数学分析2019-2020期中考试卷及答案

数学分析2019-2020 期中考试卷及答案
2014~ 2015 学年第一学期
考试日期
2014年11月19 日
（考试时间：120分钟）
科目：数学分析
I
（期中卷）
专业
本、专科
年级班姓名学号
题号
一二
三
四
五
六
七
总分
得分
我承诺，遵守《上海师范大学考场规则》，诚信考试。

签名：________________
得得分
一. 判断题(对的打√, 错的打×, ''
21020)
1. ( ×) 设a 为有理数，x 为无理数，则ax 一定是无理数.
2. ( ×) 设数列{},{}n n a b 满足：对任何自然数n , 有n
n a b , 且n n
a lim 和n n
b lim 都
存在，则lim lim n
n n
n
a b .
3. ( √) 单调数列n a 如果含有一个收敛的子列, 则n a 本身一定也收敛.
4. ( ×) 设n a 是无穷小数列, n ｛b ｝
是无穷大数列, 则n n ｛a b ｝是无穷大数列. 5. ( ×) 任何数列都存在收敛的子列.
6. ( ×) 设{},{}n n a b 均为无界数列, 则n n b a 一定为无界数列.
7. ( √
) 设函数()f x 在某0
0()U x 内有定义, 且()f x 在0x 点的左右极限都存在且相等, 则()f x 在0x 极限存在.
8. ( ×) 设0
,lim ()
lim ()
x
x x
x f x g x b , 则0
lim ()()
x
x f x g x .
9. ( √) 如果对任何以0x 为极限的递减数列0
0{}
()n x U
x , 都有lim ()
n
n f x A,
则有0
lim ()
x
x f x A .
10.( ×) 若
0,
0,总可找到0
0',''(,),x x U x 使得0
|(')
('')|
f x f x ,
则0
lim ()x
x f x 不存在.
得得分
二．叙述题（'
'
84
2）
1. 叙述极限0
lim ()x f x 存在的柯西准则.
答: 设函数()f x 在0
(0,)U 内有定义. 0
lim ()x f x 存在的充要条件是：
0,
0,(2分) 使得对
),,'(0U x x 有()
(')f x f x .(2分)
2. 叙述集合S 上确界的分析定义. 设S 是R 中的一个数集，若数满足以下两条：（1）对一切x S 有x ，即
是数集S 的上界；(2分)
（2）对任何
存在0
x S 使得（即
是S 的最小上界）(2分)
则称数为数集S 的上确界.
得得分
三．计算题（本大题满分24', 每小题'
4）1. 求)
1(1
3
212
11lim
n n n
2. 求0
4
2
lim x x x
解: 111lim(
)
1223(1)n
n n 解: 0
42
1lim
lim
4
(42)
x
x
x
x x
x x
=11111lim(1
)
22
3
(1)
n
n
n =1lim(1
)1
n
n =1
3. 求0
sin 2lim
ln(1)
x
x x 4.
x
x
x
cos 11
1lim
2
解: 0
sin 22lim
lim
2
ln(1)
x x
x
x x x
解：)
11(2
sin
)2
(2)
11(2sin 21
1lim
2
2
2
2
22
x
x x
x
x x x 1
5. 设82lim
x
x
a
x a
x , 求数a 的值.
解: 2
ln 8
31
lim
2lim
333a
e
a
x
a a
x
a x a
a
x ax
a
a
x x
x
x
6. 求,a b , 使得2
1lim (
)
01
x
x
ax b x
.
解: 2
1
lim
1(1)x
x
a
x x ,（2分）
2
2
2
11lim (
)
lim (
)
11
1
x
x
x
x
x x
b
x x
x
．(2分)
得得分
四．用分析定义证明（本大题满分'15, 每小题'
5）
1. 证明：lim 1,n
n
a
其中(1)a .
证明: 设1,(1)
11n
n
a a nh h
n
h a
h ,(2分)
对1
0,[]a N
, 当n
N 时, |1|
1
n
n
a a .(3分)
所以lim
1,
n
n
a
2. 证明：2)32(lim 2
1x x
x 证明：2
2
1
2
32x x x
（2分）．故对0，，当
1
x 时，2
322
x x ．（3分）
3.证明：2
limcos cos2x
x
.
证明: 对
0,,当0|2|
x 时,(2分)
22|cos cos2|2|sin
si |22
|2n
|
x x x
x
, 所以2
limcos cos2x x
.(3分)。