中考数学压轴题专题复习—相似的综合及详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图①，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB＝BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2，l1于点D，E(点A，E位于点B的两侧，满足BP＝BE，连接AP，CE．

（1）求证：△ABP≌△CBE．

（2）连接AD、BD，BD与AP相交于点F，如图②．

①当时，求证：AP⊥BD；

②当 (n＞1)时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求的值．

【答案】（1）证明：BC⊥直线l1，

∴∠ABP＝∠CBE．

在△ABP和△CBE中，

（2）①证明：如图，延长AP交CE于点H．

∵△ABP≌△CBE，

∴∠PAB＝∠ECB，

∴∠PAB＋∠AEH＝∠ECB＋∠AEH＝90°，

∴∠AHE＝90°，

∴AP⊥CE．

∵，即P为BC的中点，直线l1∥直线l2，

∴△CPD∽△BPE，

∴，

∴DP＝EP．

∴四边形BDCE是平行四边形，∴CE∥BD．

∵AP⊥CE，∴AP⊥BD．

②解：∵，∴BC＝nBP，

∴CP＝(n－1)BP．

∵CD∥BE，

∴△CPD∽△BPE，

∴．

令S△BPE＝S，则S2＝(n－1)S，

S△PAB＝S△BCE＝nS，S△PAE＝(n＋1)S．

∵，

∴S1＝(n＋1)(n－1)S，

∴．

【解析】【分析】（1）由已知条件用边角边即可证得△ABP≌△CBE；

（2）①、延长AP交CE于点H，由（1）知△ABP≌△CBE，所以可得∠PAB＝∠ECB，而∠∠ECB+∠BEC=，所以可得∠PAB+∠BEC=，即∠AHE=，所以AP⊥CE；已知

=2,则点P为BC的中点，所以易证得BE=CD，由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BDCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得CE∥BD，再根据平行线的性质即可求得AP⊥BD；

②方法与①类似，由已知条件易证得△CPD∽△BPE，则可得对应线段的比相等，然后可将△PAD的面积和△PCE的面积用三角形BPE的面积表示出来，则这两个三角形的比值即可求解。

2．如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B(A,B两点到路灯正下方的距离相等),他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化.

（1）求y与x之间的函数关系式;

（2）作出函数的大致图象.

【答案】（1）解：如图①：作CO⊥AB于O，

①当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时，作出他的影子A'C'.

小亮从点A到达点O的过程中，影长越来越小，直到影长为0；从点O到达点B的过程中，影长越来越大，到点B达到最大值.

设小亮的身高MA'=l，CO=h，AO=m，影长C'A'=y，小亮走过的距离AA'=x，由图易得C'A=x-y，

∵MA'⊥AB，CO⊥AB，

∴△MC'A'∽△CC'O，

∴，

即 = ,

∴y= x- (0≤x≤m),(此时m,l,h为常数)，

②当小亮走到A″处(A″位于O与B之间)时；

同理可得y=- x+ (m

（2）解：如图②所示：

【解析】【分析】（1）如图①：作CO⊥AB于O，

①当小亮走到A'处(A'位于A与O之间)时，作出他的影子A'C'；根据中心投影的特点可知影长随x的变化情况.

设小亮的身高MA'=l，CO=h，AO=m，影长C'A'=y，小亮走过的距离AA'=x，由图易得C'A=x-y，根据相似三角形的判定和性质可得y与x的函数解析式.

②当小亮走到A″处(A″位于O与B之间)时；同理可得y=- x+ (m

（2）根据（1）的函数解析式可画出图像.

3．如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O.

（1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由;

（2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值; （3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长.

【答案】（1）解：AC是⊙O的切线

理由：，

，

作于，

是的角平分线，

，

AC是⊙O的切线

（2）解：连接，

是⊙O的直径，

,即 .

.

又 (同角) ，

∽ ,

（3）解：设

在和中，由三角函数定义有：

得：

解之得：

即的长为

【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长，即可证得AC与圆O相切；（2）先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形，再证得∠1=∠D，从而证得两个三角形ABE与ABD相似，即可求得两个线段长的比值；（3）也可以应用三角形相似的判定与性质解题，其中AB的长度是利用勾股定理与（2）中AE与AB的比值求得的.

4．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC.延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E.

（1）求证：△ABE≌△CDE；

（2）填空：

①当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形；

②若AE＝6，BE=8，则EF的长为________.

【答案】（1）证明：∵AB=AC，CD=CA，∴∠ABC=∠ACB，AB=CD．

∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC．

∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）

（2）60；

【解析】【解答】解：（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；

理由是：连接AO、OC．