材料学第二章 晶体结构

图2-101 晶体中原子在空间的排列
晶体(Crystal)就是原子（或离子、分子、原 子集团）在三维空间呈有规律的周期性重复排列 的固体。即不论沿晶体的哪个方向看去，总是相 隔一定的距离就出现相同的原子或原子集团。这 个距离也称为周期。显然，沿不同的方向有不同 的周期。
非晶体(Amorphous)不具有上述特征。 在非晶体中原子（或分子、离子）无规则 地堆积在一起。液体和气体都是非晶体。 在液体中，原子也处于相对紧密聚集的状 态，但不存在长程的周期性排列。 对于金 属液体的结构，我们在学习第六章时将会 有进一步的了解。
第二节 晶面指数（Crystal-plane Indices） 和晶向指数（Crystal-direction Indices） 在点阵中由结点构成的平面称为晶面 （Crystal Plane），连接点阵中任意结点列的直 线方向称为晶向（Crystal Direction）。不同的 晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。 材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学 行为、相变、X 光和电子衍射特性等）都和晶面、 晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料 的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。
对一些简单的金属和合金，晶体结构和 点阵没有差别。例如，铜、银、金、铝、 镍、钯、铂、铅、γ 铁、奥氏体不锈钢等的 晶体结构和点阵都是面心立方（通常用 fcc 表示）。碱金属、钒、铌、铬、钼、钨、α 铁等的晶体结构和点阵都是体心立方（通 常用 bcc 表示）。但是，其他一些金属， 特别是具有复杂结构的金属和合金，其晶 体结构就不同于点阵。让我们举两个实际 的例子。
2.晶胞的选取 我们在前面引出的晶胞和点阵常数的概念是不严格的， 原因是晶胞的选取不是惟一的。就是说，从同一点阵中可 以选取出大小、形状都不同的晶胞。相应的点阵常数自然 也就不同，这样就会给晶体的描述带来很大的麻烦。为了 确定起见，必须对晶胞的选取方法作一些规定。这规定就 是，所选的晶胞应尽量满足以下三个条件。 (1)能反映点阵的周期性。将晶胞沿a，b，ｃ三个晶轴 方向无限重复堆积（或平移）就能得出整个点阵（既不漏 掉结点，也不产生多余的结点)。 (2)包含尽可能多的直角，尽量直观地反映点阵的对称 性。 (3)晶胞的体积最小。 其中，第(1)个条件是所有晶胞都要满足的必要条件。 第(2)和第(3)两个条件若不能兼顾，则至少要满足一个。
第三节 一些晶体学重要公式 一、晶带定理(Zone Law) 1.晶带的定义 晶带（Crystallographic Zone)：许多不同 的晶面组都平行与同一直线时，则这些晶 面组总称为一个晶带，与之平行的直线称 为晶带轴（Crystallographic Zone Axis）。
四、进一步讨论 1.布拉菲点阵与复式点阵 上面讨论的点阵都是由等同点构成的， 即按照“每个阵点的周围环境相同”的要 求构成的。按照这一要求，最先是布拉菲 （A. Bravais）用数学方法证明了只能有14 种空间点阵。所以，这样的点阵也叫布拉 菲点阵（Bravais Lattice)。通常人们所说的 点阵就是指布拉菲点阵。
2.晶系 按照晶胞的大小和形状的特点，也就 是按照 6 个点阵常数之间的关系和特点， 可以将各种晶体归于如图 2-105 所示的 7 种晶系，准确地说，晶系是根据它的对称 性来划分的。金属一般具有立方和六方晶 格。
图2-105七大晶系的晶体学特征
由 7 种晶系可以形成多少种空间点阵呢？这 就取决于每种晶系可以包含多少点阵，或者说， 有多少种可能的结点分布方式。为了回答这个问 题，我们的基本出发点是：点阵的结点必须是等 同点。由于晶胞的角隅、6 个外表面的中心（面 心）以及晶胞的中心（体心）都是等同点，故乍 看起来，似乎每种晶系包括 4 种点阵，即简单点 阵、底心点阵、面心点阵和体心点阵。这样看来， 7 种晶系总共似乎可以形成 4×7=28 种点阵。然 而，读者如果将这28种点阵逐一画出，就会发现， 从对称性的角度看，其中有些点阵是完全相同的。 真正不同的点阵只有 14 种。
固态的非晶体实际上是一种过冷状态的液体， 只是它的物理性质不同于通常的液体。玻璃是一 个典型的固态非晶体，所以，往往将非晶态称为 玻璃态。几点说明： （1）绝大多数固体物质为晶体； （2）晶态与非晶态在一定的条件下可以相互转化； 如非晶态的玻璃经高温长时间加热后即可转 变为晶态玻璃。 （3）晶体有固定的熔点，而非晶体只有一个软化 温度范围; （4）晶体具有各向异性（Anisotropy），而非 晶体却为各向同性（Isotropy）。
当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定 非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上， 那就需要选取该晶向上两点的坐标 P(x1，y1，z1) 和 Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)， (z1-z2)三个数化成最小的简单整数 u，v，w，并 使之满足u∶v∶w =(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。 则[u v w]为该晶向的指数。 或者将待标晶向平移至（通过）原点，在平 移后的晶向上重复前述标定过程(2)至(4)即可。 显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向 一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的 数字相同，但符号相反。
请确定图2-202(a)中的晶面的晶面指数，并在图2202(b)中画出这些晶面指数所代表的晶面。 首先选定坐标系，如图所示。然后求出待标晶面在a， b，c轴上的截距，分别为1/2，2/3，1/2。取倒数后得到2， 3/2，2。再将其化成最简整数比，得到4，3，4三个数。 于是该面的晶面指数为(434)。
二、空间点阵（Space Lattice） 晶体中原子或原子集团排列的周期性规 律，可以用一些在空间有规律分布的几何 点来表示。并且，令沿任一方向上相邻点 之间的距离就等于晶体沿该方向的周期。 这样的几何点的集合就构成空间点阵（简 称点阵），每个几何点称为点阵的结点或 阵点。
既然点阵只是表示原子或原子集团分布 规律的一种几何抽象，那么，每个结点就 不一定代表一个原子。就是说，可能在每 个结点处恰好有一个原子，也可能围绕每 个结点有一群原子（原子集团）。但是， 每个结点周围的环境（包括原子的种类和 分布）必须相同，亦即点阵的结点都是等 同点。
三、晶胞（Unit Cell）、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ系 （Crystal System）和点阵类型 1.晶胞 如前所述，空间点阵具有 周期性和重复性，图2-102所示 的空间点阵可以看成是由最小 的单元——平行六面体沿三维 方向重复堆积（或平移）而成。 这样的平行六面体称为晶胞， 如图2-104所示。晶胞的三条棱 AB、AD和AE的长度就是点阵 沿这些方向的周期，这三条棱 就称晶轴。
所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截 距虽然不同，但它们是成比例的，其倒数 也仍然是成比例的，经简化可以得到相应 的最简整数。因此，所有相互平行的晶面， 其晶面指数相同，或者三个符号均相反。 可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面， 而且代表着一组相互平行的晶面。
2.晶向指数的确定 用三指数表示晶向指数[u v w]的步骤如图2-203所示： (1)建立以晶轴 a，b，c 为坐标轴的坐标系，各轴上的坐 标长度单位分别是晶胞边长 a，b，c，坐标原点在待标晶向 上。 (2)选取该晶向上原点以外的任一点 P(x，y，z)。 (3)将 x，y，z 化成最简整数比 u，v，w，且 u∶v∶w = x∶y∶z。 (4)将 u，v，w 三数置于括号内就得到晶向指数[u v w ]。
但是，实际晶体中各原子并不一定是等 同点。例如，对合金来说，至少就有两种 不同的原子。即使是纯金属，晶体中各原 子也未必是等同点，因为各原子周围的环 境（近邻原子的分布）未必相同。因此， 实际晶体中各原子的集合并不一定构成布 拉菲点阵。人们把晶体中原子的集合（或 分布）称为晶体结构，把表示原子分布规 律的代表点（几何点）的集合称为布拉菲 点阵，或简称点阵。如上所述，这些代表 点必然是等同点。
图2-103表示的是空间点阵和实际晶体结构 之间的关系。图中的图2-103(a)和图2-103(b)都是 二维正方点阵，但二者的晶体结构是不同的，因 为围绕每个结点的原子分布不同。同样，图中的 图2-103(c)和图2-103(d)都是长方点阵，但二者的 结构也不同，图2-103(e)则是菱形点阵。
例如锌、镉、镁、铍、α 钛、α 锆、铪等都 具有简单六方点阵，密排六方结构。由图 2109(a)可见，原子不仅分布在晶胞顶点，而且还 分布在 处。图 2-109(b) 是 原子在底面（垂直于 c 轴的平面）上的投影。从 图可以看出，位于晶胞顶点的 a 原子和位于内部 的 b 原子，其周围环境是不同的：a1 原子周围的 b 原子分布（图2-109(b)中的 b1，b2，b3 ）不同 于 b1 周围的 a 原子分布（见图2-109(b)中的 a1， a2，a3 ），因而 a 原子和 b 原子不是等同点， 由 a 和 b 原子的集合不构成布拉菲点阵，而构成 一个密排六方结构。因为如果把原子看成是同样 大小的刚性小球，那么每个原子都几乎和 12 个 近邻原子相切（最紧密的排列）。
一、晶面和晶向指数的确定 1.晶面指数的确定 国际上通用的是密勒（Miller）指数，即用 三个数字来表示晶面指数。图2-201中的红色晶 面为待确定的晶面，其确定方法如下。
(1)建立一组以晶轴 a，b，c 为坐标轴的坐标系，令 坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单 位分别是晶胞边长a，b，c。 (2)求出待标晶面在 a，b，c 轴上的截距x，y，z。 如该晶面与某轴平行，则截距为∞。 (3)取截距的倒数 1/x，1/y，1/z。 (4)将这些倒数化成最简整数比h，k，l，使h∶k∶l = 1/x∶1/y∶1/z。 (5)将h，k，l 置于圆括号内，写成(h k l)，则(h k l) 就是待标晶面的晶面指数。 下面是一个例子
关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以 下几点说明： (1)参考坐标系通常都是右手坐标系。坐标系 可以平移（因而原点可置于任何位置）。但不能 转动，否则，在不同坐标系下定出的指数就无法 相互比较。 (2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负 数，但负号应写在数字上方，如 ， 等。 (3)若各指数同乘以不等于零的数n，则新晶 面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶向或是 同向(当 n > 0)，或是反向(当 n < 0 )。但是，晶 面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度 （两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非 n = 1。
事实上，采用三个点阵矢量a，b，c 来 描述晶胞是很方便的。这三个矢量不仅确 定了晶胞的形状和大小，而且完全确定了 此空间点阵。只要任选一个结点为原点， 以这三个矢量作平移（即平移的方向和单 位距离由点阵矢量所规定），就可以确定 空间点阵中任何一个结点的位置： ruvw = ua + vb + wc (2-101 ) 式中 ruvw为从原点到某一阵点的矢量， u，v，w 分别表示沿三个点阵矢量的平移 量，亦即该阵点的坐标值。
既然任何晶体的晶胞都可看成是平行六面体， 那么不同的晶体的差别在哪里？差别有两点： (1)不同晶体的晶胞，其大小和形状可能不同。 (2)围绕每个结点的原子种类、数量及分布可能 不同。 晶胞的大小显然取决于 AB，AD 和 AE 这三 条棱的长度 a，b 和 c ，而晶胞的形状则取决于这 些棱之间的夹角α，β 和 γ。我们把 a，b，c，α， β和γ这6个参量称为点阵常数（Lattice Parameter）或晶格常数。
第二章 晶体结构 (Crystal Structure)
本章要讨论的主要问题是： (1)原子是以何种聚集方式形成固体结构的？ (2)如何描述晶体中原子的排列？ (3)金属晶体有哪些常见的晶体结构
第一节 晶体学（Crystallography）基础 一、晶体的特征固态物质按其原子或分子的聚集 状态可分为两大类，一类是晶体，另一类是非晶 体。