关于古典概型的计算(摸球问题)

关于古典概率的计算（抽签问题）

1. 两种抽样方法

在古典概率的计算中，将涉及到两种不同的抽取方法，我们以例子来说明：设袋内装有n 个不同的球，现从中依次摸球，每次摸一只，就产生两种摸球的方法。

（1） 每次摸出一只后，仍放回原袋中，然后再摸下一只，这种摸球的方法称为有放

回的抽样。显然，对于有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限

地进行下去。

（2） 每次摸出一球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称

为无放回的抽样。显然，对于无放回的抽样，依次摸出的球不出现重复，且摸

球只能进行有限次。

2. 计算古典概型的基本原则

初学者往往对于一些古典概率的计算望而生畏，究其原因，大都是没有掌握好计算古典概率的基本原则。拿到一个问题，首先应该分清问题是否与顺序有关？元素是否允许重复？如问题与顺序有关，元素不允许重复，那么应考虑用排列的工具，如此等等，计算

当然，我们并不排除对于某些问题用特殊的方法去解决。

3．例1 （抽签问题）袋中有a 根红签，b 根白签，它们除颜色不同外，其它方面没有差别，

现有a+b 个人依次无放回的去抽签，求第k 个人抽到红签的概率。

解：这是一个古典概型问题，问题相当于把一根一根抽出来，求第k 次抽到红签的概率。如

考虑把签一一抽

排成一列，问题与顺序有关，是一个排列问题，就产生以下几种解法：

记A k =“第k 个人抽到一根红签”。

（1） 把a 根红签和b 根白签看作是不同的（例如设想把它们编号），若把抽出的

签依次排成一列，则每个排列就是试验的一个基本事件，基本事件总数就

等于a+b 根不同签的所有全排列的总数为（a+b ）！

事件A k 包含的基本事件的特点是：在第k 个位置上排列的一定是红签，有

a 种排法；在其它a+b-1个位置上的签的排列种数为（a+b-1）！，所以A k 包

含的基本事件数为a.（a+b-1）！，所求概率为：

P A k =a . a +b−1 ！

a +

b ！=a

a +

b （1≤k ≤a +b ）

（2） 把a 根红签、b 根白签均看作是没有区别的，仍把抽出的签依次排列成一

列，这是一个含有相同元素的全排列，每一个这样的全排列就是一个基本

事件，基本事件总数就等于（a+b ）根含有相同签的全排列总数为 a +b ！

a ！.

b ！。

事件A k 可看成在第k 个位置上放红签，只有一种放法，在其余的a+b-1个

位置上放余下的a+b-1根签，其中a-1根是没有区别的红签，b 根是没有区

别的白签，共有 a +b−1 ！ a−1 ！b ！种放法，所以A k 包含的基本事件数为 a +b−1 ！ a−1 ！b ！，

a+b−1!

a−1!b! a+b! a!b!=a

a+b

1≤k≤a+b。

所求概率为：P A k=