7-3等截面直杆的转角位移方程
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B
同时有荷载时, 再叠加固端剪力。
F 6i 6i 12i 2 FQAB M AB 4i A 2i B 6i l l l l A B F 6 i 6i 12i 2 FQBA M BA 2i A 4i B 6i l l l l
1 1 1 2 B 1 ( l M AB ) ( l M BA ) l ( 1 M AB 1 MBA ) EI 3 2 3 3 2 EI 6
A 1 M AB 1 M BA
3i 6i
B 1 M AB 1 M BA
式中：i EI 称为杆件的弯曲线
l 称为杆件的弦转角； 刚度； AB l F F M AB 和MBA 为固端弯矩。
⒈ 由杆端位移求杆端弯矩： 下面用求静定结构位移的方法
将杆端弯矩视为已知荷载，求 在此杆端弯矩作用下的位移：
EI
M AB
M BA
基本结构
M BA
M AB
M图
1 1
Fra Baidu bibliotekM图
1 2 1 1 A 1 ( l M AB ) ( l M BA ) l ( 1 M AB 1 MBA ) EI 3 2 3 2 EI 3 6
基本概念
杆件的受力状态由其两端的角位移、线位移以及作用于杆 件上的荷载唯一确定。
图7-10
即：只要杆端位移均为指定值，则不管它原先的支承条件如何，实际 上就相当于两端固定杆。若将全部杆端位移作为未知量，则所有杆件 （包括静定杆）都可以归入两端固定杆这一种基本杆件。
图7-10
基本结构
X1 X1 1
1c l A
l
A
M 1图
⑷ 解方程求未知量。 A 3 EI l A X 1 3 l A l 3 EI M X l l ⑸ 求杆端弯矩。 AB 3i A 3i 1 A 2 l l
7-3-2 一端固定另一端铰支的等截面直杆 设该杆A端发生顺时针转角θA , 并且AB两端发生横向相对线 位移Δ。 ⒈ 用力法导出杆端位移引起的杆端弯矩：
M AB 3i A 3i
l
7-3-3 一端固定另一端滑动支座的等截面直杆
设该杆A端发生顺时针转角θA 。
同样用力法可导出杆端弯矩的 一般公式为：
F M AB iA MAB F M BA iA MBA
两端固定等截面直杆的杆端弯矩：
M AB 4iA 2i B 6i M BA F M AB l F 2iA 4i B 6i M BA l
FQAB
⑵ 以原固端梁为出发点。
先求仅由杆端位移引起的剪力：
同时有荷载时, 再叠加简支梁剪力。
1 FQBA ( M AB MBA ) l
FQAB
FQAB FQBA
1 6i 6i 12i FQBA ( M AB MBA ) A B 2 l l l l
一端固定另一端铰支等截面直杆的杆端弯矩：
M AB 3i A 3i
F M AB l
基本概念
杆件的受力状态由其两端的角位移、线位移以及作用于杆 件上的荷载唯一确定。
图7-10
若迫使其A、B两端的角位移以及相对 线位移与图7-9所示的两端固定杆相同， 则荷载相同时该简支杆的杆端弯矩和 剪力以及变形状态将与上述两端固定 杆完全相同。
解联立方程求解，得：
6i
3i
3i
6i
l
再叠加由荷载作用引起的固端弯矩，即 得两端固定等截面直杆的转角位移方程 M BA
M AB
4i A 2i B 6i l 2i A 4i B 6i l
⒉ 求杆端剪力（两种思路）： ⑴ 以简支梁为出发点。
当仅作用有杆端力矩时：
§7-3 等截面直杆的转角位移方程 刚度系数：三类基本超静定杆件由单位位移引起的杆端力。 也称为形常数。 固端力：三类基本超静定杆件由荷载引起的杆端力。 也称为载常数。 转角位移方程：支座位移与荷载共同作用下杆端力的表达式。 正负号规定：
⑴ 杆端转角以顺时针方向转动为正；杆端横向相对线位移 以使杆件顺时针方向转动为正。 ⑵ 杆端弯矩以顺时针方向为正；根据牛顿第三定律，杆端 对结点或支座的弯矩则以逆时针方向为正；杆端剪力的 正向仍以使微段顺时针方向转动为正。
6i 3i
A2
M AB
M BA
M AB
A2
A1
M图
y1 y2
M BA
A1
M图
1 1
y1 y2
1 1
M图
M图
当简支梁两端有相对竖向 位移Δ 时，杆端转角为：
A B l
A 1 M AB 1 M BA
3i 6i
B 1 M AB 1 M BA
1 1 M M 综合起来： A AB BA 1 1 B M AB M BA 6i 3i l
A
7-3-2 一端固定另一端铰支的等截面直杆 设该杆A端发生顺时针转角θA , 并且AB两端发生横向相对线 位移Δ。 ⒈ 用力法导出杆端位移引起的杆端弯矩：
⑴ 选取基本结构。 ⑵ 力法方程。 11 X1 1c
⑶ 求系数和自由项。 1 1 2 l3 11 ll l EI 2 3 3 EI
⒉ 用力法求出由荷载引起的固端弯矩： M AB
F
根据叠加原理可得杆端弯矩的一般公式为：
M AB 3i A 3i
相应的杆端剪力为：
F M AB l
FQAB 3i FQBA
F F QAB l l2 A F 3i 3i 2 FQBA l l 3i
A
7-3-1 两端固定的等截面直杆
设该杆A、B两端分别发生顺时针转角 θA和θB, 并且AB两端发生横向相对
EI
线位移Δ。
可以用力法导出杆端弯矩的一般公式 为：
M AB M BA
F 4i A 2i B 6i M AB l F 2i A 4i B 6i M BA l
同时有荷载时, 再叠加固端剪力。
F 6i 6i 12i 2 FQAB M AB 4i A 2i B 6i l l l l A B F 6 i 6i 12i 2 FQBA M BA 2i A 4i B 6i l l l l
1 1 1 2 B 1 ( l M AB ) ( l M BA ) l ( 1 M AB 1 MBA ) EI 3 2 3 3 2 EI 6
A 1 M AB 1 M BA
3i 6i
B 1 M AB 1 M BA
式中：i EI 称为杆件的弯曲线
l 称为杆件的弦转角； 刚度； AB l F F M AB 和MBA 为固端弯矩。
⒈ 由杆端位移求杆端弯矩： 下面用求静定结构位移的方法
将杆端弯矩视为已知荷载，求 在此杆端弯矩作用下的位移：
EI
M AB
M BA
基本结构
M BA
M AB
M图
1 1
Fra Baidu bibliotekM图
1 2 1 1 A 1 ( l M AB ) ( l M BA ) l ( 1 M AB 1 MBA ) EI 3 2 3 2 EI 3 6
基本概念
杆件的受力状态由其两端的角位移、线位移以及作用于杆 件上的荷载唯一确定。
图7-10
即：只要杆端位移均为指定值，则不管它原先的支承条件如何，实际 上就相当于两端固定杆。若将全部杆端位移作为未知量，则所有杆件 （包括静定杆）都可以归入两端固定杆这一种基本杆件。
图7-10
基本结构
X1 X1 1
1c l A
l
A
M 1图
⑷ 解方程求未知量。 A 3 EI l A X 1 3 l A l 3 EI M X l l ⑸ 求杆端弯矩。 AB 3i A 3i 1 A 2 l l
7-3-2 一端固定另一端铰支的等截面直杆 设该杆A端发生顺时针转角θA , 并且AB两端发生横向相对线 位移Δ。 ⒈ 用力法导出杆端位移引起的杆端弯矩：
M AB 3i A 3i
l
7-3-3 一端固定另一端滑动支座的等截面直杆
设该杆A端发生顺时针转角θA 。
同样用力法可导出杆端弯矩的 一般公式为：
F M AB iA MAB F M BA iA MBA
两端固定等截面直杆的杆端弯矩：
M AB 4iA 2i B 6i M BA F M AB l F 2iA 4i B 6i M BA l
FQAB
⑵ 以原固端梁为出发点。
先求仅由杆端位移引起的剪力：
同时有荷载时, 再叠加简支梁剪力。
1 FQBA ( M AB MBA ) l
FQAB
FQAB FQBA
1 6i 6i 12i FQBA ( M AB MBA ) A B 2 l l l l
一端固定另一端铰支等截面直杆的杆端弯矩：
M AB 3i A 3i
F M AB l
基本概念
杆件的受力状态由其两端的角位移、线位移以及作用于杆 件上的荷载唯一确定。
图7-10
若迫使其A、B两端的角位移以及相对 线位移与图7-9所示的两端固定杆相同， 则荷载相同时该简支杆的杆端弯矩和 剪力以及变形状态将与上述两端固定 杆完全相同。
解联立方程求解，得：
6i
3i
3i
6i
l
再叠加由荷载作用引起的固端弯矩，即 得两端固定等截面直杆的转角位移方程 M BA
M AB
4i A 2i B 6i l 2i A 4i B 6i l
⒉ 求杆端剪力（两种思路）： ⑴ 以简支梁为出发点。
当仅作用有杆端力矩时：
§7-3 等截面直杆的转角位移方程 刚度系数：三类基本超静定杆件由单位位移引起的杆端力。 也称为形常数。 固端力：三类基本超静定杆件由荷载引起的杆端力。 也称为载常数。 转角位移方程：支座位移与荷载共同作用下杆端力的表达式。 正负号规定：
⑴ 杆端转角以顺时针方向转动为正；杆端横向相对线位移 以使杆件顺时针方向转动为正。 ⑵ 杆端弯矩以顺时针方向为正；根据牛顿第三定律，杆端 对结点或支座的弯矩则以逆时针方向为正；杆端剪力的 正向仍以使微段顺时针方向转动为正。
6i 3i
A2
M AB
M BA
M AB
A2
A1
M图
y1 y2
M BA
A1
M图
1 1
y1 y2
1 1
M图
M图
当简支梁两端有相对竖向 位移Δ 时，杆端转角为：
A B l
A 1 M AB 1 M BA
3i 6i
B 1 M AB 1 M BA
1 1 M M 综合起来： A AB BA 1 1 B M AB M BA 6i 3i l
A
7-3-2 一端固定另一端铰支的等截面直杆 设该杆A端发生顺时针转角θA , 并且AB两端发生横向相对线 位移Δ。 ⒈ 用力法导出杆端位移引起的杆端弯矩：
⑴ 选取基本结构。 ⑵ 力法方程。 11 X1 1c
⑶ 求系数和自由项。 1 1 2 l3 11 ll l EI 2 3 3 EI
⒉ 用力法求出由荷载引起的固端弯矩： M AB
F
根据叠加原理可得杆端弯矩的一般公式为：
M AB 3i A 3i
相应的杆端剪力为：
F M AB l
FQAB 3i FQBA
F F QAB l l2 A F 3i 3i 2 FQBA l l 3i
A
7-3-1 两端固定的等截面直杆
设该杆A、B两端分别发生顺时针转角 θA和θB, 并且AB两端发生横向相对
EI
线位移Δ。
可以用力法导出杆端弯矩的一般公式 为：
M AB M BA
F 4i A 2i B 6i M AB l F 2i A 4i B 6i M BA l