高中数学 第一章第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学案

第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

学习目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2

，y ＝1x

，y ＝x 的导数.2.能利用给出的

基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

知识点一 几个常用函数的导数

原函数

导函数

f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1

x

f ′(x )＝－1

x 2

f (x )＝x

f ′(x )＝

12x

知识点二 原函数

导函数

f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a >0)

f (x )＝e x f ′(x )＝e x

f (x )＝lo

g a x f ′(x )＝1

x ln a

(a >0且a ≠1)

f (x )＝ln x

f ′(x )＝1x

1．若y ＝2，则y ′＝1

2×2＝1.( × )

2．若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( × ) 3．f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3

x

4.( √ )

类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数．

(1)y ＝sin π6；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；(3)y ＝lg x ；(4)y ＝x 2x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.

考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 解 (1)y ′＝0.

(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

ln 2.

(3)y ′＝

1

x ln 10

. (4)∵y ＝x 2

x

＝3

2x ，

∴y ′＝(3

2

x )′＝321

2x ＝3

2x .

(5)∵y ＝2cos 2

x

2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .

反思与感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．

(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．

如y ＝1

x

4可以写成y ＝x －4

，y ＝5

x 3

可以写成y ＝35

x 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公

式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误． 跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝1

x

3，则f ′(－3)等于( )

A ．81

B ．243

C ．－243

D ．－127

(2)已知f (x )＝ln x 且f ′(x 0)＝1

x 20

，则x 0＝ .

考点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 题点 常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数 答案 (1)D (2)1

解析 (1)因为f (x )＝x －3

， 所以f ′(x )＝－3x －4

＝－3x

4，

所以f ′(－3)＝－3(－3)4＝－

1

27. (2)因为f (x )＝ln x (x >0)， 所以f ′(x )＝1

x

，

所以f ′(x 0)＝1x 0＝1

x 20

，所以x 0＝1.

类型二 利用导数公式研究切线问题 命题角度1 求切线方程或切线斜率

例2 已知曲线y ＝f (x )＝x ，y ＝g (x )＝1

x

，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线

与x 轴所围成的三角形面积． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用

解 由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x ，y ＝1

x

，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝1，

y ＝1，得两曲线的交点坐标为(1,1)．

两条曲线切线的斜率分别为f ′(1)＝1

2，g ′(1)＝－1.

易得两切线方程分别为y －1＝1

2

(x －1)，

y －1＝－(x －1)，

即y ＝12x ＋1

2

与y ＝－x ＋2.

其与x 轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，

所以两切线与x 轴所围成的三角形面积为12×1×|2－(－1)|＝3

2

.

反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决．

跟踪训练2 已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝ . 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用 答案 1e

解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 由题意得0=|x x y'＝1

x 0

＝k ，①

又y 0＝kx 0，② 而且y 0＝ln x 0，③

由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1

e .

命题角度2 求切点坐标问题

例3 求抛物线y ＝x 2

上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用

解 设切点坐标为(x 0，x 2

0)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2

的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短． ∵y ′＝(x 2

)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12

，

∴切点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，14， ∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22

＝

72

8

.

反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．

跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2

相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试

求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧¼AOB

上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 考点 导数公式的综合应用 题点 导数公式的综合应用

解 由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2

相交于A ，B 两点， ∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要点P 到AB 的距离最大，

设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的直线斜率k ＝y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1.