用复变函数处理静电场问题

(Ey Ex ) 0 x y
上式表示沿闭曲线C所作的功，确定单值函数：
z
(x, y) z0 Exdx Eydy
(4)
(x, y) 称为电场的势函数，其等值线(x, y) =b（常数）叫 电势线。
由(1)(3)得 Ex (Ey ) x y
Ex (Ey ) (5)
z 2kdz 2ki ln z c
(9)
z0
z z0
为了方便,上式中取常数c=0.这不影响电场强度E 所以
(z) Re f (z) 2k arg z
为力函数. arg z a（常数）表示电力线(虚线).
(z) Im f (z) 2k ln z
为势函数.| z | b 表示等势线（实线）.（如右图所示）

势.

分析如下:
库伦定理知，点电荷q在相距其r处产生的电场:
1q
E 4 r 2
则本题中
1 dh
| dE |
4 (r2 h2 )
其中λ是点电荷的线密度，dh是直线上的长度微元，是真空介电
常数
所以， |dE|在z平面的投影为 k cos dh (r2 h2)
推出
在的点 z1z2 电荷的电量为q, q ，则由这两异性的点电荷所 形成的复势为：
w f (z) 2kiqLn z ia z ia
而力函数 (z) 2kq arg z ia
z ia
，当 arg z ia a z ia
( a 为常数)，电力线是经过 z1, z2 的圆周
平面，设D是电场中的一大单连通区域，如果D内每一点电场强
度 E Ex iEy
的散度：divE Ex Ey 0
(1)
x y
以C表示一光滑曲线，Ω是D所围的有界区域， 且 D ，
由格林公式： Q
c Eydx Exdy
(Ex Ey ) 0 x y
y
x
满足C-R方程，故 E Ex iEy 是D内的全纯函数
同理，复势 f (z) (z) i(z) 是D内的全纯函数
且知 f (z)与E满足如下关系:
f
'(z)


x
i

x

Ey
iEx

iE(z)
(6)
应当指出:在多连同区域内,复势可能是一个多值函数,对于 此区域内任意一条光滑曲线C,有
一、引言
（1）在电磁学中，我们对电场的问题总是在一个 三维的空间进行讨论，而电场中诸多的对称性让 我们想到在一个剖切面进行考虑问题
(2)复变函数有时在平面解决问题的一个很好的工 具。本文正是把电场中的问题变换成复变函数模 型，进而进行分析。
二、把静电场中的一些问 题化为复变函数模型
对于一般的平面静电场，我们选取一个有代表性的平面作为z
根据电路的叠加原理,上述电荷所组成的电场的
电场强度为:
E
n
Ej
j 1

n 2kq j j1 z z j
n
n
复势为： w f (z) f j (z) 2ki qj ln(z z j )
j 1
j 1
特别地,当 z1 ia(a 0) ，z2 z1 ia, （即电偶极子），且
这与电场的环路定理和高斯定理相吻合.
(二)在Z平面的点 z1, z2 ..…zn,处分别有电量为 q1, q2 ……qn 的点电荷.求这些点电荷所形成的电场的电场强度和
复势.
分析如下:由上计算知
Ej

2kq j z zj
,
j
1, 2......, n
f j (z) 2kq ji ln(z z j ), j 1, 2......, n
以C表示一原点为中心的一个圆周,则由(7)式得


iQ

c
E ( z )dz
c
2k dz
z
令E rei，则
iQ
2 0
2k
rei
rei
i
d

4ki


i
即
iQ

i
易知: 0, Q

因此,该点电荷C的环量为0,沿C的电通量为
| E |

k

cos



(r
2

h2
)dh

2k
r
由于E的方向与z相同，其单位向量为 复变函数的表示为:
|
z z
|
所以电场强度E的初等
E

2k
r

|
z z
|

2k z
| z |2

2k
z
---------(8)
而根据(6)复势为：
f (z) i
z
E(z)dz i
又势函数
(z)

2qLn
|
z z
z1 z2
|
，当
|
z z
z1 z2
||
z z
ia ia
|
b,
（b为常数），等势线是以 z1, z2 为对称的 Appolonius 圆周.
（见下图）
四.用复变的方法处理静电 场的具体问题---平行板电
容器所形成的电场.
考虑在平行板电容器内部,而不是两端附近的静电场, 那么可以近似的把电场看成是均匀的.在两端附近是 不均匀的.但我们考虑一端附近的静电场,可以忽略另 一端的影响,那么可以把平行板电容器表示成两个半 平面的形状,下图就是垂直与一平行板的剖面图.以表 示平行板间的距离2h,又设它们的电势分别为 b(b 0).
iQ
c (Ex iEy )(dx idy)
E(z)dz
c
(7)
其中Г Q分别是平面静电场沿C的所做的功与电通量.
三、简单初等函数表示平 面静电场的几个例子
（一）考虑一足够长(可以看成无限长)的均 匀带电直线所产生的电场,以λ表电荷的线密 度,任取垂直于的一个平面为平面,且原点在 平面上,现来求此平面静电场的电场强度和复
上式表示沿闭曲线C的电通量，确定单值dy
(2)
(x, y) 称为电场的力函数，等值线(x, y) =a（常数）叫电力线。
电场的旋度 ： rotE Ey Ex 0
(3)
x y
类似有：

c Exdx Eydy
因此,要求出此平面静电场的复势 w f (z) ,只有解如下边值 问题.即上图中所示区域内的解析函数,使它满足边界条件：
(z)