ＋1≥sin x 对一切x ∈[－π，π]及a ∈[－1，1]都成立，求t 的取值范围．解：因为x ∈[－π，π]，所以sin x ∈[－1，1]，于是由题意可得对一切a ∈[－1，1]不等式t 2－2at ＋1≥1恒成立．由t 2－2at ＋1≥1得2t ·a －t 2≤0.令f (a )＝2t ·a －t 2，则f (a )在t ≠0时是关于a 的一次函数，当t ＝0时，显然f (a )≤0成立，当t ≠0时，要使f (a )≤0在a ∈[－1，1]上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝2t －t 2≤0，f （－1）＝－2t －t 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ≥2. 故t 的取值范围是t ≤－2或t ＝0或t ≥2.6．(选做题)若x ∈[－2，2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2，2]时，[f (x )]min ≥0即可．①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )在[－2，2]上是增加的，[f (x )]min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，又a ＞4，所以a 不存在． ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时， [f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0， 解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )在[－2，2]上是减少的，[f (x )]min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，又a ＜－4，所以－7≤a ＜－4.故a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．。
新版高中数学人教A版选修22习题：第一章导数及其应用 1.3.2
1.3.2函数的极值与导数课时过关·能力提升基础巩固1设函数f(x)=x e x,则()A.x=1是f(x)的极大值点B.x=1是f(x)的极小值点C.x=-1是f(x)的极大值点D.x=-1是f(x)的极小值点答案D2当函数f(x)=-x3+x2+2x取极小值时,x的值是()A.2B.2,-1C.-1D.-3解析f'(x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),则在区间(-∞,-1)和(2,+∞)内,f'(x)<0,在区间(-1,2)内,f'(x)>0,故当x=-1时,f(x)取极小值.答案C3已知函数f(x)=x3-3bx+3b在区间(0,1)内有极小值,则()A.0<b<1B.b<0C.b>0D.b<解析f'(x)=3x2-3b,要使f(x)在区间(0,1)内有极小值,又f'(x)关于y轴对称,则f'(x)在(0,1)内由负变正,即即--解得0<b<1.答案A4已知f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在x=1和x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是() A.(a,b) B.(a,c)C.(b,c)D.(a+b,c)解析f'(x)=3ax2+2bx+c,由题意知x=1和x=-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根,则1-1=-,得b=0.答案A5若函数f(x)=在x=1处取得极值,则a=.解析f'(x)=--,由f'(1)=-=0,得a=3.经检验,a=3满足题意.答案36函数y=ln x-x2的极值点为.解析函数y=ln x-x2的定义域为(0,+∞),其导函数为y'=-2x=-.由y'=-=0,解得x=.当x>时,y'<0,当0<x<时,y'>0,所以当x=时,函数y=ln x-x2取得极大值,所以所求极值点为.答案7若函数f(x)=a ln x+bx2+3x的极值点为x1=1,x2=2,则a=,b=.解析f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=+2bx+3=.因为函数f(x)的极值点为x1=1,x2=2,所以x1=1,x2=2是方程f'(x)==0的两个根,即为方程2bx2+3x+a=0的两根.所以由根与系数的关系知-解得--答案-2-8已知函数y=ax3+bx2,当x=1时,有极大值3.(1)求a,b的值;(2)求函数y的极小值.分析解决本题的关键是运用待定系数法求得a,b的值,进而可求函数y的极小值.解(1)y'=3ax2+2bx.当x=1时,y'|x=1=3a+2b=0,由题意得a+b=3.故解得a=-6,b=9.经检验知,符合题意.故a=-6,b=9.(2)由(1),得y=-6x3+9x2,则y'=-18x2+18x.令y'=0,得x=0,或x=1.易知x=0是函数的极小值点,所以y极小值=0. 9求下列函数的极值:(1)f(x)=--;(2)f(x)=x2e-x.分析首先确定函数的定义域,然后正确求导,解方程f'(x)=0.进而列表求极值.解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).f'(x)=--,令f'(x)=0,得x1=-1,x2=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:故当x=-1时,函数f(x)有极大值,并且极大值为f(-1)=-,f(x)无极小值.(2)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=2x e-x+x2·'=2x e-x-x2e-x=x(2-x)e-x.令f'(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:由上表可以看出,当x=0时,函数f(x)有极小值,且为f(0)=0;当x=2时,函数f(x)有极大值,且为f(2)=4e-2.能力提升1下列函数存在极值的是()A.f (x )=B.f (x )=x-e xC.f (x )=x 3+x 2+2x-3D.f (x )=x 3解析A 项中,f'(x )=-,令f'(x )=0无解,故A 项中函数无极值.B 项中,f'(x )=1-e x ,令f'(x )=0可得x=0. 当x<0时,f'(x )>0,当x>0时,f'(x )<0. 故f (x )在x=0处取极大值,f (0)=-1.C 项中,f'(x )=3x 2+2x+2,Δ=4-24=-20<0,故y=f (x )无极值.同理D 项也无极值.故选B. 答案B2已知函数f (x )=ax 3+bx 2+c ,其导函数图象如图所示,则函数f (x )的极小值是( ) A.a+b+c B.8a+4b+c C.3a+2b D.c解析由题图可知函数f (x )在(-∞,0)内单调递减,在(0,2)内单调递增,所以函数f (x )在x=0处取得极小值c. 答案D3已知函数f (x )=x (ln x-ax )有两个极值点,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.C.(0,1)D.(0,+∞)解析f'(x )=ln x-ax+x- =ln x-2ax+1,函数f (x )有两个极值点,即ln x-2ax+1=0有两个不同的根(在正实数集上),即函数g (x )=与函数y=2a 在(0,+∞)上有两个不同交点. 因为g'(x )=-,所以g (x )在(0,1)内递增,在(1,+∞)上递减,所以g (x )max =g (1)=1,如图所示.若g (x )与y=2a 有两个不同交点,须0<2a<1. 即0<a<,故选B. 答案B ★4已知函数f (x )=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴相切于点(1,0),则极小值为( )A.0B.-C.-D.1解析f'(x)=3x2-2px-q,由题意知f'(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0,联立方程组,解得p=2,q=-1.所以f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1.由f'(x)=3x2-4x+1=0,解得x=1或x=,可知x=1是函数的极小值点.所以f(x)极小值=f(1)=0.答案A5设a∈R,若函数y=e x+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为.解析∵y=e x+ax,∴y'=e x+a.由于y=e x+ax有大于零的极值点,即方程e x+a=0有大于零的解,即a=-e x(x>0).∵当x>0时,-e x<-1,∴a<-1.答案(-∞,-1)6已知函数f(x)=x3-3a2x+a(a>0)的极大值与极小值的积小于0,则a的取值范围是.解析f'(x)=3x2-3a2=3(x-a)(x+a)(a>0),令f'(x)=0,得x=±a.当-a<x<a时,f'(x)<0,函数递减;当x>a或x<-a时,f'(x)>0,函数递增,所以f(x)极大值=f(-a)=-a3+3a3+a=2a3+a,f(x)极小值=f(a)=a3-3a3+a=-2a3+a,且f(-a)>f(a),故f(-a)>0,f(a)<0,解之,得a>.答案a>7已知函数f(x)=(a>0,r>0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.解(1)由题意知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).f(x)=,f'(x)=-=-,所以当x<-r或x>r时,f'(x)<0.当-r<x<r时,f'(x)>0.因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f'(r)=0,f(x)在(0,r)内单调递增,在(r,+∞)内单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点.所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)==100,f(x)在(0,+∞)内没有极小值.★8设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'(x),若函数y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,且f'(1)=0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值.解(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1,所以f'(x)=6x2+2ax+b.从而f'(x)=6+b-,即y=f'(x)的图象关于直线x=-对称,从而由题设条件知-=-,解得a=3.又因为f'(1)=0,即6+2a+b=0,解得b=-12.所以,实数a,b的值分别为3,-12.(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2).令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0.解得x1=-2,x2=1.当x∈(-∞,-2)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)内为增函数;当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)内为减函数;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数;从而函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.。
高中数学人教A版选修2-2 第一章1.3.1函数的单调性与导
1.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是( )A．b2－4ac>0 B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0【答案】 D【解析】∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.2．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)【答案】 D【解析】f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )A．C．(－∞，－1)和(1,2) D．．4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )【答案】 C【解析】 当0<x <1时xf ′(x )<0∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数当x >1时xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A 、B 、D 故选C.5．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 【答案】 B【解析】 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x <0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0.6．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1) 【答案】 C【解析】 由(x －1)f ′(x )≥0得f (x )在上单调递减或f (x )恒为常数，故f (0)＋f (2)≥2f (1)．故应选C.二、填空题7．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．【答案】 (－∞，－1)【解析】 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12， ∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)．8．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________．【答案】 a ≥1【解析】 由已知a ＞1＋ln x x在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x 2＜0 (x ＞1)， ∴g (x )＝1＋ln x x在区间(1，＋∞)内单调递减， ∴g (x )＜g (1)，∵g (1)＝1，∴1＋ln x x＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1.三、解答题9．求证：方程x －12sin x ＝0只有一个根x ＝0. 【解析】设f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)， 则f ′(x )＝1－12cos x ＞0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．而当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －12sin x ＝0有唯一的根x ＝0. 10．设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．【解析】 (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2， f ′(x )＝e x －1＋xe x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1]，上单调递减．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时g (x )≥0，即f (x )≥0.当a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时g (x )<0，即f (x )<0.综合得a 的取值范围为(－∞，1]．。
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第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数
A 级 基础巩固
一、选择题
1．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R)有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a <－1e
D ．a >－1
e
解析：因为y ＝e x ＋ax ，所以y ′＝e x ＋a .令y ′＝e x ＋a ＝0，则e x ＝－a ，所以x ＝ln(－a )．
又因为x >0，所以－a >1，即a <－1. 答案：A
2．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( ) A ．－e B ．－1 C ．1－e
D ．0
解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1
x －1.令f ′(x )＝0，得
x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.
答案：B
3．设函数f (x )＝2
x ＋ln x ，则( )
A ．x ＝1
2为f (x )的极大值点
B ．x ＝1
2为f (x )的极小值点
C ．x ＝2为f (x )的极大值点
D ．x ＝2为f (x )的极小值点
解析：由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－2x ＝0可得x ＝2.当0<x <2时，
f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点．
答案：D
4．若函数f (x )＝ax －ln x 在x ＝2
2处取得极值，则实数a 的值为
( )
A. 2
B.22 C ．2
D.12
解析：f ′(x )＝a －1x ，因为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝0，即a －1
2
2
＝0，解得a ＝ 2.
答案：A
5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1，1)内，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0，2]
B ．(0，2)
C ．[3，2)
D ．(3，2) 解析：由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因
为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪
⎧Δ＝（2a ）2－4×3×1>0，
－1<－2a
6<1，
f ′（－1）＝3－2a ＋1>0，f ′（1）＝3＋2a ＋1>0，
又a >0，解得3<a <2.故选D.
答案：D 二、填空题
6．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2上的极大值点为________．
解析：f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0得x ＝π
6.
当0＜x ＜π
6时，f ′(x )＞0；
当π6＜x ＜π
2时，f ′(x )＜0. 所以当x ＝π
6时，f (x )有极大值．
答案：π
6
7．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 解析：由f (x )＝x 3－3x 2＋1， 得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．
当x ∈(0，2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；
当x ∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数． 故当x ＝2时，函数f (x )取得极小值．
答案：2
8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既无极大值又无极小值，则实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
因为函数f(x)既有无大值又有无小值，
所以Δ＝36a2－36(a＋2)≤0，
即a2－a－2≤0，
解得－1≤a≤2.
答案：[－1，2]
三、解答题
9．求下列函数的极值；
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝
2x
x2＋1
－2.
解：(1)函数f(x)的定义域为R，
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
↗↘↗
从表中可以看出，当x ＝－2时，函数取得极大值， 且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
当x ＝2时，函数f (x )取得极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)f ′(x )＝2（x 2＋1）－2x ·2x （x 2＋1）2＝2（1－x 2）
（x 2＋1）2
， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－1， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： ↘
↗
↘
当x ＝－1时，f (x )取得极小值，并且f (－1)＝－2
1＋1－2＝－3；
当x ＝1时，f (x )取得极大值，并且f (1)＝2
1＋1－2＝－1.
10．若函数f (x )＝ax 3－bx ＋2，当x ＝1时，函数f (x )取极值0. (1)求函数f (x )的解析式；
(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围． 解：(1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .
所以⎩⎨⎧f （1）＝0，f ′（1）＝0，⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.
故所求的函数解析式为f (x )＝x 3－3x ＋2.
(2)由(1)可知f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
↗↘↗因此，当x＝－1时，f(x)有极大值4，
当x＝1时，f(x)有极小值0，
故实数k的取值范围为(0，4)．
B级能力提升
1．函数f(x)＝1
3x
3－
1
2(2b＋1)x
2＋b(b＋1)x在(0，2)内有极小值，则
()
A．0＜b＜1 B．0＜b＜2
C．－1＜b＜1 D．－1＜b＜2
解析：f′(x)＝x2－(2b＋1)x＋b(b＋1)＝(x－b)[x－(b＋1)]，令f′(x)＝0，则x＝b或x＝b＋1，x＝b＋1是极小值点，所以0＜b＋1＜2，得－1＜b＜1.
答案：C
2．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________(填
序号)．
①当x ＝3
2时，函数取得极小值；
②f (x )有两个极值点；
③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．
解析：由题可知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点，分别为1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数值取得极大值．只有①不正确．
答案：①
3．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.
(1)求a ，b 的值；
(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.
由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.
(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，
f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝
⎛⎭
⎪⎫e x －12.
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)或x∈(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝
4(1－e－2)．。