湘教版数学八年级上册教案(全册)

湘教版数学八年级上册教案

1．1 分 式

第1课时 分式的概念

1．理解分式的概念，并能用分式表示现实生活中的量；

2．掌握分式有、无意义的条件及分式的值为0的条件；(重点，难点) 3．会求分式的值．

一、情境导入

埃及金字塔相传是古埃及法老的陵墓，是世界公认的“古代世界七大奇迹”之一．其中最大、最有名的是祖孙三代金字塔——胡夫金字塔、哈夫拉金字塔和门卡乌拉金字塔．

胡夫金字塔底部边长230公尺，高146公尺，重大约650万吨，共用了x 万块石头，那么平均每块石头重多少吨？

二、合作探究

探究点一：分式的概念

代数式－13x 2，a ＋2a －1，35，x －2π，3x 2y ，x

2x 中的分式有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 解析：

a ＋2a －1，3x 2y ，x

2x

中的分母含有字母，是分式．其他的代数式分母不含字母，不是分式．故选C.

方法总结：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．特别注意π是常数，不是字母，因此x －2

π

不是分式．另外对于分式的

判断是针对式子的形式，而不是化简之后的结果，如x

2x

不能约分后再判断，其分母中含有字母即为分式．

探究点二：分式有、无意义的条件 【类型一】 分式有意义的条件

若分式2x

|x |－1

有意义，则( )

A ．x ≠－1

B ．x ≠1

C ．x ≠1且x ≠－1

D ．x 可为任何数

解析：当分母不等于0时，分式有意义，即|x |－1≠0，∴x ≠1且x ≠－1.故选C. 方法总结：分式有意义的条件是分母不等于0.

【类型二】 分式无意义的条件

当a 为何值时，分式a －1

2a ＋1

无意义？

解：分式无意义，则2a ＋1＝0，∴a ＝－1

2.

方法总结：分式无意义的条件是分母等于0.

探究点三：分式的值

【类型一】 分式值为0的条件

若分式x 2－1

x －1

的值为0，则( )

A ．x ＝1

B ．x ＝－1

C ．x ＝±1

D ．x ≠1

解析：由x 2

－1＝0解得：x ＝±1，又∵x －1≠0即x ≠1，∴x ＝－1，故选B.

方法总结：分式的值为0应同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0.应特别注意后一个条件．

【类型二】 求分式的值

当a ＝3时，求分式a 2－3

a ＋3的值．

解：当a ＝3时，a 2－3a ＋3＝32－3

3＋3

＝1.

方法总结：求分式的值与求代数式的值的方法一样，用数值代替分式中的字母，再化简计算即可．

三、板书设计

分式⎩⎪⎨

⎪⎧分式的概念

分式有无意义的条件⎩

⎪⎨⎪

⎧分式有意义：分母≠0

分式无意义：分母＝0分式的值⎩

⎪⎨⎪

⎧分式的值为0：分子＝0且分母≠0

求分式的值

在教学过程中，通过生活中的情境导入，引导学生观察、类比(分数)、猜想、归纳，经历数学概念的生成过程．通过实例强调分式的值为0应同时具备两个条件：分子等于0而分母不等于0，这样突出重点，突破难点．

第2课时 分式的基本性质

1．通过与分数的类比学习，掌握这一基本而常用的数学思想方法；

2．掌握分式的基本性质，并会运用分式的基本性质把分式变形；(重点，难点)

3．理解最简分式的概念，会根据分式的基本性质把分式约分，化为最简分式．(重点)

一、情境导入

1．我们学过下列分数：12，24，3

6，它们是否相等？为什么？

2．请叙述分数的基本性质．

3．类比分数的基本性质，你能猜想分式的基本性质吗？

二、合作探究

探究点一：分式的基本性质

【类型一】 分式基本性质的应用

填空：(1)3

xy ＝（ ）3ax 2y ；(2)x 2

－y 2

（x －y ）2＝

x ＋y

（ ）

. 解析：(1)小题中，分母由xy 变为3ax 2y ，只需乘以3ax ，根据分式的基本性质，分子

也应乘以3ax ，所以括号中应填9ax .(2)小题中，分子由x 2－y 2

变为x ＋y ，只需除以x －y ，根据分式的基本性质，分母也应除以x －y ，所以括号中应填x －y .

方法总结：利用分式的基本性质求未知的分子或分母时，若求分子，则看分母发生了何种变化，这时分子也应发生相应的变化；若求分母，则看分子发生了何种变化，这时分母也应发生相应的变化．

【类型二】 分式的符号法则

下列各式从左到右的变形不正确的是( )

A.

－23y ＝－23y B.－y －6x ＝y 6x

C ．－8x 3y ＝8x －3y

D ．－a －b y －x ＝b －a x －y

解析：选项A 中，同时改变分式的分子及分式本身的符号，其值不变，正确；选项B 中，同时改变分式的分子、分母的符号，其值不变，正确；选项C 中，同时改变分式的分母及分式本身的符号，其值不变，正确；选项D 中，分式的分子、分母及分式本身的符号，同时改变三个，其值变化，错误．故选D.

方法总结：根据分式的符号法则，分式的分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中的两个，分式的值不变．

探究点二：分式的约分

【类型一】 运用约分，化简分式

约分：

(1)8x 2

yz 3

－32xyz 5； (2)a 2

＋ab a 2

＋2ab ＋b 2

. 解析：约分的关键是确定分式中分子、分母的公因式，(1)中分子与分母的公因式是8xyz 3

，(2)小题先因式分解，分子与分母的公因式是(a ＋b )．

解：(1)原式＝x ·8xyz 34z 2·（－8xyz 3

）＝－x

4z

2； (2)原式＝

a （a ＋

b ）（a ＋b ）2＝

a

a ＋b

. 方法总结：①约分的依据是分式的基本性质，关键是找出分子与分母的公因式；②约分时必须将分子、分母先写成乘积的形式，再进行约分，不能只对分子、分母中的某一项或某一部分进行约分；③约分一定要彻底，约分的结果应是最简分式或整式．

【类型二】 运用约分，化简求值

先约分，再求值：2a 2

－ab

4a 2－4ab ＋b 2，其中a ＝－1，b ＝2.

解：原式＝

a （2a －

b ）（2a －b ）2＝

a

2a －b

. 当a ＝－1，b ＝2时，a 2a －b ＝－12×（－1）－2＝1

4

.

方法总结：利用分式的基本性质约分求值时，要先把分式化为最简分式再代值计算．

探究点三：最简分式

下列分式是最简分式的是( ) A.

2a 3a 2b B.a

a 2

－3a

C.a ＋b a 2＋b 2

D.a 2－ab a 2－b 2

解析：选项A 中的分子、分母能约去公因式a ，故选项A 不是最简分式；选项B 中的分子、分母能约去

公因式a ，故选项B 不是最简分式；选项C 中的分子、分母没有公因式，选项C 是最简分式，故选C ；选项D 中的分子、分母能约去公因式(a －b )，故选项D 不是最简分式．

方法总结：判断最简分式的标准是分子与分母是否有公因式，如果有公因式就不是最简分式．当分子、分母是多项式时，一般要进行因式分解，以便判断是否能约分．