高中数学全套讲义 必修1 幂函数与函数零点 基础学生版
高中数学 幂函数、零点与函数的应用 板块二 函数的零点完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：幂函数、零点与函数的应用.板块二.函数的零点.学生版题型一：函数的零点 【例1】 若1()x f x x-=，则方程(4)f x x =的根是( ) A ．12B ．－12C ．2D ．－2【考点】函数的零点 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例2】 若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ ）.A. 1a >-B. 1a <-C. 1a >D. 1a < 【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例3】 已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 .【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 ∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤，∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得23m ≤-.所以， 实数m 的取值范围是2(,]3-∞-.点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需要逆用零点存在性定理，转化得到有关参数的不等式【答案】2(,]3-∞-【例4】 函数()23x f x =-的零点所在区间为（ ）A. （-1，0）B. （0，1）C. （1，2）D. （2，3） 【考点】函数的零点【难度】2星【题型】选择典例分析【关键词】无 【解析】 【答案】C【例5】 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.A. (1, 2)B. (2 , 3)C. (3, 4)D. (4, 5)【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数.∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，(3)ln366ln30f =+-=>.∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B.【答案】B【例6】 函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21D.(1,2)【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2009年，泉州市，高考模拟 【解析】 【答案】 C【例7】 函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为 （ ） .A ．（－1，0） B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（1，e ）【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例8】 若函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 .【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，山东文，高考【解析】 设函数(0,x y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是}1|{>a a .【答案】}1|{>a a【例9】 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）3()21f x x x =--+； （2）1()32x f x e x +=++.【考点】函数的零点 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）易知函数3()21f x x x =--+在定义域R 上是减函数.用计算器或计算机作出,()x f x 的对应值表或图象. x-3 -2 -1 0 1 2 3 ()f x 341341-2-11-32由列表或图象可知，(0)0f >，(1)0f <，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(0,1). （2）易知函数1()32x f x e x +=++在定义域R 上是增函数.用图形计算器或计算机作出图象.由图象可知，(2)0f -<，(1)0f ->，即(2)(1)0f f --<，说明函数()f x 在区间(2,1)--内有零点，且仅有一个. 所以函数()f x 的零点所在大致区间为(2,1)--.【答案】（1）(0,1)（2）(2,1)--【例10】 已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ()f x －3.51 1.022.371.56－0.38 1.232.773.454.89【考点】函数的零点 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点【例11】 画出函数3()231f x x x =-+的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数.【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】通过作出x、()f x的对应值表(如下).x-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5()f x-1.25 2 2.25 1 -0.25 0 3.25所以图象为由上表和上图可知，()f f-⋅-<，说明这个1.5101.50f->，即()()f-<，()10函数在区间()--内有零点.同样，它在区间(0，0.5)内也有零点.另外，1.5,1()10, 1.5-∞-和(1，+∞)内f x在定义域()f=，所以1也是它的零点.由于函数()是增函数，所以它共有3个零点.．【答案】共有3个零点【例12】求函数32=--+的零点，并画出它的图象.22y x x x【考点】函数的零点【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】因为322=--+=---=--+y x x x x x x x x x22(2)(2)(2)(1)(1)所以函数的零点为-1，1，23个零点把x轴分成4个区间：(-∞，-1)、(-1，1)、(1，2)、(2，+∞).在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：x-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5y-4.38 0 1.88 2 1.13 2 -0.63 0 2.63 在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.【答案】零点为-1，1，2【例13】 函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >，则()y f x =在区间[1,2]上（ ）. A. 没有零点B. 有2个零点C. 零点个数为偶数D. 零点个数为k ，k N ∈【考点】函数的零点 【难度】3星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】D【例14】 已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.【考点】函数的零点 【难度】3星【题型】填空【关键词】2009年，北京市石景山，高考一模 【解析】 【答案】①③④【例15】 若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D. ()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【考点】函数的零点 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】2009年，福建文，高考【解析】 ()41f x x =-的零点为14x =,()2(1)f x x =-的零点为1x =, ()1x f x e =-的零点为0x =, ()1ln 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为32x =.现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，因为()01g =-,112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以g(x)的零点x ∈(0,21),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A 。
高中数学人教A版必修第一册3.3幂函数课件-
4
时，
y
4
x3
是偶函数.综上，实数
m
的值是
4，
故选 A.
C 7.在同一坐标系内，函数 y xa (a 0) 和 y ax 1 的图象可能为( ) a
A.
B.
C.
D.
解析：若 a 0 ，则 y xa 在 (0, ) 上是增函数， y ax 1 在 R 上是增函数且其图象 a
与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，选项 C 可能，选项 B 不可能；若 a 0 ，则 y xa 在
所以 m 5 ，则 f (x) x5 .
（2）
f
(x)
x5
1 x5
， 要使函数有意义，则 x 0 ，
即定义域为 (,0) (0, ) ，其关于原点对称.
f
(x)
1 (x)5
1 x5
f
(x) ，
该幂函数为奇函数.
当 x 0 时，根据幂函数的性质可知 f (x) x5 在 (0, ) 上为减函数，
1 3
D.2
解析：因为函数 f (x) (m2 5m 7)xm1(m R) 是幂函数，所以 m2 5m 7 1 ，
解得 m 2 或 m 3 .当 m 2 时， f (x) x3 是奇函数，不符合题意，舍去；当 m 3 时，
f (x) x4 是偶函数，符合题意.故由 f (2a 1) f (a) 得， f ( 2a 1) f ( a ) ，又因为
A 5.如图，下列 3 个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是( )
A.①
y
x1
，②
y
1
x2
，③
y
1
x3
C.①
y
1
x3
人教A版高中数学必修一课件 《幂函数》函数的概念与性质名师优秀课件
在下列四个图形中，y＝x－12的图象大致是( ) 解析：选 D.函数 y＝x－21的定义域为(0，＋∞)，是减函数．
若 y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则 m＋n＝________．
解析：因为 y＝mxα＋(2n－4)是幂函数， 所以 m＝1，2n－4＝0，即 m＝1，n＝2，所以 m＋n＝3. 答案：3
已知幂函数 y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对 称，且在 x∈(0，＋∞)上为减函数，求满足不等式(a＋1) －m3＜ (3a－2) －m3的实数 a 的取值范围．
解：若幂函数 y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称，则为偶函 数，即 m 为奇数，又在 x∈(0，＋∞)上为减函数，因而 3m－9 ＜0，即 m＜3.又 m∈N*，从而 m＝1.故不等式(a＋1) －m3＜(3a －2) －m3可化为(a＋1) －31＜(3a－2) －13. 函数 y＝x－31的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(－∞，0)与(0， ＋∞)上均为减函数，因而 a＋1＞3a－2＞0，或 0＞a＋1＞3a－2， 或 a＋1＜0＜3a－2，解得 a 的取值范围为a|a＜－1或23＜a＜32.
B．1
1 C.2
D．0
解析：选 A.因为 f(x)＝ax2a＋1－b＋1 是幂函数，所以 a＝1，－b
＋1＝0，
即 a＝1，b＝1，所以 a＋b＝2.
幂函数的图象及应用
已知幂函数 f(x)＝xα的图象过点 P2，14，试画出 f(x)的 图象并指出该函数的定义域与单调区间．
【解】 因为 f(x)＝xα 的图象过点 P2，14， 所以 f(2)＝14，即 2α＝14， 得 α＝－2，即 f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞， 0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
高中数学人教A版必修1第二章 基本初等函数——幂函数(共14张PPT)
f(x 1 )f(x2 )x 1x2(x 1x x 2 1 )+ (x x 2 1+x2)
x1 x2 x1 + x2
方法技巧:分子有理化
因 x 1 x 2 , x 为 1 , x 2 [ 0 , + ) 所 ,x 1 x 2 以 0 ,x 1 + x 2 0 ,
所 f(x 以 1 )f(x2 )即 , 幂 f(x) 函 x在 [0 数 ,+)上 的 .
课堂小结
(1) 幂函数的定义； (2)五个基本幂函数的图像画法及特征； (3) 幂函数的性质。
作业：P79习题2.3： 1，2，3。
谢谢指导
不知道自己缺点的人，一辈子都不会想要改善。成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初她的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。成功的条件在于勇气和 信乃是由健全的思想和健康的体魄而来。成功了自己笑一辈子，不成功被人笑一辈子。成功只有一个理由，失败却有一千种理由。从胜利学得少，从失败学得多。你生而有 前进，形如蝼蚁。你一天的爱心可能带来别人一生的感谢。逆风的方向，更适合飞翔。只有承担起旅途风雨，才能最终守得住彩虹满天只有创造，才是真正的享受，只有拚 活。知识玩转财富。志不立，天下无可成之事。竹笋虽然柔嫩，但它不怕重压，敢于奋斗、敢于冒尖。阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一 爱，不必呼天抢地，只是相顾无言。最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。生活不可能像你想 不会像你想的那么糟。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。实现梦想往往是一个艰苦的坚持的 到位，立竿见影。那些成就卓越的人，几乎都在追求梦想的过程中表现出一种顽强的毅力。世界上唯一不变的字就是“变”字。事实胜于雄辩，百闻不如一见。思路决定出 细节决定成败，性格决定命运虽然你的思维相对于宇宙智慧来说只不过是汪洋中的一滴水，但这滴水却凝聚着海洋的全部财富；是质量上的一而非数量上的一；你的思维拥 所有过不去的都会过去，要对时间有耐心。人总会遇到挫折，总会有低潮，会有不被人理解的时候。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希 个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。上天完全是为了坚强你的意志，才在道 碍。拥有资源不能成功，善用资源才能成功。小成功靠自己，大成功靠团队。炫耀什么，缺少什么；掩饰什么，自卑什么。所谓正常人，只是自我防御比较好的人。真正的 防而又不受害。学习必须如蜜蜂一样，采过许多花，这才能酿出蜜来态度决定高度。外在压力增加时，就应增强内在的动力。我不是富二代，不能拼爹，但为了成功，我可 站在万人中央成为别人的光。人一辈子不长不短，走着走着，就进了坟墓，你是要轰轰烈烈地风光下葬，还是一把骨灰撒向河流山川。严于自律：不能成为自己本身之主人 他周围任何事物的主人。自律是完全拥有自己的内心并将其导向他所希望的目标的惟一正确的途径。生活对于智者永远是一首昂扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。眼泪的存 伤不是一场幻觉。要不断提高自身的能力，才能益己及他。有能力办实事才不会毕竟空谈何益。故事的结束总是满载而归，就是金榜题名。一个人失败的最大原因，是对自 的信心，甚至以为自己必将失败无疑。一个人炫耀什么，说明内心缺少什么。一个人只有在全力以赴的时候才能发挥最大的潜能。我们的能力是有限的，有很多东西飘然于 之外。过去再优美，我们不能住进去；现在再艰险，我们也要走过去！即使行动导致错误，却也带来了学习与成长；不行动则是停滞与萎缩。你的所有不甘和怨气来源于你 你可以平凡，但不能平庸。懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正勇敢的人才能所向披靡。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。平静的湖面锻炼不出精 生活打造不出生活的强者。人的生命似洪水在奔流，不遇着岛屿、暗礁，难以激起美丽的浪花人生不怕重来，就怕没有将来。人生的成败往往就在于一念之差。人生就像一 为你在看别人耍猴的时候，却不知自己也是猴子中的一员！人生如天气，可预料，但往往出乎意料。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。如果不想被打倒，只有增加 你向神求助，说明你相信神的能力；如果神没有帮助你，说明神相信你的能力。善待自己，不被别人左右，也不去左右别人，自信优雅。活是欺骗不了的，一个人要生活得 象这杯浓酒,不经三番五次的提炼呵,就不会这样一来可口！生命不止需要长度，更需要宽度。时间就像一张网，你撒在哪里，你的收获就在哪里。世上最累人的事，莫过于 你感到痛苦时，就去学习点什么吧，学习可以使我们减缓痛苦。当世界都在说放弃的时候，轻轻的告诉自己：再试一次。过错是暂时的遗憾，而错过则是永远的遗憾！很多 结果，但是不努力却什么改变也没有。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的损失，比错误更大的错误所以不要后悔。环境不会改变，解决之道在于改变自己。积 成功者的最基本要素。激情，这是鼓满船帆的风。风有时会把船帆吹断；但没有风，帆船就不能航行。即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行 粹取出来的。浪费时间等于浪费生命。老要靠别人的鼓励才去奋斗的人不算强者；有别人的鼓励还不去奋斗的人简直就是懦夫。不要问别人为你做了什么，而要问你为别人 遥远的梦想和最朴素的生活，即使明天天寒地冻，金钱没有高贵，低贱之分。金钱在高尚人的手中，就会变得高尚；金钱在庸俗人手中，就会变得低级庸俗。涓涓细流一旦 大海也就终止了��
高中数学必修一幂函数ppt课件
幂函数可以用于预测收益，例如产品的销售量与价格的关系。
05
总结与回顾
本章重点回顾
1 2 3
幂函数的定义
了解幂函数的定义以及形式，明确幂函数的定 义域和值域。
幂函数的性质
熟悉幂函数的单调性、奇偶性、周期性等性质 ，并能够根据这些性质进行简单的计算和推理 。
幂函数的应用
掌握幂函数在生活中的应用，如利用幂函数解 决实际问题、利用幂函数进行优化等。
总结词
理解幂函数的复合运算是提高数学运算能力的重要途径
详细描述
复合运算是指将多个函数或表达式结合起来，形成更复杂的函数或表达式。 在幂函数的学习中，我们需要通过理解幂函数的复合运算，掌握其运算规律 和技巧，提高我们的数学运算能力。
幂函数的指数运算
总结词
掌握幂函数的指数运算是学习高中数学的重要内容
详细描述
指数运算是一种特殊的运算方式，在幂函数的学习中占据着重要的地位。通过学 习和掌握幂函数的指数运算，我们可以更好地理解和应用幂函数，为后续学习对 数函数等其他数学内容打下坚实的基础。
04
幂函数的实际应用
利用幂函数解决实际问题
求解实际问题
幂函数可以用于求解实际问题，例如物理学中的光的强度、 电流、电压等，以及生物学中的细胞分裂等。
2023
高中数学必修一幂函数ppt 课件
目录
• 引言 • 幂函数概述 • 幂函数的运算性质 • 幂函数的实际应用 • 总结与回顾
01
引言
课程背景介绍
幂函数作为基本初等函数之一，是学习高等数学和其他数学 分支的基础。
在日常生活中，幂函数的应用也非常广泛，如计算增长率、 人口增长等。
课程目标与内容
03
高中数学必修一 《3 3 幂函数》精品说课课件
y＝x2 _R__ _[_0_，__＋__∞__) _偶__
y＝x3
1
y x2
_R__ [_0_，__＋__∞__)
_R__ _[0_，__＋__∞__)_
_奇__ __非__奇__非__偶__
y＝x－1 {_x_|_x_≠__0_} {_y_|_y_≠__0_}
2
解 y x3 3 x2 ，定义域为R，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，
故其图象如下：
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳： (1)运用待定系数法求幂函数的解析式. (2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想. 3.常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)为幂函数，其它 形式都不是幂函数.
1.以下结论正确的是 A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
√D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
12345
2.下列不等式成立的是
√
1
1 2
A. 3
跟踪训练 1 (1)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点12， 22，则 k＋α 等于
1 A.2
B.1
√3
C.2
D.2
解析 由幂函数的定义知k＝1. 又 f 12＝ 22，所以12α＝ 22， 解得 α＝12，从而 k＋α＝32.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于
高中数学 幂函数、零点与函数的应用 板块一 幂函数完整讲义(学生版) 教案
学而思高中完整讲义：幂函数、零点与函数的应用.板块一.幂函数.学生版题型一：幂函数的定义【例1】 下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 形如(01)x y a a a =>≠且的函数叫做幂函数，答案为B ． 【答案】B【例2】 11．函数y x =-32的定义域是 .【考点】幂函数的定义 【难度】1星【题型】填空【关键词】无 【解析】 【答案】(,)0+∞【例3】 如果幂函数()f x x α=的图象经过点2，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 12【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】【答案】D【例4】 幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 .【考点】幂函数的定义 【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】 【答案】24【例5】 下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x =【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例6】 下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 A 错，当0α=时函数y x α=的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B 错，如幂函数1y x -=的图象不过点（0，0）；C 错，如幂函数1y x -=在定义域上不是增函数；D 正确，当0x >时，0x α>．【答案】D【例7】 函数2221(1)m m y m m x --=--是幂函数，求m 的值.【考点】幂函数的定义 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到关于m 的等式和不等式，从而解出m 的值. ∵2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，典例分析∴函数可以写成如下形式a y x =(a 是有理数) ∴211m m --=，解得121,2m m =-= 当11m =-时，211212m m Q --=∈ 22m =时，222211m m Q --=-∈∴m 的值域为-1或2.【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a 是有理数. 【答案】-1或2【例8】 求函数1302(3)y x x x -=+--的定义域.【考点】幂函数的定义 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不为0、被开方数大于等于0.使函数有意义，则x 必须满足0030x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪-≠⎩，解得：0x >且3x ≠即函数的定义域为{|0,3}x x x >≠且.【答案】{|0,3}x x x >≠且【例9】 函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）．Ａ．12)，Ｂ．1)+，∞ Ｃ．(22)-，Ｄ．(11--+ 【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 要使函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，可转化为2420mx x m +++>对一切实数都成立，即0m >且244(2)0m m ∆=-+<．解得1m ． 故选（Ｂ）【答案】Ｂ【例10】 讨论幂函数ay x =(a 为有理数)的定义域.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)若*a N ∈，则x ∈R ，这是函数的定义域为R .(2)若a ∈{负整数} {0}，则(,0)(0,)x ∈-∞+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ (3)若na m=*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R -∈，这是函数的定义域是R -；②m 是奇数，x R ∈，这时函数的定义域为R (4)若na m=-*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R +∈，这是函数的定义域是R +；②m 是奇数，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞.【答案】(1)若*a N ∈，则x ∈R ，这是函数的定义域为R .(2)若a ∈{负整数} {0}，则(,0)(0,)x ∈-∞+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ (3)若na m=*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R -∈，这是函数的定义域是R -；②m 是奇数，x R ∈，这时函数的定义域为R(4)若na m=-*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R +∈，这是函数的定义域是R +；②m 是奇数，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞.【例11】 已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴ 6020m m -<⎧⎨-<⎩，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =.【答案】4m =【例12】 幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.【考点】幂函数的定义 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵ ()f x 是幂函数， ∴ 311t t -+=，解得1,10t =-或.当0t =时，75()f x x =是奇函数，不合题意；当1t =-时；25()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数； 当1t =时；85()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数. 所以，25()f x x =或85()f x x =.【答案】25()f x x =或85()f x x =.【例13】 已知幂函数223()()mm f x x m Z --=∈ 的图形与x 轴对称，y 轴无交点，且关于y 轴对称，试确定f x ()的解析式.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 由()22230232m m m m n n N m Z ⎧--≤⎪--∈∈⎨⎪∈⎩得113m =-，， 1m =-和3时解析式为()0f x x =，1m =是解析式为()4f x x -=【答案】()4f x x -=题型二：幂函数的性质与应用【例14】 下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）.A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 【答案】B【例15】 下列函数中既是偶函数又是(,0)-∞上是增函数的是（ ）A ．43y x = B ．32y x = C ．2y x -= D ．14y x-=【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 A 、D 中的函数为偶函数，但A 中函数在(,0)-∞为减函数． 【答案】C【例16】 942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星【题型】填空【关键词】无【解析】 【答案】5；【例17】 比较下列各组中两个值大小（1）6110.6与6110.7（2）5533(0.88)(0.89).--与 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）∵函数611y x =在(0,)+∞上是增函数且00.60.7<<<+∞∴6611110.60.7<（2）函数53y x =在(0,)+∞上增函数且89.088.00<<∵55330.880.89<∴55330.880.89->-，即5533(0.88)(0.89).-<-【答案】（1）6611110.60.7<（2）5533(0.88)(0.89).-<-【例18】 幂函数(1)knmy x-=（,,*,,m n k N m n ∈互质）图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 .【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】k m ,为奇数，n 是偶数；【例19】 求证：函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数. 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】解答【关键词】无 【解析】【答案】显然)()()(33x f x x x f -=-=-=-，奇函数；令21x x <，则))(()()(22212121323121x x x x x x x x x f x f ++-=-=-， 其中，显然021<-x x ，222121x x x x ++=2222143)21(x x x ++，由于0)21(221≥+x x ，04322≥x ，且不能同时为0，否则021==x x ，故043)21(22221>++x x x .从而0)()(21<-x f x f . 所以该函数为增函数.【例20】 设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）.A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】B【例21】 比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】>,≤, <,【例22】 （1）若0a <，比较12,(),0.22aa a 的大小；（2）若10a -<<，比较1333,,a a a 的大小．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）当0a <时，幂函数a y x =在(0,)+∞上单调减，∵10.222<<，∴12()0.22a a a <<． （2）当10a -<<时，13330,0,0a a a ><<， 指数函数()x y a =-在(0,)+∞上单调减，∵133>，∴1330()()a a <-<-，∴ 1330a a >>， ∴ 1333a a a >>【答案】（1）12()0.22aa a <<（2）1333a a a >>【例23】 函数2-=xy 在区间]2,21[上的最大值是 （ ）A ．41 B ．1-C ．4D ．4-【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 函数2y x -=在区间1[,2]2上单调减，当12x =时，max 4y =．【答案】C【例24】 函数2422-+=x x y 的单调递减区间是【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 由22240x x +-≥得：46x x ≥≤-或，∵ 函数12y t =在[0,)+∞上为增函数，函数2224t x x =+-在(,6]-∞上为减函数，故所给函数的单调减区间为(,6]-∞-．【答案】(,6]-∞-【例25】 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】C【例26】 已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性. 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=， 所以13y x =，在R 上单调递增.【答案】R 上单调递增【例27】 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】A【例28】 已知0＜a ＜1，试比较()(),,aa a a a a a a 的大小． 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 本题考查的是幂函数的单调性知识，这里三个表达式的底数和幂都分别不同，所以需要转化看待，将它们化成同类幂函数进行比较.为比较a a 与()a a a 的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数()()01a f x x a =<<在区间[0,]+∞上是增函数，因此只须比较底数a 与a a 的大小，由于指数函数x y a = (0＜a ＜1)为减函数，且1>a ，所以a a a <，从而()a a a a a <.比较a a 与()aa a 的大小，也可以将它们看成底数相同(都是a α)的两个幂，于是可以利用指数函数 (),01x a y b b a a ==<<是减函数，由于1>a ，得到a a a <. 由于a a a <，函数x y a = (0＜a ＜1)是减函数，因此()aa a a a >. 综上，()()aa a a a a a a >>【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可以顺利地获得解决..【答案】()()aa a a a a a a >>【例29】 已知1133(1)(32)a a --+<-，求a 的取值范围.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数，对于不同的a +1和3-2a 进行讨论，将它们等价转化到同一个单调区间..∵13(1)a -+和13(32)a --是幂函数13()f x x -=的两个函数值， 且13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数当10,320a a +>->时，有1320a a +>->，解得2332a <<；当10,320a a +<-<时，有3210a a -<+<，此时无解 当(1)(32)0a a +-<时，有10a +<且320a ->，解得1a <- 综上可知a 的取值范围为23(,1)(,)32-∞-⋃.【答案】23(,1)(,)32-∞-⋃.【例30】 若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围． 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （分类讨论）：（1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<；（2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，， 解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞．【答案】23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞【例31】 若33(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 （利用单调性）：由于函数3y x =在()-+，∞∞上单调递增，所以132m m +<-，解得23m <． 【答案】23m <【例32】 若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．【答案】213m -<≤【例33】 若44(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 作出幂函数4y x =的图象如图4．由图象知此函数在(0)(0)-+，，∞∞上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑4α=时，44x x =．于是有44(1)(32)m m +<-，即44132m m +<-．.又∵幂函数4y x =在(0)+，∞上单调递增，∴132m m +<-， 解得23m <，或m ＞4． 【答案】23m <，或m ＞4【例34】 已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵2()f x x =，则42()(21)1g x qx q x =-+-+．假设存在实数(0)q q <，使得()g x 满足题设条件，设12x x <，则4242121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x -=-+-+--22122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--．若(]124x x ∈--，，∞，易知120x x +<，210x x ->，要使()g x 在(]4--，∞上是减函数，则应有2212()(21)0q x x q +--<恒成立．∵14x <-，24x -≤，∴221232x x +>．而0q <， ∴2212()32q x x q +<.． 从而要使2212()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即130q -≤． 若12(40)x x ∈-，，，易知1221()()0x x x x +-<，要使()f x 在(40)-，上是增函数，则应有2212()(21)0q x x q +-->恒成立．∵140x -<<，240x -<<，∴221232x x +<，而0q <，∴2212()32q x x q +>． 要使2212()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即130q -≥． 综上可知，存在实数130q =-，使得()g x 在(]4-∞-，上是减函数，且在(40)-，上是增函数．【答案】存在，130q =-【例35】 由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为10x），涨价后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里a,b 均为正常数，且a <10，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.【考点】幂函数的性质与应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 设原定价A 元，卖出B 个，则现在定价为A(110x+)， 现在卖出个数为110bx B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，现在售货金额为111110101010x bx x bx A B AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，应交税款为11101010x bx a AB ⎛⎫⎛⎫+-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，剩余款为21111111010101010010x bx a a b b y AB AB x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=--++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以5(1)b x b -=时y 最大 要使y 最大，x 的值为5(1)b x b-=.【答案】5(1)b x b-=题型三：幂函数的图像【例36】 函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称【考点】幂函数的图像【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】D【例37】 函数43y x =的图象是（ ）【考点】幂函数的图像 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例38】 幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）.A ．101n m -<<<<B ．1,01n m <-<<C ．10,1n m -<<>D ．1,1n m <-> 【考点】幂函数的图像 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【答案】B.【例39】 【答案】如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<【考点】幂函数的图像 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】D【例40】 下图为幂函数y x α=在第一象限的图象，则1234,,,αααα按由小到大的顺序排列为 。
高中数学必修第一册人教A版《3.3幂函数》名师课件
2
1
(-1,1)
-6
-4
-2
(1,1)
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
-3 -2 -1 0
= 2 9 4 1 0
1
1
2
4
3
9
探究新知
(-2,4)
(2,4)
y=x2
4
3
y=x
2
1
(-1,1)
-6
-4
(1,1)
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
= 3
-2
-1
0
1
2
3
-27 -8
在（-∞，0]上减,
(1,1)
探究新知
(-2,4)
4
在第一象限内,函数
图象的变化趋势与
指数有什么关系?
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
(-1,1)
-4
(2,4)
y=x2
3
1
-6
y=x3
(1,1)
2
-2
-1
(-1,-1)
-2
-3
-4
y=x0
y=x-1
4
6
在第一象限内，
当α＞０时，图象随增大而上升
当α＜０时，图象随增大而下降
,∴ =
,
=
−
−
2、已知函数(ሻ = − −
解析
,
= .
−−
−或
是幂函数，则实数=_________.
高中数学 第三章函数的概念与性质幂函数讲义 新人教A版必修一第一册
3．3 幂函数最新课程标准：通过具体实例，结合y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.知识点一 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 状元随笔 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二 幂函数的图象与性质状元随笔 幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y ＝x α是增函数；当α<0时，y ＝x α是减函数．[教材解难]教材P 90思考通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题． [基础自测]1．在函数y ＝1x4，y ＝3x 2，y ＝x 2＋2x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：函数y ＝1x4＝x －4为幂函数；函数y ＝3x 2中x 2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y ＝x 2＋2x 不是y ＝x α(α是常数)的形式，所以它不是幂函数； 函数y ＝1与y ＝x 0＝1(x ≠0)不相等，所以y ＝1不是幂函数． 答案：B2．幂函数f (x )的图象过点(3，39)，则f (8)＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2解析：设幂函数f (x )＝x α(α为常数)，由函数的图象过点(3，39)，可得39＝3α，∴α＝23，则幂函数f (x )＝x 23，∴f (8)＝823＝4. 答案：C3．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3解析：∵幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)xm ＋1为偶函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.答案：A4．判断大小：0.20.2________0.30.2. 解析：因为函数y ＝x 0.2是增函数，又0.2<0.3， ∴0.20.2<0.30.2. 答案：<题型一 幂函数的概念[经典例题]例1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y ＝a x(a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)若函数y ＝(m 2＋2m －2)x m为幂函数且在第一象限为增函数，则m 的值为( ) A.1 B ．－3 C ．－1 D ．3(3)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，19，则f (4)＝_____. 【解析】 (1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．(2)因为函数y ＝(m 2＋2m －2)x m为幂函数且在第一象限为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m >0，所以m ＝1.(3)设f (x )＝x α，所以19＝3α，α＝－2，所以f (4)＝4－2＝116.【答案】 (1)B (2)A (3)116(1)依据幂函数的定义逐个判断． (2)依据幂函数的定义列方程求m.(3)先设f(x)＝x α，再将点(3，19)代入求α.方法归纳(1)幂函数的判断方法①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．(2)求幂函数解析式的依据及常用方法①依据．若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．②常用方法．设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.跟踪训练1 (1)给出下列函数：①y＝1x3；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝3x5；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝0.3x.其中是幂函数的有( )A.1个 B．2个C．3个 D．4个(2)函数f(x)＝(m2－m－1)·x23m m＋－是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个函数中，只有y＝1x3＝x－3和y＝3x5＝x53符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．(2)根据幂函数定义得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．故f(x)＝x3.答案：(1)B (2)f(x)＝x3(1)利用幂函数定义判断．(2)由幂函数的系数为1，求m的值，然后逐一验证．题型二幂函数的图象及应用[经典例题]例2 幂函数y ＝x m ，y ＝x n ，y ＝x p ，y ＝x q的图象如图，则将m ，n ，p ，q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．【解析】 过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n <0，当x >1时，在直线y ＝x 上方的α>1，下方的α<1，所以p >1，0<m <1，0<q <1；x >1时，指数越大，图象越高，所以m >q ，综上所述n <q <m <p .【答案】 n <q <m <p依据α<0,0<α<1和α>1的幂函数图象的特征判断． 方法归纳解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．跟踪训练 2 当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第__________象限．解析：幂函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 3的图象经过第一、三象限；y ＝x 12的图象经过第一象限；y ＝x 2的图象经过第一、二象限．所以幂函数y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝－1，12，1，2，3的图象不可能经过第四象限． 答案：四要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点． 题型三 幂函数的单调性质及应用[教材P 91例1] 例3 证明幂函数f (x )＝x 是增函数． 【证明】 函数的定义域是[0，＋∞)． ∀x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.因为x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，所以f (x 1)<f (x 2)，即幂函数f (x )＝x 是增函数. 利用定义法证明幂函数的单调性． 教材反思幂函数当α>0时在第一象限单调递增，当α<0时在第一象限单调递减．比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象．跟踪训练3 比较下列各题中两个幂值的大小． (1)3.11.3与2.91.3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14 32-与⎝ ⎛⎭⎪⎫1332-； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1213与⎝ ⎛⎭⎪⎫3214.解析：(1)函数y ＝x 1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3.(2)方法一 函数y ＝x32-在(0，＋∞)上为减函数，又因为14<13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1432->⎝ ⎛⎭⎪⎫1332-.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1432-＝432，⎝ ⎛⎭⎪⎫1332-＝332.而函数y ＝x 32在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以432>332，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1432->⎝ ⎛⎭⎪⎫1332-. (3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1；而⎝ ⎛⎭⎪⎫3214>⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1； 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<⎝ ⎛⎭⎪⎫3214.(1)利用函数y ＝x 1.3的单调性来判断．(2)利用函数y ＝x32-的单调性来判断．(3)找中间量判断．一、选择题1．下列结论正确的是( ) A ．幂函数图象一定过原点B ．当α<0时，幂函数y ＝x α是减函数 C ．当α>1时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．函数y ＝x 2既是二次函数，也是幂函数解析：函数y ＝x －1的图象不过原点，故A 不正确；y ＝x －1在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数，故B 不正确；函数y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故C 不正确．答案：D2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，3，12，－1，则使函数y ＝x α的定义域为R 且函数y ＝x α为奇函数的所有α的值为( )A ．－1,3B ．－1,1C ．1,3D ．－1,1,3解析：y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1是常见的五个幂函数，显然y ＝x α为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R ，所以α≠－1，故α＝1,3.答案：C3．在下列四个图形中，y ＝x12-的图象大致是( )解析：函数y ＝x 12的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.答案：D4．函数y ＝x 35在[－1,1]上是( ) A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数解析：由幂函数的性质知，当α>0时，y ＝x α在第一象限内是增函数，所以y ＝x 35在(0,1]上是增函数．设f (x )＝x 35，x ∈[－1,1]，则f (－x )＝(－x ) 35＝－x 35＝－f (x )，所以f (x )＝x 35是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以x ∈[－1,0)时，y ＝x 35也是增函数． 当x ＝0时，y ＝0，故y ＝x 35在[－1,1]上是增函数且是奇函数． 答案：A 二、填空题5．已知幂函数f (x )＝x21m － (m ∈Z )的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________．解析：∵函数的图象与x 轴，y 轴都无交点， ∴m 2－1<0，解得－1<m <1； ∵图象关于原点对称，且m ∈Z ， ∴m ＝0，∴f (x )＝x －1. 答案：f (x )＝x －16．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________． 解析：∵0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α， ∴y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. 答案：α<07．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：则不等式f (|x |)≤2解析：由表中数据知22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12， ∴f (x )＝x 12，∴|x |12≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4. 答案：{x |－4≤x ≤4} 三、解答题8．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )：(1)是幂函数； (2)是正比例函数； (3)是反比例函数； (4)是二次函数．解析：(1)∵f (x )是幂函数， 故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1. (2)若f (x )是正比例函数， 则－5m －3＝1，解得m ＝－45.此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(3)若f (x )是反比例函数， 则－5m －3＝－1，则m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(4)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2， 即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1. 9．比较下列各题中两个值的大小；(1)2.334，2.434；(2)(2)32-，(3)32-；(3)(－0.31)65，0.3565.解析：(1)∵y＝x 34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.334<2.434.(2)∵y＝x32-为(0，＋∞)上的减函数，且2<3，∴(2)32->(3)32-.(3)∵y＝x 65为R上的偶函数，∴(－0.31)65＝0.3165.又函数y＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565.[尖子生题库]10．已知幂函数f(x)＝x21()m m－＋(m∈N*)经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．解析：∵幂函数f(x)经过点(2，2)，∴2＝221()m m－＋，即212＝221()m m－＋.∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1.∴f(x)＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f(2－a)>f(a－1)，11 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32. ∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.。
人教版高中数学必修第一册3.3幂函数 (课件)
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＝xα的形式，故选C.]
A．y＝ x
B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
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7
2．已知 f(x)＝(m＋1)xm2＋2 是幂函
D [由题意可知m＋1＝1，即m
数，则 m＝( A．2
)
B．1
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高中数学人教版必修一 3.5幂函数的定义和性质(共19张PPT)
奇偶性 奇
偶 奇 非奇非偶 奇
单调性
↗
［0，+∞)↗
(－ ∞，0) ↘
↗
(0，+∞) ↘ ↗ (－ ∞,0)↘
公共点
(1,1) (0,0)
(1)所有的幂函数y x 均在(0, )上有定义， 过 公 共 点(1, 1)
(2)当 0时，y x的图象过原点(0, 0)， 当 0时，y x的图象不过原点；
【解析】(1)若 f(x)为正比例函数，
则mm22＋ ＋m2m－≠1＝0 1， ⇒m＝1.
(2)若 f(x)为反比例函数，
则mm22＋ ＋m2m－≠1＝0 －1， ⇒m＝－1.
(3)若 f(x)为二次函数，
则mm22＋ ＋m2m－≠1＝0 2，
⇒m＝－1±2
13 .
(4)若 f(x)为幂函数，则 m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
y y x3
x
O
二、基础知识讲解
y
1
y x2
x
012
3
0 x0.5 1 1.414 1.732
x 456
x0.5 2 2.236 2.45
1
y x2
x
定义域：__[_0_,____)_____ 值 域：__[_0_,____)_____
奇偶性： 既__不__是__奇__函___数__也 不 是 偶 函 数
二、基础知识讲解
关于幂函数，主要学习下列几种函数的图象与性质.
(1) y x
1
(4) y x 2
(2) y x2 (5) y x1
(3) y x3
二、基础知识讲解
y
yx
O
定义域：____R________ 值 域：____R________ 奇偶性：___奇__函__数_________ 单调性：__在__R__上__是__增___函__数__
人教版高中数学必修一第12讲：幂函数(学生版)
人教版高中数学 幂函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y =x ，y =，y =，y =，的图像，了解它们的变化情况.2、通过对幂函数的研究，加深对函数概念的理解.一、定义：一般地，我们把形如()ay x a R =∈的函数叫做幂函数，其中a 为常数。
特别提醒：幂函数的基本形式是 y = ，其中x 是自变量，a 是常数. 要求掌握 y =x ，y = ，y = ，y =，y = 这五个常用幂函数的图象.二、幂函数性质：1、所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图像都通过点()1,1；2、如果0a >，则幂函数的图像经过原点，并且在区间[)0,+∞上为增函数；如果0a <，则幂函数的图像不经过原点，并且在区间()0,+∞上为增函数是奇数（1）当a>0时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,+∞)上是增函数.（2）当a<0时，图象过定点(1,1)；在(0,+∞)上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.三、如图,,,,,a b c d e f的大小关系为：a b c d e f<<<<<类型一幂函数的定义例1：在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3练习1：有下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－1x；④y＝1x；⑤y＝；⑥y＝2x.其中，是幂函数的有________(只填序号)．练习2：函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值是()A ．k ＝3B ．k ＝－2C ．k ＝3或k ＝－2D ．k ≠3且k ≠－2类型二 幂函数的图象和性质例2：幂函数y ＝x m ，y ＝x n ，y ＝x p ，y ＝x q的图象如图，则将m 、n 、p 、q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．练习1：(2014～2015学年度江西鹰潭一中高一上学期月考)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k －α＝( ) A ．12B ．1C ．32D ．2练习2：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝(m 2－5m －5)x 2m＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m ＝( )A ．1B ．－1C ．6D ．－1或6类型三 函数值大小的比较例3：比较下列各组数的大小练习1：下列关系中正确的是( )A ．(12)23 <(15)23 <(12)13B ．(12)23 <(12)13 <(15)23 C ．(15)23 <(12)13 <(12)23D ．(15)23 <(12)23 <(12)13练习2：比较下列三个值的大小，，；1、如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－122、下列命题中正确的是( ) A ．幂函数的图象不经过点(－1,1) B ．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C ．若幂函数f (x )＝x a 是奇函数，则f (x )是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、函数y ＝12x 的图象大致为( )4、设函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该幂函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)5、若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则m 的值为________．6、(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2,8)，则f (x )＝______________._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．如图所示为幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＜1D ．n ＜－1，m ＞12．函数y ＝x 3与函数y ＝x 13的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称3．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则下列结论中正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年产量确定4．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )A ．12hB ．4hC ．3hD ．2h5．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被面积可以增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )能力提升6．若幂函数y＝(m2－3m＋3)x m2－m－2的图象不过原点，则m是__________．7．如果幂函数y＝x a的图象，当0<x<1时，在直线y＝x的上方，那么a的取值范围是________．8. 已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x m2＋m－1，m为何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．9．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．10. 已知幂函数y＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求出m的值。
人教A版高中数学必修第一册3.3幂函数【课件】
α
∴f(2)=,∴2 =,解得 α=-2,
∴f(x)=x-2.
f(x)的图象如图所示.
f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调递减区间为(0,+∞),单调递
增区间为(-∞,0).
反思感悟
1.幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四
象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第
(2)y= 的图象位于第一象限,因为函数为增函数,所以函数图
象是上升的,函数 y= -1 的图象可看作由 y= 的图象向下平
移 1 个单位长度得到(如选项 A 中的图象所示),将 y= -1 的图
象关于 x 轴对称后即为选项 B 中的图象.
答案:(1)B (2)B
探究二 幂函数的性质及其应用
对称,且在区间(0,+∞)内单调递减,求满足(2a-1) <(3-a) 的实
数 a 的取值范围.
解:∵函数 f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,∴3m-9<0,解得 m<3.
又 m∈N*,∴m=1,2.
又函数图象关于 y 轴对称,∴3m-9 为偶数,故 m=1,Leabharlann -
-
-
∴有(2a-1) <(3-a) .∵y= 在区间(-∞,0),(0,+∞)内均单调递减,
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)1.13,1.23;
(2)4.8-3,4.9-3;
(3) -
-
, -
-
.
解:(1)设f(x)=x3,因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,
《幂函数》函数的概念与性质课件-高中数学A版必修一PPT课件
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第三章 函数的概念与性质
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问题导学 预习教材 P89－P91，并思考以下问题： 1．幂函数的定义是什么？ 2．幂函数的解析式有什么特点？ 3．幂函数的图象有什么特点？ 4．幂函数的性质有哪些？
栏目 导引
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y＝x3
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一般地，函数 y＝__x_α__叫做幂函数，其中__x___是自变量，__α___
高中数学 3.3幂函数课件 新人教A版必修1
(C)ax ay
(D)ax ya
4.已知y=f(x)是幂函数,且2f(2)=f(3), 则f(x)的表达式是____________
l g2 l g3
f (x) x 2
5.判断函y数 x在区间 0，
上的单调性，并的证结明论 . 你
6.有幂函数若干个，每个函数具有三条性质之一:
(1)是奇函数;(2)是 , 上的增函数;(3)函数图
(-∞,+∞)↑ [0,+∞)↑
2、在第 一象限 是递增 函数。
奇函数 (-∞,+∞)↑
名称
y x1
图y 象
-1 1 O1 x
-1
定义域 (-∞,0)∪
(0,+∞)
y
y x2
1
(-∞,0)∪
-1 O 1 x (0,+∞)
-1
奇偶性 奇函数
偶函数
单调性 (-∞,0)↓ (0,+∞) ↓
(-∞,0) ↑ (0,+∞) ↓
即：
(
7
)
8 7
1
8
习题：利用幂函数的性质，比较下面各组中两个值的大小
1
1
1、(0.3)3_<_ _(0._31)3
10 3
2、(0.9)1.3_< _1_.1)_ 1.3 (1.30
3、(1.8)0.2_<_ 1_.9)_0.2( 0.20
4、(2.1)0.3_<_1 _.9)_ 0.3( 0.30
幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也不同，性 质（有界性、单调性、奇偶性）也不同。
讨论幂函数的性质：
主要分α>0和α<0两大类情况去讨论它们的定义域、单调 性、奇偶性。
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目录
幂函数与函数零点 (2)
模块一：幂函数 (2)
考点1：幂函数的图像与性质 (3)
模块二：函数的零点 (3)
考点2：函数的零点判断 (4)
课后作业： (5)
幂函数与函数零点
模块一：幂函数
1.幂函数：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．
2.幂函数的图象 当分别为，，，，时，幂函数图象如下图：
3.幂函数的性质
⑴所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点； ⑵如果，则幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数； ⑶如果，则幂函数在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴．当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴．
⑷幂函数的奇偶性决定幂函数过的象限．奇函数过一、三象限；偶函数过一、二象限；非奇
非偶函数只过第一象限．
⑸ 当为负奇数时，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限，但不过原点；
⑹ 当为正分数时，设为（，是互质的正整数）． ①如果， 都是奇数，幂函数为奇函数，图象过第一、三象限及原点；
如
②如果是偶数，为奇数，幂函数为非奇非偶函数，图象在第一象限及过原点；
()y x αα=∈R αα1-1
2
123(0)+∞，
()11，0α>[0)+∞，
0α<(0)+∞，
x y y x +∞x
x ααn
m
m n m
n 53
y x ==m n
如
③如果为奇数，为偶数，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点． 如是偶函数，图象为：
⑺ 当为负分数时，设为（，是互质的正整数）．
①如果，都是奇数，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限； ②如果为偶数，为奇数，幂函数的图象只在第一象限；
③如果为奇数，为偶数，幂函数为偶函数，图象在第一、二象限． 如是偶函数，图象为
考点1：幂函数的图像与性质
例1.（1）已知是幂函数，求的值
.
模块二：函数的零点
1.函数的零点
（1）一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则a 叫做这个函数的零点. 要点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标；
34
y x ==m
n 23
y x ==αn
m
-
m n m n m n m n 23
y x -==
()2
1
2
1
2223m
y m m x n -=+-+-m n ，
③函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根．
④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点）． 归纳：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．
考点2：函数的零点判断
例1.（1）（2018春•金安区校级月考）设3()2x f x x =-．则在下列区间中，使函数()f x 有零点的区间是( ) A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)
例 2.（1）（2018秋•文峰区校级月考）已知函数262,0
()1,0x x x f x x x
⎧-⎪
=⎨<⎪⎩，若函数
()()3g x f x x m =-+有3个零点，则实数m 的取值范围为( )
A ．9(,0]8
-
B ．9[0,)8
C ．9[0,)4
D ．9(,0]4
-
例3.（2018秋•麒麟区校级月考）已知()1||f x lgx =-，则函数22()3()1y f x f x =-+的零点个数为 ．
课后作业：
1.（2018秋•广陵区校级期中）幂函数2
223
()(1)m m f x m m x +-=--在(0,)+∞上为增函数，则
m 的取值是( )
A ．2m =或1m =-
B ．1m =-
C ．2m =
D ．31m -
2.（2018春•金安区校级月考）设3()2x f x x =-．则在下列区间中，使函数()f x 有零点的区间是( ) A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)
3.（2018秋•文峰区校级月考）已知函数262,0()1,0x x x f x x x
⎧-⎪
=⎨<⎪⎩，若函数()()3g x f x x m
=-+有3个零点，则实数m 的取值范围为( )
A ．9(,0]8-
B ．9[0,)8
C ．9[0,)4
D ．9(,0]4
-
4.（2018秋•麒麟区校级月考）已知()1||f x lgx =-，则函数22()3()1y f x f x =-+的零点个数为 ．。