2.1抽屉原理

第二章 几个重要的原理

2.1 抽屉原理

将10个苹果放在9个抽屉中，无论怎么放，一定会有一个抽屉里放了2个或更多的苹果，这个简单的事实就是抽屉原理. 它是由德国数学家狄利克雷(Dirichlet )提出来的,因此也称为狄利克雷原理.如果将苹果换成信，鸽子或鞋，而把抽屉换成信筒，鸽笼或鞋盒，那么这个原理应然适用. 它是许多存在性问题得以证明的理论依据,也是离散数学中的一个重要原理，把它推广到一般情形，就可以得到：

抽屉原理

如果将m 个物品放入n 个抽屉内，那么至少有一个抽屉的物品不少于l 个，其中

[]1m n l m n

⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩ （这里[]x 表示不超过x 的最大整数）

【证明】当|n m 时，若结论不真，则每个抽屉中至多有1m n

-个物品，那么n 个抽屉中物品的总数(1)m n m n m n

≤-=-<个，矛盾！ 时，若结论不真，则n 个抽屉中物品总数[

]m m n n m n n ≤⋅<⋅=个，也矛盾！ 当有的参考书上给出了此定理的另外一种写法：如果将m 个物品放入n 个抽屉内，那么必有一个抽屉内至少有1[]1m n

-+个物品。这是抽屉原理的不同的两种表现形式，其本质是一样的。另外，抽屉原理还有其它的几种形式的推广：

推广1：如果将m 个物体放入n 个抽屉内，那么必有一个抽屉内的物品至多有[

]m n 个。 这是推广也叫做第二抽屉原理，证明如下： 【证明】用反证法，如果每个抽屉内至少有[]m n

＋1个物品，那么n 个抽屉内的物品的总数至少为([]1)m m n n m n n

+>⋅=，这与n 个抽屉内共有m 个物品矛盾！ 推广2：无穷多个物品放入有限个抽屉中，则至少有一个抽屉中有无穷多个物品。 推广3：把121n m m m n +++-+个元素分成n 类，则存在一个k ，使得第k 类至少有

||n m n m |n m

k m 个元素。

推广2和推广3利用反证法，类似于述证法，不难得到其证明，这里我们不再一一赘述。

一般说来，适用于利用抽屉原理解决的数学问题具有以下几个特征：（1）新的元素具有任意性，如将10个苹果放入9个抽屉中，可以随意地在一个抽屉中放几个，也可以让某个抽屉空着；（2）问题的结论是存在性命题，题目中经常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉中放多少个苹果的问题。

对于一个具体的可以用抽屉原理解决的数学问题，还应弄清楚三个问题：

（1）什么是物品？（2）什么是抽屉？（3）物品和抽屉各多少个？

使用抽屉原理解决问题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原理缩小范围，使之在一个特定的小范围内考虑问题，从而使问题变得简单；其基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清楚对哪些元素进行分类，找出分类规律；其关键在于利用题目中的条件构造出符合题意的“物品”和“抽屉”。

【例1】设空间6个点中任意4个点不共面，若将其中任意两个点之间的连线染成红色或蓝色之一，则必存在一个三边颜色相同的三角形。

【证明】从一个已知点A 出发的5条线段被染成红、蓝两种颜色，由抽屉原理知其中必有

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-+=条线段同色，不妨设它们是AB 、AC 、AD ，并且同为红色。考察BCD ∆，若其中有一条边是红色，例如BD 为红色，则ABD ∆的三边都是红色，结论成立，否则BCD ∆的三边都是蓝色，结论也成立。

这道例题就是有名的Ramsey 定理，如果我们用点来表示人，并且两个人互相认识时对应的连线染红色，不认识对应的连线染蓝色，那么这个定理就成了下述的1947年匈牙利数学竞赛试题：试证任何6人中必有3人认识或不认识。

【例2】单位圆内任意投放六个点，求证：至少有两点距离不大于1.

【分析】单位圆分成六个圆心角为060的扇形，这些扇形中若某个扇形内含有两个点，此两点距离必不大于.但本题仅有六个点，投放在六个扇形（抽屉）中，未必能保证某一个扇形中必有两个点，故不能对六点和六个扇形直接应用抽屉原理。这里我们注意到若有一个点在两相邻扇形的公共半径上，如果此两个扇形中另有一点，即可得到距离不大于1；若没有其它点在此两扇形中，此时便有5个点在另外4个扇形中，这时就可以应用抽屉原理了！

【解】取六点中一点为A ，若以A 为单位圆的圆心O ，则结

论显然成立。

若A 点不是圆心O ，则如图所示，将单位圆划分为六个中心

角为060的扇形，，若阴影部分内还有另外的一点，则结论成

立.若阴影部分没有除A 外的其它点，则另五点（物品）在其

余四个扇形（抽屉）中，由抽屉原理，必有某个扇形（抽屉）

中含有至少两个点（物品），故结论成立。

【例3】对正2005边形的顶点染上两种颜色，求证至少有101

个同色等腰三角形，它们彼此全等且颜色相同。

【分析】先讨论正五边形，正五边形的五个顶点染上两种颜色，至少有一个同色等腰三角形，

而正2005边形内含有401个无公共顶点的正五边形，故可得401个同色等腰三角形，用抽屉原理证明可挑出至少101个，它们彼此全等且同色。 【解】先讨论正五边形，对正五边形染上两种颜色，由抽屉原理，必有5[]132+=点同色，即必有一个同色三角形.而正五边形任意两顶点间连线只有两种长度（边和对角线），三角形的三边（物品）只有两种长度（抽屉），再利用抽屉原理，知必有3[]122+=条边等长，所以此同色三角形为同色等腰三角形。

正2005边形中含有401个无公共顶点的正五边形，所以至少有401个同色正三角形，三角形的颜色只有两种，故至少有401[]12012

+=个等腰三角形颜色全相同.而正五边形所含三角形只有两种：二边一对角线和二对角线一边，再次种用抽屉原理，至少有201[

]11012+=个同色等腰三角形，彼此全等且颜色相同。

【例4】设4n ≥，在正n 边形的n 个顶点中任取1≥+⎣⎦

个顶点，则必有4个点，使得其中某两个点的连线与另外两个点的连线平行.

【证明】从正n 边形中的顶眯中取了k 个点，则这k 个点确定了2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭条直线。

另一方面，将正n 边形的n 个顶点两两相连，恰好确定了n 个互不平行的方向.这可以证明如下：

在角坐标系中，考虑内接于单位圆的正n 边形，其顶点为(cos ,sin )k P k k θθ，这里2n

πθ=，0,1,2,, 1.k n =-任意两点,k l P P 连线的斜率为cot k l n π+ (0,1,).k l n k l ≤≤-≠由于余弦切函数是周期为π的函数，故对于0,1,,k l n k l ≤≤-≠cot

k l n π+恰好有n 个不同的值（包括为无穷大的情形）.

因此只需要2k n ⎛⎫> ⎪⎝⎭即1k ≥+⎣⎦

，则k 个顶点的两两连线中必有两条直线平行，这就证明了本题的结论。

抽屉原理中有一些具有几何特色的变形形式，例如：若在长度为a 的线段上放置若干条长度之和大于a 的线段，则放置的线段中必有两条有公共点。

这一事实有时也被称为（线段的）重叠原理。关于面积、体积也有类似的重叠原理，它们与抽屉原理一样，内容浅显明了，困难在于灵活应用这此原理，以便于解决问题。下面再