基于数学史的平均数_中位数和众数的理解_吴骏
42对一道数理结合题结论的否定之否定
能否无限递增趋近５、能否取遍开区间（４９，５）内
的每个值？大家可以借用几何画板来检验“正数
万方数据
２０１４年
第５３卷
第１１期
数学通报
３
４３
ｍ的取值范围是（√ｉ，５）”的正确性，如下图 所示．
最后指出，我们能够轻松愉快地顿悟并验证 到一个推广结论：如图１所示（把图中的标数３Ｎ、 ２Ｎ依次替换为ｍ。（Ｎ）、ｍ：（Ｎ）），一根轻绳穿过 两个定滑轮，两端分别挂ｍ。（Ｎ）、Ｔｎ：（Ｎ）的重物， 若在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为ｍ（Ｎ）的 重物，恰好使得系统处于平衡状态（且两端的重物 都不能卡在滑轮上），则正数ｍ的取值范围是
５吴骏，黄青云．基于数学史的平均数、中位数和众数的理解 ［Ｊ］．数学通报，２０１３，１１：１６—２１
６张奠宙．竺仕芬，林永伟．“基本数学经验”的界定与分类［Ｊ］．
数学通报．２００８，５：４—７
７
Ｄａｖｉｔｔ，Ｒ．Ｍ．Ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ ｃｈａｒａｃｔｅｒ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
接着，学生３、学生４经过摸索、试探，运用正 弦定理和射影定理，解得终步结果“正数优的取 值范围是（√５，５）”． 经过一番交流后，学生６、学生９经过探索， 认定终步结果“正数１＂１７的取值范围是［√５，５）”． 笔者特别关注期间教师的两段话：“从现实图 形看好像不行，但从理论上讲呢”；“而我们本节课 的目的是坚持数学地思考，……，老师也感觉保留 √５是正确的”．难道强调数学思考就可以轻视现实 图形的检验吗？这里，虽然“老师也感觉保留√５是 正确的”的支撑底气可能源于课前备课时所查阅 到的省编教学参考书，但字里行间的“好像”、“也 感觉”却透露出其底气不足但又不愿意怀疑权威
平均数、中位数、众数的联系和区别
一.雷同点【1 】平均数.中位数和众数这三个统计量的雷同之处重要表示在：都是来描写数据分散趋向的统计量;都可用来反应数据的一般程度;都可用来作为一组数据的代表.二.不合点它们之间的差别,重要表示在以下方面.1.界说不合平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数.中位数：将一组数据按大小次序分列,处在最中央地位的一个数叫做这组数据的中位数 .众数：在一组数据中消失次数最多的数叫做这组数据的众数.2.求法不合平均数：用所稀有据相加的总和除以数据的个数,须要盘算才得求出. 中位数：将数据按照从小到大或从大到小的次序分列,假如数据个数是奇数,则处于最中央地位的数就是这组数据的中位数;假如数据的个数是偶数,则中央两个数据的平均数是这组数据的中位数.它的求出不需或只需简略的盘算.众数：一组数据中消失次数最多的谁人数,不必盘算就可求出.3.个数不合在一组数据中,平均数和中位数都具有惟一性,但众数有时不具有惟一性.在一组数据中,可能不止一个众数,也可能没有众数.4.呈现不合平均数：是一个“虚拟”的数,是经由过程盘算得到的,它不是数据中的原始数据.中位数：是一个不完整“虚拟”的数.当一组数据有奇数个时,它就是该组数据排序后最中央的谁人数据,是这组数据中真实消失的一个数据;但在数据个数为偶数的情形下,中位数是最中央两个数据的平均数,它不一定与这组数据中的某个数据相等,此时的中位数就是一个虚拟的数.众数：是一组数据中的原数据 ,它是真实消失的.5.代表不合平均数：反应了一组数据的平均大小,经常运用来一代表数据的总体“平均程度”.中位数：像一条分界限,将数据分成前半部分和后半部分,是以用来代表一组数据的“中等程度”.众数：反应了消失次数最多的数据,用来代表一组数据的“多半程度”.这三个统计量虽反应有所不合,但都可暗示数据的分散趋向,都可作为数据一般程度的代表.6.特色不合平均数：与每一个数据都有关,个中任何数据的变动都邑响应引起平均数的变动.重要缺陷是易受极端值的影响,这里的极端值是指偏大或偏小数,当消失偏大数时,平均数将会被举高,当消失偏小数时,平均数会下降.中位数：与数据的排各地位有关,某些数据的变动对它没有影响;它是一组数据中央地位上的代表值,不受数据极端值的影响.众数：与数据消失的次数有关,着眼于对各数据消失的频率的考核,其大小只与这组数据中的部分数据有关,不受极端值的影响,其缺陷是具有不独一性,一组数据中可能会有一个众数,也可能会有多个或没有 .7.感化不合平均数：是统计中最经常运用的数据代表值,比较靠得住和稳固,因为它与每一个数据都有关,反应出来的信息最充分.平均数既可以描写一组数据本身的整体平均情形,也可以用来作为不合组数据比较的一个尺度.是以,它在生涯中运用最普遍,比方我们经常所说的平均成绩.平均身高.平均体重等.中位数：作为一组数据的代表,靠得住性比较差,因为它只运用了部分数据.但当一组数据的个体数据偏大或偏小时,用中位数来描写该组数据的分散趋向就比较合适.众数：作为一组数据的代表,靠得住性也比较差,因为它也只运用了部分数据..在一组数据中,假如个体数据有很大的变动,且某个数据消失的次数最多,此时用该数据（即众数）暗示这组数据的“分散趋向”就比较合适.。
平均数中位数和众数的意义分别是什么
平均数中位数和众数的意义分别是什么平均数、中位数和众数是用于描述一组数据特征的统计学指标。
它们各自有着不同的意义和应用场景。
平均数指的是一组数据的所有数值之和除以数据个数，用来衡量数据的集中趋势。
平均数的意义在于能够给出一个数据集中值的一个估计，它可以作为一组数据的“典型值”来描述整体情况。
举个例子，如果你想知道一个班级学生成绩的集中趋势，你可以计算学生们的平均分数。
平均数的一个局限性是它容易受到极端值的影响，所以在分析数据时需要结合其他指标一起考虑。
中位数是按照一组数据的数值大小排列后位于中间位置的数值，用来描述数据的集中趋势。
中位数的意义在于它能够忽略掉数据集中的极端值，而更聚焦于数据的“中间值”。
也就是说，当数据集存在极端值时，中位数能够更好地反映出数据的典型特征。
举个例子，如果你想知道一个城市居民的收入水平，你可以计算这个城市居民的收入中位数，它能够给出一个更接近大多数人实际收入的值。
众数是在一组数据中出现次数最多的数值，用来描述数据的分布情况。
众数的意义在于它可以告诉我们数据集中的“最常见”的数值是什么。
举个例子，如果你要研究一家公司员工的职位水平分布，你可以计算员工职位的众数，从而了解公司中职位分布最为密集的层级。
众数可以帮助我们理解数据的分布情况，同时也可以用于分析数据的趋势和模式。
总结来说，平均数、中位数和众数三者各自有着不同的意义和应用场景。
平均数用来描述数据的集中趋势，中位数用来忽略极端值更准确地反映数据的典型特征，众数用来表示最常出现的数值，描述数据的分布情况。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的统计指标来分析数据，以更好地理解和解释数据的特征。
初二上册数学第五章知识点归纳：平均数、中位数、众数
初二上册数学第五章知识点归纳：平均数、中位数、众数查字典数学网初中频道为您整理了初二上册数学第五章知识点归纳：平均数、中位数、众数，期望关心您提供多方法。
和小编一起期待学期的学习吧，加油哦!一、平均数、中位数、众数的概念1.平均数平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
2.中位数中位数是指将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于变量数列中间位置的变量值就称为中位数。
3.众数众数是一组数据中显现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个。
二、平均数、中位数、众数的区别1.平均数的大小与一组数据里的每个数均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。
2.总数着眼于对各数据显现频率的考察，其大小只与这组数据的部分数据有关，当一组数据中有许多数据多次重复显现时，其众数往往是我们关怀的一种统计量。
3.中位数仅与数据的排列有关，一样来说，部分数据的变动对中位数没有阻碍，当一组数据中个别数据变动较大时，可用中位数来描述其中集中的趋势。
要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。
在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。
三、平均数、中位数、众数的联系要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。
在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。
众数、中位数及平均数差不多上描述一组数据的集中趋势的量，其中以平均数最为重要，其应用也最为广泛。
以上确实是查字典数学网为大伙儿整理的初二上册数学第五章知识点归纳：平均数、中位数、众数，大伙儿还中意吗?期望对大伙儿有所关心!事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
众数,中位数,算术平均数的关系
众数,中位数,算术平均数的关系众数、中位数和算术平均数是常用的统计学指标，它们是描述数据特征和趋势的重要工具。
本文将全面介绍它们的概念及其之间的关系。
首先，我们先来了解一下众数。
众数是一组数据中出现次数最多的数值，即为数据集中的“常见数”。
举个例子，假设我们有一组数字：1，2，2，3，4，4，4，5。
在这组数据中，数字4出现的次数最多，因此众数为4。
众数可以帮助我们了解数据中最常见的数值，反映了数据集的集中趋势。
接下来，介绍一下中位数。
中位数是将一组数据按大小排列后，处于中间位置的数值，可用来表示数据的中间值。
如果数据个数为奇数，那么中位数就是排序后的中间数；如果数据个数为偶数，那么中位数是排序后中间两个数的平均数。
例如，对于序列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，中位数为5。
中位数的优点是不受数据分布的极端值影响，更能反映整体数据集的趋势。
最后，我们来了解一下算术平均数。
算术平均数，也称为平均值、平均数，是一组数据之和除以数据个数所得的结果。
它是描述数据集整体平均水平的指标，常用于数据的平衡性分析。
举个例子，如果我们有一组数据：1，3，5，7，9，那么它们的平均数是(1+3+5+7+9)/5=5。
算术平均数可以反映数据的总体水平，但在存在极端值或分布不均衡的情况下，它可能受到影响，不够准确。
这三个指标之间存在一定的关系。
在数据分布对称的情况下，众数、中位数和平均数一般是相等的，反映了数据集的典型特征。
然而，当数据分布存在偏斜或异常值时，它们就可能有所差异。
对于正偏态或右偏态分布的数据集，众数一般小于中位数，而中位数一般小于平均数。
对于负偏态或左偏态分布的数据集，众数一般大于中位数，而中位数一般大于平均数。
这是因为众数受到出现次数最多的数的影响，而中位数对极端值不敏感，平均数受到数据的总和影响。
综上所述，众数、中位数和算术平均数是常用的统计学指标，各自有其独特的特点和用途。
在实际应用中，我们可以根据数据集的特点和分布选择合适的指标来揭示数据的特征和趋势，进而进行科学决策和分析。
众数、中位数、平均数-高中数学知识点讲解
众数、中位数、平均数
1．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即푥=1
푛(푥
1
+푥2+⋯+푥
푛
)．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
1/ 2
（2）中位数：在样本中，有 50%的个体小于或等于中位数，也有 50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
2/ 2。
众数中位数平均数的概念
众数中位数平均数的概念
众数、中位数和平均数是统计学中常用的概念，用于描述数据
集中的集中趋势。
首先，让我们来了解一下众数。
众数是指在一个数据集中出现
次数最多的数值。
换句话说，它是数据集中的最常见的数值。
如果
一个数据集中有多个数值出现的次数相同且都是最多的，那么这个
数据集就被称为多峰分布，其中的数值就都是众数。
其次是中位数。
中位数是按照顺序排列的数据集中间的那个数，即把所有数值按照大小顺序排列，位于中间的数即为中位数。
如果
数据集中的数值个数是奇数，那么中位数就是中间那个数；如果数
据集中的数值个数是偶数，那么中位数就是中间两个数的平均数。
最后是平均数，也称为均值。
平均数是指将所有数值相加，然
后除以数值的个数所得到的值。
它是描述数据集中集中趋势的一种
常用方法。
计算平均数的公式是，将所有的数相加，然后除以数的
个数。
这三个概念在统计学和数据分析中经常被用到，它们可以帮助
我们更好地理解和描述数据集的特征。
当我们想要了解一个数据集的集中趋势时，众数、中位数和平均数都可以提供有用的信息。
同时，它们也可以帮助我们进行比较不同数据集之间的差异，以及监测数据的变化趋势。
因此，对这三个概念的理解和运用是非常重要的。
算术平均数、中位数、众数的简介及三者之间的关系
简答题：说明算术平均数、中位数、众数的优缺点及三者之间的关系（一）算术平均数、中位数和众数是统计学中常用的集中趋势度量，它们各自具有不同的优缺点，适用于不同类型的数据分布和分析目的。
以下是它们的优缺点及关系：算术平均数（Mean）：优点：易于计算，能够充分利用全部数据，对异常值不敏感。
缺点：对于包含极端值（异常值）的数据，平均数可能不太代表整体趋势。
中位数（Median）：优点：对于数据中的异常值不敏感，能够反映数据的中间位置。
缺点：需要将数据进行排序，对数据分布的形状了解较少，不能充分利用全部数据信息。
众数（Mode）：优点：易于理解和计算，可以用于分类数据，可以有多个众数。
缺点：可能不存在众数，对连续型数据不太适用，不能反映数据的分散情况。
三者之间的关系：在对称分布（例如正态分布）中，平均数、中位数和众数通常是接近的，且中位数通常等于平均数等于众数。
在偏斜分布（例如右偏或左偏分布）中，平均数受到极端值的影响，可能偏离中位数和众数。
当数据分布对称时，平均数通常是最好的集中趋势度量。
当数据分布有偏斜或包含异常值时，中位数和众数可能更能反映数据的典型特征。
综合来说，选择使用哪种集中趋势度量取决于数据的性质以及分析的目的。
通常建议同时考虑这三种度量，以更全面地了解数据的特征。
（二）算术平均数、中位数和众数是描述数据集中趋势的三种常用方法，它们各有优缺点：算术平均数：优点：算术平均数提供了一种快速、直观的了解数据集的中心位置。
它适用于大多数类型的数据，并且在数学和统计分析中非常有用，尤其是在计算方差和标准差时。
缺点：算术平均数容易受极端值的影响。
在一个数据集中，若存在极端高值或低值，算术平均数可能无法准确反映大多数数据的实际情况。
中位数：优点：中位数不受极端值的影响，因此它在存在异常值时可以更好地代表数据集的中心位置。
当数据分布不对称时，中位数是一个很好的中心趋势度量。
缺点：中位数对数据集的信息利用不如算术平均数全面，特别是在数据集很大时，中位数可能忽略了数据分布的某些特征。
基于数学史的统计概念教学研究——以平均数、中位数和众数为例
基于数学史的统计概念教学研究——以平均数、中位数和众数为例摘要：统计概念是数学中非常重要的一部分，对于学生的数学素养和综合能力的培养起着关键作用。
在教学实践中，如何引导学生正确理解和应用统计概念成为一项重要任务。
本文以平均数、中位数和众数为例，从数学史的角度出发，在教学中突出统计概念的本质和历史发展的脉络，帮助学生更好地理解和运用统计概念。
关键词：数学史；统计概念；平均数；中位数；众数一、引言统计概念是数学中的重要内容之一，也是应用广泛的数学思维工具。
在实际生活中，我们经常会遇到需要统计数据的问题，例如根据一组数据分析市场需求、评估风险，或者推断人口结构等等。
统计概念的理解和应用对于学生的综合能力和数学素养的培养具有重要意义。
在教学实践中，如何引导学生正确理解和应用统计概念是一项重要任务。
本文从数学史的角度出发，以平均数、中位数和众数为例，探究统计概念的历史渊源和本质，为教学提供有益的参考。
二、平均数的历史渊源平均数是统计学中最常用的概念之一，用来表示一组数据集中的“典型值”。
平均数的概念最早可以追溯到古代数学。
在中国，从《周髀算经》中可以看到关于平均数的记载。
例如，《周髀算经》中提到了求平均值的方法，可以计算一组数据的总和再除以数据个数得到平均值。
在古希腊数学中，数学家毕达哥拉斯也研究了平均数的性质，描述了一组数的平均数可以用该组数之和除以个数所得。
这些早期的研究为平均数的发展奠定了基础。
在现代统计学中，我们通常使用算术平均数来表示一组数据的平均值。
算术平均数是我们最常用的平均数算法，即将一组数据的和除以数据个数得到。
为了帮助学生更好地理解平均数的概念和计算方法，教师可以通过引导学生参考数学史的发展过程，进一步了解平均数的定义和用途。
例如，通过引入古代数学中的求平均方法，可以帮助学生建立对平均数的直观概念，并理解算术平均数的计算方法。
三、中位数的历史渊源中位数是统计学中另一个重要的概念，常常用于描述一组数据的“中间值”。
众数中位数算术平均数的关系
众数中位数算术平均数的关系众数、中位数和算术平均数是统计学中常用的三个概念。
它们都是用来描述一组数据集中的集中趋势的指标。
虽然它们有不同的计算方式和应用场景，但它们之间存在着一定的关系。
我们来介绍一下众数、中位数和算术平均数的定义。
众数是一组数据中出现次数最多的数值，即频次最高的数。
如果一个数据集中有多个数值的频次相同且都是最高的，那么这组数据就没有众数。
中位数是一组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数值。
如果数据集的个数是奇数，那么中位数就是唯一确定的；如果数据集的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均值。
算术平均数是一组数据的总和除以数据的个数。
它是最常用的描述数据集中集中趋势的指标，也是我们通常所说的平均值。
接下来，我们来探讨一下众数、中位数和算术平均数之间的关系。
我们可以发现，如果一个数据集中有众数，那么这个众数往往会接近于这组数据的中位数和算术平均数。
这是因为众数代表了数据集中出现频次最高的数值，它在整体数据中的位置往往会接近于中位数和算术平均数所在的位置。
如果一个数据集中没有众数，那么这组数据的中位数和算术平均数往往会接近于彼此。
这是因为如果一个数据集没有众数，说明数据中各个数值的频次相差不大，没有明显的集中趋势。
在这种情况下，中位数和算术平均数会比较接近，都可以作为数据集中集中趋势的估计。
我们还可以观察到，当数据集中存在离群值（即与其他数值相差较大的极端值）时，中位数相比于算术平均数更能反映数据的整体趋势。
这是因为中位数受极端值的影响较小，更能代表数据集中大部分数值的集中趋势。
众数、中位数和算术平均数之间存在一定的关系。
众数往往接近于中位数和算术平均数，尤其是在数据集中存在众数的情况下。
而中位数和算术平均数在数据集中没有众数的情况下会比较接近，都可以作为数据集中集中趋势的估计。
此外，中位数相比于算术平均数更能反映数据的整体趋势，尤其是在数据中存在离群值的情况下。
在实际应用中，我们可以根据具体的数据集和分析目的选择适合的集中趋势指标。
平均数、中位数、众数的联系和区别
一、相共面之阳早格格创做仄衡数、中位数战寡数那三个统计量的相共之处主要表示正在：皆是去形貌数据集结趋势的统计量；皆可用去反映数据的普遍火仄；皆可用去动做一组数据的代表.二、分歧面它们之间的辨别，主要表示正在以下圆里.1、定义分歧仄衡数：一组数据的总战除以那组数据个数所得到的商喊那组数据的仄衡数.中位数：将一组数据按大小程序排列，处正在最中间位子的一个数喊干那组数据的中位数 .寡数：正在一组数据中出现次数最多的数喊干那组数据的寡数.2、供法分歧仄衡数：用所罕见据相加的总战除以数据的个数,需要估计才得供出.中位数：将数据依照从小到大或者从大到小的程序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位子的数便是那组数据的中位数；如果数据的个数是奇数，则中间二个数据的仄衡数是那组数据的中位数.它的供出不需或者只需简朴的估计.寡数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必估计便可供出.3、个数分歧正在一组数据中，仄衡数战中位数皆具备惟一性，但是寡数奇尔不具备惟一性.正在一组数据中，大概不只一个寡数，也大概不寡数.4、浮现分歧仄衡数：是一个“假造”的数，是通过估计得到的，它不是数据中的本初数据.中位数：是一个不真足“假造”的数.当一组数据有奇数个时，它便是该组数据排序后最中间的那个数据，是那组数据中真正在存留的一个数据；但是正在数据个数为奇数的情况下，中位数是最中间二个数据的仄衡数，它纷歧定取那组数据中的某个数据相等，此时的中位数便是一个假造的数.寡数：是一组数据中的本数据，它是真正在存留的.5、代表分歧仄衡数：反映了一组数据的仄衡大小，时常使用去一代表数据的总体“仄衡火仄”.中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分战后半部分，果此用去代表一组数据的“中等火仄”.寡数：反映了出现次数最多的数据，用去代表一组数据的“普遍火仄”.那三个统计量虽反映有所分歧，但是皆可表示数据的集结趋势，皆可动做数据普遍火仄的代表.6、特性分歧仄衡数：取每一个数据皆有闭,其中所罕见据的变动皆市相映引起仄衡数的变动.主要缺面是易受极度值的效率，那里的极度值是指偏偏大或者偏偏小数，当出现偏偏大数时，仄衡数将会被抬下，当出现偏偏小数时，仄衡数会落矮.中位数：取数据的排列位子有闭，某些数据的变动对于它不效率；它是一组数据中间位子上的代表值，不受数据极度值的效率.寡数：取数据出现的次数有闭，着眼于对于各数据出现的频次的观察，其大小只取那组数据中的部分数据有闭，不受极度值的效率,其缺面是具备不唯一性，一组数据中大概会有一个寡数，也大概会有多个或者不 .7、效率分歧仄衡数：是统计中最时常使用的数据代表值，比较稳当战宁静，果为它取每一个数据皆有闭，反映出去的疑息最充分.仄衡数既不妨形貌一组数据自己的真足仄衡情况，也不妨用去动做分歧组数据比较的一个尺度.果此，它正在死计中应用最广大，比圆咱们时常所道的仄衡结果、仄衡身下、仄衡体沉等.中位数：动做一组数据的代表，稳当性比较好，果为它只利用了部分数据.但是当一组数据的各别数据偏偏大或者偏偏小时，用中位数去形貌该组数据的集结趋势便比较符合.寡数：动做一组数据的代表，稳当性也比较好，果为它也只利用了部分数据..正在一组数据中，如果各别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即寡数）表示那组数据的“集结趋势”便比较符合.。
平均数中位数和众数的意义分别是什么
平均数中位数和众数的意义分别是什么概况来说，这些都是样本的统计量，那么其用途自然也是来描述样本的性质，所以这些统计量的区别也自然在于描述一组样本不同的性质，下面分别来说。
1.平均数首先平均数是一组【常规】样本【大概率上】最有代表性的统计量，比如你上学时想知道哪个班级的学生成绩更好些，工作时想知道哪个行业薪水更高点，你会问分数、工资的平均数是多少，以此来反映样本的整体情况。
这种直观的感觉也同样可以在数学上证明，平均数是MSE最小的统计量，换言之在用一维统计值（一个数字）描述一组样本时，平均数就是最能够反应整体情况的了。
但注意，前边用到【常规】【大概率上】这些字眼，原因在于根据样本的特殊情况，有时候平均数并不能反映出样本的真实特征来。
以平均工资举例，经常有很多人吐槽自己的工资被“平均”了，其实这就是偏态分布导致平均数无法描述整体样本的情况，那么在平均数有点失灵时，我们就需要其他统计量登场了。
2.中位数中位数是一个很常见的，用来弥补平均数在偏态分布中不足之处的，有很好用的统计量。
根据平均数的计算方法我们知道，样本中任何一个数值的改变都会影响最终计算结果，那如有一个数值出现了极大的离群变化，则平均值就可能失效。
以班级平均分举例，正常情况下5名同学的分数分别为100、99、98、97、96（学霸班啊。
），则平均数为98；但这次考试有一名太过自信睡着了，分数为100、99、98、97、20，平均数瞬间变成82.8、但这能够反映该班级的实际情况吗？其实多数同学还是考了相当不错的分数的。
反观中位数的，前后均是98，相对而言能更好的反映样本情况。
因此中位数通常会在样本出现少数离群值的时候，用于提供相对尊重样本主要情况统计量。
其算法也反映了该特点，其中一个数值的变动，尤其是边界上的变动，不一定会改变该统计量的数值，所以在偏态分布时，用中位数更加具有实际意义。
例子：国家统计局发布数据，2023年城镇居民家庭人均可支配收入31790.30元，而人均可支配收入的中位数是29129.00元，说明收入就是一定程度的偏态分布，类似二八定律，因此作为普通人还是老老实实看中位数吧。
[整理]平均数、中位数和众数的概念
![[整理]平均数、中位数和众数的概念](https://img.taocdn.com/s3/m/a7947b40aaea998fcc220eaf.png)
[整理]平均数、中位数和众数的概念平均数、中位数和众数的概念一、相同点平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在:都是来描述数据集中趋势的统计量;都可用来反映数据的一般水平;都可用来作为一组数据的代表。
二、不同点它们之间的区别，主要表现在以下方面。
1、定义不同平均数:一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。
中位数:将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数。
众数:在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。
2、求法不同平均数:用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。
中位数:将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。
它的求出不需或只需简单的计算。
众数:一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。
3、个数不同在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。
在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。
4、代表不同平均数:反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”。
中位数:像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”。
众数:反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。
这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。
5、特点不同平均数:与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。
主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。
基于数学史的统计概念教学研究——以平均数、中位数和众数为例
基于数学史的统计概念教学研究——以平均数、中位数和众数为例基于数学史的统计概念教学研究——以平均数、中位数和众数为例摘要：本文基于数学史的视角，通过分析平均数、中位数和众数在数学发展中的演化过程，探讨了它们的统计学意义和教学方法。
通过历史故事的讲解、实际数据的分析和数学推理的引导等方式，提供了一种全新的教学方法，旨在帮助学生更好地理解和运用这些统计概念。
关键词：数学史、统计概念、教学方法、平均数、中位数、众数一、引言统计学作为一门重要的学科，涉及到我们日常生活中各种数据的收集和分析。
而了解统计概念是学习统计学的基础，但在教学过程中，很多学生对平均数、中位数和众数等概念理解模糊，难以熟练应用。
因此，借助数学史的知识，通过深入研究这些概念的演化过程，可以更好地理解其统计学意义，并在教学中采用更有效的方法，提高学生的学习效果。
二、平均数的历史演变平均数作为最基本的统计概念之一，早在古代就有应用。
例如，在古埃及和古希腊，人们已经开始使用平均数来求解群体数据的总体特征。
古希腊数学家毕达哥拉斯提出了“平均比例”的概念，这可以看作是平均数概念的最早形式之一。
而在波利比乌斯提出平均数的传统分布时，平均数的概念在数学中得到了广泛应用。
三、平均数的统计学意义平均数是一组数据的总体特征之一，代表了数据的集中趋势。
通过求平均数，我们可以得到一组数据的“典型”值，用来衡量整体数据的集中程度。
在统计学中，我们常用算术平均数，它是将所有数据相加，再除以数据的个数，从而得出平均值。
通过数学运算的推导，可以证明算术平均数具有一些重要的性质，如可加性和拉伸性，这些性质使得平均数在数据分析中具有广泛的应用。
四、中位数的历史演变中位数是另一个重要的统计概念，它在古代就引起了数学家的兴趣。
例如，在古巴比伦文明中，人们已经开始使用中位数来测量一组数据的中心位置。
中世纪欧洲的数学家也对中位数进行了研究，如希罗尼米斯·斯拉·波那提乌斯等。
基于数学史的统计概念教学研究——以平均数、中位数和众数为例
基于数学史的统计概念教学研究——以平均数、中位数和众数为例一、引言统计学作为数学的一个重要分支，涉及到许多常用的概念和方法。
在统计学的教学中，平均数、中位数和众数是最基本的统计量之一，它们不仅在实际生活中广泛应用，而且在学习统计学中也是必不可少的。
本文将以数学史为背景，探讨平均数、中位数和众数的概念及其教学方法，旨在提高学生的统计学习效果。
二、平均数平均数是统计学中最常用的统计量之一，用于描述一组数据的集中趋势。
在数学史上，平均数最早出现在古希腊时期。
柏拉图和亚里士多德在研究人口增长率时，采用平均数来表示一个群体的整体特征。
古希腊的平均数主要有算术平均数、几何平均数和调和平均数三种形式。
在教学中，可以通过历史案例引入平均数的概念，让学生了解平均数的起源和应用背景。
同时，可以通过实际的数据统计来计算平均数，帮助学生理解平均数与数据集中趋势的关系。
例如，可以使用学生的身高数据，引导学生计算班级的平均身高，并分析平均身高对于了解班级学生身高分布的作用。
三、中位数中位数也是统计学中常用的统计量之一，用于衡量一组数据的中心位置。
中位数的概念最早可以追溯到古代埃及和古希腊。
在古代埃及，中位数被广泛应用于土地测量和遗产分配。
而在古希腊，柏拉图和亚里士多德将中位数应用于分析人口增长和财富分配等问题。
在教学中，可以通过数学史的案例来引入中位数的概念。
例如，可以以古代埃及的土地测量为例，让学生思考如何利用中位数来合理分配土地资源。
同时，还可以通过实际的数据统计来计算中位数，比较中位数与平均数在数据集中位置的差异。
通过这样的教学方法，可以帮助学生深入理解中位数的概念和作用。
四、众数众数是一组数据中出现次数最多的数值。
众数的概念出现在古希腊数学中，例如柏拉图在研究人口增长时，采用众数来描述人口分布的特点。
在后来的发展中，众数的概念逐渐成熟，并在统计学中得到广泛应用。
在教学中，可以通过历史案例引入众数的概念，让学生了解众数的历史渊源和应用背景。
生活化教学模式在初中数学教学活动中的运用优势———以“平均数、中位数和众数”的教学为例
课程篇生活化教学模式在初中数学教学活动中的运用优势———以“平均数、中位数和众数”的教学为例李军（长春市晨宇希望中学）教学案例一：“平均数、中位数和众数”是华师大版八年级数学中的重要内容，其主要目的在于帮助学生明确平均数、中位数以及众数的数学定义，从而能从一组数字中快速而正确地找出该组数字的平均数、中位数及众数。
这一知识点是中考的必考基础点之一，要求学生必须对其进行灵活地掌握。
考虑到其学习的必要性及重要意义，笔者在自身的教学实践中直接将“平均数、中位数和众数”的数学定义抛给了学生，如下所示：平均数：一组数据中所有数据相加得出的和除以该组数据的个数得出的数字就是该组数据的平均数；众数：一组数据中出现次数最多的数据就叫做该组数据的众数；中位数：将一组数据按照大小顺序依次进行排列，处在最中间位置的数据便是该组数据的中位数（若是数据个数呈奇数，位于最中间的数据是该组数据的中位数；若是数据个数呈偶数，最中间两个数据的平均数就是该组数据的中位数）。
教师向学生阐述上述数学定义的过程可谓是煞费苦心，可教学效果并不甚理想。
由于直接将上述数学定义抛给了学生，学生对其采用的是死记硬背式的记忆方式，即将定义逐字逐句地进行死记硬背；可由于“平均数、中位数及众数”本身就存在一定的类似性，因此，学生上述死记硬背、囫囵吞枣式的记忆方式很容易导致对其混淆，实现正确的理解尚且存在困难，更谈不上正确地实践运用了。
针对这一情况，笔者及时调整了教学策略，即将生活化教学模式充分运用到了“平均数、中位数和众数”这节内容的教学活动之中，具体细节如下：教学案例二：在向学生讲解“平均数、中位数和众数”的数学定义时，同时利用多媒体幻灯片为学生出示了如下一组贴合学生学习情况的数学数据，如下所示：张×6295969999李×63639798100刘×4264889797并向学生讲到：上述表格中是张×、李×、刘×三名学生的5次数学考试成绩。
基于数学史的平均数_中位数和众数的理解_吴骏
多个观测值的 平 均 数 是 行 之 有 效 的，如 在 估 计 行
星的位置和月 球 的 直 径 时，平 均 数 能 把 误 差 降 低
到一个相对较小的程度． 从现代的观点 来 看，中 点 值 不 是 一 个 很 有 用
的 平 均 数 ，因 为 它 对 极 端 值 太 敏 感 ．学 生 在 开 始 学 习平均数时，可 能 会 把 中 点 值 的 计 算 作 为 求 平 均
在 希 腊 几 何 中 ，数 的 大 小 用 线 段 来 表 示 ．如 图 １，最长的线段长度为１０，最短的线段长度为 ２，中 间 线 段 的 长 度 为 ６．亚 里 斯 多 德 （Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，３８４－ ３２２ＢＣ）给出了平均数的 几 何 定 义：ａ 和ｃ 中 间 的 数ｂ 称为算 术 平 均 数，当 且 仅 当ｂ－ａ＝ｃ－ｂ．他 说，平均数的数量既不能 太 多 也 不 能 太 少．在 图 １ 中，中间的线段 不 太 长，也 不 太 短，正 好 补 偿 了 其 余两条线段的过长和过 短，而 且 １０－６＝６－２，因 此，６是１０和 ２ 这 两 个 数 的 平 均 数．数 的 线 段 表 征直观地显示 了 平 均 数 介 于 两 个 极 值 之 间，是 利 用补偿策略求平均数的脚手架．
① 基金项目：云南省教育厅科学研究基金“数学史融入中学统计概念教学的理论与实践”（编号：２０１２Ｙ４１１）
２０１３年 第５２卷 第１１期 数学通报
１７
直到１６世纪，算术平均数才被推广到ｎ 个数
∑ 的 情 形 ：ａ
＝
１ ｎ
ｘｉ．１５８５ 年，Ｓｔｅｖｉｎ 发 明 的 小
数 为 这 种 计 算 提 供 了 便 利 ．在 当 时 ，天 文 学 家 计 算
平 均 数 是 统 计 学 中 的 重 要 概 念 ．陈 希 孺 指 出 ， 如 果 我 们 从 理 论 的 角 度 走 一 点 极 端 ，则 可 以 说 ，一 部数理统计学 的 历 史，就 是 从 纵 横 两 个 方 向 对 算 术平均数进行不断深入研究的历史［１］．实 际 上，描 述一组数据的 平 均 水 平，除 了 应 用 较 为 广 泛 的 平 均 数 外 ，还 有 中 位 数 和 众 数 ，这 三 个 概 念 各 有 优 缺 点 ，存 在 不 同 的 适 用 范 围 ．对 于 统 计 概 念 的 学 习 而 言 ，重 要 的 不 是 统 计 量 的 计 算 ，而 是 对 其 意 义 的 理 解．那么，统 计 概 念 的 理 解 到 底 体 现 在 哪 些 方 面 呢？纵观这三个 概 念 的 历 史 起 源，这 无 疑 为 我 们 开启了一扇新 的 窗 口．本 文 从 数 学 史 视 角 来 探 讨 对 平 均 数 、中 位 数 和 众 数 的 理 解 ，以 期 能 对 中 学 统 计教学有所裨益． １ 利 用 平 均 数 估 计 大 数
基于数学史的中位数和众数的教学实践
基于数学史的中位数和众数的教学实践*云南省曲靖师范学院数学与信息科学学院655011吴骏云南省曲靖市麒麟区第七中学655000杜珺邱宁殷从全中位数和众数是继平均数之后，表示数据集中趋势的两个统计量．在对学生的调查中发现，当需要表示一组数据的平均水平时，学生往往认为平均数才是这组数据的代表，而忽视了对中位数和众数的选择使用．究其原因，主要是学生不了解为何要学习中位数和众数，也不知道如何运用这两个统计量，这需要从概念的历史产生过程中寻求解决问题的方案．为此，我们对中位数和众数的历史起源进行考察，设计符合学生认知发展的概念教学案例，并在八年级进行了教学实践．1教学案例的设计与实践历史现象学为学生理解中位数和众数概念提供了丰富的素材．然而，历史现象学和教学现象学却是不同的，其差异主要体现在学生缺乏相关的历史背景知识，而且他们也拥有了前人未知的一些知识，因此，在实际教学中，教师需要遵循学生的认知发展规律，把历史现象转化为教学现象，采用自然的方式呈现所教的知识［1］．1．1从“数”的角度引入中位数，激发学习动机历史现象在历史上，中位数几乎是作为平均数的代替品而出现的．1874年，费歇尔（G．T．Fechner，1801—1887）借助于天文学中行之有效的方法，使用中位数来描述社会和心理现象．埃其渥斯（F．Y．Edgeworth，1845－1926）发现平均数对极端值的敏感性，而中位数比平均数更稳健（robustness）（稳健性用于描述对极端值的不敏感性），因此选择了中位数代替平均数．这可能源于埃其渥斯对经济学的兴趣，因为经济学中大多是一些不规则的数据．现在，中位数的稳健性是使用它的主要原因．教学案例1在汶川大地震的捐款活动中，某校八年级（1）班第3小组11名同学的捐款数如下（单位：元）：1，1，2，2，3，4，1，5，8，10，80．这组数据的平均数能比较客观地反映全班同学捐款的“平均水平”吗？设计说明学生习惯于把平均数作为数据的平均水平，他们对平均数的选择使用往往优于中位数和众数．该案例的设计拟合了中位数的历史发展规律，即采用一组带有极端值的不规则数据，让学生产生认知冲突，激发论证中位数代替平均数的合理性．教学实践任课教师认为，如果先介绍中位数起源的历史，则学生自然会想到用中位数作为平均水平的代表，这就失去了激发学生学习动机的目的．因此，教学中需要先讲案例，引入中位数概念，再介绍中位数的历来起源．以下是关于该案例的一段师生对话：教师：你能求出这组数据的平均数吗？学生：能．（过了一会）平均数为10.6．教师：平均数能反映全班同学捐款的“平均水平”吗？学生：捐款超过10.6的人数只有1个，因而不能代表全班同学捐款的平均水平．教师：为什么会出现这种情况？学生：最大值和最小值差异过大，其中最大值80远远大于其余的数据，拉大了这组数据的平均水平．教师：也就是说，当数据中出现极端值时，平均数不能作为这组数据的代表，这时我们需要学习另外一个表示集中趋势的概念，即中位数．1．2从“形”的角度考察中位数，强化概念理解历史现象1882年，高尔顿（F．Galton，1822—1911）第一次使用“中位数”这个术语．与数学历史经常发生的情况一样，高尔顿在使用这个术语之前就已经知道了这个概念，但他使用其他的术语，如“最中间的值”，“中等的”等．1874年，他在一次演讲中给出了下列描述：“一个占据中间位置的物体具有这样的性质，比它多的物体的数目等于比它少的物体的数目．”［2］教学案例2如下图，数轴的上方有一些质点，每个质点的取值用数轴上的坐标来表示，如何寻找这些质点的中位数位置［3］？32中学数学杂志2014年第6期ZHONGXUESHUXUEZAZHI*基金项目：云南省教育厅科学研究基金项目———数学史融入中学统计概念教学的理论与实践（2012Y411）设计说明数据的分布是决定使用平均数和中位数的关键所在，而大多数学生还没有形成数据呈现偏态分布的意识，因此，当数据呈不规则分布时，他们容易混淆对平均数和中位数的理解．该案例改编自历史现象，要求在偏态分布中，学生能够区分平均数和中位数所处的位置．教学实践有学生错误地认为，中位数就是质点最大坐标与最小坐标的中点值，或数轴的最大值与最小值的平均数，还有学生干脆把印发材料的那张纸对折，中间那条印痕就是中位数所在的位置．通过讨论，大家澄清了各种错误认识，认为中位数所处位置应该使左右两边质点的个数相等，即在数轴上坐标34偏左一点．课后有一个学生说，可以把右边比较分散的点移到坐标34 36的上面，把左边分散的点移到坐标30 32的上面，这时质点比较集中，就容易看出中位数的位置在坐标34附近．这个想法可谓别出心裁，大大超出教师和研究者的想象．研究者对该生进行了访谈：研究者：你是如何想到移动质点这个方法的？赵同学：这些质点一个一个地数就太多了，可以把它们移动了放在一起，两边相互对称就容易找到中位数的位置了．可见，该同学寻找质点中位数位置的方法与高尔顿描述的方法具有历史相似性．教学反思在实际教学中，学生对中位数的理解比平均数更困难．（1）“献爱心”捐款活动，中位数的引入遵循历史发展顺序，学生感受到中位数存在的意义与必要．（2）设计质点中位数问题，从“形”的视角加深对中位数意义的理解．同时也发现，学生思维的活跃性不可低估．1．3讲述古代战争故事，引入众数概念相对来说，众数容易理解．第一个使用众数的例子，可能出现在雅典和斯巴达战争中发生的故事．教学案例3在公元前428年冬天，普拉铁阿人被伯罗奔尼撒人和皮奥夏人包围．不久，他们开始出现粮食短缺，处于绝望之中．由于从雅典人那里获得援助已经没有希望了，也看不到其他安全突围的方法，普拉铁阿人和被包围的一些雅典人计划弃城而去，他们打算做梯子翻过敌人的城墙．由于梯子的高度要与敌人城墙的高度一样，为此，可以数敌人城墙上砖块的层数来计算城墙的高度．在相同的时间，很多人数了砖块的层数．问：如何确定砖块的层数［2］？设计说明历史故事情节可以直接用作教学案例，提高学生的学习兴趣．在该案例的情境中，很多人去数城墙砖块的层数，也就是对砖块重复计数，出现频率最高的值就是正确的，这时已经使用了众数概念．教学实践教师神情激昂地讲故事，让学生仿佛置身于战争之中．学生讨论的氛围非常热烈，他们认为，士兵在数砖块层数时，有些可能数错了，但大多数可能得到一个真实的数目，特别是那些距离城墙不太远，能看清城墙的人多次数的结果，然后再估计出一块砖的厚度，从而计算出梯子的高度．随着战争故事的结束和课堂氛围的降温，学生知道了，众数就是一群人数一堵墙的砖块，所得数据中出现次数最多的那个数．1．4联系现实生活问题，拓展众数应用历史现象还有一个众数使用的例子，即关于选举的问题．在古希腊和意大利，选举机构已经作为一个基本形式存在很长的历史时期了．在原始的君主统治时期，往往通过一些喧闹的聚会来记录他们的观点．随着政治的发展，这些国家已经牢固建立了政府行事采纳大多数人意愿的原则．根据宪法规定，几乎每一个重要的法案都要通过正式的投票来决定．教学案例4如何表示八年级一个教室里学生鞋子的颜色？在投票表决中，当票数相对集中时，如何确定票数的代表性？众数一定是一个数字吗？设计说明当一组数据呈现明显的集中趋势时，宜采用众数作为其平均值的代表，而且众数还是测量非数字类型的统计量．本案例与人教版教材中鞋子销售问题是不同的，教材中的众数指鞋子的尺码，这里是鞋子的颜色．把众数的概念拓展到非数字类型，虽然超出了教材的要求，但由于非数字类型数据在现实生活中的普遍存在性，因此，适当拓展众数的应用范围是必要的，学生也并不难理解．实际上，美国Pearson Prentice Hall 出版社2008年出版的初中数学教材就已经指出，sad ，glad ，glad ，mad ，sad 的众数是sad 和glad．教学实践学生热烈讨论鞋子颜色问题，有些同学弯腰去看，有些站起来看，还有些跑到其他组去看，整个教室热闹非凡，课堂气氛非常活跃．讨论结束后，教师和学生发生了一段对话：教师：如何描述全班同学鞋子的颜色？学生：鞋子有各种各样的颜色，例如有红色、白色、黑色、彩色等．教师：用哪一个数作为鞋子颜色的代表？学生：为了反映大多数同学鞋子的颜色，应该采用众数作为代表．教师：今天我们选举一个临时的数学科代表，当选的依据是什么？学生：选票．教师：如何确定选举产生的科代表？42ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志2014年第6期学生：票数最多的当选．教师：用哪一个数表示票数的多少？学生：众数．教师：在描述鞋子颜色的问题中，众数是什么？学生：白色鞋子．教师：在刚才选举的例子中，众数是什么？学生：（思考之后得出）得票最多的同学．教师：那么，现在我问大家，众数一定是一个数字吗？学生：不一定．教学反思（1）以历史故事作为背景引入众数，能够吸引学生注意力，让学生参与到整个教学活动中．（2）设计学生最喜欢的电影或鞋子出现最多的颜色，是众数的一个直观应用，这种拓展是有必要的．2学生反馈2．1问卷测试为考察学生对平均数、中位数和众数的理解，在本单元教学前后对学生进行了测试，结果见表1所示．前测试题：某人花费在因特网上的时间分别为（单位：分）：50，276，57，50，62，53，72，71，63，60，22，用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他花费在因特网上的时间？说明理由．后测试题：某人11天看电视的时间分别为：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（单位：分钟），用平均数、中位数和众数中的哪一个数最能描述他看电视的时间？说明理由．表1学生选择统计量的人数统计测量中位数平均数众数无选项前测1828231后测441790从表1可以看出，教学之前，很多学生认为平均数就是数据的典型代表，因此选择平均数的人数最多．教学之后，选择中位数的人数有了大幅度上升，达到班级人数的一半以上．学生对中位数的学习感到困难，主要是他们还没有形成数据呈现偏态分布的意识．为了解学生是否真正理解中位数，对学生前后测中选择中位数的理由进行统计，发现前测中仅有6名学生给出正确理由，而在后测中却有32名学生说理正确．究其原因，笔者推测，这可能与基于数学史设计的中位数的教学案例有关．2．2个别访谈梁同学是一个学困生，在这个阶段的学习中，他积极参与小组讨论，主动回答问题，有了较大的进步．叶同学是一个优秀学生，近期表现更为突出，作业多次受到老师的表扬．为了解这两位同学产生变化的原因，在该单元教学内容结束之后，研究者对他们进行了访谈．下面是研究者对梁同学的访谈片段：研究者：老师上课的方式与以前有什么不同吗？梁同学：讨论比以前多了，一个人在那里想，只有一种思路，4个人围在那里讨论，就可以有不同的想法．研究者：在这些课中，你最喜欢哪一节课？梁同学：众数比较好学，我比较感兴趣．这一节，既讲了故事又学习了知识．由于数学历史故事吸引了梁同学，按照他说的“有兴趣就学会了”，从而提高了学习的积极性．下面是对叶同学访谈的一个片段：研究者：你认为这些历史知识有用吗？有什么用？叶同学：有用．这些历史知识能够帮助我们更好地理解这些概念．研究者：你最感兴趣的是哪一个内容？叶同学：中位数．研究者：为什么最喜欢这个内容？叶同学：老师用数形结合的形式帮助我们判断中位数的位置，小于和大于它的数各占一半（意指判断质点中位数位置的那个示意图）．从这个访谈中可以看出，利用数学史设计的教学案例加强了叶同学对统计概念的理解，特别是她能用数形结合的观点去理解中位数概念，这是一个优秀学生难能可贵的思维品质．综上，基于数学史的中位数和众数的教学案例，让学生经历了概念的自然发生过程，加强了对概念的理解，在教学实践中取得了很好的效果．参考文献［1］吴骏，黄青云．基于数学史的平均数、中位数和众数的理解［J］．数学通报，2013，52（11）：16－21．［2］Bakker，A．DesignＲesearch in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools［D］．Ph．D．thesis，TheFreudenthal Inistitute，Utrecht，2004．［3］Bakker，A．＆Koeno，P．E．An historical phenomenolo-gy of mean and median［J］．Educatioal Studies in Mathe-matics，2006，62（2）：149－168．作者简介吴骏，男，1968年生，云南宣威人，教授、教育学博士，主要从事概率统计教学、数学史与数学教育研究．发表论文30余篇．杜珺，女，曲靖市麒麟区第七中学高级教师，主要从事初中数学教学研究．邱宁，女，曲靖市麒麟区第七中学一级教师，主要从事初中数学教学研究．殷从全，男，曲靖市麒麟区第七中学高级教师，主要从事初中数学教学研究．52中学数学杂志2014年第6期ZHONGXUESHUXUEZAZHI。
高三数学众数、中位数、平均数
平均数: 一组数据的算术平均数,即
xx=
1 n (x1 x 2
xn )
练习: 在一次中学生田径运动会上，
参加男子跳高的17名运动员的成绩如下 表所示：
成绩(单 位： 米)
人数
1．50 1．60 1．65
2
3
2
1．70 3
1．75 4
1．80 1
1．85 1
1．90 1
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与 平均数
解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的 次数最多，即这组数据的众数是1.75．
上面表里的17个数据可看成是按从小到大 的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的 一个数据，即这组数据的中位数是1.70；
这组数据的平均数是
答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数 依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.
二 、 众数、中位数、平均数 与频率分布直方图的关系
1、众数在样本数据的频率分布直方图 中，就是最高矩形的中点的横坐标。
例如，在上一节调查的100位居民的月 均用水量的问题中，从这些样本数据的频 率分布直方图可以看出，月均用水量的众 数是2.25t.如图所示：
频率 组距
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
2.2.2 用样本的数字特征估计总 体的数字特征
1. 众数、中位数、平均数
一 众数、中位数、平均数的概念
众数、中位数、平均数都是描述一组 数据的集中趋势的特征数，只是描述的角 度不同，其中以平均数的应用最为广泛.
众数：在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数．
中数：将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或最中 间两个数据的平均数）叫做这组数据的 中位数．
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数估计问题作 为 学 生 的 认 知 起 点，通 过 教 学 活 动 让学生再现这 种 方 法，以 培 养 他 们 对 平 均 数 的 直 觉能力．教师只 有 在 学 生 已 经 发 展 了 代 表 性 的 思 想 之 后 ，才 教 给 他 们 平 均 数 的 计 算 方 法 ，而 不 是 让 学生掌握了平 均 数 的 计 算 公 式 以 后，再 来 理 解 平 均数的代表性． ２ 中 点 值 是 算 术 平 均 数 的 前 概 念
多个观测值的 平 均 数 是 行 之 有 效 的，如 在 估 计 行
星的位置和月 球 的 直 径 时，平 均 数 能 把 误 差 降 低
到一个相对较小的程度． 从现代的观点 来 看，中 点 值 不 是 一 个 很 有 用
的 平 均 数 ，因 为 它 对 极 端 值 太 敏 感 ．学 生 在 开 始 学 习平均数时，可 能 会 把 中 点 值 的 计 算 作 为 求 平 均
平 均 数 是 统 计 学 中 的 重 要 概 念 ．陈 希 孺 指 出 ， 如 果 我 们 从 理 论 的 角 度 走 一 点 极 端 ，则 可 以 说 ，一 部数理统计学 的 历 史，就 是 从 纵 横 两 个 方 向 对 算 术平均数进行不断深入研究的历史［１］．实 际 上，描 述一组数据的 平 均 水 平，除 了 应 用 较 为 广 泛 的 平 均 数 外 ，还 有 中 位 数 和 众 数 ，这 三 个 概 念 各 有 优 缺 点 ，存 在 不 同 的 适 用 范 围 ．对 于 统 计 概 念 的 学 习 而 言 ，重 要 的 不 是 统 计 量 的 计 算 ，而 是 对 其 意 义 的 理 解．那么，统 计 概 念 的 理 解 到 底 体 现 在 哪 些 方 面 呢？纵观这三个 概 念 的 历 史 起 源，这 无 疑 为 我 们 开启了一扇新 的 窗 口．本 文 从 数 学 史 视 角 来 探 讨 对 平 均 数 、中 位 数 和 众 数 的 理 解 ，以 期 能 对 中 学 统 计教学有所裨益． １ 利 用 平 均 数 估 计 大 数
图 １ 希 腊 几 何 中 数 的 线 段 表 征
我国《九章算 术》方 田 章 第 ６ 题：今 有 三 分 之
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数学通报 ２０１３年 第５２卷 第１１期
一，三分之二，四 分 之 三．问：减 多 益 少，各 几 何 而 平 ？ 答 曰 ：减 四 分 之 三 者 二 ，三 分 之 二 者 一 ，并 ，以
１８０９ 年 ，高 斯 （Ｃ．Ｆ．Ｇａｕｓｓ，１７７７－１８５５）在 其数学和 天 体 力 学 的 名 著 《天 体 运 动 理 论 》中 指 出 ：如 果 在 相 同 的 条 件 下 并 具 有 同 样 的 认 真 程 度 ， 任何一个对象 通 过 几 次 直 接 的 观 测 而 确 定，那 么 观测值的算术 平 均 数 提 供 了 最 可 能 的 取 值，即 使 不 是 太 严 格 ，但 至 少 十 分 接 近 ，使 得 它 总 是 一 个 最 安全的取值 ． ［４］
±５．其 中ｒ＝３１６． 根据 所 给 的 分 布，可 算 得 单 个 误 差 不 超 过 １
秒的 概 率 为１３６６＝０．４４４，不 超 过 ２ 秒 的 是２３４６＝ ０．６６７．为比较起见，他 又 计 算 出 ６ 个 误 差 的 平 均 数不超过１ 秒 的 概 率 是 ０．７２５，不 超 过 ２ 秒 的 是 ０．９６７．可 见 ，平 均 数 的 估 计 优 于 单 个 值 ．这 个 结 果 可视为第一次 在 一 个 特 定 情 况 下，严 格 从 概 率 角 度证明了算术平均数的优良性 ． ［１］
数 的 原 始 方 法 ．因 此 ，教 师 可 以 把 中 点 值 的 教 学 作 为 学 生 探 究 平 均 数 的 基 本 策 略 ．例 如 ，某 公 共 汽 车 ２０个班次载客量的人数在 ４１≤ｘ≤６１范围内，由 于不知道每个 班 次 的 具 体 人 数，因 此 不 能 求 出 平
均数，也 无 法 确 定 中 位 数 和 众 数，只 能 取４１＋６１ ２
明了其结论．他 假 定 在 一 次 天 文 测 量 中 以 秒 来 度 量的误差只能取０，± １，± ２，±３，± ４，± ５ 这１１个 值，取 这 些 值 的 概 率 则 以 在 ０ 处 最 大，然
后在两边按比例下降，直到± ６处为０，即 Ｐ｛ｘ＝ｉ｝＝ （６－｜ｉ｜）ｒ，ｉ＝０，±１，± ２，…，
在 历 史 上 ，平 均 数 最 早 是 用 来 估 计 大 数 的 ．公 元４ 世 纪，在 古 印 度 有 一 个 估 计 果 树 上 树 叶 和 果 实数目的故事：
一棵枝 叶 茂 盛 的 大 树 长 有 两 条 大 的 树 枝， Ｒｔｕｐａｒｎａ需要估 计 这 两 条 树 枝 上 树 叶 和 果 实 的 数目．他首先估 计 了 根 部 的 一 条 细 枝 上 树 叶 和 果 实 的 数 目 ，然 后 乘 以 树 枝 上 所 有 细 枝 的 数 目 ，得 到 估计值为 ２０９５．经 过 一 夜 的 计 数，证 明 Ｒｔｕｐａｒｎａ 的 估 计 十 分 接 近 实 际 的 数 目 ［２－ ３］．
① 基金项目：云南省教育厅科学研究基金“数学史融入中学统计概念教学的理论与实践”（编号：２０１２Ｙ４１１）
２０１３年 第５２卷 第１１期 数学通报
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直到１６世纪，算术平均数才被推广到ｎ 个数
∑ 的 情 形 ：ａ
＝
１ ｎ
ｘｉ．１５８５ 年，Ｓｔｅｖｉｎ 发 明 的 小
数 为 这 种 计 算 提 供 了 便 利 ．在 当 时 ，天 文 学 家 计 算
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数学通报 ２０１３年 第５２卷 第１１期
基 于 数 学 史 的 平 均 数 、中 位 数 和 众 数 的 理 解 ①
吴 骏 黄青云
（曲 靖 师 范 学 院 数 学 与 信 息 科 学 学 院 ６５５０１１）（云 南 省 曲 靖 市 麒 麟 区 第 一 中 学 ６５５０００）
把观察数据分组的技 巧 引 人 到 天 文 学 中．１５８２ 年 至 １５８８ 年 ，他 对 某 一 天 文 量 进 行 重 复 观 测 得 到 一 组观 察 值．他 先 从 １５８２ 年 的 观 察 值 中，挑 选 了 ３ 个数据；其把 １５８２ 至 １５８８ 年 的 ２４ 个 数 据，两 个 数据组成 一 组，求 出 平 均 数，得 到 １２ 个 数 据；最 后 ，第 谷 求 出 这 １５ 个 数 据 的 平 均 数 作 为 真 实 值 的 估计值［６］．由 此 可 知，第 谷 使 用 算 术 平 均 数 来 消
益三分之 一，而 各 平 于 十 二 分 之 七．又 有 二 分 之 一，三分之二，四 分 之 三．问：减 多 益 少，各 几 何 而 平 ？ 答 曰 ：减 三 分 之 二 者 一 ，四 分 之 三 者 四 ，并 ，以 益二分之一，而各平于三十六分之二十三 ． ［８］
该题采用平分 法 来 求 解．平 分 指 当 各 个 分 数 参 差 不 齐 时 ，为 使 它 们 齐 等 ，可 减 那 个 分 数 所 多 的
少 ，否 则 所 得 总 数 将 会 变 得 太 大 或 太 小 ．用 现 代 术 语来说，选择枝条的一个 代 表 值ａ，再 乘 以 枝 条 的
∑ 数目ｎ，得到总数ｎ×ａ ＝ ｘｉ，其 中 ｘｉ 是 枝 条
上的树叶和果实数． 这 个 例 子 启 发 我 们 ，在 教 学 设 计 时 ，应 该 把 大
作 为 这 个 区 间 人 数 的 估 计 值 ，称 为 组 中 值 ，这 样 就
解决了公共汽车在该区间的平均载客量问题．
３ 重 复 测 量 取 平 均 数 可 以 减 小 误 差 对观测数据取平均数以减世 纪 末 期，第 谷 （Ｔｙｃｈｏ Ｂｒａｈｅ，１５４６－１６０１）把 对 一 个 对 象 重 复 观 察 以 及
除系统误差． 辛 普 森 （Ｔｈｏｍａｓ Ｓｉｍｐｓｏｎ，１７１０—１７６１）在
１７５５年向皇家学会宣读的 《在 应 用 天 文 学 中 取 若 干 个 观 测 值 的 平 均 数 的 好 处 》文 章 中 指 出 ，在 天 文
学 界 ，取 算 术 平 均 的 做 法 并 没 有 为 多 数 人 所 接 受 ． 当时，人们认为，当 有 多 个 观 测 值 时，应 选 择 其 中
那个“谨慎的观 测”所 得 的 值，认 为 这 比 平 均 数 可
靠 ．辛 普 森 试 图 证 明 ，若 以 观 测 值 的 平 均 数 估 计 真 值 ，误 差 将 比 单 个 观 测 值 要 小 ，且 随 着 观 测 次 数 的
增加而减小．辛 普 森 对 一 种 极 特 殊 的 误 差 分 布 证
Ｈｏｍｅｒ给出了船的 数 目 是 １２００ 条，并 指 出， 两种不同 的 船 分 别 有 １２０ 名 和 ５０ 名 船 员．我 猜 想，他的意思是 表 明 了 各 种 船 中 容 纳 船 员 的 最 大 数目是１２０人，最 小 数 目 是 ５０ 人，因 此 可 以 取 最 大和最小数目 的 平 均 数，作 为 每 条 船 上 船 员 的 平 均 人 数 ，再 乘 以 船 只 的 数 量 ，以 此 估 算 出 全 体 船 员 的人数 ． ［５］
在 希 腊 几 何 中 ，数 的 大 小 用 线 段 来 表 示 ．如 图 １，最长的线段长度为１０，最短的线段长度为 ２，中 间 线 段 的 长 度 为 ６．亚 里 斯 多 德 （Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，３８４－ ３２２ＢＣ）给出了平均数的 几 何 定 义：ａ 和ｃ 中 间 的 数ｂ 称为算 术 平 均 数，当 且 仅 当ｂ－ａ＝ｃ－ｂ．他 说，平均数的数量既不能 太 多 也 不 能 太 少．在 图 １ 中，中间的线段 不 太 长，也 不 太 短，正 好 补 偿 了 其 余两条线段的过长和过 短，而 且 １０－６＝６－２，因 此，６是１０和 ２ 这 两 个 数 的 平 均 数．数 的 线 段 表 征直观地显示 了 平 均 数 介 于 两 个 极 值 之 间，是 利 用补偿策略求平均数的脚手架．