基于数学史的平均数_中位数和众数的理解_吴骏
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数学通报 2013年 第52卷 第11期
基 于 数 学 史 的 平 均 数 、中 位 数 和 众 数 的 理 解 ①
吴 骏 黄青云
(曲 靖 师 范 学 院 数 学 与 信 息 科 学 学 院 655011)(云 南 省 曲 靖 市 麒 麟 区 第 一 中 学 655000)
部分,增 益 这 个 分 数 所 少 的 部 分,即 所 谓 的 “移 多
在这个例子中,尽 管 我 们 不 能 确 定 Rtuparna 如何选择细枝,但 可 以 猜 想 他 可 能 选 择 了 一 条 平 均 大 小 的 细 枝 ,由 此 得 到 了 恰 当 的 估 计 .平 均 大 小 的细枝具有代 表 性,这 可 能 是 算 术 平 均 数 的 直 觉 使 用 ,因 为 所 选 的 细 枝 代 表 了 其 余 的 所 有 细 枝 ,其 数 量 处 于 “中 间 ”位 置 ,应 该 不 是 太 多 ,也 不 可 能 太
算术平均数的 前 概 念 可 能 是 中 点 值,即 两 个 极端值的算术平均数.中点值在9世纪至11 世纪 阿 拉 伯 人 的 天 文 、冶 金 和 航 海 中 有 广 泛 的 应 用 .托 勒密(Ptolemy,100-170)在 《天 文 学 大 成 》中 指 出:取最大 值 和 最 小 值 的 平 均 数 是 一 条 法 则 . [4] 这样做的目的 是 为 了 降 低 观 察 值 的 误 差,使 所 得 的结果介于最 大 值 和 最 小 值 之 间.一 个 雅 典 指 挥 官 Thucydides,在《伯罗奔 尼 撒 人 战 争 的 历 史》一 书讲述了利用中点值估计船员人数的问题:
平 均 数 是 统 计 学 中 的 重 要 概 念 .陈 希 孺 指 出 , 如 果 我 们 从 理 论 的 角 度 走 一 点 极 端 ,则 可 以 说 ,一 部数理统计学 的 历 史,就 是 从 纵 横 两 个 方 向 对 算 术平均数进行不断深入研究的历史[1].实 际 上,描 述一组数据的 平 均 水 平,除 了 应 用 较 为 广 泛 的 平 均 数 外 ,还 有 中 位 数 和 众 数 ,这 三 个 概 念 各 有 优 缺 点 ,存 在 不 同 的 适 用 范 围 .对 于 统 计 概 念 的 学 习 而 言 ,重 要 的 不 是 统 计 量 的 计 算 ,而 是 对 其 意 义 的 理 解.那么,统 计 概 念 的 理 解 到 底 体 现 在 哪 些 方 面 呢?纵观这三个 概 念 的 历 史 起 源,这 无 疑 为 我 们 开启了一扇新 的 窗 口.本 文 从 数 学 史 视 角 来 探 讨 对 平 均 数 、中 位 数 和 众 数 的 理 解 ,以 期 能 对 中 学 统 计教学有所裨益. 1 利 用 平 均 数 估 计 大 数
在 历 史 上 ,平 均 数 最 早 是 用 来 估 计 大 数 的 .公 元4 世 纪,在 古 印 度 有 一 个 估 计 果 树 上 树 叶 和 果 实数目的故事:
一棵枝 叶 茂 盛 的 大 树 长 有 两 条 大 的 树 枝, Rtuparna需要估 计 这 两 条 树 枝 上 树 叶 和 果 实 的 数目.他首先估 计 了 根 部 的 一 条 细 枝 上 树 叶 和 果 实 的 数 目 ,然 后 乘 以 树 枝 上 所 有 细 枝 的 数 目 ,得 到 估计值为 2095.经 过 一 夜 的 计 数,证 明 Rtuparna 的 估 计 十 分 接 近 实 际 的 数 目 [2- 3].
Homer给出了船的 数 目 是 1200 条,并 指 出, 两种不同 的 船 分 别 有 120 名 和 50 名 船 员.我 猜 想,他的意思是 表 明 了 各 种 船 中 容 纳 船 员 的 最 大 数目是120人,最 小 数 目 是 50 人,因 此 可 以 取 最 大和最小数目 的 平 均 数,作 为 每 条 船 上 船 员 的 平 均 人 数 ,再 乘 以 船 只 的 数 量 ,以 此 估 算 出 全 体 船 员 的人数 . [5]
多个观测值的 平 均 数 是 行 之 有 效 的,如 在 估 计 行
星的位置和月 球 的 直 径 时,平 均 数 能 把 误 差 降 低
到一个相对较小的程度. 从现代的观点 来 看,中 点 值 不 是 一 个 很 有 用
的 平 均 数 ,因 为 它 对 极 端 值 太 敏 感 .学 生 在 开 始 学 习平均数时,可 能 会 把 中 点 值 的 计 算 作 为 求 平 均
数估计问题作 为 学 生 的 认 知 起 点,通 过 教 学 活 动 让学生再现这 种 方 法,以 培 养 他 们 对 平 均 数 的 直 觉能力.教师只 有 在 学 生 已 经 发 展 了 代 表 性 的 思 想 之 后 ,才 教 给 他 们 平 均 数 的 计 算 方 法 ,而 不 是 让 学生掌握了平 均 数 的 计 算 公 式 以 后,再 来 理 解 平 均数的代表性. 2 中 点 值 是 算 术 平 均 数 的 前 概 念
明了其结论.他 假 定 在 一 次 天 文 测 量 中 以 秒 来 度 量的误差只能取0,± 1,± 2,±3,± 4,± 5 这11个 值,取 这 些 值 的 概 率 则 以 在 0 处 最 大,然
后在两边按比例下降,直到± 6处为0,即 P{x=i}= (6-|i|)r,i=0,±1,± 2,…,
少 ,否 则 所 得 总 数 将 会 变 得 太 大 或 太 小 .用 现 代 术 语来说,选择枝条的一个 代 表 值a,再 乘 以 枝 条 的
∑ 数目n,得到总数n×a = xi,其 中 xi 是 枝 条
上的树叶和果实数. 这 个 例 子 启 发 我 们 ,在 教 学 设 计 时 ,应 该 把 大
① 基金项目:云南省教育厅科学研究基金“数学史融入中学统计概念教学的理论与实践”(编号:2012Y411)
2013年 第52卷 第11期 数学通报
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直到16世纪,算术平均数才被推广到n 个数
∑ 的 情 形 :a
=
1 n
xi.1585 年,Stevin 发 明 的 小
数 为 这 种 计 算 提 供 了 便 利 .在 当 时 ,天 文 学 家 计 算
作 为 这 个 区 间 人 数 的 估 计 值 ,称 为 组 中 值 ,这 样 就
解决了公共汽车在该区间的平均载客量问题.
3 重 复 测 量 取 平 均 数 可 以 减 小 误 差 对观测数据取平均数以减小误差这种方法在
天文学中得到 了 发 展.16 世 纪 末 期,第 谷 (Tycho Brahe,1546-1601)把 对 一 个 对 象 重 复 观 察 以 及
益三分之 一,而 各 平 于 十 二 分 之 七.又 有 二 分 之 一,三分之二,四 分 之 三.问:减 多 益 少,各 几 何 而 平 ? 答 曰 :减 三 分 之 二 者 一 ,四 分 之 三 者 四 ,并 ,以 益二分之一,而各平于三十六分之二十三 . [8]
该题采用平分 法 来 求 解.平 分 指 当 各 个 分 数 参 差 不 齐 时 ,为 使 它 们 齐 等 ,可 减 那 个 分 数 所 多 的
±5.其 中r=316. 根据 所 给 的 分 布,可 算 得 单 个 误 差 不 超 过 1
秒的 概 率 为1366=0.444,不 超 过 2 秒 的 是2346= 0.667.为比较起见,他 又 计 算 出 6 个 误 差 的 平 均 数不超过1 秒 的 概 率 是 0.725,不 超 过 2 秒 的 是 0.967.可 见 ,平 均 数 的 估 计 优 于 单 个 值 .这 个 结 果 可视为第一次 在 一 个 特 定 情 况 下,严 格 从 概 率 角 度证明了算术平均数的优良性 . [1]
在 希 腊 几 何 中 ,数 的 大 小 用 线 段 来 表 示 .如 图 1,最长的线段长度为10,最短的线段长度为 2,中 间 线 段 的 长 度 为 6.亚 里 斯 多 德 (Aristotle,384- 322BC)给出了平均数的 几 何 定 义:a 和c 中 间 的 数b 称为算 术 平 均 数,当 且 仅 当b-a=c-b.他 说,平均数的数量既不能 太 多 也 不 能 太 少.在 图 1 中,中间的线段 不 太 长,也 不 太 短,正 好 补 偿 了 其 余两条线段的过长和过 短,而 且 10-6=6-2,因 此,6是10和 2 这 两 个 数 的 平 均 数.数 的 线 段 表 征直观地显示 了 平 均 数 介 于 两 个 极 值 之 间,是 利 用补偿策略求平均数的脚手架.
把观察数据分组的技 巧 引 人 到 天 文 学 中.1582 年 至 1588 年 ,他 对 某 一 天 文 量 进 行 重 复 观 测 得 到 一 组观 察 值.他 先 从 1582 年 的 观 察 值 中,挑 选 了 3 个数据;其把 1582 至 1588 年 的 24 个 数 据,两 个 数据组成 一 组,求 出 平 均 数,得 到 12 个 数 据;最 后 ,第 谷 求 出 这 15 个 数 据 的 平 均 数 作 为 真 实 值 的 估计值[6].由 此 可 知,第 谷 使 用 算 术 平 均 数 来 消
1809 年 ,高 斯 (C.F.Gauss,1777-1855)在 其数学和 天 体 力 学 的 名 著 《天 体 运 动 理 论 》中 指 出 :如 果 在 相 同 的 条 件 下 并 具 有 同 样 的 认 真 程 度 , 任何一个对象 通 过 几 次 直 接 的 观 测 而 确 定,那 么 观测值的算术 平 均 数 提 供 了 最 可 能 的 取 值,即 使 不 是 太 严 格 ,但 至 少 十 分 接 近 ,使 得 它 总 是 一 个 最 安全的取值 . [4]
图 1 希 腊 几 何 中 数 的 线 段 表 征
我国《九章算 术》方 田 章 第 6 题:今 有 三 分 之
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数学通报 2013年 第52卷 第11期
一,三分之二,四 分 之 三.问:减 多 益 少,各 几 何 而 平 ? 答 曰 :减 四 分 之 三 者 二 ,三 分 之 二 者 一 ,并 ,以
那个“谨慎的观 测来自百度文库所 得 的 值,认 为 这 比 平 均 数 可
靠 .辛 普 森 试 图 证 明 ,若 以 观 测 值 的 平 均 数 估 计 真 值 ,误 差 将 比 单 个 观 测 值 要 小 ,且 随 着 观 测 次 数 的
增加而减小.辛 普 森 对 一 种 极 特 殊 的 误 差 分 布 证
除系统误差. 辛 普 森 (Thomas Simpson,1710—1761)在
1755年向皇家学会宣读的 《在 应 用 天 文 学 中 取 若 干 个 观 测 值 的 平 均 数 的 好 处 》文 章 中 指 出 ,在 天 文
学 界 ,取 算 术 平 均 的 做 法 并 没 有 为 多 数 人 所 接 受 . 当时,人们认为,当 有 多 个 观 测 值 时,应 选 择 其 中
现在,人们已 经 习 惯 于 把 高 斯 的 这 个 观 点 当 作 一 个 公 理 .在 学 生 理 解 平 均 数 的 过 程 中 ,重 复 测 量 可 能 是 一 个 有 用 的 教 学 活 动 .此 外 ,重 复 测 量 这 种方法也被广泛运用于物理和数学的其它分支 中 .反 之 ,历 史 和 物 理 也 可 以 为 引 入 平 均 数 概 念 提 供有益的帮助 . [7] 4 平 均 数 的 补 偿 性
数 的 原 始 方 法 .因 此 ,教 师 可 以 把 中 点 值 的 教 学 作 为 学 生 探 究 平 均 数 的 基 本 策 略 .例 如 ,某 公 共 汽 车 20个班次载客量的人数在 41≤x≤61范围内,由 于不知道每个 班 次 的 具 体 人 数,因 此 不 能 求 出 平
均数,也 无 法 确 定 中 位 数 和 众 数,只 能 取41+61 2
数学通报 2013年 第52卷 第11期
基 于 数 学 史 的 平 均 数 、中 位 数 和 众 数 的 理 解 ①
吴 骏 黄青云
(曲 靖 师 范 学 院 数 学 与 信 息 科 学 学 院 655011)(云 南 省 曲 靖 市 麒 麟 区 第 一 中 学 655000)
部分,增 益 这 个 分 数 所 少 的 部 分,即 所 谓 的 “移 多
在这个例子中,尽 管 我 们 不 能 确 定 Rtuparna 如何选择细枝,但 可 以 猜 想 他 可 能 选 择 了 一 条 平 均 大 小 的 细 枝 ,由 此 得 到 了 恰 当 的 估 计 .平 均 大 小 的细枝具有代 表 性,这 可 能 是 算 术 平 均 数 的 直 觉 使 用 ,因 为 所 选 的 细 枝 代 表 了 其 余 的 所 有 细 枝 ,其 数 量 处 于 “中 间 ”位 置 ,应 该 不 是 太 多 ,也 不 可 能 太
算术平均数的 前 概 念 可 能 是 中 点 值,即 两 个 极端值的算术平均数.中点值在9世纪至11 世纪 阿 拉 伯 人 的 天 文 、冶 金 和 航 海 中 有 广 泛 的 应 用 .托 勒密(Ptolemy,100-170)在 《天 文 学 大 成 》中 指 出:取最大 值 和 最 小 值 的 平 均 数 是 一 条 法 则 . [4] 这样做的目的 是 为 了 降 低 观 察 值 的 误 差,使 所 得 的结果介于最 大 值 和 最 小 值 之 间.一 个 雅 典 指 挥 官 Thucydides,在《伯罗奔 尼 撒 人 战 争 的 历 史》一 书讲述了利用中点值估计船员人数的问题:
平 均 数 是 统 计 学 中 的 重 要 概 念 .陈 希 孺 指 出 , 如 果 我 们 从 理 论 的 角 度 走 一 点 极 端 ,则 可 以 说 ,一 部数理统计学 的 历 史,就 是 从 纵 横 两 个 方 向 对 算 术平均数进行不断深入研究的历史[1].实 际 上,描 述一组数据的 平 均 水 平,除 了 应 用 较 为 广 泛 的 平 均 数 外 ,还 有 中 位 数 和 众 数 ,这 三 个 概 念 各 有 优 缺 点 ,存 在 不 同 的 适 用 范 围 .对 于 统 计 概 念 的 学 习 而 言 ,重 要 的 不 是 统 计 量 的 计 算 ,而 是 对 其 意 义 的 理 解.那么,统 计 概 念 的 理 解 到 底 体 现 在 哪 些 方 面 呢?纵观这三个 概 念 的 历 史 起 源,这 无 疑 为 我 们 开启了一扇新 的 窗 口.本 文 从 数 学 史 视 角 来 探 讨 对 平 均 数 、中 位 数 和 众 数 的 理 解 ,以 期 能 对 中 学 统 计教学有所裨益. 1 利 用 平 均 数 估 计 大 数
在 历 史 上 ,平 均 数 最 早 是 用 来 估 计 大 数 的 .公 元4 世 纪,在 古 印 度 有 一 个 估 计 果 树 上 树 叶 和 果 实数目的故事:
一棵枝 叶 茂 盛 的 大 树 长 有 两 条 大 的 树 枝, Rtuparna需要估 计 这 两 条 树 枝 上 树 叶 和 果 实 的 数目.他首先估 计 了 根 部 的 一 条 细 枝 上 树 叶 和 果 实 的 数 目 ,然 后 乘 以 树 枝 上 所 有 细 枝 的 数 目 ,得 到 估计值为 2095.经 过 一 夜 的 计 数,证 明 Rtuparna 的 估 计 十 分 接 近 实 际 的 数 目 [2- 3].
Homer给出了船的 数 目 是 1200 条,并 指 出, 两种不同 的 船 分 别 有 120 名 和 50 名 船 员.我 猜 想,他的意思是 表 明 了 各 种 船 中 容 纳 船 员 的 最 大 数目是120人,最 小 数 目 是 50 人,因 此 可 以 取 最 大和最小数目 的 平 均 数,作 为 每 条 船 上 船 员 的 平 均 人 数 ,再 乘 以 船 只 的 数 量 ,以 此 估 算 出 全 体 船 员 的人数 . [5]
多个观测值的 平 均 数 是 行 之 有 效 的,如 在 估 计 行
星的位置和月 球 的 直 径 时,平 均 数 能 把 误 差 降 低
到一个相对较小的程度. 从现代的观点 来 看,中 点 值 不 是 一 个 很 有 用
的 平 均 数 ,因 为 它 对 极 端 值 太 敏 感 .学 生 在 开 始 学 习平均数时,可 能 会 把 中 点 值 的 计 算 作 为 求 平 均
数估计问题作 为 学 生 的 认 知 起 点,通 过 教 学 活 动 让学生再现这 种 方 法,以 培 养 他 们 对 平 均 数 的 直 觉能力.教师只 有 在 学 生 已 经 发 展 了 代 表 性 的 思 想 之 后 ,才 教 给 他 们 平 均 数 的 计 算 方 法 ,而 不 是 让 学生掌握了平 均 数 的 计 算 公 式 以 后,再 来 理 解 平 均数的代表性. 2 中 点 值 是 算 术 平 均 数 的 前 概 念
明了其结论.他 假 定 在 一 次 天 文 测 量 中 以 秒 来 度 量的误差只能取0,± 1,± 2,±3,± 4,± 5 这11个 值,取 这 些 值 的 概 率 则 以 在 0 处 最 大,然
后在两边按比例下降,直到± 6处为0,即 P{x=i}= (6-|i|)r,i=0,±1,± 2,…,
少 ,否 则 所 得 总 数 将 会 变 得 太 大 或 太 小 .用 现 代 术 语来说,选择枝条的一个 代 表 值a,再 乘 以 枝 条 的
∑ 数目n,得到总数n×a = xi,其 中 xi 是 枝 条
上的树叶和果实数. 这 个 例 子 启 发 我 们 ,在 教 学 设 计 时 ,应 该 把 大
① 基金项目:云南省教育厅科学研究基金“数学史融入中学统计概念教学的理论与实践”(编号:2012Y411)
2013年 第52卷 第11期 数学通报
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直到16世纪,算术平均数才被推广到n 个数
∑ 的 情 形 :a
=
1 n
xi.1585 年,Stevin 发 明 的 小
数 为 这 种 计 算 提 供 了 便 利 .在 当 时 ,天 文 学 家 计 算
作 为 这 个 区 间 人 数 的 估 计 值 ,称 为 组 中 值 ,这 样 就
解决了公共汽车在该区间的平均载客量问题.
3 重 复 测 量 取 平 均 数 可 以 减 小 误 差 对观测数据取平均数以减小误差这种方法在
天文学中得到 了 发 展.16 世 纪 末 期,第 谷 (Tycho Brahe,1546-1601)把 对 一 个 对 象 重 复 观 察 以 及
益三分之 一,而 各 平 于 十 二 分 之 七.又 有 二 分 之 一,三分之二,四 分 之 三.问:减 多 益 少,各 几 何 而 平 ? 答 曰 :减 三 分 之 二 者 一 ,四 分 之 三 者 四 ,并 ,以 益二分之一,而各平于三十六分之二十三 . [8]
该题采用平分 法 来 求 解.平 分 指 当 各 个 分 数 参 差 不 齐 时 ,为 使 它 们 齐 等 ,可 减 那 个 分 数 所 多 的
±5.其 中r=316. 根据 所 给 的 分 布,可 算 得 单 个 误 差 不 超 过 1
秒的 概 率 为1366=0.444,不 超 过 2 秒 的 是2346= 0.667.为比较起见,他 又 计 算 出 6 个 误 差 的 平 均 数不超过1 秒 的 概 率 是 0.725,不 超 过 2 秒 的 是 0.967.可 见 ,平 均 数 的 估 计 优 于 单 个 值 .这 个 结 果 可视为第一次 在 一 个 特 定 情 况 下,严 格 从 概 率 角 度证明了算术平均数的优良性 . [1]
在 希 腊 几 何 中 ,数 的 大 小 用 线 段 来 表 示 .如 图 1,最长的线段长度为10,最短的线段长度为 2,中 间 线 段 的 长 度 为 6.亚 里 斯 多 德 (Aristotle,384- 322BC)给出了平均数的 几 何 定 义:a 和c 中 间 的 数b 称为算 术 平 均 数,当 且 仅 当b-a=c-b.他 说,平均数的数量既不能 太 多 也 不 能 太 少.在 图 1 中,中间的线段 不 太 长,也 不 太 短,正 好 补 偿 了 其 余两条线段的过长和过 短,而 且 10-6=6-2,因 此,6是10和 2 这 两 个 数 的 平 均 数.数 的 线 段 表 征直观地显示 了 平 均 数 介 于 两 个 极 值 之 间,是 利 用补偿策略求平均数的脚手架.
把观察数据分组的技 巧 引 人 到 天 文 学 中.1582 年 至 1588 年 ,他 对 某 一 天 文 量 进 行 重 复 观 测 得 到 一 组观 察 值.他 先 从 1582 年 的 观 察 值 中,挑 选 了 3 个数据;其把 1582 至 1588 年 的 24 个 数 据,两 个 数据组成 一 组,求 出 平 均 数,得 到 12 个 数 据;最 后 ,第 谷 求 出 这 15 个 数 据 的 平 均 数 作 为 真 实 值 的 估计值[6].由 此 可 知,第 谷 使 用 算 术 平 均 数 来 消
1809 年 ,高 斯 (C.F.Gauss,1777-1855)在 其数学和 天 体 力 学 的 名 著 《天 体 运 动 理 论 》中 指 出 :如 果 在 相 同 的 条 件 下 并 具 有 同 样 的 认 真 程 度 , 任何一个对象 通 过 几 次 直 接 的 观 测 而 确 定,那 么 观测值的算术 平 均 数 提 供 了 最 可 能 的 取 值,即 使 不 是 太 严 格 ,但 至 少 十 分 接 近 ,使 得 它 总 是 一 个 最 安全的取值 . [4]
图 1 希 腊 几 何 中 数 的 线 段 表 征
我国《九章算 术》方 田 章 第 6 题:今 有 三 分 之
18
数学通报 2013年 第52卷 第11期
一,三分之二,四 分 之 三.问:减 多 益 少,各 几 何 而 平 ? 答 曰 :减 四 分 之 三 者 二 ,三 分 之 二 者 一 ,并 ,以
那个“谨慎的观 测来自百度文库所 得 的 值,认 为 这 比 平 均 数 可
靠 .辛 普 森 试 图 证 明 ,若 以 观 测 值 的 平 均 数 估 计 真 值 ,误 差 将 比 单 个 观 测 值 要 小 ,且 随 着 观 测 次 数 的
增加而减小.辛 普 森 对 一 种 极 特 殊 的 误 差 分 布 证
除系统误差. 辛 普 森 (Thomas Simpson,1710—1761)在
1755年向皇家学会宣读的 《在 应 用 天 文 学 中 取 若 干 个 观 测 值 的 平 均 数 的 好 处 》文 章 中 指 出 ,在 天 文
学 界 ,取 算 术 平 均 的 做 法 并 没 有 为 多 数 人 所 接 受 . 当时,人们认为,当 有 多 个 观 测 值 时,应 选 择 其 中
现在,人们已 经 习 惯 于 把 高 斯 的 这 个 观 点 当 作 一 个 公 理 .在 学 生 理 解 平 均 数 的 过 程 中 ,重 复 测 量 可 能 是 一 个 有 用 的 教 学 活 动 .此 外 ,重 复 测 量 这 种方法也被广泛运用于物理和数学的其它分支 中 .反 之 ,历 史 和 物 理 也 可 以 为 引 入 平 均 数 概 念 提 供有益的帮助 . [7] 4 平 均 数 的 补 偿 性
数 的 原 始 方 法 .因 此 ,教 师 可 以 把 中 点 值 的 教 学 作 为 学 生 探 究 平 均 数 的 基 本 策 略 .例 如 ,某 公 共 汽 车 20个班次载客量的人数在 41≤x≤61范围内,由 于不知道每个 班 次 的 具 体 人 数,因 此 不 能 求 出 平
均数,也 无 法 确 定 中 位 数 和 众 数,只 能 取41+61 2