原创--秩为1的矩阵相关性质

即AT A的属于特征值0的所有特征向量为 k2 ξ2 + · · · + kn ξn , 其中ki 不全为0,且ki ∈ R, 2 ≤ i ≤ n. AT A的属于特征值c的所有特征向量为k1 AT , k1 ∈ R, k1 ̸= 0. 例 2.11 设α, β 是n维非零列向量,A = αβ T ,则 (1)0是A的一个特征值; (2)A可对角化的充要条件为β T α ̸= 0. 证明:(1)(法1)由前面A的特征多项式为λn−1 (λ − tr(A))可得. (法2)易知|A| = 0,从而结论成立. (2)必要性.若A可对角化且β T α = 0,则A的特征值全为0,从而A = 0.矛盾. 充分性.若β T α ̸= 0,则 Aα = αβ T α = (β T α)α,
(3)对AT ̸= 0,将其扩充为Rn 的一组正交基 ξ1 = AT , ξ2 , · · · , ξn , ◇※☆■◇◇※☆■◇ 3 高等代数资源网http://www.52gd.org
专题:秩1矩阵的性质及其应用 即Aξi = 0, 2 ≤ i ≤ n,从而
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AT Aξi = 0 = 0ξi , 2 ≤ i ≤ n.
专题:秩1矩阵的性质及其应用 若tr(A) = 0,则A的初等因子为 λ, · · · , λ, λ2 , 否则,A的初等因子为 λ, · · · , λ, λ − tr(A). 从而结论成立.
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例 2.15 设A是元素全为1的n阶矩阵,B = diag (n, 0, · · · , 0).证明:A与B 相似. 例 2.16 (苏州大学2010)证明X = XJ + JX 只有零解，X, J 都是n阶方阵，J 的所有 元素全为1. 证明:易知r(J ) = 1, J 2 = nJ,故可知J 的特征值为0(n − 1重), n.最小多项式为m(λ) = λ(λ − n),从而存在可逆矩阵P 使得 n 0 P −1 JP = .. . 0 由条件有 P −1 XP = P −1 XP P −1 JP + P −1 JP P −1 XP 计算可得P −1 XP = 0,故X = 0. 例 2.17 已知n阶矩阵X 和A，且矩阵X 中所有元素都为1，满足关系式A = AX + XA,证明：A = 0. 证明: (法1)参看2.16. (法2)n = 1时,结论显然成立. 当n ≥ 2时,XAX = X (AX + XA)X = 2nXAX,则XAX = 0.由 AX = (AX + XA)X = nAX + XAX = nAX, 可得AX = 0,从而A = XA,即(E − X )A = 0,从而A = 0. 终于完成了,来张美图欣赏一下吧.
专题:秩1矩阵的性质及其应用
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例 2.4 设α, β 是n维非零列向量,A = αβ T ,则f (x) = x2 − tr(A)x是A的零化多项式,从 而A的最小多项式也是x2 − tr(A)x. 例 2.5 设A是秩为1的n阶矩阵,B = E − A.求B 的最小多项式. 例 2.6 设α, β 是n维非零列向量,A = αβ T ,则A相似于对角阵的充要条件为tr(A) ̸= 0. 证明:由于A与对角阵相似的充要条件为A的最小多项式无重根,从而可得. 例 2.7 设α, β 是n维非零列向量,A = αβ T ,则A的特征多项式为λn−1 (λ−β T α) = λn−1 (λ− tr(A)),故A的特征值为0(n − 1重),tr(A). 证明:利用结论: 设A, B 分别为m × n, n × m(m ≥ n)矩阵,则 |λEm − AB | = λm−n |λEn − BA|. 可得 |λE − αβ T | = λn−1 (λ − β T α). 例 2.8 设α = (a1 , · · · , an )T ̸= 0,求A = αT α的特征值与特征向量. 例 2.9 (复旦大学2011)设A为秩1的n阶复方阵,A的迹tr(A) = a ̸= 0.试求出A的所有 特征值(写出重数). 例 2.10 (华南师范大学2005)设非零的实1 × n矩阵A = (a1 , · · · , an ). (1)求AT A及秩AT A; (2)求AT A的特征值; (3)求AT A的特征值对应的特征向量. 解:(1)直接计算可得 a1 a1 a1 a2 a2 a1 a2 a2 AT A = . . . . . . an a1 an a2 ··· ··· ··· ··· a1 an a2 an , . . . an an
即α是特征值β T α的特征向量,又由r(A) = 1知特征值0的线性无关的特征向量有n − 1个,从 而A有n个线性无关的特征向量.结论成立. 例 2.12 (厦门大学2012)设α, β 是不同的n(> 1)维单位列向量,A = αβ T ̸= 0,则 (1)0是A的一个特征值; (2)A可对角化的充要条件为β T α ̸= 0. 证明:(法1)(1)根据下面的引理,|λE − A| = |λE − αβ T | = λn−1 (λ − β T α).故A的特征值 λ1 = · · · = λn−1 = 0, λn = β T α. (2)若A可对角化且β T α = 0,则A的特征值全为0,所以A = 0.矛盾. 若β T α ̸= 0,因为r(0E − A) = n − 1,所以方程组(0E − A)X = 0的基础解系含有n − 1向 量.又 Aα = αβ T α = (β T α)α, 所以α是A的一个特征向量.故A可对角化. 引理:设A, B 分别为n × m矩阵,且n ≥ m.求证:|λEn + AB | = λn−m |λEm + BA|. 证明: ( )( ) ( ) En 0 λEn −A λEn −A = , −B E m B Em 0 Em + BA ( )( ) ( ) En A En −A En + AB 0 = , 0 Em B λEm B λEm 4 高等代数资源网http://www.52gd.org
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例 2.2 设n阶矩阵A是秩为1的半正定矩阵.证明:必存在n为非零列向量α使得A = αα .
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证明:因为A是秩为1的半正定矩阵,故存在可逆矩阵P 使得 ( ) 1 T A=P P, 0n−1 则α = P e1 即为所求. 例 2.3 设α, β 是n维非零列向量,A = αβ T ,则A2 = tr(A)A,从而Ak = tr(A)k−1 A,其 中k 为正整数. 证明:设 a1 b1 a1 b2 · · · a2 b1 a2 b2 · · · A = αβ T = . . . . . . . . . an b1 an b2 · · · 则 A2 = αβ T αβ T = (β T α)αβ T = tr(A)A. ◇※☆■◇◇※☆■◇ 2 高等代数资源网http://www.52gd.org a1 bn a2 bn . . . . an bn
为
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专题:秩1矩阵的性质及其应用 两边取行列式,即得结论. (法2)设单位列向量α = (x1 , · · · , xn ), β = (y1 , · · · , yn ),则 x1 y1 x1 y2 · · · x1 yn x2 y1 x2 y2 · · · x2 yn A = αβ T = . . . . . . . . . . . . . xn y1 xn y2 · · · xn yn
专题:秩1矩阵的性质及其应用
高等代数资源网 www.52gd.org May 23, 2012
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0,则
(1)α是A的一个特征向量; (2)E + A可逆. 证明:(1)Aα = αβ T α = (β T α)α,故结论成立. (2)由A的特征值为0(n − 1重),tr(A)知E + A的特征值为1(n − 1重),1 + tr(A).故只需 证明1 + tr(A) ̸= 0.否则,若−1 = tr(A) = β T α则 (α + β )T (α + β ) = αT α + 2β T α + β T β = 1 − 2 + 1 = 0, 这与α + β ̸= 0矛盾. 例 2.14 设α, β 是n维非零列向量,A = αβ T ,则A的Jordan标准形为 tr(A) 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . (tr(A) ̸= 0.) . . . . . . . . . . . 0 0 ··· 0 或 0 0 . . . 1 ··· 0 ··· . . . . . . 0 0 ··· 0 0 (tr(A) = 0.) . . . 0
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故|A| = 0,即方程组AX = 0有非零解,设为ξ,则Aξ = 0,从而0是A的一个特征值. (2)由于a = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn 为A的所有特征根之和,且因为r(A) = 1知属于特 征值0的线性无关的特征向量有且只有n − 1个,因此A可以对角化的充要条件是a ̸= 0.又a = β T α,所以A可对角化的充要条件是α, β 不正交. 例 2.13 设α, β 是欧氏空间Rn (标准内积)中的非零单位列向量,A = αβ T ,且α + β ̸=
因为A ̸= 0,所以ai 不全为0,因此AT A ̸= 0,故r(AT A) ≥ 1.注意到r(AT A) ≤ r(A) = 1,从 而r(AT A) = 1.
T T T T T T 2 (2)记c = a2 1 + · · · + an ,则由于A AA = cA ,而A ̸= 0,从而A 是A A的对应于特征 值c的特征向量.又因为A ∈ R1×n , A ̸= 0,从而c ̸= 0,而r(AT A) = 1,所以AT A的其余n − 1个 特征值为0.
证明:由于A的特征多项式为f (λ) = λn−1 (λ − tr(A)),最小多项式为m(λ) = λ(λ − tr(A)).故A的不变因子为 dn (λ) = λ(λ − tr(A)), dn−1 (λ) = λ = · · · = d2 (λ) = λ, d1 (λ) = 1, ◇※☆■◇◇※☆■◇ 5 高等代数资源网http://www.52gd.org
2 秩1矩阵的性质及其应用
例 2.1 n阶矩阵A的秩为1的充要条件是存在非零列向量α, β 使得A = αβ T .
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专题:秩1矩阵的性质及其应用 证明:必要性.(法1)将A按列分块为 A = (A 1 , · · · , A n ) , 则向量组A1 , · · · , An 的秩为1,不妨设A1 是其极大线性无关组,则可设 A2 = k2 A1 , · · · , An = kn A1 , 于是 A = (A1 , k2 A1 , · · · , kn A1 ) = A1 (1, k2 , · · · , kn ). 即结论成立. (法2)若r(A) = 1,则存在可逆矩阵P = (pij )n×n , Q = (qij )n×n 使得 ( ) E1 0 A=P Q = (p11 , p21 , · · · , pn1 )T (q11 , q12 , · · · , q1n ). 0 0 从而结论成立. 充分性.(法1)易知A ̸= 0,故 1 ≤ r(A) = r(αβ T ) ≤ r(α) = 1, 从而结论成立. (法2)设α = (a1 , · · · , an )T ̸= 0, β = (b1 , · · · , bn )T ̸= 0,则A的任一二阶子式 ai bk ai bl = 0, aj bk aj bl 且易知A ̸= 0.从而r(A) = 1.