湘教版数学八年级上册教案(全册)

湘教版数学八年级上册教案
1．1 分 式
第1课时 分式的概念
1．理解分式的概念，并能用分式表示现实生活中的量；
2．掌握分式有、无意义的条件及分式的值为0的条件；(重点，难点) 3．会求分式的值．
一、情境导入
埃及金字塔相传是古埃及法老的陵墓，是世界公认的“古代世界七大奇迹”之一．其中最大、最有名的是祖孙三代金字塔——胡夫金字塔、哈夫拉金字塔和门卡乌拉金字塔．
胡夫金字塔底部边长230公尺，高146公尺，重大约650万吨，共用了x 万块石头，那么平均每块石头重多少吨？
二、合作探究
探究点一：分式的概念
代数式－13x 2，a ＋2a －1，35，x －2π，3x 2y ，x
2x 中的分式有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 解析：
a ＋2a －1，3x 2y ，x
2x
中的分母含有字母，是分式．其他的代数式分母不含字母，不是分式．故选C.
方法总结：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．特别注意π是常数，不是字母，因此x －2
π
不是分式．另外对于分式的
判断是针对式子的形式，而不是化简之后的结果，如x
2x
不能约分后再判断，其分母中含有字母即为分式．
探究点二：分式有、无意义的条件 【类型一】 分式有意义的条件
若分式2x
|x |－1
有意义，则( )
A ．x ≠－1
B ．x ≠1
C ．x ≠1且x ≠－1
D ．x 可为任何数
解析：当分母不等于0时，分式有意义，即|x |－1≠0，∴x ≠1且x ≠－1.故选C. 方法总结：分式有意义的条件是分母不等于0.
【类型二】 分式无意义的条件
当a 为何值时，分式a －1
2a ＋1
无意义？
解：分式无意义，则2a ＋1＝0，∴a ＝－1
2.
方法总结：分式无意义的条件是分母等于0.
探究点三：分式的值
【类型一】 分式值为0的条件
若分式x 2－1
x －1
的值为0，则( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝±1
D ．x ≠1
解析：由x 2
－1＝0解得：x ＝±1，又∵x －1≠0即x ≠1，∴x ＝－1，故选B.
方法总结：分式的值为0应同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0.应特别注意后一个条件．
【类型二】 求分式的值
当a ＝3时，求分式a 2－3
a ＋3的值．
解：当a ＝3时，a 2－3a ＋3＝32－3
3＋3
＝1.
方法总结：求分式的值与求代数式的值的方法一样，用数值代替分式中的字母，再化简计算即可．
三、板书设计
分式⎩⎪⎨
⎪⎧分式的概念
分式有无意义的条件⎩
⎪⎨⎪
⎧分式有意义：分母≠0
分式无意义：分母＝0分式的值⎩
⎪⎨⎪
⎧分式的值为0：分子＝0且分母≠0
求分式的值
在教学过程中，通过生活中的情境导入，引导学生观察、类比(分数)、猜想、归纳，经历数学概念的生成过程．通过实例强调分式的值为0应同时具备两个条件：分子等于0而分母不等于0，这样突出重点，突破难点．
第2课时 分式的基本性质
1．通过与分数的类比学习，掌握这一基本而常用的数学思想方法；
2．掌握分式的基本性质，并会运用分式的基本性质把分式变形；(重点，难点)
3．理解最简分式的概念，会根据分式的基本性质把分式约分，化为最简分式．(重点)
一、情境导入
1．我们学过下列分数：12，24，3
6，它们是否相等？为什么？
2．请叙述分数的基本性质．
3．类比分数的基本性质，你能猜想分式的基本性质吗？
二、合作探究
探究点一：分式的基本性质
【类型一】 分式基本性质的应用
填空：(1)3
xy ＝（ ）3ax 2y ；(2)x 2
－y 2
（x －y ）2＝
x ＋y
（ ）
. 解析：(1)小题中，分母由xy 变为3ax 2y ，只需乘以3ax ，根据分式的基本性质，分子
也应乘以3ax ，所以括号中应填9ax .(2)小题中，分子由x 2－y 2
变为x ＋y ，只需除以x －y ，根据分式的基本性质，分母也应除以x －y ，所以括号中应填x －y .
方法总结：利用分式的基本性质求未知的分子或分母时，若求分子，则看分母发生了何种变化，这时分子也应发生相应的变化；若求分母，则看分子发生了何种变化，这时分母也应发生相应的变化．
【类型二】 分式的符号法则
下列各式从左到右的变形不正确的是( )
A.
－23y ＝－23y B.－y －6x ＝y 6x
C ．－8x 3y ＝8x －3y
D ．－a －b y －x ＝b －a x －y
解析：选项A 中，同时改变分式的分子及分式本身的符号，其值不变，正确；选项B 中，同时改变分式的分子、分母的符号，其值不变，正确；选项C 中，同时改变分式的分母及分式本身的符号，其值不变，正确；选项D 中，分式的分子、分母及分式本身的符号，同时改变三个，其值变化，错误．故选D.
方法总结：根据分式的符号法则，分式的分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中的两个，分式的值不变．
探究点二：分式的约分
【类型一】 运用约分，化简分式
约分：
(1)8x 2
yz 3
－32xyz 5； (2)a 2
＋ab a 2
＋2ab ＋b 2
. 解析：约分的关键是确定分式中分子、分母的公因式，(1)中分子与分母的公因式是8xyz 3
，(2)小题先因式分解，分子与分母的公因式是(a ＋b )．
解：(1)原式＝x ·8xyz 34z 2·（－8xyz 3
）＝－x
4z
2； (2)原式＝
a （a ＋
b ）（a ＋b ）2＝
a
a ＋b
. 方法总结：①约分的依据是分式的基本性质，关键是找出分子与分母的公因式；②约分时必须将分子、分母先写成乘积的形式，再进行约分，不能只对分子、分母中的某一项或某一部分进行约分；③约分一定要彻底，约分的结果应是最简分式或整式．
【类型二】 运用约分，化简求值
先约分，再求值：2a 2
－ab
4a 2－4ab ＋b 2，其中a ＝－1，b ＝2.
解：原式＝
a （2a －
b ）（2a －b ）2＝
a
2a －b
. 当a ＝－1，b ＝2时，a 2a －b ＝－12×（－1）－2＝1
4
.
方法总结：利用分式的基本性质约分求值时，要先把分式化为最简分式再代值计算．
探究点三：最简分式
下列分式是最简分式的是( ) A.
2a 3a 2b B.a
a 2
－3a
C.a ＋b a 2＋b 2
D.a 2－ab a 2－b 2
解析：选项A 中的分子、分母能约去公因式a ，故选项A 不是最简分式；选项B 中的分子、分母能约去
公因式a ，故选项B 不是最简分式；选项C 中的分子、分母没有公因式，选项C 是最简分式，故选C ；选项D 中的分子、分母能约去公因式(a －b )，故选项D 不是最简分式．
方法总结：判断最简分式的标准是分子与分母是否有公因式，如果有公因式就不是最简分式．当分子、分母是多项式时，一般要进行因式分解，以便判断是否能约分．
三、板书设计 分式的基本性质：f g ＝
f ·h
g ·
h ，f g ＝f ÷h
g ÷h
(h ≠0)
↓
约分 (找出分子与分母的公因式) ↓
最简分式 (分子与分母无公因式)
本节课利用类比分数的基本性质学习了分式的基本性质，在学习过程中，应注重让学生在学法上的迁移，突出分式基本性质中的的两个关键词：“都”、“同”，尽量避免符号出错．
1．2 分式的乘法和除法
第1课时 分式的乘除
1．理解并掌握分式的乘、除法法则；
2．会用分式的乘、除法法则进行运算．(重点，难点)
一、情境导入
1．请同学们计算： (1)34×52； (2)13÷25
. 2．根据上述分数的乘、除法运算，你能猜想下面这两个式子的运算结果吗？ (1)f g ·u v ； (2)f g ÷u v
.
二、合作探究
探究点一：分式的乘法运算
【类型一】 分子、分母都是单项式
计算： (1)16xy y 2·y 2
2x ； (2)5a 3
bc 2
2x 2y ·－8x 2y 3
10a 2bc
2.
解析：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母，然后再约分． 解：(1)16xy y 2·y 2
2x ＝16xy ·y 2
y 2·2x
＝8y ；
(2)5a 3
bc 2
2x 2y ·－8x 2y 3
10a 2bc 2＝－5a 3
bc 2
·8x 2y 3
2x 2y ·10a 2bc
2＝－2ay 2
.
方法总结：分式乘法运算的方法：①注意运算顺序及解题步骤，注意符号问题，不要漏
乘负号；②整式与分式的运算，根据题目的特点，可将整式化为分母为“1”的分式；③运算中及时约分、化简；④注意运算律的正确使用；⑤结果应化为最简分式或整式．
【类型二】 分子、分母中有多项式
计算：m 2－4n 2m 2－mn ·m －n
m 2－2mn
.
解析：观察分式的特点，分子与分母含有多项式，应先将多项式因式分解，再应用分式乘法法则运算．
解：m 2－4n 2m 2－mn ·m －n m 2－2mn ＝（m ＋2n ）（m －2n ）m （m －n ）·m －n m （m －2n ）＝m ＋2n m
2.
方法总结：分式中含多项式的乘法运算的一般步骤：①运用分式乘法的法则，用分子之
积作为新分子，用分母之积作为新分母；②确定分子与分母的公因式；③约分，化为最简分式或整式．
探究点二：分式的除法运算
【类型一】 分子、分母都是单项式
计算：2m 5n ÷4m
2
－10n
2.
解析：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 解：2m 5n ÷4m 2
－10n 2＝－2m 5n ·10n 2
4m 2
＝－n m
. 方法总结：进行分式的除法运算时，先把分式的除法转化成乘法，然后按照乘法法则进
行计算，要注意结果的符号．
【类型二】 分子、分母中有多项式
计算：
(1)x 2－1y ÷x ＋1y
2；
(2)(xy －x 2
)÷
x －y
xy
； (3)x 2－6x ＋99－x 2
÷2x －6x 2＋3x
. 解析：(1)小题中，先把除法转化为乘法，把x 2
－1因式分解，再约分．(2)小题中，把
xy －x 2看作是分母是1的分式，把除法转化为乘法，因式分解，再约分．(3)小题中，把除法转化为乘法，把各个分子、分母因式分解，再约分．
解：(1)原式＝（x ＋1）（x －1）y ·y
2
x ＋1＝y (x －1)；
(2)原式＝x (y －x )·
xy x －y
＝－x 2
y ； (3)原式＝（x －3）2
－（x ＋3）（x －3）·x （x ＋3）2（x －3）＝－x
2
.
方法总结：分式的除法计算首先要转化为乘法运算，若除式是整式，应将这个整式看作
是分母为“1”的分式，然后对式子进行化简．化简时如果分子、分母有多项式，一般应先进行因式分解，然后再约分．分式的乘除运算实际就是分式的约分．
三、板书设计
1．分式的乘法：f g ·u v ＝fu gv
.
2．分式的除法：f g ÷u v ＝f g ·v u ＝fv gu
(u ≠0)．
本节课学习了分式的乘、除法运算，通过观察、比较、猜想、分析，类比分数的乘、除法运算，得出分式的乘、除法运算法则．在运算中，把除法转化为乘法，分子、分母有多项式的要先因式分解，同时要注意避免符号出错．
第2课时 分式的乘方
1．理解并掌握分式的乘方法则，并会运用分式的乘方法则进行分式的乘方运算；(重点) 2．进一步熟练掌握分式乘、除法的混合运算．(难点)
一、情境导入
1．计算：(35)2，(35)3，(35)n
；
2．类似地，请你计算：(f
g
)n
.
二、合作探究
探究点一：分式的乘方
计算： (1)(3y 2x 2)2； (2)(－x 2y 2
z 2xyz
)3
.
解析：把分式的分子、分母分别乘方，(2)小题还可以先约分，再乘方． 解：(1)(3y 2x 2)2＝（3y ）2
（2x 2）2＝9y 2
4x 4；
(2)(－x 2y 2
z 2xyz )3＝（－x 2y 2
z ）3
（2xyz ）3＝－
x 3y
3
8
. 方法总结：分式的乘方，把分子、分母各自乘方，运算时要注意符号，明确“正数的任
何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”，还要注意最后结果是最简分式或整式．
探究点二：分式的乘除、乘方混合运算
计算：
(1)(－2a 2b cd 3)3÷2a d 3·(c a
)3
；
(2)(ab 3)2
·(－b a
2)3
÷(－b a
)4
；
(3)a －b a ·(b b －a )2÷b 2a
2.
解析：先算乘方，再把除法转化为乘法，然后约分． 解：(1)(－2a 2
b cd 3)3÷2a d 3·(
c a )3＝－8a 6b 3
c 3
d 9·
d 3
2a ·c 3
a 3＝－4a 2
b 3
d
6；
(2)(ab 3)2
·(－b a 2)3÷(－b a )4＝a 2b 6·(－b 3a 6)·a 4b
4＝－b 5
；
(3)a －b a ·(b b －a )2÷b 2a 2＝a －b a ·b 2（a －b ）2·a 2b 2＝
a
a －b
. 方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，先算乘方，再算乘除，最后结果应化成
最简分式或整式，通常情况下，计算得到的最后结果要使分子和分母第一项的符号为正号．对于含负号的分式，奇次方为负，偶次方为正．
三、板书设计
1．分式的乘方法则：(f g )n ＝f n
g
n .
2．分式乘除、乘方的混合运算：先算乘方，再算乘除．
本节课学习了分式的乘方及分式的乘除、乘方混合运算，在教学中应注重激发学生的积极性，勇于尝试．本节课的混合运算是一个难点，也是学生常出错的地方，教学时要引导学生注意运算顺序，优先确定运算符号，提高运算的准确率．
1．3整数指数幂
1．3.1同底数幂的除法
1．经历同底数幂的除法法则的探索过程，理解同底数幂的除法法则；
2．会用同底数幂的除法法则进行运算．(重点，难点)
一、情境导入
传说，印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人——大臣西萨·班·达依尔．这位聪明的大臣跪在国王面前说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍．国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的．”说着，他下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了……还没到第二十小格，袋子已经空了，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的诺言．
问题1：国王应该给发明者多少粒麦子？
问题2：假如一粒麦子是0.02克，用计算器算出国王应奖励给发明者的麦子总质量大约多少克？
问题3：假如每个人每顿吃250克，一天三顿饭，一年365天，这些粮食可供1010(10亿)人食用多少年？
二、合作探究
探究点一：同底数幂的除法
【类型一】底数是单项式
计算：
(1)(－a)3÷(－a)2; (2)(a3)2÷a5；
(3)（xy3）3
（－xy3）2； (4)
－x3n＋2
x3n－1
.
解析：根据同底数幂的除法法则，即a m÷a n＝a m－n进行运算．(3)小题可先确定符号，再按同底数幂的除法法则计算．
解：(1)原式＝(－a)3－2＝－a；
(2)原式＝a 6
÷a 5
＝a
6－5
＝a ；
(3)原式＝（xy 3
）3
（xy 3）
2＝xy 3
；
(4)原式＝－x 3
.
方法总结：进行同底数幂的除法运算时，只有底数相同时，才能把指数相减．因此计算时首先必须确定底数是否相同，如果底数是互为相反数，可以通过符号变化把底数化为相同．
【类型二】 底数是多项式
计算：
(1)(x －y )8÷(y －x )6
；
(2)(a －b )3(b －a )2n ÷(a －b )2n －1
.
解析：底数为多项式时，可把多项式看作一个整体，再根据同底数幂的除法法则计算．
解：(1)原式＝(y －x )8÷(y －x )6＝(y －x )2
；
(2)原式＝(a －b )3(a －b )2n ÷(a －b )2n －1＝(a －b )3＋2n －(2n －1)＝(a －b )4
.
方法总结：两数(式)互为相反数，则它们的偶次幂相等，奇次幂仍是互为相反数．即：(b －a )2n ＝(a －b )2n ，(b －a )2n ＋1＝－(a －b )2n ＋1
.(n 是正整数)
探究点二：逆用同底数幂的性质
已知a m ＝3，a n ＝4，求a 2m －n
的值．
解析：首先应用含a m 、a n 的代数式表示a 2m －n ，然后将a m 、a n
的值代入即可求解．
解：∵a m ＝3，a n
＝4，
∴a
2m －n
＝a 2m ÷a n ＝(a m )2÷a n ＝32
÷4＝94
.
方法总结：逆用同底数幂的除法法则：a m
÷a n
＝a m －n
，可以得到a m －n
＝a m
÷a n
.解决这类问
题的关键在于把要求的式子a m －n 分别用a m 和a n
来表示．这类题一般同时考查两个知识点：同底数幂的除法，幂的乘方，解题时应熟练掌握运算性质并能灵活运用．
探究点三：同底数幂除法的实际应用
某种液体中每升含有1012个有害细菌，某种杀虫剂1滴可杀死109
个此种有害细
菌．现要将这种2升液体中的有害细菌杀死，要用这种杀虫剂多少滴？
解析：根据题意可知2升液体中有2×1012个有害细菌，而1滴可杀死109
个此种有害细菌，把两个量相除即可求得答案．
解：∵液体中每升含有1012
个有害细菌，
∴2升液体中的有害细菌有2×1012
个，
又∵杀虫剂1滴可杀死109
个此种有害细菌，
∴用这种杀虫剂的滴数为2×1012÷109＝2×103
＝2000滴． 方法总结：本题主要考查同底数幂的除法及学生阅读理解题意的能力，是数学与生活相结合的例子．解决这类问题的方法是：先列出解决问题的式子，再根据同底数幂的除法法则进行计算．
三、板书设计 同底数幂的除法
a m
＝a m－n(a≠0)．即：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
a n
本节课学习了同底数幂的除法法则及运用法则进行计算．易错点有两个：一是理解法则错误，认为同底数幂相除，底数不变，指数相除；二是对于底数是互为相反数的指数幂的除法运算，容易出现符号错误．在课堂上，让学生把这些错误展示在黑板上，大家共同分析产生错误的原因以及怎样避免错误的发生．
1．3.2 零次幂和负整数指数幂
1．理解零次幂和负整数指数幂的意义，并能进行负整数指数幂的运算；(重点，难点) 2．会用科学记数法表示绝对值较小的数．(重点)
一、情境导入
上节课我们学习了同底数幂的除法法则：a m a n ＝a m －n
，其中a ≠0，m ，n 是正整数，且m ＞
n .在这里，如果m ＝n 或m ＝0，又会出现什么结果呢？
二、合作探究 探究点一：零次幂
【类型一】 零次幂有意义的条件
已知(3x －2)0
有意义，则x 应满足的条件是________．
解析：根据零次幂的意义可知：(3x －2)0
有意义，则3x －2≠0，x ≠23.故填x ≠23.
方法总结：零次幂有意义的条件是底数不等于0，所以解决有关零次幂的意义类型的题
目时，可列出关于底数不等于0的式子求解即可．
【类型二】 零次幂的运算
计算： (1)30; (2)(－2)0
；
(3)(－12
)0; (4)－22＋|4－7|＋(3－π)0
.
解析：(1)，(2)，(3)小题根据零次幂的意义计算；(4)小题先分别求乘方、绝对值、零次幂，再计算．
解：(1)30
＝1；
(2)(－2)0
＝1；
(3)(－12
)0
＝1；
(4)－22
＋|4－7|＋(3－π)0
＝－4＋3＋1＝0.
方法总结：①任何不等于零的数的零次幂等于1.零次幂式子的特征是：底数不等于0，指数等于0，要注意的是结果等于1而不等于0.②零次幂与其他运算相结合时，要分别计
算．计算－22时，易错误的计算为－22＝4，因此要正确理解－22和(－2)2
的意义．
【类型三】 零次幂的综合运用
若(x －1)x ＋1
＝1，求x 的值．
解析：由于任何不等于零的数的零次幂等于1，1的任何次幂都等于1，－1的偶数次幂等于1，故应分三种情况讨论．
解：①当x ＋1＝0，即x ＝－1时，原式＝(－2)0
＝1；
②当x －1＝1，x ＝2时，原式＝13
＝1；
③x －1＝－1，x ＝0，0＋1＝1不是偶数．故舍去． 故x ＝－1或2.
方法总结：乘方的结果为1，可分为三种情况：不为零的数的零次幂等于1；1的任何次幂都等于1；－1的偶次幂等于1即在底数不等于0的情况下考虑指数等于0；考虑底数等于1或－1.
探究点二：负整数指数幂
【类型一】 负整数指数幂的意义与运算
计算：
(1)3－3； (2)(－2)－2
； (3)(－23
)－4.
解析：根据负整数指数幂的意义知，一个数的负整数指数幂的结果，底数是原来底数的倒数，指数是原来指数的相反数．
解：(1)3－3
＝133＝127；
(2)(－2)－2
＝1（－2）2＝14；
(3)(－23)－4＝(－32)4＝8116
.
方法总结：求负整数指数幂的方法：把底数取倒数，指数变为相反数．
【类型二】 运用零次幂和负整数指数幂来计算
计算：|－5|－(π－1)0
＋(12
)－2.
解析：本题涉及零次幂、负整数指数幂、绝对值三个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据运算法则计算．
解：|－5|－(π－1)0＋(12
)－2＝5－1＋22
＝5－1＋4＝8.
方法总结：此题主要考查了学生的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零次幂、绝对值等考点的运算．
【类型三】 运用零次幂和负整数指数幂来化简、求值
已知a x
＝3，求a 2x －a －2x
a x －a
－x 的值．
解析：根据负整数指数幂的意义先化简分式，然后代入求值．
解：a 2x －a －2x a x －a －x ＝（a x ）2－（a －x ）2a x －a －x
＝a x ＋a －x ＝3＋3－1
＝103
. 方法总结：求值时，把要求的式子根据负整数指数幂的意义用已知的式子表示出来是解
题的关键．
探究点三：用科学记数法表示绝对值小于1的数
一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，0.0000065用科学记数法表示为( )
A．6.5×10－5 B．6.5×10－6
C．6.5×10－7 D．65×10－6
解析：把0.0000065的小数点向右移动6位变成6.5×0.000001＝6.5×10－6，故选B.
方法总结：绝对值很小的数用科学记数法表示时，先把小数点向右移动n位，使这个数变成一个整数数位只有一位的数a，再在后面乘以10－n.即用科学记数法把一个绝对值很小的数写成a ×10－n的形式时，n等于第一个非零数前面零的个数(包括小数点前面的零)．
三、板书设计
1．零次幂
2．负整数指数幂
3．科学记数法：a×10－n(1≤|a|＜10，n等于第一个非零数前面所有零的个数)．
本节课学习了零次幂和负整数指数幂，在学习中，以正整数指数幂为基础，探究零次幂和负整数指数幂的运算法则．本节课的易错点一是误认为零次幂等于0，二是用科学记数法表示绝对值小于1的数：a×10－n，误认为一定是负数．在课堂教学中，老师应让学生积极参与，主动练习，从练习中发现问题，纠正错误．
1．3.3 整数指数幂的运算法则
1．理解整数指数幂的运算法则；
2．会用整数指数幂的运算法则进行计算．(重点，难点)
一、情境导入
1．请同学们回顾，我们学过的正整数指数幂的运算法则有哪些？
2．我们在前面还学过，可以把幂的指数从正整数推广到整数．这时我们怎样理解这些运算法则呢？
二、合作探究
探究点一：整数指数幂的运算
【类型一】 乘积形式的整数指数幂的运算
计算：
(1)(－a )3÷a －1÷(a －2)－2
；
(2)(a －2b －3)－3·(a 2b )－2
；
(3)(2x －3y 2z －2)－2(3xy －3z 2)2
；
(4)(－2a －3)2b 3÷2a －6b －2
.
解：(1)原式＝－a 3÷a －1÷a 4＝－a 4÷a 4
＝－1；
(2)原式＝a 6b 9·a －4b －2＝a 2b 7
；
(3)原式＝(2－2x 6y －4z 4
)(32x 2y －6z 4
)＝2－2
·32x 8y
－10z 8
＝9x 8z 8
4y
10；
(4)原式＝4a －6b 3
÷2a －6b －2
＝2b 5
.
方法总结：整数指数幂的运算要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除．最后结果要化为正整数指数．
【类型二】 商形式的整数指数幂的运算
计算：
(1)(x 2＋x x 2＋2x ＋1)－1÷(x x ＋1
)－2
；
(2)[(2a －3b －2
c 3a －4b －2)－1]－2
；
(3)[（a －b ）－3
（a ＋b ）3
（a ＋b ）2（a －b ）
－2]
－2
. 解：(1)原式＝[x （x ＋1）（x ＋1）2]－1·(x x ＋1)2＝x ＋1x ·x 2（x ＋1）2＝
x
x ＋1
；
(2)原式＝(2a －3b －2
c 3a －4b －2)2＝4a 2c
2
9
；
(3)原式＝（a －b ）6
（a ＋b ）－6
（a ＋b ）－4（a －b ）4＝（a －b ）
2
（a ＋b ）
2.
方法总结：商形式的整数指数幂的运算有两种方法：一是先把负整数指数幂转化为正整数指数幂，再约分化简；二是先计算整数指数幂，最后再把负整数指数幂化为正整数指数幂．
【类型三】 逆用幂的运算法则求值
已知a －m ＝3，b n ＝2，则(a －m b －2n )－2
＝________．
解析：(a －m b
－2n )－2
＝(a －m )－2·b 4n ＝(a －m )－2(b n )4＝3－2×24
＝169.故填169
.
方法总结：把要求的代数式逆用幂的运算法则，用已知的式子来表示是解题的关键．
计算：(278)x －1·(23
)3x －4
.
解：(278)x －1·(23)3x －4＝(32)3x －3·(23)3x －4＝(23)3－3x ·(23)3x －4＝(23)3－3x ＋3x －4＝(23)－1＝3
2.
方法总结：利用负整数指数幂，把底数是互为相反数的两数可以转化为相同，再根据幂
的运算法则进行计算．
探究点二：整数指数幂运算的实际应用
某房间空气中每立方米含3×106
个病菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们
进行实验，发现1毫升杀菌剂可以杀死2×105
个这种病菌，问要将长10m ，宽8m ，高3m 的房间内的病菌全部都杀死，需要多少杀菌剂？
解：(10×8×3)×(3×106)÷(2×105)＝(720×106)÷(2×105)＝360×10＝3.6×103
(毫升)．
答：需要3.6×103
毫升杀菌剂才能将房间中的病菌全部杀死．
方法总结：科学记数法在实际生活中应用广泛，在运用科学记数法解题时要注意a ×10－n
中n 的值．
三、板书设计
整数指数幂的运算法则：
(1)同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n
(a ≠0，m ，n 都是整数)；
(2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn
(a ≠0，m ，n 都是整数)；
(3)积的乘方：(ab )n ＝a n ·b n
(a ≠0，b ≠0，n 是整数)．
本节课通过把正整数指数幂的五个运算法则，推广到整数范围内，从而可用三个运算法则来概括．整数指数幂的运算是学生学习过程中的一个难点，也是易错点，在教学过程中，可让学生把典型错误展示在黑板上，引导学生分析产生错误的原因．
1．4 分式的加法和减法
第1课时 同分母分式的加减
1．理解同分母分式的加减法的法则，会进行同分母分式的加减法运算；(重点) 2．会把分母互为相反数的分式化为同分母分式进行加减运算．(难点)
一、情境导入
市场上有A ，B 两种电脑，花10000元可以买A 型电脑a 台，花8000元可以买B 型电脑a 台，A 型电脑比B 型电脑每台贵多少元？
二、合作探究
探究点一：同分母分式的加减法
计算： (1)3a －2b 3ab －3a ＋3b 3ab ；
(2)1a －1＋－a 2
a －1； (3)
x －2x －1－2x －3
x －1
. 解析：根据同分母分式加减法的法则，把分子相加减，分母不变．注意(1)，(3)两小题属于同分母分式的减法运算，减式的分子要变号．
解：(1)原式＝3a －2b －3a －3b 3ab ＝－5b 3ab ＝－5
3a ；
(2)原式＝1－a 2
a －1＝－（a ＋1）（a －1）
a －1＝－a －1；
(3)原式＝
x －2－2x ＋3x －1＝－x ＋1
x －1
＝－1.
方法总结：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后结果要化为最简分式或整
式．
探究点二：分式的符号法则
计算： (1)2x 2
－3y 2
x －y ＋x 2
－2y 2
y －x ；
(2)2a ＋3b b －a ＋2b a －b －3b b －a
.
解析：(1)先把第二个分式的分母y －x 化为－(x －y )，再把分子相加减，分母不变； (2)先把第二个分式的分母a －b 化为－(b －a )，再把分子相加减，分母不变． 解：(1)原式＝2x 2
－3y 2
x －y －x 2
－2y
2
x －y
＝2x 2
－3y 2
－（x 2
－2y 2
）
x －y
＝x 2－y 2x －y ＝（x ＋y ）（x －y ）x －y
＝x ＋y ； (2)原式＝2a ＋3b b －a －2b b －a －3b b －a
＝2a ＋3b －2b －3b b －a
＝2a －2b b －a ＝－2（b －a ）b －a
＝－2. 方法总结：分式的分母是互为相反数时，可以把其中一个分母放到带有负号的括号内，
把分母化为完全相同．再根据同分母分式相加减的法则进行运算．
三、板书设计
1．同分母分式加减法的法则：f g ±h g ＝f ±h
g
.
2．分式的符号法则：f g ＝
－f －g ，－f g ＝f －g ＝－f g
.
本节课通过同分母分数的加减法类比得出同分母分式的加减法．易错点一是符号，二是
结果的化简．在教学中，让学生参与课堂探究，进行自主归纳，并对易错点加强练习．从而让学生对知识的理解从感性认识上升到理性认识．
第2课时 分式的通分
1．会确定几个分式的最简公分母；
2．会根据分式的基本性质把分式进行通分．(重点，难点)
一、情境导入 1．通分：12，2
3
.
2．分数通分的依据是什么？ 3．类比分数，怎样把分式通分？ 二、合作探究
探究点一：最简公分母
分式
1x 2－3x 与2
x 2－9
的最简公分母是________． 解析：∵x 2
－3x ＝x (x －3)，x 2
－9＝(x ＋3)(x －3)，∴最简公分母为：x (x ＋3)(x －3)． 方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．
探究点二：分式的通分
【类型一】 分母是单项式分式的通分
通分．
(1)c bd ，ac
2b
2； (2)b 2a 2c ，2a 3bc
2； (3)45y 2z ，310xy 2，5－2xz
2. 解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．
解：(1)最简公分母是2b 2
d ，
c b
d ＝2bc 2b 2d ，ac 2b 2＝acd 2b 2d
； (2)最简公分母是6a 2
bc 2，b 2a 2c ＝3b 2c 6a 2bc 2，2a 3bc 2＝4a
3
6a 2bc
2；
(3)最简公分母是10xy 2z 2
，4
5y 2z ＝8xz 10xy 2z 2，310xy 2＝3z 210xy 2z 2，5－2xz 2＝－25y
2
10xy 2z
2.
方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．
【类型二】 分母是多项式分式的通分
通分．
(1)a 2（a ＋1），1
a 2－a
； (2)2mn 4m 2－9，3m 4m 2－6m ＋9
. 解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分． 解：(1)最简公分母是2a (a ＋1)(a －1)，
a 2（a ＋1）＝a 2（a －1）
2a （a ＋1）（a －1）
，
1a 2
－a ＝2（a ＋1）2a （a ＋1）（a －1）
； (2)最简公分母是(2m ＋3)(2m －3)2
，
2mn 4m 2－9＝2mn （2m －3）（2m ＋3）（2m －3）2，3m 4m 2－6m ＋9＝3m （2m ＋3）
（2m ＋3）（2m －3）
2. 方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．
三、板书设计 1．最简公分母 2．通分：
(1)依据：分式的基本性质；
(2)方法：先确定最简公分母，再把各分式的分母化为最简公分母．
本节课学习了分式的通分，方法可类比分数的通分．在教学中应注意循序渐进，先让学生学会确定最简公分母，再让学生学习通分．通分时，一要注意避免符号错误，二要注意通分不改变分式的值，即分母乘了一个整式，分子也要乘以同样的一个整式．。